第9章 平面向量（举一反三讲义·培优篇）高一数学苏教版必修第二册

该高中数学平面向量单元复习讲义通过八大压轴题型系统构建知识体系，以题型为框架梳理从相等与共线向量基础概念，到共线定理、坐标运算、几何应用及最值问题的递进脉络，突出共线定理应用、坐标运算几何意义等重难点，呈现知识内在逻辑联系。 讲义亮点在于压轴题型的分层设计，如题型3“向量线性运算的几何应用”通过面积比问题培养几何直观，题型8“向量与几何最值”结合正八边形背景训练数学思维。每个题型包含选择、填空、解答题，基础题巩固概念，综合题提升能力，助力不同层次学生发展，为教师实施精准分层教学提供支持。

第9章 平面向量全章八大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 相等向量与共线（平行）向量 1．（24-25高一下·湖北·月考）已知非零向量与共线，下列说法正确的是（   ） A．与共线 B．与不共线 C．若，则 D．若，则是一个单位向量 【答案】D 【解题思路】根据向量共线，向量相等及单位向量的定义分别判断各选项. 【解答过程】当，，，四点在一条直线上时，与共线，否则与可能不共线，所以AB选项错误； 若，无法确定向量方向，不能确定向量相等，C选项错误； 根据单位向量定义可知若，则是一个单位向量，D选项正确； 故选：D. 2．（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据正六边形的性质，分别分析每个选项中的向量与的模和方向是否都相同，从而找出与相等的向量. 【解答过程】对于选项A，虽然，但方向不同不满足向量相等的条件，所以与不相等. 对于选项B，与方向相同，并且由于， 所以. 对于选项C：与方向不同，所以与不相等. 对于选项D：与方向不同，所以与不相等. 与相等的向量为. 故选：B. 3．（24-25高一·全国·课前预习）在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 【答案】B 【解题思路】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即可. 【解答过程】由题意可知，与不共线，A错； 因为、分别是、的中点，所以，，故与共线，B对； 因为与不平行，所以与不相等，C错； 因为，D错． 故选：B. 4．（24-25高一下·新疆喀什·月考）在四边形中，有，则四边形的形状为 . 【答案】平行四边形 【解题思路】根据向量相等的概念可得结果. 【解答过程】由得，，且， ∴四边形为平行四边形. 故答案为：平行四边形. 5．（2025高一·全国·课后作业）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，    (1)与模长相等的向量有多少个？ (2)写出与相等的向量有哪些？ (3)与共线的向量有哪些？ (4)请列出与相等的向量． 【答案】(1)有9个 (2)， (3)，，，，，， (4) 【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据平面几何的性质及相等向量、共线向量的定义判断即可. 【解答过程】（1）因为四边形为正方形，为平行四边形， 所以， 所以与模长相等的向量有、、、、、、、、共个. （2）与相等的向量有、. （3）与共线的向量有，，，，，，. （4）因为为平行四边形，所以且， 所以与相等的向量为. 题型2 向量共线定理及其应用 1．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】A 【解题思路】利用平面向量共线定理求解. 【解答过程】由题可得，， 对于A，，所以三点共线，故A正确； 对于B，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故B错误； 对于C，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故C错误； 对于D，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故D错误. 故选：A. 2．（24-25高一下·新疆·期中）已知，是平面内的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为（    ） A．9 B．13 C．15 D．18 【答案】C 【解题思路】由平面向量的线性运算将，用，表示出来，结合共线向量定理与平面向量基本定理建立方程组，求解即可． 【解答过程】解：因为，，， 所以， ， 又因为，，三点共线， 所以存在实数，使得， 即， 因为，是平面内的一组基底， 所以由平面向量基本定理可得：， 解得. 故选：C． 3．（24-25高一下·重庆·期末）如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由三点共线的向量表示即可求解. 【解答过程】由，结合 可得：， 即， 因为三点共线， 所以， 解得：， 故选：C. 4．（24-25高一下·河南·期末）设和是两个不共线的向量，若，，，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于 ． 【答案】12 【解题思路】先求，由A，B，D三点共线，利用共线向量定理得存在实数，使得，进而求解. 【解答过程】由题意有，， 因为A，B，D三点共线，所以存在实数，使得， 即，所以， 所以． 故答案为：. 5．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意，结合和，即可求解； （2）根据题意，求得，，得到，即可得证. 【解答过程】（1）解：由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以. （2）证明：因为，可得， 所以， 且，可得，所以三点共线. 题型3 向量线性运算的几何应用 1．（24-25高一下·海南海口·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用和向量加法得到可解. 【解答过程】因为，所以， 即， 所以与的面积之比为. 故选：C. 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）在四边形中，，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】A 【解题思路】利用向量的运算得到，即可得到答案. 【解答过程】因为，，， 所以. 所以. 所以且， 所以四边形为梯形.. 故选：A. 3．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知点O在内部，且有，则与的面积的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】取的中点，由给定的向量等式，结合向量运算可得，再利用等高的两个三角形面积比求解. 