第四章 指数函数与对数函数全章综合测试卷（基础篇）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

第四章 指数函数与对数函数全章综合测试卷（基础篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高一上·北京·期中）计算的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．25 3．（5分）（25-26高一上·上海·期中）函数（且）的图像可能是（　　） A．   B．   C．   D．   4．（5分）（2025高一·全国·专题练习）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 5．（5分）（25-26高一上·江苏宿迁·期中）已知，则用可表示为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高一上·福建厦门·期中）已知，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高一上·江苏无锡·期中）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（25-26高三上·安徽·阶段练习）函数，若有2个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·江苏连云港·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D．若，，则 10．（6分）（24-25高一上·陕西西安·期末）函数的零点所在区间不可能是（   ） A． B． C． D． 11．（6分）（25-26高一上·陕西西安·期中）已知是奇函数，则（    ） A． B．在上单调递增 C．的值域为 D．的解集为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·北京·期中） . 13．（5分）（24-25高一上·北京·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.若茶水原来的温度是，经过分钟后的温度是，满足，其中表示室温，是由物体和空气接触状况而定的常数.在室温恒为的房间中，已知一杯的茶水，测得温度降到50℃需要10分钟，则这杯茶水还需要继续放置 分钟，茶水温度才降至35℃达到最佳饮用口感. 14．（5分）（25-26高三上·山西·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减，则不等式的解集为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·江苏淮安·月考）求值： (1)计算：； (2)已知，求的值． 16．（15分）（25-26高一上·江苏泰州·期中）求下列各式的值： (1)已知，求的值； (2)； (3)若，，用，表示. 17．（15分）（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的图象过原点，且． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集； 18．（17分）（25-26高一上·浙江·期中）地震的里氏震级与地震释放的能量（单位：焦耳）之间的关系为：，其中焦耳（是一个参考能量值）． (1)若某次地震释放的能量约为焦耳，求其里氏震级（精确到0.1级）； (2)若地震每增加1级，则能量约是原来的多少倍（精确到0.1倍）？ （参考数据：） 19．（17分）（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)用定义证明函数在上是增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数全章综合测试卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据根式、指数的运算求得正确答案. 【解答过程】. 故选：A. 2．（5分）（25-26高一上·北京·期中）计算的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．25 【答案】A 【解题思路】根据指数幂的运算法则及对数的运算法则即可得解. 【解答过程】 . 故选：A. 3．（5分）（25-26高一上·上海·期中）函数（且）的图像可能是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解题思路】分、两种情况讨论，结合函数的单调性与、的特征，利用排除法判断即可. 【解答过程】当时，在定义域上单调递减，， ，所以，则A、B均不符合题意； 当时，在定义域上单调递增，， ，所以，故C符合题意，D不符合题意. 故选：C. 4．（5分）（2025高一·全国·专题练习）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【解题思路】根据二分法求方程的的近似解以及零点存在定理得出零点存在区间即可. 【解答过程】由表格可得，函数的零点在区间内. 结合选项可知，方程的近似解可取为1.8. 故选：C. 5．（5分）（25-26高一上·江苏宿迁·期中）已知，则用可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用换底公式换成以为底的形式，再拆分分子分母的对数结合对数运算法则,化为已知和的组合. 【解答过程】已知， . 故选：B. 6．（5分）（25-26高一上·福建厦门·期中）已知，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用幂函数、对数函数的单调性可得出、、的大小关系. 【解答过程】因为幂函数在上为增函数，所以，即， 又因为对数函数在上为增函数，所以， 综上所述，. 故选：D. 7．（5分）（25-26高一上·江苏无锡·期中）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】借助复合函数单调性计算即可得. 【解答过程】由函数在上单调递减， 则函数在上单调递减， 且在上恒成立， 则有，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 8．（5分）（25-26高三上·安徽·阶段练习）函数，若有2个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将有2个零点转化为函数与有2个交点的问题，再数形结合即可求解. 【解答过程】，图象如下：    又有2个零点相当于与有2个交点， 根据图象可得，故， 则实数的取值范围为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·江苏连云港·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D．若，，则 【答案】BCD 【解题思路】根据指数运算性质可判断AB，根据对数的运算性质可判断CD. 【解答过程】对于A，由指数运算性质可得：，故A错误； 对于B，由指数运算性质可得：，故B正确； 对于C，由题意，故C正确； 对于D，，， 则.故D正确. 故选：BCD. 10．（6分）（24-25高一上·陕西西安·期末）函数的零点所在区间不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】先判断函数的单调性，再根据函数零点存在定理对各选项逐一判断． 【解答过程】由可知函数的定义域为，函数在定义域上单调递减， 对于A，因，，则，故函数在区间上无零点，故A符合题意； 对于B，因，，则，故函数在区间上有零点，故B不符合题意； 对于C，因，，则，函数在区间上无零点，故C符合题意； 对于D，因，，则，故函数在区间上无零点，故D符合题意. 即函数的零点所在区间不可能是ACD. 故选：ACD. 11．（6分）（25-26高一上·陕西西安·期中）已知是奇函数，则（    ） A． B．在上单调递增 C．的值域为 D．的解集为 【答案】AC 【解题思路】由恒成立即可求得；化简，由复合函数的单调性可判断出在上单调递减；利用指数函数的值域结合不等式性质可得的值域；利用函数在上单调递减可解不等式. 【解答过程】因为是奇函数，定义域， 所以当时，恒成立， 即，A正确； 所以， 记， 当时，单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在上单调递减，B错误； 因为且， 所以且， 所以或 所以或 所以的值域为，C正确； 因为，且在上单调递减 所以等价于 又因为单调递减， 所以 所以的解集为.D错误. 故选：AC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·北京·期中） . 【答案】 【解题思路】根据指数幂的运算性质化简计算即可. 【解答过程】因为，， ，， 所以原式 . 故答案为：. 13．（5分）（24-25高一上·北京·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与水的温度有关.若茶水原来的温度是，经过分钟后的温度是，满足，其中表示室温，是由物体和空气接触状况而定的常数.在室温恒为的房间中，已知一杯的茶水，测得温度降到50℃需要10分钟，则这杯茶水还需要继续放置 分钟，茶水温度才降至35℃达到最佳饮用口感. 【答案】10 【解题思路】把温度变为和的数据代入已知公式，两式比较可求得结论． 【解答过程】由题意温度降到50℃时， 温度降到35℃时，， 所以，所以， , 故答案为：10. 14．（5分）（25-26高三上·山西·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减，则不等式的解集为 . 【答案】 【解题思路】结合偶函数性质与单调性定义，可得，分类讨论并解出不等式即可得. 【解答过程】由函数是定义在上的偶函数，当时，函数单调递减， 则当时，函数单调递增， 则对，有，即， 即或， 即或，分别解得或. 即该不等式解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·江苏淮安·月考）求值： (1)计算：； (2)已知，求的值． 【答案】(1)3 (2). 【解题思路】（1）利用指数运算法则及二次根式的意义求解. （2）利用已知及指数运算法则求得，再将目标式用表示即可. 【解答过程】（1） . （2）由，得，则， 所以. 16．（15分）（25-26高一上·江苏泰州·期中）求下列各式的值： (1)已知，求的值； (2)； (3)若，，用，表示. 【答案】(1) (2)2 (3) 【解题思路】（1）两边平方得，再两边平方得，代入求解即可； （2）利用对数的性质及运算法则求解即可； （3）根据，得，再根据对数的性质及运算法则求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以两边同时平方得：， 所以，两边再平方得：， 故，所以. （2）原式。原式. （3）由题意得，，即， 所以. 17．（15分）（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的图象过原点，且． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集； 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用待定系数法解方程计算即可； （2）利用对数函数的性质解不等式即可. 【解答过程】（1）∵函数的图象过原点， 又 即，解得， 所以的值为2，的值为﹣2． （2）由（1）可知，， 所以不等式为，即， 即不等式的解集为 18．（17分）（25-26高一上·浙江·期中）地震的里氏震级与地震释放的能量（单位：焦耳）之间的关系为：，其中焦耳（是一个参考能量值）． (1)若某次地震释放的能量约为焦耳，求其里氏震级（精确到0.1级）； (2)若地震每增加1级，则能量约是原来的多少倍（精确到0.1倍）？ （参考数据：） 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用对数的运算法则求解即可； （2）设地震原来的里氏震级为，对应的能量为，地震每增加1级后的里氏震级为，对应的能量为，可得，利用对数的运算求解即可. 【解答过程】（1）由题可得：， 所以 （2）设地震原来的里氏震级为，对应的能量为，地震每增加1级后的里氏震级为，对应的能量为， 所以，， 所以，即， 解得：， 所以地震每增加1级，则能量约是原来的倍. 19．（17分）（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)用定义证明函数在上是增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）利用奇函数性质求出，再利用定义验证即得. （2）利用增函数的定义，结合指数函数单调性及不等式性质推理得证. （3）利用奇函数及增函数的性质等价变形不等式，再利用一元二次不等式恒成立求解. 【解答过程】（1）由函数是定义在上的奇函数，得，解得， 此时，，函数是奇函数， 所以. （2）由（1）知，， 任意，由函数在上单调递增，得， 则，，于是，即， 所以函数在上是增函数. （3）对任意实数，不等式恒成立， 即对任意实数，恒成立， 当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $