第四章指数函数与对数函数基础过关卷-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数-基础过关卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（25-26高一上·湖北武汉·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算、分式不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】先分别求出集合，再根据交集的定义即可求解. 【详解】， ，则． 故选：B． 2.（25-26高一上·云南普洱·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据题意得，解出即可求解. 【详解】由题意得， 所以， 故选：A. 3. （25-26高一上·江苏盐城·期末）已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、一次函数的图像和性质、判断指数型函数的图象形状 【分析】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线，根据选项由一次函数图象性质及指数型函数图象性质依次判断即可. 【详解】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线， 而为指数型函数， 对于A，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递增，故A符合题意； 对于B，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减，故B符合题意； 对于C，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减其图象与的图象关于轴对称，故C符合题意； 对于D，由图象结合一次函数图象性质可知，， 而恒成立，所以图象在轴上方，故D不符合题意. 故选：D 4.（25-26高一上·江苏南通·月考）已知条件，条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由指数函数的单调性解不等式 【分析】结合一元二次不等式及指数函数性质求解，进行充分、必要条件的判断. 【详解】由得，解得. 由，因为指数函数在上单调递增， 所以，解得或. 此时为，为或， 当成立时，一定成立； 当成立时，不一定成立. 所以是的充分不必要条件. 故选：. 5.（25-26高一上·天津和平·月考）下列函数中，既是偶函数，又在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数奇偶性的定义及单调性的判断方法即可判断. 【详解】对于A，二次函数关于轴对称，所以函数为偶函数， 在上单调递减，故A错误； 对于B，函数的定义域为， ，，所以函数为偶函数， 函数在上单调递增，当时，， 函数在上单调递增， 根据复合函数的单调性，函数在上单调递增，故B正确； 对于C，函数的定义域为， ，， 即，所以函数为奇函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为， ，， 所以函数为奇函数，故D错误. 故选：B. 6.（25-26高一上·山西运城·月考）函数在上单调递减，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数 【分析】根据复合函数单调性的判断方法，转化为内层函数在上单调递增，且，即可求解. 【详解】函数由，构成， 外层函数在是减函数， 则由函数在上单调递减， 则内层函数在上单调递增，且函数值大于0， 所以，得， 所以 取值范围是. 故选：C 7.（25-26高一上·甘肃张掖·月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断指数函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据二次函数以及指数函数的单调性，利用分段函数的单调性，建立不等式组，可得答案. 【详解】由二次函数的图像开口向下，对称轴为直线， 则函数在上单调递增，在上单调递减. 由指数函数易知在上单调递增. 由题意可得，即，解得. 故选：D. 8.（25-26高一上·北京·月考）已知函数，函数．若有四个不同的零点，，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、对数函数图象的应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】画出分段函数的图象，确定零点的位置和关系式，进而求出结果. 【详解】令，则，由于函数， 所以画出的图象，如图所示，结合图象可知，即. 不妨设， 则，由得，又， 所以，则. 根据对勾函数在上单调递增，可知在上单调递增， 所以. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9.（25-26高一上·广西南宁·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．当时， C．的解集为 D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】求函数值、求对数函数的定义域、求对数函数在区间上的值域、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据对数函数的图象性质逐项解决即可. 【详解】对于A：函数的定义域为， 故A正确； 对于B：函数在单调递减，所以当时， 函数，故B正确； 对于C：函数在单调递减，， 即，解得， 故C错误； 对于D：， 故D正确. 故选：ABD 10.（25-26高一上·江苏淮安·月考）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用、比较对数式的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据已知条件以及指数函数的单调性判断选项A即可；选项B利用幂函数的性质判断即可；利用对数函数的单调性判断C、D选项即可. 【详解】因为，所以函数在上单调递减， 又，所以，故A选项不正确， 因为幂函数在上单调递增， 且，所以，故B选项正确； 因为，所以函数在上单调递减， 且，所以，故C选项正确； 因为，所以函数在上单调递减， 且，所以，即，故D选项正确； 故选：BCD. 11.（25-26高三上·湖南长沙·月考）设，，，则有（    ） A．的定义域是 B．是偶函数 C．当时，在上单调递减 D．当时，恒成立 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性、由对数函数的单调性解不等式 【分析】利用对数的性质求函数的定义域判断A，由奇偶性的定义判断函数的奇偶性判断B，由对数复合函数的单调性，结合参数范围判断的单调性判断CD. 【详解】由题设，则，定义域为，A错， 由， 所以为偶函数，B对， 由题设，定义域为， 由，则在定义域上单调递减，在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，C对， 当时，令，则在定义域上单调递增， 原不等式等价于. 根据单调性，此不等式成立的条件为，即. 因为题设条件为，且对于任意实数都有，所以恒成立. 因此，只要的取值能使函数有定义，该不等式就成立.故D正确 故选：BCD 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）已知实数且，则的图象恒过的定点为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】对数型函数图象过定点问题 【分析】根据给定条件，利用对数函数图象恒过定点求解即得. 【详解】对任意且，恒成立， 所以的图象恒过定点. 故答案为： 13.（2017高一·全国·课后作业）的值域是 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求指数型复合函数的值域 【分析】首先求的范围，再根据指数函数的性质，求函数的值域. 【详解】，， 所以， 所以函数的值域为. 故答案为： 14.（25-26高一上·甘肃·期末）若，且，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】利用指数对数的互化结合对数的运算求解即可. 【详解】若，则，，由， 可得：， 解得：; 故答案为： 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．(本小题13分） （25-26高一上·江西九江·期末）（1）计算：； （2）已知，若，且，求ab. 【答案】（1）；（2） 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】（1）根据指数幂的运算求解； （2）由结合换底公式可得，结合，运算得解. 【详解】（1）         （2）由，且， 设，则，解得或． 又，则，所以，即，①         又，从而，则，②         由①②解得，所以. 16．(本小题15分） （25-26高一上·广西南宁·月考）已知函数满足. (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数的值域. 【答案】(1) (2)单调递减区间为 ，无增区间. (3) 【难度】0.85 【知识点】根据函数是指数函数求参数、求指数型复合函数的值域、判断指数型复合函数的单调性 【分析】（1）根据代入计算即可； （2）依题意可得，再根据指数函数的性质判断即可； （3）根据指数函数的值域即可求解. 【详解】（1）由题可得，因为且，所以； （2）函数为复合函数， 令，在上单调递增， ，在上单调递减，所以函数在上单调递减， 所以函数的单调递减区间为 ，无增区间. （3）因为，则，所以，所以函数的值域为. 17．(本小题15分） （25-26高一上·广西南宁·期末）已知函数，，（，且）． (1)记，判断的奇偶性并证明； (2)求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)为偶函数，证明过程见解析. (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据偶函数的定义判断即可. （2）结合函数单调性及的取值范围求解即可. 【详解】（1）为偶函数. 证明：，定义域为；，定义域为. ，定义域为，定义域关于原点对称. 因为，所以， 所以为偶函数. （2），定义域为；，定义域为. 由可得，. 当时，因为对数函数在定义域上单调递增， 所以，解得. 当时，因为对数函数在定义域上单调递减， 所以，解得. 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 18．(本小题17分） （25-26高一上·广西南宁·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．六堡茶历史悠久，兴于唐宋，盛于明清，品质以“红、浓、陈、醇”四绝著称．已知某款六堡茶用的水冲泡，当茶水温度降至时饮用，口感最佳．某高一学习兴趣小组为探究在室温条件下用的水冲泡，茶水达到最佳饮用口感时的放置时间．在实验室通过做实验，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度与时间的部分数据如下表所示： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型： ①，②（，），③，（，），请根据上表中的数据，选出最符合实际的函数模型并说明理由，利用前2分钟的3组数据求出相应的函数解析式； (2)根据（1）中所求函数模型： （ⅰ）计算本次实验冲泡的六堡茶达到最佳饮用口感时所需的放置时间； （ⅱ）当茶水温度接近室温时将趋于稳定，请推测实验室的室温．（参考数据：，） 【答案】(1)选模型②，理由见解析，解析式为 (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）由表格数据可知函数单调性及变化快慢，选模型②，把前3组数据代入求出，，的值，即可得到函数解析式； （2）（ⅰ）令，结合对数的运算性质求出的值即可；利用指数函数的性质求解. 【详解】（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③，（，）为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得， 所以； （2）（ⅰ）令，则， 所以， 即刚泡好的六堡茶达到最佳饮用口感的放置时间为． （ⅱ）因为当趋于无穷大时，无限接近于， 所以推测实验室室温为. 19．(本小题17分）（25-26高一上·浙江金华·月考）已知函数． (1)若，求在区间上的值域； (2)若，设，若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求指数型复合函数的值域、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用换元法设，结合指数函数和二次函数的单调性可得； （2）先由指数幂的运算得到为奇函数，再判断其单调性，然后利用奇函数的性质结合二次函数的单调性可得. 【详解】（1）根据题意，若，， 设，由于，则， 则，易得，即函数的值域为. （2）根据题意，若，，                      易得的定义域为，且，则为奇函数                 为上的增函数，为上的减函数，故在上为增函数                     故                         变形可得：，即恒成立                     又由，必有，即的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数-基础过关卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2.函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3.已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 4.已知条件，条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5.下列函数中，既是偶函数，又在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 6.函数在上单调递减，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 7.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8.已知函数，函数．若有四个不同的零点，，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9.已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．当时， C．的解集为 D． 10.已知，则（ ） A． B． C． D． 11.设，，，则有（    ） A．的定义域是 B．是偶函数 C．当时，在上单调递减 D．当时，恒成立 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知实数且，则的图象恒过的定点为 ． 13.的值域是 14.若，且，则 ． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．(本小题13分） （1）计算：； （2）已知，若，且，求ab.. 16．(本小题15分） 已知函数满足. (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数的值域. 17．(本小题15分） 已知函数，，（，且）． (1)记，判断的奇偶性并证明； (2)求关于x的不等式的解集． 18．(本小题17分） 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．六堡茶历史悠久，兴于唐宋，盛于明清，品质以“红、浓、陈、醇”四绝著称．已知某款六堡茶用的水冲泡，当茶水温度降至时饮用，口感最佳．某高一学习兴趣小组为探究在室温条件下用的水冲泡，茶水达到最佳饮用口感时的放置时间．在实验室通过做实验，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度与时间的部分数据如下表所示： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型： ①，②（，），③，（，），请根据上表中的数据，选出最符合实际的函数模型并说明理由，利用前2分钟的3组数据求出相应的函数解析式； (2)根据（1）中所求函数模型： （ⅰ）计算本次实验冲泡的六堡茶达到最佳饮用口感时所需的放置时间； （ⅱ）当茶水温度接近室温时将趋于稳定，请推测实验室的室温．（参考数据：，） 19． (本小题17分） 已知函数． (1)若，求在区间上的值域； (2)若，设，若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $