第四章指数函数与对数函数能力提升卷-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数-能力提升卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（25-26高一上·天津滨海新·月考）下列表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断两个函数是否相等、求对数函数的定义域 【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，则它们是同一函数，对选项逐一判断即可． 【详解】对于A，定义域为，定义域为，定义域不同，故A错误； 对于B，定义域为，定义域为，定义域不同，故B错误； 对于C，定义域为，定义域为，且，故C正确； 对于D，定义域为，定义域为，定义域不同，故D错误； 故选：C． 2.（25-26高一上·重庆九龙坡·期末）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】先说明单调性，再根据零点存在性定理判断. 【详解】因在上均单调递增，则也在上单调递增， 又，， 由零点存在性定理可知，仅有一个零点，其所在区间为. 故选：B 3.（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别 【分析】由函数的奇偶性和函数值的正负逐项判断即可. 【详解】由函数图象可知，为奇函数， 对于A，由可得，即函数定义域为，关于原点对称， 又，偶函数，故错误， 对于B：由可得，即函数定义域为，关于原点对称， 当时，，即，不符合，故错误， 对于D，由得即函数定义域为，关于原点对称， 又当时，，不符合，故错误， 对于C， 由可得，即函数定义域为，关于原点对称， 又，奇函数， 当时，，即， 当时，，即，图象符合， 故选：C 4.（25-26高一上·广东肇庆·期末）在下列区间中，方程的解所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】令，根据零点存在性定理判断各选项区间端点值的符号，即可知零点所在的区间. 【详解】令，则该函数的定义域为且在定义域上单调递增， ， 所以，函数的零点所在区间为. 故选：C. 5.（25-26高一上·广东肇庆·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】比较对数式的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数，所以， 对数函数在上为增函数，则，故. 故选：D. 6.（25-26高一上·重庆·期末）已知，若，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、对数的运算性质的应用 【分析】设，通过对数运算证明得为奇函数，并以构建等式即可求得. 【详解】设，则， 则，故为奇函数， 由题得，所以， 则，所以. 故选：B. 7.（25-26高一上·江西九江·期末）已知是上的偶函数，当且时，恒成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】由函数的对称性和单调性，可将不等式化为，进而可求解. 【详解】因为是上的偶函数，所以的图象关于直线对称， 当且时，恒成立， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则不等式可化为， 即或，解得或， 故原不等式的解集为． 故选：A 8.（25-26高一上·云南普洱·期末）设函数若有4个不相等的实根，则的值不可能为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据题意有4个不相等的实根，即与要有四个不同的交点，作出函数的图像，利用数形结合即可求解. 【详解】当时，， 令，解得或， 所以 当时，，即将轴下方图像翻折上去， 所以， 若有4个不相等的实根，即与要有四个不同的交点， 作出函数的函数图像：    由图可知： 若有4个不相等的实根，则，故ABD可能，C不可能； 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9.（25-26高一上·广东肇庆·期末）对于函数，下列说法正确的有（   ） A．的定义域为 B．是减函数 C．当时，为奇函数 D．当时， 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断、复合函数的单调性 【分析】求函数定义域判断A，由函数单调性判断B，利用函数奇偶性判断C，根据解析式求函数值判断D. 【详解】由可知，即，解得， 所以的定义域为，故A错误； 因为时，单调递增，且，又在上为减函数， 由复合函数单调性知在上单调递减， 故在上单调递减， 同理可得在上单调递减， 但函数在定义域为上不单调，故B错误； 当时，，定义域为关于原点对称， 且，所以为奇函数，故C正确； 时，，所以，故D正确. 故选：CD 10.（26-27高一上·黑龙江大庆·期末）下列结论中，正确的是（ ） A．函数是指数函数 B．若则 C．函数的单调增区间是 D．函数的图象必过定点 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】指数函数的判定与求值、指数型函数图象过定点问题、判断指数型复合函数的单调性 【分析】A选项，根据指数函数的定义判断；B选项，根据指数函数的单调性判断即可；C选项，根据复合函数的单调性判断；D选项，指数函数过定点，令即可求得. 【详解】A选项，由指数函数定义得函数不是指数函数A错； B选项，当时，此时在定义域内单调递减，由，根据单调性可得，B错； C选项，函数中， 令，在上递增，在上递减， 又在R上单调递减， 因此函数的单调增区间是，C正确； D选项，函数中，由得， 即函数图象过点，D正确． 故选：CD 11.（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知函数，若有3个不等实根，，，且，则（   ） A．的单调递增区间为， B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．方程有5个根 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】作出函数的草图，数形结合，可逐项判断真假. 【详解】作函数草图如下： 由图可知：的单调递增区间为，，故A正确； 有3个不等实根，则，故B错误； 因为，由；由. 所以，所以的取值范围是，故C正确； 由，且，所以； 由. 所以，由或. 因为方程有3个不同的实根，方程有2个不同的实根，且两方程的根互不相同，所以方程有5个不同实根，故D正确. 故选：ACD 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（25-26高一上·吉林长春·期末）函数的值域是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求指数型复合函数的值域 【分析】由指数型复合函数的值域求解即可. 【详解】定义域为， 令， 当时，，值域为， 当时，，值域为， 所以函数的值域为. 故答案为：. 13.（25-26高一上·山东菏泽·月考）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、由对数（型）的单调性求参数 【分析】利用复合函数单调性，结合对数函数、二次函数单调性列出不等式求解. 【详解】令，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递减，函数在上是减函数， 因此，且当时，， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14.（25-26高一上·江西九江·期末）已知是奇函数，函数，若使得，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数 【分析】根据函数的奇偶性求出，的值，得到的解析式，结合分离参数法求解即可. 【详解】由函数解析式有意义可得，且，所以且， 因为是奇函数，所以定义域关于原点对称，所以，解得． 又，所以，解得. 经验证，当，时，为奇函数． 所以， 若，使得，即， 易知在上单调递减且恒大于0，当时，， 所以的取值范围为． 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．(本小题13分） （25-26高一上·上海·期末）设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合. (1)若全集为，求： (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【分析】（1）由函数有意义进行求解； （2）求出集合，由,则进行求解． 【详解】（1）对于函数,由,得, 得, 若全集为，则. （2）对于函数,由, 得, 得, 若,则,得, 得实数的取值范围为： 16．(本小题15分） （25-26高一上·天津河北·期末）已知函数（，且）的图象经过点，函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)5 (2) 【难度】0.85 【知识点】求对数函数的解析式、求幂函数的解析式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）将点坐标代入解析式求出和即可. （2）通过计算将转化为后根据的增减性计算即可. 【详解】（1）将点代入到，即，解得， 将点代入到，即，解得，则， 故的值为5. （2）由（1）得，，所以，求不等式的解集即求的解集， 易得在上单调递减，故，解得， 故不等式的解集为 17．(本小题15分） （25-26高一上·广东肇庆·期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有的物体放在的空气中冷却，以后物体的温度是． (1)求的值（精确到）； (2)若要将物体的温度降为，求需要冷却的时间（精确到）． （参考数据：） 【答案】(1) (2)方法一：；方法二： 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、对数函数模型的应用（2）、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据题意，将已知数据代入解析式得到一个关于的方程，解方程即可；（2）令，结合（1）中的表达式即可求得. 【详解】（1）由题意可知，， 当时，，将这些数据代入解析式得， 整理得， ， . （2）方法一：若要将物体的温度降为， 则， ， 两边同时取自然对数得， ，即， 由（1）知，代入上式得， ， 要将物体的温度降到，需要冷却的时间为 方法二：由（1）可知 ，即 ， 要将物体的温度降到，需要冷却的时间为. 18．(本小题17分） （25-26高一上·宁夏吴忠·期末）设，且． (1)求的值及的定义域； (2)求的单调区间； (3)求在区间上的最值. 【答案】(1)，的定义域为； (2)的单调递增区间为，的单调递减区间为； (3)在区间的最小值为，最大值. 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性 【分析】（1）根据代入求解出的值，即可得到的解析式，再根据对数的真数大于0得到不等式组，求解即可. （2）根据对数运算法则化简函数，再分析内层函数和外侧函数的单调性，根据复合函数“同增异减”确定函数的单调区间. （3）先判断函数在区间上的单调性，再根据单调性求出该区间上的最值. 【详解】（1）因为，所以将代入可得： ，即， 根据对数的定义得出， 要使对数函数和有意义，则真数必须大于0， 所以得出不等式组，解得， 所以的定义域为. （2）由（1）可知，，所以， 令，则， 又因为，抛物线开口向下，对称轴为， 结合的定义域可得，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 又因为函数在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）由（2）可知，在区间上单调递增，而， 所以在区间上单调递增， 即在区间的最小值为，最大值为， 其中，， ， 所以在区间的最小值为，最大值. 19．(本小题17分） （25-26高一上·广西桂林·期末）已知函数为奇函数，其中为自然对数的底数． (1)用定义证明函数的单调性； (2)解不等式； (3)已知函数与的图像关于点对称，设函数，若对，总，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数是增函数； (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数对称性的应用、根据函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据奇函数的定义和性质，结合函数的单调性的定义、指数函数的单调性进行求解证明即可； （2）利用函数的奇偶性和单调性进行求解即可； （3）根据对称性的性质，结合存在性和任意性的性质进行求解即可. 【详解】（1）因为的定义域为R且函数为奇函数， 所以， 因为， 所以是奇函数，符合题意，故成立； ，该函数是实数集上的增函数，理由如下： 设是任意两个实数，且， 则有， 因为，所以，所以， 所以函数是实数集上的增函数； （2）因为函数是实数集上的增函数又是奇函数， 所以由 , 所以不等式的解集为； （3）因为函数与的图象关于点对称， 所以， 显然， 所以有， ， 令，当时，， 设， 所以， 于是当时，， 对，总，使得成立， 所以有， 即实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数-能力提升卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.下列表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 2.函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 3.已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 4.在下列区间中，方程的解所在的区间为（   ） A． B． C． D． 5.已知，则（   ） A． B． C． D． 6.已知，若，则（   ） A． B． C．1 D．3 7.已知是上的偶函数，当且时，恒成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8.设函数若有4个不相等的实根，则的值不可能为（   ） A．1 B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9.对于函数，下列说法正确的有（   ） A．的定义域为 B．是减函数 C．当时，为奇函数 D．当时， 10.下列结论中，正确的是（ ） A．函数是指数函数 B．若则 C．函数的单调增区间是 D．函数的图象必过定点 11.已知函数，若有3个不等实根，，，且，则（   ） A．的单调递增区间为， B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．方程有5个根 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.函数的值域是 . 13.已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是 . 14.已知是奇函数，函数，若使得，则实数的取值范围是 ． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．(本小题13分） 设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合. (1)若全集为，求： (2)若，求实数的取值范围. 16．(本小题15分） 已知函数（，且）的图象经过点，函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求不等式的解集． 17．(本小题15分） 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有的物体放在的空气中冷却，以后物体的温度是． (1)求的值（精确到）； (2)若要将物体的温度降为，求需要冷却的时间（精确到）． （参考数据：） 18．(本小题17分） 设，且． (1)求的值及的定义域； (2)求的单调区间； (3)求在区间上的最值. 19．(本小题17分） 已知函数为奇函数，其中为自然对数的底数． (1)用定义证明函数的单调性； (2)解不等式； (3)已知函数与的图像关于点对称，设函数，若对，总，使得成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $