1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教A版2019）

1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 基础过关练 题组一　直线的方向向量和平面的法向量 1.若P(1,0,-2),Q(3,1,1)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(　　) A.(1,2,3)　　　　B.(1,3,2)　　 C.(2,1,3)　　　　D.(3,2,1) 2.已知A(1,2,1),B(0,1,2),C(3,1,1),若平面ABC的一个法向量为n=(x,y,1),则n=(　　) A.　　　　B.　　 C.　　　　D. 3.如图,在四棱锥E-ABCD中,AB⊥平面ADE,AC=CD=AE=DE=,AD=2,F为DE的中点.试建立恰当的空间直角坐标系,并求出平面EAF、平面ACF的一个法向量. 题组二　空间中直线、平面的平行问题 4.已知直线l的方向向量为a=(1,2,-2),平面α的法向量为n=(2,4,m),若l∥α,则m等于(　　) A.5　　B.2　　C.　　D.-4 5.已知e1,e2,e3为空间内三个不共面的向量,平面α和平面β的法向量分别为a=e1+λe2+3e3和b=-e1+2e2+μe3,若α∥β,则λ+μ=(　　) A.5　　B.-5　　C.3　　D.-3 6.若直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,则可能使l∥α的是(　　) A.m=(3,-1,0),n=(-1,0,2)　　　　 B.m=(-2,1,4),n=(2,0,1) C.m=(2,9,7),n=(-2,0,-1)　　　　 D.m=(1,-2,3),n=(0,3,1) 题组三　空间中直线、平面的垂直问题 7.(教材习题改编)若直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则l1与l2的位置关系是(　　) A.l1⊥l2　　　　B.l1∥l2 C.l1、l2相交但不垂直　　　　D.不能确定 8.已知直线l的方向向量为a=(1,2,m),平面α的法向量为b=(2,n,2),若l⊥α,则m+n=(　　) A.-1　　B.0　　C.2　　D.5 9.某三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为三角形A1B1C1,若∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=,AB=AC=2A1C1=2,D为BC的中点.证明:平面A1AD⊥平面BCC1B1. 能力提升练 题组一　用空间向量研究平行、垂直问题 1.(多选题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=AA1=2,P,Q,R分别是AB,BB1,A1C上的动点,下列结论正确的是(　　) A.对于任意给定的点P,存在点Q使得D1P⊥CQ B.对于任意给定的点Q,存在点R使得D1R⊥CQ C.当AR⊥A1C时,AR⊥D1R D.当A1C=3A1R时,D1R∥平面BDC1 2.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,E,F分别为A1C1和BC的中点.求证: (1)平面ABE⊥平面B1BCC1; (2)C1F∥平面ABE. 题组二　用空间向量解决立体几何中的探索性问题 3.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,侧面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC=AD. (1)求证:CD⊥平面PAC; (2)在侧棱PA上是否存在点E,使得BE∥平面PCD?若存在,指出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由. 4.如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,底面BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形,AB=BD,E是线段AC上一点. (1)若E为AC的中点,求直线AC与平面BDE所成角的正弦值; (2)是否存在点E,使得平面BDE⊥平面ADC?若存在,请指出点E的位置,并加以证明;若不存在,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 1.4　空间向量的应用 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 基础过关练 1.C 2.C 4.A 5.B 6.B 7.A 8.D 1.C　依题意,得直线l的一个方向向量为=(3,1,1)-(1,0,-2)=(2,1,3).故选C. 2.C　∵A(1,2,1),B(0,1,2),C(3,1,1), ∴=(-1,-1,1),=(3,0,-1), ∵平面ABC的一个法向量为n=(x,y,1), ∴解得 ∴n=.故选C. 3.解析　取AD的中点O,连接OE,OC,∵AC=CD=AE=DE,∴AD⊥OC,AD⊥OE,∵AB⊥平面ADE,OE⊂平面ADE,∴AB⊥OE,又AB,AD⊂平面ABCD,AB∩AD=A,∴OE⊥平面ABCD,又OC⊂平面ABCD,∴OE⊥OC,因此OA,OE,OC两两垂直,故建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz, 由题意可知A(1,0,0),F,C(0,0,1),∴=,=(-1,0,1), 设平面ACF的法向量为n=(x,y,z), 则即令z=1,得x=1,y=3,∴平面ACF的一个法向量为n=(1,3,1). 显然=(0,0,1)是平面EAF的一个法向量. 解题模板　 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设平面的法向量为n=(x,y,z). (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a,b,其中a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2). (3)利用建立关于x,y,z的方程组. (4)解方程组,取其中的一组解,即得法向量(注:一个平面的法向量不是唯一的). 4.A　因为l∥α,且直线l的方向向量为a=(1,2,-2),平面α的法向量为n=(2,4,m), 所以a⊥n,即a·n=0,则1×2+2×4+(-2)×m=0,解得m=5.故选A. 5.B　∵e1,e2,e3为空间内三个不共面的向量,∴{e1,e2,e3}可以作为空间的一个基底, 又平面α和平面β的法向量分别为a=e1+λe2+3e3和b=-e1+2e2+μe3,且α∥β,∴a∥b, 设a=tb,t∈R,则e1+λe2+3e3=t(-e1+2e2+μe3), ∴解得∴λ+μ=-5.故选B. 6.B　根据题意,要使l∥α,则m·n=0,由此分析选项. 对于A,m·n=-3≠0,不符合题意;对于B,m·n=-4+0+4=0,符合题意;对于C,m·n=-11≠0,不符合题意;对于D,m·n=-3≠0,不符合题意.故选B. 7.A　由题意得a·b=-2+6-4=0,∴a⊥b,故l1⊥l2. 故选A. 8.D　因为l⊥α,所以a∥b,则有==, 解得m=1,n=4,故m+n=5.故选D. 9.证明　证法一:以A为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系(图略),则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,).∵D为BC的中点,∴点D的坐标为(1,1,0),∴=(1,1,0),=(0,0,),=(-2,2,0),∴·=1×(-2)+1×2+0×0=0,·=0×(-2)+0×2+×0=0,∴⊥,⊥,∴BC⊥AD,BC⊥AA1.又A1A,AD⊂平面A1AD,A1A∩AD=A,∴BC⊥平面A1AD.又BC⊂平面BCC1B1,∴平面A1AD⊥平面BCC1B1. 证法二:同证法一建系后,得C1(0,1,),=(0,0,),=(1,1,0),=(-2,2,0),=(0,-1,).设平面A1AD的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面BCC1B1的法向量为n2=(x2,y2,z2). 由得 令y1=-1,则x1=1,z1=0,∴n1=(1,-1,0). 由得 令y2=1,则x2=1,z2=,∴n2=. ∵n1·n2=1-1+0=0,∴n1⊥n2. ∴平面A1AD⊥平面BCC1B1. 能力提升练 1.ABD　如图所示,建立空间直角坐标系, 则D(0,0,0),D1(0,0,2),A(2,0,0),A1(2,0,2),C(0,2,0),C1(0,2,2),B(2,2,0). 设P(2,a,0),Q(2,2,b),a∈[0,2],b∈[0,2], 设=λ,λ∈[0,1],可得R(2-2λ,2λ,2-2λ). =(2,a,-2),=(2,0,b),·=4-2b,当b=2时,D1P⊥CQ,故A正确; =(2-2λ,2λ,-2λ),·=2(2-2λ)-2λb,取λ=,此时D1R⊥CQ,故B正确; 当AR⊥A1C时,·=(-2λ,2λ,2-2λ)·(-2,2,-2)=4λ+12λ-4+4λ=0,解得λ=, 此时·=·=-≠0,故C错误; 当A1C=3A1R时,λ=,则R,=,=(-2,-2,0),=(0,2,2),设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z), 则即取y=-1,得x=,z=,∴n=(,-1,),故·n=0, 又D1R⊄平面BDC1,∴D1R∥平面BDC1,故D正确. 故选ABD. 2.证明　由题意知,,两两互相垂直.以B为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系.(图略) 设BC=a,AB=b,BB1=c,a>0,b>0,c>0,则B(0,0,0),A(0,b,0),C1(a,0,c),F,E. (1)易得=(0,-b,0),=. 设平面ABE的法向量为n=(x,y,z), 则即 令x=2,则y=0,z=-,∴n=. 易知平面B1BCC1的一个法向量为(0,1,0),记n'=(0,1,0).∵n·n'=2×0+0×1+×0=0,∴平面ABE⊥平面B1BCC1. (2)易得=, 由(1)知平面ABE的一个法向量为n=, ∵n·=2×+0×0+×(-c)=0,且C1F⊄平面ABE,∴C1F∥平面ABE. 3.解析　因为∠PAD=90°,所以PA⊥AD. 又因为侧面PAD⊥底面ABCD,且侧面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD,又AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB. 由AD∥BC,∠ABC=90°得∠BAD=90°, 所以AB,AD,AP两两垂直.以AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设AD=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1). (1)证明:因为=(0,0,1),=(1,1,0),=(-1,1,0),所以·=0,·=0,所以AP⊥CD,AC⊥CD. 又因为AP∩AC=A,AP,AC⊂平面PAC, 所以CD⊥平面PAC. (2)存在.当E为PA的中点时,BE∥平面PCD. 证明如下:设侧棱PA的中点是E, 则E,=. 设平面PCD的法向量是n=(x,y,z),则 因为=(-1,1,0),=(0,2,-1), 所以取x=1,则y=1,z=2, 所以平面PCD的一个法向量为n=(1,1,2). 所以n·=(1,1,2)·=0,所以n⊥. 因为BE⊄平面PCD,所以BE∥平面PCD. 故当E为PA的中点时,BE∥平面PCD. 4.解析　不妨设AB=2,在平面BCD中作BF⊥BD,以BF,BD,BA所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz,则B(0,0,0),A(0,0,2),D(0,2,0),C(1,1,0). (1)易得=(-1,-1,2),=(0,2,0).因为E是AC的中点, 所以点E的坐标为, 所以=, 设p=(x,y,z)是平面BDE的法向量,则 即取x=2,则y=0,z=-1, 所以平面BDE的一个法向量为p=(2,0,-1). 所以|cos<,p>|===, 所以直线AC与平面BDE所成角的正弦值为. (2)存在,当=2时,平面BDE⊥平面ADC. 证明如下:假设存在点E使得平面BDE⊥平面ADC,设=λ. 显然=(-1,1,0),=(-1,-1,2). 设m=(x1,y1,z1)是平面ADC的法向量, 则即取x1=1,则y1=1,z1=1, 所以平面ADC的一个法向量为m=(1,1,1). 因为=λ,所以点E的坐标为, 所以=,=(0,2,0). 设n=(x2,y2,z2)是平面BDE的法向量, 则即 取x2=1,则y2=0,z2=-,所以平面BDE的一个法向量为n=. 因为平面BDE⊥平面ADC,所以m⊥n,即m·n=0,即1-=0,解得λ=2. 所以当=2时,平面BDE⊥平面ADC. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$