精品解析：河北省沧州市六县一中2026届高三上学期数学试题

高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列中，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知均为单位向量.若，则与夹角的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一正三棱柱的底面边长为6，其内部有一球与其各表面都相切，则该正三棱柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 8. 在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到，根据小概率值为的独立性检验，则（ ） 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 A. 若，则认为“毛色”和“角”无关 B. 若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10% C. 若，则认为“毛色”和“角”无关 D. 若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1% 10. 已知正方体的棱长为1，点满足，其中，则（ ） A. 当时，平面 B. 当时，异面直线与所成的角为 C. 当时， D. 当时，线段的长度最小值为 11. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，为的右支上一点（异于点），的内切圆圆心为.则以下结论正确的是（ ） A. 直线与的斜率之积为4 B. 若，则 C. 以为直径的圆与圆相切 D. 若，则点坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是__________． 13. 在四棱锥中，，，，，，且平面，过点A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，若四边形为菱形，则______． 14. 已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知不等式ax2+3ax+1>0， (1) 若不等式的解集是{x|-4<x<1}，求的值； (2) 若不等式的解集是R, 求的取值范围. 16. 如图，三棱柱中，D，E，F分别为棱，，中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 17. 向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式和对称中心； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围． 18. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，F，T分别是椭圆：的左焦点，右顶点，过F的直线交椭圆C于A，B两点，当轴时，的面积为. （1）求； （2）若斜率为的直线交椭圆C于G，H两点，N为以线段为直径的圆上一点，求的最大值. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，若不等式恒成立，求的值； （3）若有两个不同的零点，（），且恒成立， 求实数k的最小值. 附：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数单调性求出集合，再求出集合，根据交集的定义运算. 【详解】得，则， 又，则. 故选：B 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，结合复数的除法运算化简可得结论. 【详解】因为， 所以， 故选：D. 3. 已知等差数列中，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的项的性质计算即可. 【详解】在等差数列中，由于，故，所以. 故选：D. 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式将已知条件化简，再结合同角三角函数的基本关系式求解即可. 【详解】由，可得，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以. 故选：B. 5. 已知均为单位向量.若，则与夹角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对两边同时平方，再结合单位向量的性质求出，最后根据向量数量积公式求出夹角. 【详解】已知，两边平方可得. 则，所以.  因为均为单位向量，所以. 根据，，. 将其代入可得：. 则.  设与的夹角为，，且，，可得，即. 因为，所以.  则与夹角的大小是. 故选：C. 6. 已知一正三棱柱的底面边长为6，其内部有一球与其各表面都相切，则该正三棱柱的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正三棱柱的性质，结合勾股定理即可求得外接球表面积. 【详解】 边长为6的正三角形的内切圆半径为：， 所以正三棱柱的高为， 则外接球半径， 所以外接球的表面积为：， 故选：D. 7. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性定义计算判断各个选项． 【详解】对于A选项，若的图象关于直线对称，则，而，，二者不相等，故A错误； 对于B选项，若的图象关于点对称，则， 而，故B错误” 而， 所以的图象关于点对称，C选项正确，D选项错误． 故选：C． 8. 在三棱锥中，，，，，且，则二面角的余弦值的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先得的轨迹方程，进一步作二面角的平面角为，结合轨迹的参数方程以及余弦定理、基本不等式即可求解，注意取等条件. 【详解】因为，所以，点的轨迹方程为（椭球）， 又因为，所以点的轨迹方程为，（双曲线的一支） 过点作，而面， 所以面， 设为中点，则二面角为， 所以不妨设， 所以， 所以，令， 所以， 等号成立当且仅当， 所以当且仅当时，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是用定义法作出二面角的平面角，结合轨迹方程设参即可顺利得解. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到，根据小概率值为的独立性检验，则（ ） 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 A. 若，则认为“毛色”和“角”无关 B. 若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10% C. 若，则认为“毛色”和“角”无关 D. 若，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1% 【答案】BC 【解析】 【分析】根据独立性检验的判断原则一一分析即可. 【详解】对AB，若，因为 ，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%，故A 错，B 对； 对CD，若，因为，则认为“毛色”和“角”无关，故C正确，D错误. 故选：BC. 10. 已知正方体的棱长为1，点满足，其中，则（ ） A. 当时，平面 B. 当时，异面直线与所成的角为 C. 当时， D. 当时，线段的长度最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以正方体一个顶点及三条棱建立空间直角坐标系，得到点的坐标.A选项由空间向量证明线面平行；B选项由空间向量的夹角公式求得线线角；C选项由空间向量的数量积为0证明线线垂直；D选项由基本不等式求得的模长的最小值. 【详解】在正方体中，以为坐标原点，分别为如图建立空间直角坐标系. ， ， ∵，∴， A选项：，， ∴，即是平面的法向量， 又∵，∴平面，A选项正确； B选项：设，则，，设异面直线与所成的角为， 则，显然，选项错误； C选项：设，则，即，，则，∴，C选项正确； D选项：，∵，则 即，当且仅当时取等号， ∴，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛，本题是立体几何中的动点产生的线线和线面的关系，所以本题建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标关系求得对称结果即可. 11. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，为的右支上一点（异于点），的内切圆圆心为.则以下结论正确的是（ ） A. 直线与的斜率之积为4 B. 若，则 C. 以为直径的圆与圆相切 D. 若，则点坐标为 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意设点,，,，,，把点，坐标代入双曲线的方程，两式相减得，即可判断A；利用余弦定理，结合；记，则双曲线定义即可判断B，由于，利用勾股定理以及双曲线定义，结合等面积法进而可求内切圆半径，利用切线长的性质即可求解C；画出图形，利用是线段的中点，结合双曲线的性质以及定义，转化推出以为直径的圆与圆的位置关系即可判断D． 【详解】设点,，,，,， 则且，两式相减得，， ，故A错误， 由于，，若， 由余弦定理可得， 解得，由于，故，故B正确， 在双曲线右支上，， 是线段的中点，， 是线段的中点，， ，，， 即圆心距等于两圆的半径之差， 以线段为直径的圆与圆的位置关系是内切，故C正确． 记，则，，， 解得或 （舍去），， 的面积为， 设三角的内切圆半径为，则，所以， 设圆与三边相切于，则 设则 故，解得，所以,故或,D错误， 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线垂直求直线的斜率，再利用点斜式求直线方程. 【详解】因为直线的斜率为，直线与直线垂直， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理得. 故答案为： 13. 在四棱锥中，，，，，，且平面，过点A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，若四边形为菱形，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过作AP的平行线为轴，BC,BA分别为x,y轴，建立空间直角坐标系，求出，，利用求解即可. 【详解】过作AP的平行线为轴，BC,BA分别为x,y轴，如图建系 令，则，，，，， E,F,G分别在PB,PC,PD上，令，， ，， ， ，， ，，， ，， 即. 故答案为： 14. 已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为______． 【答案】18 【解析】 【分析】求出函数的导数，可得的表达式，由此化简推出，结合说明，继而利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由于， 故， 故，， 则 ， 由，得， 由，即，知位于之间， 不妨设，则， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故则的最小值为18， 故答案为：18 【点睛】关键点睛：本题考查了导数的几何意义以及不等式求最值的应用，解答的关键是利用导数的表达式推出，并说明，然后利用基本不等式求最值即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知不等式ax2+3ax+1>0， (1) 若不等式的解集是{x|-4<x<1}，求的值； (2) 若不等式的解集是R, 求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)由题意结合不等式的解集和韦达定理即可求得实数a的值； (2)由题意分类讨论a=0和a≠0两种情况即可确定实数a的取值范围. 【详解】(1)由题意可得：且是一元二次方程的两个实数根， 结合韦达定理有：，据此可得：； (2)当时，不等式为，其解集为R，满足题意， 当时，应满足：，即：，此时， 综上可得，的取值范围是. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 16. 如图，三棱柱中，D，E，F分别为棱，，中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1）在中，D，E分别为棱，中点. 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）在三棱柱中，， 因为E，F分别为，中点， 所以， 所以是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，， 所以平面平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）由已知利用三角形的中位线的性质可证，进而利用线面平行的判定定理即可证明平面. （2）由已知可证是平行四边形，进而证明，利用线面平行的判定证明平面，根据面面平行的判定证明平面平面，根据面面平行的性质即可可证平面. 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查利用面面平行证明面面平行，属于基础题. 17. 向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式和对称中心； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）结合数量积的坐标运算，利用二倍角公式和辅助角公式得，然后利用周期求得，然后利用正弦函数的对称性求解对称中心； （2）先根据三角函数变换法则求得，令，则，将问题转化为在上只有一个解，画出与的图象，数形结合即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以 ， 因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以， 令得，，所以函数的对称中心为； 【小问2详解】 由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数， 再向左平移个单位得， 令，则， 所以， 因为在上只有一个解， 由的图象可得， 或， 所以的取值范围是. 18. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，F，T分别是椭圆：的左焦点，右顶点，过F的直线交椭圆C于A，B两点，当轴时，的面积为. （1）求； （2）若斜率为的直线交椭圆C于G，H两点，N为以线段为直径的圆上一点，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在椭圆方程中，令，解得，得，再根据结合，求出答案； （2）设直线：与椭圆方程联立，由韦达定理求得的中点为，利用弦长公式求得，进而得到以为直径的圆的半径，由，三角换元利用三角函数性质求出最大值. 【小问1详解】 依题意有，当轴时，在椭圆方程中，令，解得，则， ，又．解得，． 【小问2详解】 设直线：，设，， 联立，得， 所以，所以. ，所以的中点为， 所以. 又的轨迹是以为圆心，半径的圆， 所以. 令，， 记， 又，所以，时，. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，若不等式恒成立，求的值； （3）若有两个不同的零点，（），且恒成立， 求实数k的最小值. 附：当时，. 【答案】（1） 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）-4 （3）0. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，分两种情况分别讨论函数的单调性. （2）先确定当时的单调区间和零点，即，，然后使得的两根恰为m，n，结合韦达定理对进行化简求出结果即可. （3）先确定的两个零点之间的关系式，令，代入进行化简，构造新函数令，然后求导判断单调性，即可求得的最小值. 【小问1详解】 由题可知的定义域为，， 当时，，此时单调递减， 当时，令，可得， 当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减. 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，， 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以存在，，使得， 即，. 要使不等式恒成立，必有的两根恰为m，n. 由根与系数的关系可得，， 所以. 【小问3详解】 由（1）可知，时不符合题意， 当时，， 又，当时，， 所以若有两个不同的零点，则，解得，且. 由可得. 由，可得，，所以（*）. 令，则，，代入（*）式可得，则， 所以，，则. 所以. 令，，则. 令，则， 易知当时，， 所以，在上单调递减. 所以，所以，在上单调递增. 由题可知，当时，， 所以k的最小值为0. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $