专题01 二元一次方程组的6种解法（高效培优专项训练）数学新教材华东师大版七年级下册

专题01 二元一次方程组的6种解法 题型一：代入消元法解二元一次方程组（含直接代入与整理后代入） 题型二：加减消元法解二元一次方程组（含直接加减与整理后加减） 题型三：含分数系数的二元一次方程组解法 题型四：含括号的二元一次方程组解法 题型五：整体换元法解复杂二元一次方程组 题型六：消元转化法解三元一次方程组 题型一：代入消元法解二元一次方程组（含直接代入与整理后代入） 方法技巧：若方程已化为（或）形式，直接代入另一个方程；否则先整理化简为该形式，再消元求解，最后回代得另一个解。 1．（25-26八年级上·福建漳州·月考）解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解法．利用代入法解方程组即可． 【详解】解：， 把①代入②，得 解得： 把代入①， 原方程组的解是 2．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法、代入消元法是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用代入消元法求解即可． 【详解】（1）解： 由①②得，， 解得， 将代入①得， 解得； ∴原方程组的解为； （2）解： 将②代入①得，， 解得， 把代入②得， ∴原方程组的解为 3．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法并根据方程特点灵活选用是解答的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把代入，得 ， 解得， 把代入，得 ． 该方程组的解为． （2）解： ，得 ， 解得， 把代入，得 ， 解得， 该方程组的解为． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得，， 方程组的解为； （2）解：， 由得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， 方程组的解为． 5．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 将②代入①得：， 解得：， 将代入②得：， 故原方程组的解为； （2）解：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为． 题型二：加减消元法解二元一次方程组（含直接加减与整理后加减） 方法技巧：系数相等或互为相反数时，直接加减消元；无直接消元条件时，先找最小公倍数变形，使某未知数系数满足条件，再加减消元求解。 6．（25-26八年级上·山东济南·期中）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 由①＋②得，可求出x的值，再把x的值代入①中，即可得出y的值，由此可得出方程组的解． 【详解】解：①＋②得，得， 将代入①，得， ∴原方程组的解是． 7．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了加减法二元一次方程组， 由，，消去x求出y,再代入求出方程组的解即可． 【详解】解：，得， ，得， ，得， 解得． 把代入方程①得， 解得， 因此，是原二元一次方程组的解． 8．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组，用加减消元法，先解得，再代入求即可． 【详解】解：方程得， 解得：， 将代入中，得， 解得， 方程组的解为． 9．（25-26八年级上·广东深圳·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，方程解得，把代入②求得，从而可求出方程组的解． 【详解】解： ，得， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 所以，二元一次方程组的解为． 10．（25-26八年级上·广东深圳·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）（2）用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得， 把代入②得， 解得， 故原方程组的解是：； （2）解：， 得：， 得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 故原方程组的解是：． 题型三：含分数系数的二元一次方程组解法 方法技巧：两边同乘所有分母的最小公倍数，消去分母化为整数系数方程组，再用代入或加减消元法。 11．（2025-2026学年八年级上学期期末检测数学试题）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 化简后用加减消元法求解即可． 【详解】解：将原方程组整理可得 由，得， ∴． 将代入①，得， ∴． 原方程组的解为． 12．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）（1）解方程：； （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程： （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解； （2）利用加减消元法解答即可． 【详解】解：（1）， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得；         （2）， 整理得③， 得④， 得，解得， 把代入②得， 解得， 故原方程组的解是． 13．（2025八年级上·广东深圳·专题练习）解方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是要掌握加减消元法、代入消元法解二元一次方程组． （1）利用代入消元法解方程即可； （2）整理方程①得方程，然后利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②可得，解得：， 将代入①可得， 故方程组的解为：． （2）解：， 整理①得：③， 得：，解得：， 把代入②得，， ∴方程组的解为． 14．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）先整理，再利用加减消元法解答，即可求解； （2）先整理，再利用加减消元法解答，即可求解． 【详解】（1）解：原方程可化为， ，得， ∴， 把代入①，得， ∴， ∴原方程的解为； （2）解：原方程可化为， ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， ∴原方程的解为． 15．（24-25七年级下·山东聊城·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先对方程组中的方程进行化简整理，再用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． （2）解： 原方程组整理化简为：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 题型四：含括号的二元一次方程组解法 方法技巧：先去括号（注意符号变化）、移项合并同类项，化简方程组后，选择合适消元法求解。 16．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）先化简，再用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：，得③ ，得， 解得． 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为：； （2）解：原方程组化简，得 ，得， 解得． 把代入③， 解得， ∴原方程组的解为： 17．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组； （1）用加减消元法先求出的值，再代入求解即可； （2）由第二个方程，用代入消元法得求解即可． 【详解】（1） 解：①得 ③， ②③得 ， 解得， 将代入①得 ， 解得， ． （2） 解：由②得 ③， 将③代入①得， ， 解得， 将代入③得， ， ． 18．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）解方程（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的解法，二元一次方程组的解法，掌握加减消元法的应用是解题关键． （1）先给方程两边同乘公分母去分母，再去括号，然后合并同类项，最后求出的值； （2）先对两边同乘公分母去分母、展开化简，得到二元一次方程组，再通过加减消元法消去一个未知数，求出，再将代入方程组求出，得到方程组的解． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：原方程组可化为， 化简得， 可得，解得， 将代入中，解得， 故方程组的解为． 19．（25-26八年级上·全国·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解：， 得：，解得， 把代入①得：，解得， 则方程组的解为． （2）解：方程组整理得：， 得：，解得， 把代入①得：，解得， 则方程组的解为． 20．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键在于正确掌握消元法． 将原方程组整理为，再利用加减消元法求解，即可解题． 【详解】解：， 整理得， 由得：， 解得， 将代入②中得：， 解得， 方程组的解为． 题型五：整体换元法解复杂二元一次方程组 方法技巧：观察式子特征，设整体（如、），将方程组转化为简单二元一次方程组，求解后还原得、。 21．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的思想． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，即， 把代入③，得， 所以方程组的解为 请你运用小军的“整体代入”法，解方程组 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 将①代入②，利用整体代入法消元求解即可． 【详解】解： 将①代入②，得 ， 即， 解得：， 将代入①，得， 解得． ∴原方程组的解为． 22．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组 由①得，③ 把③代入②，得，解得， 把代入③得，所以这个方程组的解为． 这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可以采用此方法解答，请用这种方法解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 由第一个方程求出的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解． 【详解】解： 由①，得：．③ 把③代入②，得：，解得：． 把代入③，得，解得：． ∴原方程组的解为． 23．（24-25七年级下·河北唐山·月考）阅读材料：解方程组时，可由得 ，然后再把代入，得，求得，再把代入，求得，从而求得原方程组的解为，这种方法被称为“整体代入法”. 请用上述方法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是正确理解“整体代入法”． 由整体代入法和代入消元法，解方程组即可． 【详解】解： 由得， 把代入，得， 解得，， 把代入，得， 解得，， 所以，原方程组的解为． 24．（24-25七年级下·江西上饶·期末）【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常也会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，比如，解方程组，首先将方程②变形得，即，其次把方程①代入③得：，即，最后把代入方程①，得，所以方程组的解为． 【解决问题】 (1)请用“整体代入消元”的方法解方程组； (2)已知x、y满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握“整体代入消元”法是解此题的关键． （1）利用“整体代入消元”的方法解方程组即可； （2）利用“整体代入消元”的方法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由②可得：，即， 把方程①代入③可得：， 解得， 把代入方程①可得：， 解得：， ∴方程组的解为； （2）解：， 由①可得：， 由②可得：，即， 把方程③代入④可得：， 解得． 25．（24-25七年级下·山东日照·期中）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题． 以下是他的解题过程：令． 原方程组化为，解得， 把代入， 得， 解得，所以原方程组的解为． (1)学以致用运用上述方法解下列方程组： (2)拓展提升已知关于的方程组的解为，请直接写出关于、的方程组的解是_________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，整体代入法求解；解题的关键是结合题意理解整体代入法，并正确求解方程组． （1）结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即，即可求解； （2）结合题意，利用整体代入法求解，令，则可化为，且解为，则有，求解即可． 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得：， 把代入，，得， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：在中， 令，， 则可化为， 且解为， 则有， ； 故答案为： 题型六：消元转化法解三元一次方程组 方法技巧：先消去一个系数较简单的未知数（如），将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再用代入或加减消元法求解，最后回代求出第三个未知数。 26．（24-25七年级下·福建泉州·月考）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组是解题的关键．消去y得：，再得，分别代入①和③求解即可． 【详解】解：得：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 将代入③得：， 解得：， 故原方程组的解为． 27．（25-26八年级上·全国·课前预习）解三元一次方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． 利用加减消元法解三元一次方程组即可得． 【详解】解：， 由②③得：，即④， 由①④得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 将，代入②得：， 解得， 则方程组的解为． 28．（24-25六年级下·上海宝山·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】利用加减消元法解答即可． 本题考查了方程组的解法，熟练掌握解法是解题的关键． 【详解】解： 得，， 得，， 得， 解得， 故，， 故方程组的解为． 29．（24-25七年级下·全国·期末）解方程（组）： (1)解方程：； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程（二）——去分母，三元一次方程组的定义及解法等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，求解即可； （2）用加减消元法，先求得，代入其中两个方程中，再用加减消元法继续求解即可． 【详解】（1）解：原式去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 所以； （2）解：， ，得， 所以， 把代入①，得， 把代入，得， 所以， ，得， 所以， 把代入，得， 所以， 所以方程组的解为． 30．（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组的方法，是解题的关键． （1）用加减消元法解三元一次方程组即可； （2）用加减消元法解三元一次方程组即可； （3）用加减消元法解三元一次方程组即可； （4）用加减消元法解三元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：， 把代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 即， 得：， 把④代入⑤得：， 解得：， 把代入④得：， 把，代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （3）解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 把，代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （4）解：， 得：， 解得：， 得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二元一次方程组的6种解法 题型一：代入消元法解二元一次方程组（含直接代入与整理后代入） 题型二：加减消元法解二元一次方程组（含直接加减与整理后加减） 题型三：含分数系数的二元一次方程组解法 题型四：含括号的二元一次方程组解法 题型五：整体换元法解复杂二元一次方程组 题型六：消元转化法解三元一次方程组 题型一：代入消元法解二元一次方程组（含直接代入与整理后代入） 方法技巧：若方程已化为（或）形式，直接代入另一个方程；否则先整理化简为该形式，再消元求解，最后回代得另一个解。 1．（25-26八年级上·福建漳州·月考）解方程组： 2．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）解下列方程组： (1) (2) 3．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）解下列方程组： (1) (2) 4．（25-26八年级上·广东深圳·期末）解方程组： (1)； (2)． 5．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 题型二：加减消元法解二元一次方程组（含直接加减与整理后加减） 方法技巧：系数相等或互为相反数时，直接加减消元；无直接消元条件时，先找最小公倍数变形，使某未知数系数满足条件，再加减消元求解。 6．（25-26八年级上·山东济南·期中）解方程组：． 7．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）解方程组：． 8．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）解方程组：． 9．（25-26八年级上·广东深圳·期末）解方程组： 10．（25-26八年级上·广东深圳·期末）解方程组： (1) (2) 题型三：含分数系数的二元一次方程组解法 方法技巧：两边同乘所有分母的最小公倍数，消去分母化为整数系数方程组，再用代入或加减消元法。 11．（2025-2026学年八年级上学期期末检测数学试题）解方程组： 12．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）（1）解方程：； （2）解方程组： 13．（2025八年级上·广东深圳·专题练习）解方程组： (1)； (2) 14．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）解方程组： (1) (2) 15．（24-25七年级下·山东聊城·期末）解方程组： (1) (2) 题型四：含括号的二元一次方程组解法 方法技巧：先去括号（注意符号变化）、移项合并同类项，化简方程组后，选择合适消元法求解。 16．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）解方程 (1) (2) 17．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）解方程组： (1) (2) 18．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）解方程（组）： (1) (2) 19．（25-26八年级上·全国·期末）解下列方程组： (1)； (2)． 20．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）解方程组：． 题型五：整体换元法解复杂二元一次方程组 方法技巧：观察式子特征，设整体（如、），将方程组转化为简单二元一次方程组，求解后还原得、。 21．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的思想． 解：由①，得，③ 把③代入②，得，即， 把代入③，得， 所以方程组的解为 请你运用小军的“整体代入”法，解方程组 22．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组 由①得，③ 把③代入②，得，解得， 把代入③得，所以这个方程组的解为． 这种方法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可以采用此方法解答，请用这种方法解方程组：． 23．（24-25七年级下·河北唐山·月考）阅读材料：解方程组时，可由得 ，然后再把代入，得，求得，再把代入，求得，从而求得原方程组的解为，这种方法被称为“整体代入法”. 请用上述方法解方程组： 24．（24-25七年级下·江西上饶·期末）【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常也会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，比如，解方程组，首先将方程②变形得，即，其次把方程①代入③得：，即，最后把代入方程①，得，所以方程组的解为． 【解决问题】 (1)请用“整体代入消元”的方法解方程组； (2)已知x、y满足方程组，求的值． 25．（24-25七年级下·山东日照·期中）阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题． 以下是他的解题过程：令． 原方程组化为，解得， 把代入， 得， 解得，所以原方程组的解为． (1)学以致用运用上述方法解下列方程组： (2)拓展提升已知关于的方程组的解为，请直接写出关于、的方程组的解是_________． 题型六：消元转化法解三元一次方程组 方法技巧：先消去一个系数较简单的未知数（如），将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再用代入或加减消元法求解，最后回代求出第三个未知数。 26．（24-25七年级下·福建泉州·月考）解方程组： 27．（25-26八年级上·全国·课前预习）解三元一次方程组： 28．（24-25六年级下·上海宝山·期末）解方程组：． 29．（24-25七年级下·全国·期末）解方程（组）： (1)解方程：； (2)解方程组：． 30．（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $