山东济南市槐荫区2025～2026学年度第一学期期末质量检测 九年级数学

2025~2026学年度第一学期期末质量检测 九年级数学(202601 本试题分试卷和答题卡两部分。第I卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分。本试题共8页， 满分为150分。考试时间为120分钟。 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同 时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置。考试结束后，将试卷、答题卡一 并交回。本考试不允许使用计算器。 第I卷（选择题 共40分) 注意事项： 第I卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答案写在试卷上无效。 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。) 1.计算：2sin30°的值是 A.1 B.√2 C.2 D.2√2 2.反比例函数y=8的图象一定经过的点是 A.(2,4) B.(-8,1) C.(-1,8) D.(-4,2) 3.如图，点A、B、C在⊙O上，若∠A=32°，则∠O= A.16° B.64° C.48° D.32° 50 90° B C 3题图 4题图 5题图 4.如图，△ABO∽△CDO,则∠B的度数为 A.30° B.35° C.40° D.45° 5.为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校计划用总长为5米的篱笆（虚线部分），两面 靠墙（足够长），围出一块面积为6平方米的矩形苗圃作为实践基地（如图所示）。设矩形 的一边长为x米，根据题意可列方程 A.5x2=6 B.5（1+x23=6 C.x(5-x)=6 D.5（1+x)2=6 6.已知(-3，)，(-1，)，(2，)都在双曲线=6上，则、、为的大小关系是 A.y1<y2<y3 B.y2<y1<3 C.y3<y1<2 D.y3<y2<y1 9年级数学试题第1页（共8页） 7.已知二次函数y=2一2x-1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 A.k>-1 B.k≥一1且k≠0C.k<1且k≠0 D.k>-1且k≠0 8.如图，在矩形OABC中，点B的坐标是(5,2)，则AC的长为 A.5 B.3V3 C.6 D.V29 B x=一1 8题图 9题图 9.二次函数y=ax2+bx十c的图象如图所示，以下结论正确的个数为 ①abc<0;②3a+c=0;③9a-3b+c=0;④am2一a十bm+b>0(m为任意实数) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1O.如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，CG⊥DE于点G,延长BG交CD于点F,延 长CG交BD于点H,交AB于点N,下列结论： ①DE=CN:②Bl=L, 三；③SADEC-=3 SABNHY;④∠BGN=45°；⑤GN+EG=√2BG; DH 2 其中正确结论的个数有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 A D H G F B 10题图 9年级数学试题第2页（共8页) 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区 域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等。 不按以上要求作答，答案无效. 二、填空题（本大题共6个小题。每小题4分，共24分。把答案填在答题卡的横线上。） 11.二次函数y=(x一1)2十2的顶点坐标是 12若号？则千6的位为 "atb 0 13.如图所示，D是△ABC的边AC上的点，且∠ABD=∠C,AB=6,AD=3,则AC的长 为 14.如图，在半径为10的⊙O中，AB=16,OC⊥AB于点C,则OC等于 B 13题图 14题图 15题图 15.如图所示，在平面直角坐标系中，直线经过点C与x轴平行，且直线分别与反比例函数 =6>0)和=K<0)的图象交于点P、Q,若△PO0的面积为8，则k= 16.如图，在正方形ABCD中，AB=4,以AD的中点O为圆心，1为半径作半圆交边AD于 点E、F,动点P在半圆上，若∠BPQ=90°且BP=2PQ,则当CQ最小时，△BCQ的面积 为 E Q B 16题图 9年级数学试题第3页（共8页） 三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分6分) 计算：cos30°+2tan45°一tan60°sin245° 18.(本小题满分6分) 解方程：x2一2x一1=0 19.(本小题满分6分) 如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，∠AEB=∠AFD。 求证：BE=DF。 B E 19题图 20.(本小题满分8分) 图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架BC连接靠背 AB和小桌板CD,点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小桌板CD平行于地面，测得 CE=9cm,BC=38cm,∠ABC=24°。(sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45) (I)如图2，∠BCE= 度； (2)如图2，求点C到靠背AB的距离；（精确到0.1cm) (3)如图3，靠背AB绕点B旋转至A1B与小桌板支架CB重合，已知杯托凹陷深度为0.7cm, 求乘客水杯（恰好放进杯托，空隙忽略不计）的最大高度。 A E D E D B 20题图1 20题图2 20题图3 9年级数学试题第4页（共8页) 21.(本小题满分8分) 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM,垂足为F,交AD 的延长线于点E,交DC于点N。 (1)求证：△ABM∽△EFA; (2)若AB=6,BM=2,求AE的长。 A D E N M C 21题图 22.(本小题满分8分) 如图，已知AB是⊙O的直径，AF平分∠EAC,且∠E=90°，AG=BG,连接AG。 (1)求证：EC是⊙O的切线： (2)若AG=2√2，AF=2√3，求线段AE的长。 E F 0 B C G 22题图 9年级数学试题第5页（共8页） 23.(本小题满分10分) 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件利润40元，为了扩大销售尽快 减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均 每天可多售出2件。若设每件衬衫降价x元，解答下列问题： (1)当每件衬衫降价5元，则每件利润 元，平均每天可售出 件； (2)若商场想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ (3)当每件衬衫降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 24.(本小题满分10分) 如图，反比例函数y=冬K<0)与一次函数y=mx十b相交于点4（一1,4和点B,1), 且一次函数与x轴、y轴分别交于点C、点D。 ()求反比例函数和一次函数的表达式： (2)设P是x轴上一点，当△AOP和△AOB面积相等时，求点P的坐标； (3)点Q在反比例函数图象上（不与点A、B重合），连接AQ,直线AQ与y轴交于点E, 当△ADE与△BCO相似时，请直接写出点Q的坐标。 y D D A A ⊙ 0 C O 24题图 24题备用图 9年级数学试题第6页（共8页) 25.(本小题满分12分) 【阅读材料】 材料1：一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0，b2一4ac≥0)的两个根x1、x2有如下的关系： 十=一b, ,1x2=C。 a 0 材料2：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程， 并利用一元二次方程的有关知识将其解决。 下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造。例如，如果实数m、n满足m2一m一1=0、n2一n一1=0， 且m≠n,则可将m、n看作是方程x2一x一1=0的两个不相等的实数根。 方法2：利用根与系数的关系逆向构造。例如，如果实数a、b满足a十b=3、ab=2,则 可以将a、b看作是方程x2一3x+2=0的两实数根。 根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程5x2一10x十1=0的两根x1、2,则x1十x2= ,x1·X2= (2)已知实数m、n满足3m2-m-2=0,3n2-n-2=0,且m≠，求”+的值： m n ③)已知实数a、b、t满足a+b=t-5,b三。，且5，求1的最大值。 9年级数学试题第7页（共8页） 26.(本小题满分12分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx十c与x轴交于A(一1,0)，B(6,0)两点， 与y轴交于点C。 (1)求抛物线的表达式： (②)点P是射线BC下方抛物线上的一动点，连接OP与射线BC交于点Q,当巴取得最 09 大值时，求点P的坐标： 3)在(2)冲巴取得最大值的条件下，将抛物线y=+x十c沿射线BC方向平移22个 09 单位长度得到抛物线yI,点M为点P的对应点，点N为抛物线y1上的一动点。若∠NAB= ∠OPM-45°，求点N的坐标。 y 0 ry A 26题图1 26题图2 9年级数学试题第8页（共8页）九年级数学试题参考答案与评分标准 一、选择题 题号 2 3 4 5 6 > 10 答案 A A B C B B D C D 二、填空题 11.(1,2) 12. 2 13.12 14.6 15.-10 16.6-√5 三、解答题 17解：原式= +21-5× .…4分 2 -5+2-5 …5分 2 2 =2 …6分 评分细则：4个三角函数值分别得1分，过程1分，结果1分，共6分。 18.解：方法一：△=（一2）2-4X1X(-1)=8,… …2分 x=2±V8_2±2√2=1士2，…4分 2×1 2 ∴x1=1-√2，x2=1+V2。 6分 方法二： x2-2x+1=2 (比1)2=2…2分 X-1=士√2…4分 x1=1+√2，x2=1-√2… …6分 评分细则：用公式法和配方法均可得分。 19.证明：，四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD,∠B=∠D, …2分 又，∠AEB=∠AFD, …3分 .△ABE≌△ADF(AAS,…5分 ∴.BE=DF。… …6分 9年级数学第1页（共11页） 评分细则：没有说明菱形，直接使用菱形的性质，不得分。 20.解：(1)114；…1分 (2)延长EC交AB于点F,则∠CFB=90°，…2分 ,BC=38cm,∠ABC=24°， .CF=38Xsin24°≈38X0.41≈15.6(cm), …3分 答：点C到靠背AB的距离约为15.6cm: (3)过点E作EG⊥CD,则∠CEG=90°， ·4分 A A G C E D C E D B 20题图2 20题图3 .∠BCE=114°， .∠GCE=66°， ∠CGE=90°-66°=24°，…5分 ..GE=_ CE .9 =20(cm), …7分 tan24°0.45 .水杯的高为：20+0.7=20.7(cm), 8分 ∴.乘客水杯的最大高度为20.7cm。 评分细则： ①.第(2)问辅助线描述错误扣1分： ②.结果未精确到0.1，扣1分。 21.(1)证明：，四边形ABCD是正方形， .∠B=90°，AD∥BC,…2分 ∠AMB=∠EAF,… …3分 又，EF⊥AM, ∴.∠AFE=90°， ∴.∠B=∠AFE, ∴.△ABM∽△EFA: …4分 (2)解：，四边形ABCD是正方形， ∴.∠B=90°， .'AB=6,BM=2, .AM=√AB2+BM2=2W10,…5分 9年级数学第2页（共11页） ,F是AM的中点， r-wi而， …6分 .△ABM∽△EFA, .BMMA …7分 FA AE 即2 2W10 √10AE AE=0。…8分 评分细则： ①.第(1)问未说明四边形ABCD是正方形，不得分： ②.第(1)问相似的证明过程有误的，第(2)问用到相似的过程扣2分。 22.解：(1)证明：如图，连接OF,…1分 .OA=OF, .∠AC=∠AFO, …2分 ,AF平分∠EAC, ∴.∠EAF=∠EAC, ∴.∠EAF=∠AFO, …3分 ∴.OF∥AE, ∴.∠OFC=∠E=90°， ∴.OF⊥EC, .OF是⊙O的半径， EC是⊙O的切线： …4分 (2)解：连接BG ,AB是⊙O的直径， ∴.∠AGB=90°，∠AFB=90° …5分 AG-BG,AG=22, AG=BG=22, ∴AB=V(2W2)2+(2N2)2-4, 6分 :∠EAF=∠PAC,∠E=∠AFB, ∴.△AEF∽△AFB, .AEAF …7分 AF AB .AF2=AE.AB, AF=23,AB=4, 9年级数学第3页（共11页） .(23)2=4AE, ∴AE=3。… …8分 E O B Q 22题图 评分细则： ①.第(1)问，辅助线说明正确并且在答题卡上连上的得1分：由平行(OF∥AE)得到∠OFC=∠ E=90°，没有体现出同位角相等（∠OFC=∠直接得到∠OFC=90°的此步骤不得分，若 由平行得到的是同旁内角相等得90°的此步骤不得分：数字角未标在答题卡上的酌情扣分； 若写错角或者边的字母，就是写错了，没有笔下误这一说法；下面第(2)问也是如此。 ②.第(2)问未说明AG-BG,直接用AG=BG,扣1分。 注：因果关系必须正确，由错误的因推导出的果不得分。 23.解：(1)35,30：…2分 (2),商场平均每天要盈利1200元， .(40-x)20十2x)=1200,…3分 整理得：x2-30x十200=0，…4分 解得：X1=20,X2=10,…5分 因为要尽快减少库存，在获利相同的情况下，降价越多，销售越快， 故每件衬衫应降20元时，每天盈利1200元： …6分 (3)设商场平均每天销售利润为y元， 则y=(20+2x)(40一x), …7分 y=-2x2+60x+800:... …8分 ,'α=一2<0，所以上述抛物线开口向下，函数有最大值， 当x=一 60一15时，y取得最大值， …9分 2×(-2) 此时y最大=(20+2×15)X(40-15)=1250元…10分 .当降价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是1250元。 评分细则： ①.第(1)问一个空1分，共2分： 9年级数学第4页（共11页） ②.第(2)问列对方程1分，整理为一般式1分，解方程正确得1分，答1分，共4分，未说明 舍去理由，直接舍去的，扣1分： ③.第(3)问未说明a=-2<0的扣1分。 24.解：()将点A(-1,4)代入反比例函数表达式y=得：4仁， -1 ∴.k=-1×4=-4, “反比例函数表达式为=一4 …1分 把B0,1)代入=4得：1=二4 ，n=-4, .B(-4,1) 2分 将点A(-1,4),B(-4,1)代入y=x+b得： 「-+b=4① 3分 -4+b=1② 由①-②得：3m=3, =1; 将m=1代入①得b=5; .一次函数表达式为y=x十5； …4分 (2)法一：由(1)得：直线AB表达式为y=x十5， .点D0,5) '.S△4OB=S△DOB-S△4OD -op-kl-0D-kal =1x5x4-x5x1 2 2 …6分 20px4=15 0p5 41 点P0或（0： 8分 9年级数学第5页（共11页） 法二：如图，过点B作BP川AO,…5分 则△AOP和△AOB面积相等， 设直线OA的表达式为：y=,将点A(一1,4)代入得：4=k·(-1) ∴.k=-4, .直线OA的表达式为：y=一4x, BP//AO ∴.设直线BP的表达式为：y=一4x十b, 将点B(-4,1)代入得：1=(-4)×(-4)+b ∴.b=-15, .直线BP的表达式为：y=一4x一15，…6分 D ⊙ X 24题图 令y=0,则=-15，即点P(-15,0):…7分 当点P在点4的右侧时，由图象的对称性，则点P学)也符合题意，…8分 放点P宁0欧（片，0： 4 6点-号· 203、 ……10分 评分细则 ①第(1)问中，解二元一次方程组没有详细解答过程，扣1分： 9年级数学第6页（共11页） ②第(2)问的方法一中，求得△AOB的面积得2分，点P的两个坐标分别得1分，共4分，若 没有表示△AOP的面积直接写出点P坐标的扣1分。 ③第(3)问，写对点Q坐标得2分。 25.解：12， 衫…2分 (2).≠，实数m、n满足32-m-2=0,32-n-2=0, .、n可看作方程3x2一x一2=0的两根， 2+23, 2 …4分 3 原式=m2+2 …5分 nin =（m+D2-2m n …6分 1-2×( 2 =9 13 …7分 6 3 “原式的值为-3 (3):a+b=t-5,ab=16 5-t 16 .将a、b看作是方程x2一(t-5)x十 =0的两实数根；…9分 5-t ·4=t-52-4X16 ≥0，且t<5, 。。。。。。。 …10分 5-t .(5-03≥64， …11分 ∴.5-t4, 解得t≤1， t的最大值为1。………I2分 评分细则： ①第(1)问中，1个空1分，共2分： ②第(2问中，能够写出+3 1 ,we 2可分别得1分：写出心+心得1分，写出 2 m+n-2得1分，代数计算正确得1分，共5分： n ③第(3)问中能够写出“方程x2-(t-5)x+ 16 0得1分，写出“a=-3P一4以 9年级数学第7页（共11页） 0”得1分，写出“(5-03≥64”得1分，解出不等式并写出“t的最大值为1”得1分，共4 分。 26.解：(1)把A(-1,0),B(6,0)代入y=x2+bx+c得： 1-b+c=0① …分 36+6b+c=0② 由②-①得：35+7b=0 ∴.b=-5, 将b=一5代入，得c=一6 「b=-5 解得 …3分 c=-6 ∴.抛物线的表达式为y=x2一5x一6； …4分 (2)令x=0,则y=一6， ∴.点C的坐标为(0，一6)， 设直线BC的表达式为y=x十n, 6+=0 把B(6,0)和C(0,一6)代入得： =-6 将n=一6代入①，得m=1 解得 [=1 =-6 .直线BC的表达式为y=x一6，…5分 设点P的坐标为(x,x2一5x一O,过点P作PH∥y轴交BC于点H,如图， 19年级数学第8页（共11页） 26题图1 则点H的坐标为(x,x一6)， .PH=x-6-(x2-5x-O=-x2+6x,…6分 ,PH∥y轴， ∴.∠PHQ=∠OCQ,∠HPQ=∠COQ, ∴.△QPH∽△QOC, :2=PH=1（-x+6N=-2 …7分 000C6 (x-3)2+3 6 当x=3时， 二取得最大值，此时点P的坐标为3，一12： g …8分 (3).OB=OC=6, ∴.∠OBC=∠OCB=45°， ,将抛物线y=x2+bx十c沿射线BC方向平移2W2个单位长度，即向左平移2个单位长度， 向下平移2个单位长度得到抛物线y1, 即-列2-9-2=-14.9分 4 过点P作PE⊥y轴于点E,过点N作NK⊥x轴于点K,连接PM, 设点N的坐标为(a,a2-a-14), 由平移得∠EPM=45°， ∴.∠NAB=∠OPM-45°=∠OPM-∠EPM=∠OPE,…10分 如图2， 9年级数学第9页（共11页） -M 26题图2 ,'tan∠WAB=tan∠OPE, 即12--a-a-19 3-(-1) 解得a=-5(舍去)或a=2, 点N的坐标为(2，一12)：…11分 B 、M 26题图3 如图3， 9年级数学第10页（共11页）