【解答过程】由，得， 取的中点，连接，则，于是， 因此， 所以与的面积的比值为. 故选：A. 4．（2025高一·全国·专题练习）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则 ． 【答案】 【解题思路】根据五角星中的长度关系，由平面向量的线性运算即可求解. 【解答过程】由题意：， 则， 因为，同样, 所以， 则． 故答案为：. 5．（24-25高一·全国·随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用三角形法则整理化简即可； （2）利用三角形重心性质及向量的线性运算化简计算即可； （3）利用三角形重心性质及三角形法则化简计算即可. 【解答过程】（1）因为点D是中BC边的中点，且，， 所以； （2）因为点G是的重心， 所以 . （3）因为点G是的重心且D是BC边的中点，所以， 又，所以，所以. 题型4 向量共线、垂直的坐标表示 1．（24-25高一下·新疆·期末）已知向量，，且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】应用向量的线性运算求，再由向量平行的坐标表示列方程求参数. 【解答过程】因为，，所以， 由，得，解得. 故选：A. 2．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用向量的坐标运算列式求解. 【解答过程】由向量，，得， 由，得， 所以. 故选：B. 3．（24-25高一下·辽宁抚顺·期末）已知向量，，.若与平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】根据条件，利用向量线性运算的坐标表示及向量共线的坐标表示计算得解. 【解答过程】∵，，∴， 又，与平行， ∴，解得， 故选：C. 4．（24-25高一下·湖南永州·期末）已知，，. (1)若，求λ的值； (2)当k为何值时，？ 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据数量积坐标运算； （2）根据共线向量的坐标公式计算. 【解答过程】（1）由题可知，， ， 解得 （2）由，得 ， ， . 5．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）已知向量． (1)若，求实数的值； (2)若与垂直，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据向量平行的坐标表示即可列方程求解； （2）根据向量垂直的坐标表示以及数量积的运算律，即可化简求解. 【解答过程】（1）由于，若，则满足，解得； （2）与垂直，则， 即， 故， 化简可得，解得或. 题型5 向量坐标运算的几何应用 1．（24-25高一下·海南·月考）已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可结合二次式的性质求解. 【解答过程】以中点为坐标原点，以为正方向为轴，建立如图所示的直角坐标系， 设，则 故 ,当时取到等号， 故选：B. 2．（24-25高一下·河北保定·月考）三角板是一种用于几何绘图和测量的工具.如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中，，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】以B为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，作，交的延长线于点F，由向量的坐标运算求出. 【解答过程】以B为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系. 作，交的延长线于点F， 由题中数据可得，，，， 则， ，. 因为，所以，则， 解得，故. 故选：B. 3．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用向量的坐标运算即可求解. 【解答过程】如图，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则）． 设，则．因为，所以． 由题意知，圆O的半径．因为点P在弧（包括端点）上， 所以，所以的取值范围是． 故选：C. 4．（2025高一下·全国·专题练习）如图，在四边形中， .若为线段上一动点，则的最大值为 . 【答案】6 【解题思路】由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积的坐标运算得到，再求二次函数的最大值即可． 【解答过程】以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 设，其中， 则，， ， 当时，有最大值6． 故答案为：6. 5．（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）建立坐标系，设，表达出，，由得到方程，求出，利用平面向量夹角余弦公式求出答案； （2）设，表达出，结合，求出. 【解答过程】（1）以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立平面直角坐标系， ，，设，则，，， ，， 由，则，即， 又，，， ，，，， ， 又为锐角，； （2）设，， ，， ， ，. 题型6 用向量解决夹角问题 1．（2025·四川南充·三模）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解. 【解答过程】解：建立如图直角坐标系，则, 得, 所以， 故选：D. 2．（2025·湖南娄底·一模）已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据平面向量数量积的线性运算，结合圆内接四边形的几何性质，即可得所求. 【解答过程】 因为，所以，易知， 结合图形，，，则，故. 所以在直角三角形中可得，故. 故选：C. 3．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【解答过程】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 ， 故选：D． 4．（24-25高一下·广东深圳·月考）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 【答案】 【解题思路】依题意建立平面直角坐标系，分别求出两向量的坐标，计算两向量的夹角，即可得出结果． 【解答过程】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图，    因为正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点， 设，则，，，， 则， 而等于与所成的角． 所以． 故答案为：. 5．（24-25高一下·湖南常德·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在． 【解题思路】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【解答过程】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．    的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 题型7 用向量解决线段的长度问题 1．（24-25高三上·江苏镇江·月考）在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解题思路】借助向量线性运算法则与三点共线定理可得，再利用向量数量积公式计算即可得解. 【解答过程】令，，由，， 则，， 则， 由、、三点共线，故，即， 即，则 ， 解得，即的长为. 故选：C. 2．（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解题思路】利用向量垂直则数量积为0，求出，再平方求向量的模即可. 【解答过程】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A. 3．（2025·河北沧州·模拟预测）已知中，，，点在边上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用角平分线定理得到，利用平面向量的线性运算结合数量积的运算计算即可. 【解答过程】 根据题意，因为，，所以为的平分线， 根据角平分线定理，可得，则 所以， 两边平方可得 ， 所以. 故选：C. 4．（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设，，利用向量线性运算得，然后利用数量积模的运算律求解即可. （2）利用向量的夹角运算公式求解即可. 【解答过程】（1）设，， 则. ， ． （2）设，则向量与的夹角为． ， ，即． 5．（24-25高二上·浙江·期末）如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）用、表示，再根据数量积的定义及运算律计算可得； （2）用、表示、，根据数量积的运算律求出，即可得证. 【解答过程】（1）因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以，即，所以． 题型8 向量与几何最值问题 1．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，为正八边形内的一点（含边界），则的取值范围为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据八边形的结构特征首先求出在方向上的投影的取值范围，然后可求得的范围. 【解答过程】因为每个三角形的顶角为的模为4，根据正八边形的特征， 所以， 所以如图所示，在方向上的投影的取值范围是， 结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是. 故选：D．    2．（24-25高一下·重庆·月考）已知直角梯形ABCD中，，，且，，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设（，），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于，过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F，设，根据共线结论可得，再结合平行关系可得. 【解答过程】过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于， 过点作BD的平行线，并分别交AB，AD的延长线于E，F， 因三点共线，则， 设，，则， 而，因此，，则得到， 由题意知，则四边形BECD为平行四边形，所以， 从而， 则的取值范围是． 故选：C. 3．（24-25高一下·重庆万州·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】C 【解题思路】以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【解答过程】如图示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系. 则 ， 所以，. 所以， 所以（当且仅当时等号成立）. 所以的最小值是8. 故选：C. 4．（24-25高一下·陕西西安·月考）直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】建立平面直角坐标系，再利用向量的数量积的坐标运算即可求解. 【解答过程】 建立平面直角坐标系如图，则，，，， 点，为的中点，，， ，，， 在边上运动(包含端点)，设， ，， ， ，， 的取值范围为. 故答案为：. 5．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在直角梯形中，，，，点是边上的中点. (1)若点满足，且，求的值； (2)若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）利用向量的加减运算法则，以为基底表示出得出的取值可得结论； （2）法1：建立平面直角坐标系利用数量积的坐标表示即可得出的取值范围； 法2：利用极化恒等式得出，即可得出结果. 【解答过程】（1）如下图所示： 由可得， 所以， 又，可得 所以； （2）法1：以点为坐标原点，分别以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则，则， 由点是线段上的动点（含端点），可令， 所以，则， 所以， 由二次函数性质可得当时取得最小值； 当时取得最大值； 可得； 法2：取中点，作垂足为，如下图所示： 则 ， 显然当点位于点时，取到最大值3，当点位于点时，取到最小值， 可得. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 平面向量全章八大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 相等向量与共线（平行）向量 1．（24-25高一下·湖北·月考）已知非零向量与共线，下列说法正确的是（   ） A．与共线 B．与不共线 C．若，则 D．若，则是一个单位向量 2．（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与相等的向量为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一·全国·课前预习）在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 4．（24-25高一下·新疆喀什·月考）在四边形中，有，则四边形的形状为 . 5．（2025高一·全国·课后作业）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，    (1)与模长相等的向量有多少个？ (2)写出与相等的向量有哪些？ (3)与共线的向量有哪些？ (4)请列出与相等的向量． 题型2 向量共线定理及其应用 1．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 2．（24-25高一下·新疆·期中）已知，是平面内的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为（    ） A．9 B．13 C．15 D．18 3．（24-25高一下·重庆·期末）如图，在中，，是上一点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南·期末）设和是两个不共线的向量，若，，，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于 ． 5．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 题型3 向量线性运算的几何应用 1．（24-25高一下·海南海口·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）在四边形中，，，，则四边形的形状是（    ） A．梯形 B．菱形 C．平行四边形 D．矩形 3．（24-25高一下·贵州遵义·月考）已知点O在内部，且有，则与的面积的比值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025高一·全国·专题练习）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正五边形，且，设，则 ． 5．（24-25高一·全国·随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 题型4 向量共线、垂直的坐标表示 1．（24-25高一下·新疆·期末）已知向量，，且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 2．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（24-25高一下·辽宁抚顺·期末）已知向量，，.若与平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 4．（24-25高一下·湖南永州·期末）已知，，. (1)若，求λ的值； (2)当k为何值时，？ 5．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）已知向量． (1)若，求实数的值； (2)若与垂直，求实数的值． 题型5 向量坐标运算的几何应用 1．（24-25高一下·海南·月考）已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河北保定·月考）三角板是一种用于几何绘图和测量的工具.如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中，，，，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·吉林长春·期中）如图，边长为的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025高一下·全国·专题练习）如图，在四边形中， .若为线段上一动点，则的最大值为 . 5．（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点． (1)求； (2)求的取值范围． 题型6 用向量解决夹角问题 1．（2025·四川南充·三模）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南娄底·一模）已知圆内接四边形中，是圆的直径，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广东深圳·月考）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 5．（24-25高一下·湖南常德·月考）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 题型7 用向量解决线段的长度问题 1．（24-25高三上·江苏镇江·月考）在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 2．（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 3．（2025·河北沧州·模拟预测）已知中，，，点在边上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求： (1)AD的长； (2)的大小． 5．（24-25高二上·浙江·期末）如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 题型8 向量与几何最值问题 1．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为4，为正八边形内的一点（含边界），则的取值范围为（    ）      A． B． C． D． 2．（24-25高一下·重庆·月考）已知直角梯形ABCD中，，，且，，点P是△BCD内（含边界）任意一点，设（，），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·重庆万州·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C．8 D． 4．（24-25高一下·陕西西安·月考）直角梯形中，，，，点，为的中点，在边上运动(包含端点)，则的取值范围为 . 5．（24-25高一下·浙江宁波·期末）在直角梯形中，，，，点是边上的中点. (1)若点满足，且，求的值； (2)若点是线段上的动点（含端点），求的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $