专题02 二元一次方程组含参数问题（高效培优专项训练）数学新教材华东师大版七年级下册

专题02 二元一次方程组含参数问题 题型一：根据二元一次方程的定义求参数 题型二：根据方程组的具体解求参数 题型三：含参数方程组的错看参数问题（错解还原） 题型四：根据方程组解的特定关系（相反数、和差倍分等）求参数 题型五：根据方程组解的个数（唯一解、无解、无数解）求参数 题型六：含参数方程组与代数式定值/求值结合 题型七：二元一次方程组的整数解问题求参数 题型八：二元一次方程组含参新定义问题 题型一：根据二元一次方程的定义求参数 方法技巧：满足未知数次数为1，x、y系数不同时为0，列不等式（组）求解参数。 1．（2025八年级上·全国·专题练习）若方程是关于，的二元一次方程，则、的值分别是（） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）若是关于x，y的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东青岛·月考）已知方程是关于，的二元一次方程，则 ． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）若是一个二元一次方程，那么的值是 ． 题型二：根据方程组的具体解求参数 方法技巧：将已知解代入方程组，得到关于参数的一元一次方程组，求解即可。 5．（25-26八年级上·陕西宝鸡·月考）若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 6．（25-26八年级上·四川达州·月考）方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（    ） A．1、2 B．1、5 C．5、1 D．2、4 7．（24-25九年级下·江苏无锡·月考）已知是二元一次方程的一个解，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 8．（24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）若是关于的二元一次方程的一个解，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 9．（22-23七年级上·安徽蚌埠·月考）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)甲把错看成了什么？乙把错看成了什么？ (2)求出原方程组的正确解． 10．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）甲、乙两个小马虎，在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程组中的b，得到方程组的解为，则原方程组正确的解是 ． 题型三：含参数方程组的错看参数问题（错解还原） 方法技巧：将错解代入看错参数后的错误方程组，求出未知参数的“中间值”，再代入正确方程组，求解原参数或正确解。 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）小马虎解关于的方程组时，把看错后得到，正确的解是，求的值． 12．（24-25七年级下·四川泸州·期中）小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了①方程中的a，解得，小童看错了②中的b，解得 (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 13．（24-25七年级下·湖南衡阳·月考）小明和小文解一个关于x，y的二元一次方程组小明正确解得，小文因看错了c，解得．已知小文除看错了c外没有出现其他错误，求的值． 14．（25-26八年级上·陕西西安·月考）在解关于、的方程组时，甲同学正确解得，乙同学把看错了，得到的解为，那么的值为 ． 15．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求a，b的值及原方程组的解． 题型四：根据方程组解的特定关系（相反数、和差倍分等）求参数 方法技巧：设解为，按关系（如、）转化代数式，代入方程组列参数方程求解。 16．（25-26八年级上·江西九江·月考）如果二元一次方程的解互为相反数，那么的值是 ． 17．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）若关于的方程组的解满足，则的值为 ． 18．（2025八年级上·四川成都·专题练习）二元一次方程组的解中，x与y的值相等，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）已知关于，的方程组，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级下·全国·课后作业）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，求的值和这个方程组的解． 题型五：根据方程组解的个数（唯一解、无解、无数解）求参数 方法技巧：对，唯一解；无解；无数解（）。 21．（2025八年级上·全国·专题练习）二元一次方程组有可能无解．例如方程组无解，原因是将①×2，得，它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于的方程组无解，求必须满足的条件． 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于的二元一次方程组无解，则的值是 ． 23．（24-25六年级下·上海·期中）规定：形如与的两个关于，的方程互为“共轭二元一次方程”，其中，由这两个方程组成的方程组叫做“共轭方程组”，其中常数，称为“共轭系数”． (1)由方程和它的“共轭二元一次方程”组成的“共轭方程组”的解为 ； (2)若关于，的二元一次方程组是“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数； (3)若关于，的“共轭方程组”有无数多个解，求共轭系数，应满足的条件． 24．（24-25七年级下·河南驻马店·月考）二元一次方程组有可能无解，例如，方程组无解，原因是：将①×2，得，由于，所以它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于，y的方程组，无解，则a，b分别满足的条件是 ． 25．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）已知关于x，y的二元一次方程组：． （1）若该方程组的解中x与y互为相反数，则a的值为 ； （2）若该方程组无解，则a，b需要满足的条件为 ． 题型六：含参数方程组与代数式定值/求值结合 方法技巧：用参数表示，代入目标代数式，根据定值条件列方程求参数。 26．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知是关于、的二元一次方程组． (1)求方程组的解（用含的式子表示）； (2)若方程组的解也满足方程，求的值； (3)若无论取何值，代数式的值都是定值，求、满足的条件，并求出这个定值． 27．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）若关于，的二元一次方程组的解为，则（   ） A．2 B． C．0 D． 28．（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知是关于、的二元一次方程组． (1)①当时，该方程组的解为_________； ②该方程组的解为___________（用含的式子表示）． (2)若方程组的解也满足方程，求的值； (3)若无论取何值，代数式的值都是定值，求、满足的条件，并求出这个定值． 29．（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知与的值互为相反数，则的值为 ． 题型七：二元一次方程组的整数解问题求参数 方法技巧：用参数表示，结合整数解的整除性，枚举参数取值并检验有效性。 30．（23-24七年级下·浙江温州·期末）已知关于的方程组无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为 ． 31．（24-25七年级下·浙江·月考）关于x，y的方程组，下列说法正确的是 （填序号）． ①x，y，m的和为定值； ②当x为整数时，m和y也为整数； ③当y为整数时，m和x也为整数． 32．（25-26八年级上·全国·假期作业）已知关于x、y的方程组：，求出所有整数a，使得方程组有整数解（即x、y都是整数），并求出所有的整数解． 33．（24-25七年级下·重庆·期中）已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则符合条件的整数的值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．8 34．（2024八年级上·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组（为实数）． （1） （用含的式子表示）； （2）若方程组的解也是方程（为整数，且不等于0或-6）的解，也是整数，则的最大值为 ． 35．（25-26七年级上·四川绵阳·月考）已知关于的方程组的解是整数，是正整数，那么的值是 ． 题型八：二元一次方程组含参新定义问题 方法技巧：理解新定义（如“k解方程组”“和谐方程组”），转化为解的个数或关系条件，按常规含参问题求解。 36．（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． （1）当时， ． （2）若，则 ， ． 37．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）对于有理数x，y定义新运算：，其中a，b是常数．已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 38．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）定义：对于任意实数，，规定新的一种运算规则：，， (1)当，时，，，求，的值； (2)若关于，的方程组，（为常数）的解也满足关于，的方程，求的值． 39．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）定义：关于x，y的二元一次方程（其中a，b，c互不相同，且均不为0）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为____________； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 40．（22-23八年级下·重庆巴南·期末）定义：对任意一个三位数，如果满足百位数字与十位数字相同，个位数字与十位数字不相同，且都不为零，那么称这个三位数为“追全数”．将一个“追全数”的各个数位上的数字交换后得到新的三位数，把所有的新三位数的和与111的商记为．例如：，为“追全数”，将各个数位上的数字交换后得到新的三位数有121、211、112，所有新三位数的和为，和与111的商为，所以．根据以上定义，数是两个三位数，它们都是“追全数”，的个位数是1，的个位数字是3，．规定，当的和是13的倍数时，则的最小值为 ． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二元一次方程组含参数问题 题型一：根据二元一次方程的定义求参数 题型二：根据方程组的具体解求参数 题型三：含参数方程组的错看参数问题（错解还原） 题型四：根据方程组解的特定关系（相反数、和差倍分等）求参数 题型五：根据方程组解的个数（唯一解、无解、无数解）求参数 题型六：含参数方程组与代数式定值/求值结合 题型七：二元一次方程组的整数解问题求参数 题型八：二元一次方程组含参新定义问题 题型一：根据二元一次方程的定义求参数 方法技巧：满足未知数次数为1，x、y系数不同时为0，列不等式（组）求解参数。 1．（2025八年级上·全国·专题练习）若方程是关于，的二元一次方程，则、的值分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握“二元一次方程需满足含两个未知数、未知数的次数均为1且未知数的系数不为0”是解题的关键．根据二元一次方程的定义，分析未知数的次数和系数的限制条件，进而求解、的值． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴的系数，且的次数， 解得， ∴，， 故选：C． 2．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）若是关于x，y的二元一次方程，则满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义， 根据二元一次方程的定义，方程中两个未知数的系数都不能为零，但本题中y的系数已为，故只需x的系数即可保证为二元一次方程． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程，且y的系数， ∴x的系数， 解得. 故选：D． 3．（25-26九年级上·山东青岛·月考）已知方程是关于，的二元一次方程，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，代数式求值，只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此列式求出a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）若是一个二元一次方程，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程． 根据二元一次方程的定义，方程中未知数x和y的次数都必须为1，且y的系数不能为零． 【详解】解：∵是一个二元一次方程， ∴且， ∴且， ∴． 故答案为：． 题型二：根据方程组的具体解求参数 方法技巧：将已知解代入方程组，得到关于参数的一元一次方程组，求解即可。 5．（25-26八年级上·陕西宝鸡·月考）若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】将方程解代入方程即可． 本题考查二元一次方程的解，将解代入方程是解题关键． 【详解】解：∵ 是方程 的解， ∴ 代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选：． 6．（25-26八年级上·四川达州·月考）方程组的解为，则被遮盖的前后两个数分别为（    ） A．1、2 B．1、5 C．5、1 D．2、4 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解．将代入方程，即可求得被遮盖的的数值；将方程组的解代入，即可求得该处被遮盖的数值． 【详解】解：将代入方程，得 ． 解得：． 所以，方程组的解为． 将代入，得 ． 所以，被遮盖的前后两个数分别为5、1． 故选：C． 7．（24-25九年级下·江苏无锡·月考）已知是二元一次方程的一个解，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把代入方程计算即可求出a的值． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得：， 故选：B． 8．（24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）若是关于的二元一次方程的一个解，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程解的概念及代入法的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．将已知解代入二元一次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：将，代入方程，得：， 化简得：， 解得：， 故选D． 9．（22-23七年级上·安徽蚌埠·月考）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)甲把错看成了什么？乙把错看成了什么？ (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把错看成了1，乙把错看成了1 (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题，熟练掌握二元一次方程组的解和解二元一次方程组的方法，是解题的关键： （1）分别把两组解代入方程组中，进行求解即可； （2）根据（1）得到正确的方程组，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：； 故甲把错看成了1； 把代入，得：， 解得：， 故乙把错看成了1； （2）解：由（1）可知，， ∴原方程组为：， 解得：． 10．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）甲、乙两个小马虎，在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程组中的b，得到方程组的解为，则原方程组正确的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，把甲的解代入第二个方程、乙的解代入第一个方程求出的值，确定出方程组，求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 把代入原方程得， 解得： ． 故答案为：． 题型三：含参数方程组的错看参数问题（错解还原） 方法技巧：将错解代入看错参数后的错误方程组，求出未知参数的“中间值”，再代入正确方程组，求解原参数或正确解。 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）小马虎解关于的方程组时，把看错后得到，正确的解是，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查代数式求值，涉及二元一次方程组的解及错解问题，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 先由方程组的正确解代入得；再将代入，把代入，联立二元一次方程组求解即可得到，代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：关于的方程组正确的解是， 把代入得， 解得； 小马虎解关于的方程组看错了第二个方程中的，但第一个方程正确， 使成立， 把代入得，①； 关于的方程组正确的解是， 使成立， 把代入得，②； 联立， 解得， 则． 12．（24-25七年级下·四川泸州·期中）小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了①方程中的a，解得，小童看错了②中的b，解得 (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意加减消元法的应用． （1）将小鑫的解代入②，小童的解代入①得到关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值； （2）应用加减消元法，求出原方程组的正确解是多少即可． 【详解】（1）根据题意，可得 ，解得； （2）由上题，得， ①②，得，即， 把代入②，可得：， 解得， 原方程组的正确解是 13．（24-25七年级下·湖南衡阳·月考）小明和小文解一个关于x，y的二元一次方程组小明正确解得，小文因看错了c，解得．已知小文除看错了c外没有出现其他错误，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 把代入方程组第一个方程求出c的值，将x与y的两对值代入第二个方程求出的值，即可求出的值． 【详解】解：把代入， 得， 解得． 把代入， 得， 即， 所以． 14．（25-26八年级上·陕西西安·月考）在解关于、的方程组时，甲同学正确解得，乙同学把看错了，得到的解为，那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可． 【详解】解：将甲同学的解代入方程组：得 解得： 将乙同学的解代入第一个方程得 联立①和③解方程组： 解得： 因此 故答案为：． 15．（25-26八年级上·陕西西安·月考）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求a，b的值及原方程组的解． 【答案】，，． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将甲得到的方程组的解代入第二个方程求出b的值，将乙得到方程组的解代入第一个方程求出a的值，确定出正确的方程组，求出方程组的解即可得到原方程组的解． 【详解】解：将代入②，得，解得：； 将代入①，得，解得：； 把，代入方程组，得 ，得， 解得； 将代入①，得， 解得：； 则原方程组的解为． 题型四：根据方程组解的特定关系（相反数、和差倍分等）求参数 方法技巧：设解为，按关系（如、）转化代数式，代入方程组列参数方程求解。 16．（25-26八年级上·江西九江·月考）如果二元一次方程的解互为相反数，那么的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、互为相反数的性质，因为x和y的值互为相反数，所以有，将方程组的两个方程相加得，则，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二元一次方程的解互为相反数， ∴， 得， 即， ∴， 解得：； 故答案为：． 17．（25-26七年级上·贵州铜仁·月考）若关于的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，将方程组中的两个方程相减，得到关于的表达式，再根据已知条件建立方程求解即可． 【详解】解：， 得： ， ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：3． 18．（2025八年级上·四川成都·专题练习）二元一次方程组的解中，x与y的值相等，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，根据x与y的值相等可得方程，解方程可得方程组的解，再把方程组的解代入方程中求出a的值即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解中，x与y的值相等， ∴， 解得， ∴， 把代入方程中得， 解得， 故选：B． 19．（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）已知关于，的方程组，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 先求出，进而根据求解即可． 【详解】解：， 得， ∵， ∴， 解得：． 故选：C． 20．（25-26七年级下·全国·课后作业）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，求的值和这个方程组的解． 【答案】    【分析】本题考查二元一次方程组的解与方程的综合应用，掌握先解含参数的方程组，再代入另一方程求参数的方法是解题的关键． 先通过加减消元法解含参数的方程组，用表示出和；再将这个解代入方程，得到关于的一元一次方程，求出后回代即可得到方程组的解． 【详解】解： ①＋②，得，解得． ①－②，得，解得． ∴方程组的解为 将代入中，得， 解得， 方程组的解为． 题型五：根据方程组解的个数（唯一解、无解、无数解）求参数 方法技巧：对，唯一解；无解；无数解（）。 21．（2025八年级上·全国·专题练习）二元一次方程组有可能无解．例如方程组无解，原因是将①×2，得，它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于的方程组无解，求必须满足的条件． 【答案】且 【分析】本题考查二元一次方程组的求解．根据题意可知，方程组无解，则方程组内左边相同，右边不同，据此即可解答． 【详解】解：， ，得， 由题意知，且，解得且． 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知关于的二元一次方程组无解，则的值是 ． 【答案】-6 【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法的运用是解题的关键． 对于二元一次方程组，当时，原方程组无解． 【详解】解：二元一次方程组无解， ． 故答案为： ． 23．（24-25六年级下·上海·期中）规定：形如与的两个关于，的方程互为“共轭二元一次方程”，其中，由这两个方程组成的方程组叫做“共轭方程组”，其中常数，称为“共轭系数”． (1)由方程和它的“共轭二元一次方程”组成的“共轭方程组”的解为 ； (2)若关于，的二元一次方程组是“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数； (3)若关于，的“共轭方程组”有无数多个解，求共轭系数，应满足的条件． 【答案】(1) (2)共轭系数为， (3)，可取任意数或， 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，注意计算的准确性即可． （1）由题意得：方程的“共轭二元一次方程”为：，求解方程组即可； （2）由题意得：，据此即可求解； （3）由消去得③，由题意得方程③有无数个解，推出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：方程的“共轭二元一次方程”为：， 解方程组得：， 故答案为：； （2）解：由题意得：，解得， 故， 故共轭系数为，； （3）解：由消去得③， 原方程组有无数解，则方程③有无数个解，则， 则或． 24．（24-25七年级下·河南驻马店·月考）二元一次方程组有可能无解，例如，方程组无解，原因是：将①×2，得，由于，所以它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于，y的方程组，无解，则a，b分别满足的条件是 ． 【答案】 且． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解题意是解题的关键． 根据题意，方程组两边系数相等，得出矛盾，即可求解． 【详解】解：∵关于，的方程组无解， ，得， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 25．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）已知关于x，y的二元一次方程组：． （1）若该方程组的解中x与y互为相反数，则a的值为 ； （2）若该方程组无解，则a，b需要满足的条件为 ． 【答案】（1）6；（2）且． 【分析】本题考查二元一次方程组的解，掌握好解的意义与方程组无解的条件是解题关键． （1）由x与y互为相反数得，，代入第一个方程求出a的值； （2）根据二元一次方程组无解的条件，即两方程中的系数之比等于的系数之比，但不等于常数项之比，列出关系式求解． 【详解】解：（1）∵x与y互为相反数， ∴， 代入第一个方程得，， ∴； （2）， 当方程组无解时，未知数的系数对应成比例，但不与常数项成比例， 即， 由得，， 由得，， 解得， 故需要满足的条件为且。 故答案为：（1）6；（2）且． 题型六：含参数方程组与代数式定值/求值结合 方法技巧：用参数表示，代入目标代数式，根据定值条件列方程求参数。 26．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知是关于、的二元一次方程组． (1)求方程组的解（用含的式子表示）； (2)若方程组的解也满足方程，求的值； (3)若无论取何值，代数式的值都是定值，求、满足的条件，并求出这个定值． 【答案】(1)； (2)； (3)7 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把m看做已知数，利用加减消元法求出解即可； （2）把方程组的解代入方程计算即可求出m的值； （3）将代数式变形为，根据题意得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得， 将代入②得：， 解得， ∴方程组的解为：； （2）解：∵方程组的解也满足方程， ∴， 解得； （3）解：∵ ， ∵是个定值， ∴， ∴， ∴ ． ∴这个定值为7． 27．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）若关于，的二元一次方程组的解为，则（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，理解方程组的解的定义是解题的关键． 将方程组的解代入原方程组，求出a和b的值，再计算即可解答． 【详解】∵ 方程组的解为 ， ， 代入第一个方程： ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． 代入第二个方程：， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． ∴ ． 故选：B． 28．（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知是关于、的二元一次方程组． (1)①当时，该方程组的解为_________； ②该方程组的解为___________（用含的式子表示）． (2)若方程组的解也满足方程，求的值； (3)若无论取何值，代数式的值都是定值，求、满足的条件，并求出这个定值． 【答案】(1)①；② (2) (3)， 【分析】本题考查了解二元一次方程组，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）①当时，该方程组为，再利用加减消元法解二元一次方程组即可；②利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）由题意可得，计算即可得解； （3）由（1）可得，求出，结合无论取何值，代数式的值都是定值，即可得出，从而得解． 【详解】（1）解：①当时，该方程组为， 由可得：， 解得， 将代入②可得， 解得， ∴当时，该方程组的解为； ②， 由可得：， 解得， 将代入②可得， ∴， ∴原方程组的解为； （2）解：∵方程组的解也满足方程， ∴， 解得：； （3）解：由（1）可得， ∴ ， ∵无论取何值，代数式的值都是定值， ∴， ∴． 29．（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知与的值互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的应用，非负数的性质，解二元一次方程组，建立二元一次方程组是解题的关键． 根据非负数的性质，由互为相反数可得平方项与绝对值之和为零，从而建立二元一次方程组，解方程组求出x和y的值，再计算的值． 【详解】∵ 与 互为相反数， ∴ ， 由于平方项和绝对值均为非负数， 因此， 解方程组得， ∴ ． 故答案为：0． 题型七：二元一次方程组的整数解问题求参数 方法技巧：用参数表示，结合整数解的整除性，枚举参数取值并检验有效性。 30．（23-24七年级下·浙江温州·期末）已知关于的方程组无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解含参数的二元一次方程组．掌握加减消元法是解题的关键． ，,得,即得解． 【详解】解：∵， ∴,得． ∴无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为11． 故答案为：11． 31．（24-25七年级下·浙江·月考）关于x，y的方程组，下列说法正确的是 （填序号）． ①x，y，m的和为定值； ②当x为整数时，m和y也为整数； ③当y为整数时，m和x也为整数． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤． 先按照解二元一次方程组的一般步骤，解方程组，求出x，y，再求出，从而判断①的正误；根据①中求出的，x为整数，判断是否为整数，再判断m，y是否为整数，从而判断②的正误；根据①中求出的，y为整数，判断m，x是否为整数，从而判断③的正误即可． 【详解】解：， ①＋②得：， ， 把代入①得： ， ， ， ①的说法正确； ，x为整数， 为整数， 当时，也是整数， 当x为整数时，m和y不一定为整数， ②的说法错误； ，y为整数， 为整数， 为整数， ， 也是整数， ③的说法正确； 综上可知：说法正确的是①③， 故答案为：①③． 32．（25-26八年级上·全国·假期作业）已知关于x、y的方程组：，求出所有整数a，使得方程组有整数解（即x、y都是整数），并求出所有的整数解． 【答案】 【分析】本题考查了含有参数的二元一次方程组特殊解法．先解方程组，求出用a表示的x、y的值，由题意，可以整除，根据整除关系得到的因数为,，再尝试求得整数a，使x、y都是整数． 【详解】解：解原方程组得，， 由于 则可以整除，即可以整除， 故可知，， 则的因数为, 当时，舍去， 当时，舍去， 当时，舍去， 当时，， 把代入解得， ∴原方程组的整数解为． 33．（24-25七年级下·重庆·期中）已知关于的二元一次方程组的解均为整数，则符合条件的整数的值有（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法，代入消元法的计算是关键． 运用加减消元法，代入消元法解二元一次方程组，再根据解均为整数列式判定即可． 【详解】解：， 得，， 整理得，， 把代入②得，， 解得，， ∴原方程组的解为， ∵方程组的解均为整数， ∴的值可为， ∴符合条件的整数的值有个， 故选：D ． 34．（2024八年级上·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组（为实数）． （1） （用含的式子表示）； （2）若方程组的解也是方程（为整数，且不等于0或-6）的解，也是整数，则的最大值为 ． 【答案】 / 10 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，根据二元一次方程组的解的情况确定参数的取值及分式求值，正确地求得二元一次方程组的解是解决问题的关键． （1）两式相加化简即可得出结果； （2）解方程组，用用含p的式子表示的解，再代入，求出，根据题意即可解答． 【详解】解：（1）， 两式相加得：， ， 故答案为：； （2）， ①②得：，解得：， 将代入②得：，解得：， 方程组的解也是方程的解， ， ， q为整数，且q不等于0或， 或， p是整数， 时，有最大整数值，则有最大整数值， ， 故答案为：． 35．（25-26七年级上·四川绵阳·月考）已知关于的方程组的解是整数，是正整数，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 通过消元法求出的表达式，根据解为整数及为正整数，确定是的约数，从而求出的值。 【详解】解：解方程组：， 得：， 得：， 即， ∴， ∵解为整数， ∴为整数，是5的约数， 即或， 解得：；；；； 又∵是正整数， ∴， 当时，， 将代入得， 解得：， ∴均为整数，符合条件， 故答案为：． 题型八：二元一次方程组含参新定义问题 方法技巧：理解新定义（如“k解方程组”“和谐方程组”），转化为解的个数或关系条件，按常规含参问题求解。 36．（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：数对经过运算可以得到数对，记作，其中（为常数）．如当时，． （1）当时， ． （2）若，则 ， ． 【答案】 1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． （1）当时，分别求出和即可得出答案； （2）根据新定义的运算列出方程组即可求出，的值． 【详解】解：（1）当时， ， ， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：， 故，， 故答案为：1；． 37．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）对于有理数x，y定义新运算：，其中a，b是常数．已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）依题意得， ， ，即， 解得． 38．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）定义：对于任意实数，，规定新的一种运算规则：，， (1)当，时，，，求，的值； (2)若关于，的方程组，（为常数）的解也满足关于，的方程，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得出，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． （2）先理解题意，得出，则，又因为，得，整理得，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：由题意可得方程组， 得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：由题意可得方程组 可得， ， ， ， ， ， ， ∴， 的值为． 39．（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）定义：关于x，y的二元一次方程（其中a，b，c互不相同，且均不为0）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为____________； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，理解题意并列出正确的方程组是解题的关键． （1）根据题意写出方程的“变更方程”后组成方程组，解方程组即可； （2）根据题意写出方程 “变更方程”，解得的值，再根据求得的值，将其代入中得到，，的关系，然后将其代入中计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得方程的“变更方程”为， ∴联立方程组，得 解得 故答案为：； （2）解：根据题意可得的“变更方程”为， ∴联立方程组，得 解得． 即 是二元一次方程的一个解， 即， 40．（22-23八年级下·重庆巴南·期末）定义：对任意一个三位数，如果满足百位数字与十位数字相同，个位数字与十位数字不相同，且都不为零，那么称这个三位数为“追全数”．将一个“追全数”的各个数位上的数字交换后得到新的三位数，把所有的新三位数的和与111的商记为．例如：，为“追全数”，将各个数位上的数字交换后得到新的三位数有121、211、112，所有新三位数的和为，和与111的商为，所以．根据以上定义，数是两个三位数，它们都是“追全数”，的个位数是1，的个位数字是3，．规定，当的和是13的倍数时，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设p百位数字为x，q百位数字为y，分别计算出，，根据的和是13的倍数，结合题中限制条件， ，，确定x、y的值，进而求得p、q、k，比较大小可求解． 【详解】解：设p百位数字为x，q百位数字为y， 则，， 将p各个数位上的数字交换后得到新的三位数为，，， ∴， 将q各个数位上的数字交换后得到新的三位数为，，， ∴， ∴， ∵的和是13的倍数时，， ∴当时，，与x、y为整数矛盾，舍去； 当时，， 根据题意，，，， ∴当时，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则， 当时，与x、y为整数矛盾，舍去， 综上，k的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查数与式新定义问题，理解题中定义及运算法则，借助二元一次方程求解第（2）问是解答的关键． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $