第二十三章 四边形（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材沪教版五四制八年级下册

第二十三章 四边形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．如图，在中，，P是BC上一动点（与B、C点不重合），于E，则等于（    ） A．155° B．145° C．135° D．125° 【答案】B 【分析】先根据平行四边形的性质求出∠B的度数，再根据垂线的定义求出∠PEB的度数，即可利用三角形外角的性质求出∠CPE的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴∠B=180°-∠A=55°， ∵PE⊥AB，即∠PEB=90°， ∴∠CPE=∠B+∠PEB=145°， 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形外角的性质，垂线的定义熟知相关知识是解题的关键． 2．下列说法正确的是(   ) A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相平分的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 【答案】D 【分析】根据菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，进行判定，即可解答. 【详解】解：A、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故此选项说法错误，不符合题意； B、四条边相等的四边形是菱形，故此选项说法错误，不符合题意； C、对角线相互平分的四边形是平行四边形，故此选项说法错误，不符合题意； D、对角线相等且相互平分的四边形是矩形，故此选项说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，解决本题的关键是熟记几种特殊四边形的判定定理． 3．如图，已知，作图：①在的两边上分别截取，，使；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；③连接，，，．若，四边形的面积为．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：根据作图得：， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， ， 故选：B． 4．一个正多边形，它的每个内角是与其相邻外角的倍，则这个多边形的边数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和外角的关系，先根据一个正多边形的内角和外角互补关系列方程求出正多边形的外角，再根据多边形的外角和等于即可求出正多边形的边数，掌握多边形的外角和等于是解题的关键． 【详解】解：设正多边形的每个外角为，则每个内角为， 依题意得，， 解得， ∴正多边形的每个外角为， ∴这个多边形的边数为， 故选：． 5．如图，任意四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC、BD的长都为20cm，则四边形EFGH的周长是(    ) A．80cm B．40cm C．20cm D．10cm 【答案】B 【详解】利用三角形中位线定理易得所求四边形的各边长都等于AC，或BD的一半，进而求四边形周长即可． 6．如图，在面积为25的正方形内有两点E、F，且，，则的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】本题考查了正方形的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．延长交于点G，首先根据勾股定理的逆定理得到，然后证明出，得到，然后证明出，得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【解答】解：如图所示，延长交于点G， ∵正方形的面积为25， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 故选：D． 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．若一个多边形的内角和与外角和之比是的5︰2，则这个多边形的边数是 ． 【答案】7 【分析】设这个多边形的边数是n，则内角和为，然后根据外角和是360度，即可求得边数． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，则 ∴ 解得； 故答案为：7． 【点睛】本题考查了多边形的计算，理解多边形的外角和是360度，外角和不随边数的变化而变化是关键． 8．如图，点G是的重心，连接并延长交于点D，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了重心的应用，与中线有关的面积，熟练掌握重心的性质是解题的关键．先根据点G是的重心，得，则，，故，即可作答． 【详解】解：∵点G是的重心， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 9．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AB＝5，OA＝4，则菱形ABCD的面积 ． 【答案】24 【分析】根据菱形的性质：菱形的两条对角线互相垂直可计算出该菱形的面积. 【详解】解：因为四边形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD． 在Rt△AOB中，利用勾股定理求得BO＝3． ∴BD＝6，AC＝8． ∴菱形ABCD面积为×AC×BD＝24． 故答案为24． 【点睛】本题考查了菱形的性质的灵活运用，熟练运行菱形的性质来求其面积是解决此题的关键. 10．如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为 ．    【答案】3 【分析】根据旋转的性质知AB=AE，在直角三角形ADE中根据勾股定理求得AE长即可得． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=90°，BC=AD=3， ∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG， ∴EF=BC=3，AE=AB， ∵DE=EF， ∴AD=DE=3， ∴AE==3， ∴AB=3， 故答案为3． 【点睛】本题考查矩形的性质和旋转的性质，熟知旋转前后哪些线段是相等的是解题的关键． 11．如图，在六边形中，若与的角平分线交于点，则等于 °． 【答案】60 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，角平分线的定义，三角形内角和，解题的关键是根据六边形的内角和为，，求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形内角和求出结果即可． 【详解】解：六边形的内角和是：， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，已知平行四边形的周长为，对角线相交于点，如果交边于点，那么的周长为 ． 【答案】15 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由平行四边形的对角线相交于点，，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由平行四边形的周长为，可得的长，继而可得的周长等于． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， 平行四边形的周长为， ， ， ， 的周长． 故答案为：15． 13．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，已知菱形ABCD的周长为20cm，则 OE长为 cm． 【答案】5 【分析】先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，证明OCED是矩形，由矩形的性质可得OE＝DC，再根据菱形的周长可求OE长． 【详解】∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， 又∵菱形ABCD中，AC⊥BD，即∠COD=90°， ∴四边形OCED是矩形； ∴OE=AD， 又∵菱形ABCD中，BC=AD， ∴OE=BC． ∵菱形ABCD的周长为20 cm， ∴BC=20÷4=5（cm）． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键． 14．在四边形中，，，对角线，相交于点．若，的周长比的周长大，则四边形的周长为 ． 【答案】16 【分析】由条件且，可判定四边形为平行四边形，从而对角线互相平分，对边相等；利用与的周长差关系，推导出与的差值，进而求出的长，最后计算四边形周长； 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵且， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵的周长比的周长大， ∴． 代入，得， ∴． ∴四边形的周长． 故答案为：． 15．如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于 ． 【答案】20 【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AE∥BC，AD=BC， ∴∠AEB=∠EBC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠EBC， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AB=AE， ∴AE+DE=AD=BC=6， ∴AE+2=6， ∴AE=4， ∴AB=CD=4， ∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20， 故答案为20． 16．如图，矩形的面积为a，对角线交于点O，以为邻边作平行四边形，对角线交于点；以为邻边作平行四边形，对角线交于点O2……以此类推，则平行四边形的面积为 ．        【答案】 【分析】根据矩形的性质，求得，再根据平行四边形的性质，求得平行四边形面积，同理求得平行四边形的面积，得出规律，即可求解． 【详解】解：矩形的面积为a，对角线交于点O， 则， 以为邻边作平行四边形，则 同理可得： 由此可得，平行四边形的面积为 从而可得，平行四边形的面积为 故答案为： 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形和平行四边形的性质，正确求得前面几个平行四边形的面积． 17．如图，正方形纸片的边长为，E，分别是边，上的点，将正方形纸片沿折叠，使得点A落在边上的点处，此时点落在点处，已知折痕则的长等于 ． 【答案】5 【分析】过点作，垂足为，连接，在中，由勾股定理可求得，轴对称的性质可知，由同角的余角相等可证明，从而可证明，则可得，最后在利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵正方形纸片， ∴， 如图，过点作，垂足为，连接，则四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得，， 由轴对称的性质可知， ∴， ∵， ∴， ， 在和中， ∵， ∴， ． 设，由翻折的性质可知，则， 由勾股定理得：，即， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，二次根式的乘法运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 18．如图，点E、F分别在正方形的边、上，，已知，，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作交的延长线于点，易证得和，根据全等三角形的性质得到，设，则、，根据列方程，求解的值，利用进行计算求解即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点，如图： ， ， 、， ， 、， ， ， ， ， ， ， 、， ， 设，则、， ， ， 解得， ， 故答案为：15． 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．如图，ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，若∠ABF＝∠CDE＝90°. (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)若AB＝AD＝8，BF＝6，求AE的长． 【答案】(1)见解析;(2). 【分析】(1)由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，证出∠BAC＝∠DCA，由ASA证明△ABF≌△CDE，得出BF＝DE，∠AFB＝∠CED，证出BF∥DE，即可得出结论； (2)连接BD交AC于G，证明四边形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，证出四边形BEDF是菱形，得出BE＝BF＝6，由勾股定理求出AF，由三角形的面积关系求出BG，再由勾股定理求出EG，即可得出结果． 【详解】(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DCA， 在△ABF和△CDE中，， ∴△ABF≌△CDE(ASA)， ∴BF＝DE，∠AFB＝∠CED， ∴BF∥DE， ∴四边形BEDF是平行四边形； (2)连接BD交AC于G，如图所示： ∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形， ∴BE＝BF＝6，EG＝FG， ∵∠ABF＝90°，AB＝AD＝8，BF＝6， ∴AF＝＝10， ∵△ABF的面积＝AF·BG＝AB×BF， ∴BG＝＝， ∴EG＝＝， ∴AE＝AF－2EG＝10－2×＝. 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 20．如图，在中，，点分别为边上的点，，连接，点为的中点，连接，并延长交边于． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，由定理证明，，得到，根据平行四边形的判定即可证的结论； （2）根据平行线的性质和等腰三角形的性质证得，由三角形外角定理与已知条件证得，得到，即可证的结论． 【详解】（1）证明：， ，，， 点为的中点， ， 在和中，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）由（1）知四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，等腰三角形的性质和判定，三角形外角定理，综合运用相关知识是解决问题的关键． 21．如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，四边形的对角线分别交、于点、，且，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）证明得出，即可得出四边形是平行四边形，根据角平分线的定义，以及平行线的性质得出，进而可得，即可得证； （2）根据（1）的结论得出，结合已知条件得出，则四边形是平行四边形，根据菱形的性质得出，即，根据已知，等量代换得出，即，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是菱形； ∴， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形； ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是矩形． 22．如图，在四边形中，对角线相交于点，延长至点E，使，连接． (1)当时，求证：； (2)当，且时，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的判定，特殊四边形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定定理和性质定理是解题关键． （1）根据平行线的性质可证，结合题意可证四边形为菱形，即得出，再结合，即得出； （2）由（1）可知四边形为平行四边形，即得出，，．再结合题意即证明四边形是正方形． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴平行四边形为菱形， ∴． ∵， ∴； （2）证明：如图，，， 由（1）可知四边形为平行四边形， ∴，，． ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴， ∴平行四边形为菱形． ∵， ∴， ∴菱形为正方形． 23．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F，连接DF. (1)求证：AF＝DC； (2)请问：AD与CF满足什么条件时，四边形AFDC是矩形，并说明理由． 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【分析】(1)因为AF∥DC，E为AD的中点，即可根据AAS证明△AEF≌△DEC，得出AF＝DC即可； (2)由(1)知，AF＝DC且AF∥DC，可得四边形AFDC是平行四边形，又由AD＝CF，故可根据对角线相等的平行四边形是矩形进行判定． 【详解】(1)∵AF∥DC， ∴∠AFE＝∠DCE， 又∵E为AD的中点， ∴AE＝DE， 在△AEF和△DEC中，， ∴△AEF≌△DEC(AAS)， ∴AF＝DC； (2)当AD＝CF时，四边形AFDC是矩形；理由如下： 由(1)得：AF＝DC且AF∥DC， ∴四边形AFDC是平行四边形， 又∵AD＝CF， ∴四边形AFDC是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，矩形的判定等，熟练掌握相应的判定定理与性质定理是解题的关键. 24．在正方形中，，对角线，相交于点，点在的延长线上，连接是的中点，连接． (1)如图，当时，线段与线段的位置关系是_____，_____； (2)如图，当点在线段上，且时，求线段的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由，是的中点可知，是的中位线，，由正方形的对角线互相垂直可知，所以，由得，所以； （2）过点作于，通过证得、，在中，由勾股定理可得线段的长． 【详解】（1），是的中点， 是的中位线， ，， 又正方形中，， ， 中，，， ， ； （2）如图，过点作于， 四边形是正方形， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 25．如图，在△ABC中，O是AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F. （1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论； （3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形且，求∠B的大小. 【答案】见解析 【详解】试题分析：（1）根据MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD及等角对等边即可证得OE=OF； （2）根据矩形的性质可知：对角线且互相平分，即AO=CO，OE=OF，故当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形； （3）当四边形AECF是正方形时，可得：AO⊥EF，又BC∥EF，则AC⊥BC，在正方形AECF中，AC=AE，根据，可得：tanB=，故∠B=60°． 解：（1）证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC， ∴OE=OC，OC=OF， ∴OE=OF． （2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形， ∵AO=CO，OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ECA+∠ACF=∠BCD， ∴∠ECF=90°， ∴四边形AECF是矩形． （3）当四边形AECF是正方形时，AO⊥EF，AC=AE， ∵BC∥EF， ∴AC⊥BC. ∵， ∴BC= AE， ∴tanB=， ∴∠B=60°． 点睛：本题主要考查了等边三角形的判定，矩形的判定定理，正方形的性质定理，锐角三角函数的定义，角平分线和平行线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握矩形的判定和正方形的性质． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 四边形（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题（本大题共6小题，每题2分，共12分） 1．如图，在中，，P是BC上一动点（与B、C点不重合），于E，则等于（    ） A．155° B．145° C．135° D．125° 2．下列说法正确的是(   ) A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B．对角线互相平分的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 3．如图，已知，作图：①在的两边上分别截取，，使；②分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；③连接，，，．若，四边形的面积为．则的长为（    ） A． B． C． D． 4．一个正多边形，它的每个内角是与其相邻外角的倍，则这个多边形的边数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，任意四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC、BD的长都为20cm，则四边形EFGH的周长是(    ) A．80cm B．40cm C．20cm D．10cm 6．如图，在面积为25的正方形内有两点E、F，且，，则的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每题3分，共36分） 7．若一个多边形的内角和与外角和之比是的5︰2，则这个多边形的边数是 ． 8．如图，点G是的重心，连接并延长交于点D，连接，则 ． 9．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AB＝5，OA＝4，则菱形ABCD的面积 ． 10．如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为 ．    11．如图，在六边形中，若与的角平分线交于点，则等于 °． 12．如图，已知平行四边形的周长为，对角线相交于点，如果交边于点，那么的周长为 ． 13．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，已知菱形ABCD的周长为20cm，则 OE长为 cm． 14． 在四边形中，，，对角线，相交于点．若，的周长比的周长大，则四边形的周长为 ． 15．如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于 ． 16．如图，矩形的面积为a，对角线交于点O，以为邻边作平行四边形，对角线交于点；以为邻边作平行四边形，对角线交于点O2……以此类推，则平行四边形的面积为 ．        17．如图，正方形纸片的边长为，E，分别是边，上的点，将正方形纸片沿折叠，使得点A落在边上的点处，此时点落在点处，已知折痕则的长等于 ． 18．如图，点E、F分别在正方形的边、上，，已知，，则 ． 三、解答题（本大题共7小题，19-21每题6分，22-24每题8分，第25题10分，共52分） 19．如图，ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，若∠ABF＝∠CDE＝90°. (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)若AB＝AD＝8，BF＝6，求AE的长． 20．如图，在中，，点分别为边上的点，，连接，点为的中点，连接，并延长交边于． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，求证：四边形是菱形． 21．如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，四边形的对角线分别交、于点、，且，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，，求证：四边形为矩形． 22．如图，在四边形中，对角线相交于点，延长至点E，使，连接． (1)当时，求证：； (2)当，且时，求证：四边形是正方形． 23．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，连接AD，取AD的中点E，过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F，连接DF. (1)求证：AF＝DC； (2)请问：AD与CF满足什么条件时，四边形AFDC是矩形，并说明理由． 24．在正方形中，，对角线，相交于点，点在的延长线上，连接是的中点，连接． (1)如图，当时，线段与线段的位置关系是_____，_____； (2)如图，当点在线段上，且时，求线段的长． 25．如图，在△ABC中，O是AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F. （1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论； （3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形且，求∠B的大小. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $