第四章 指数函数与对数函数 章末综合测试（能力提升）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第四章《指数函数与对数函数》章末综合测试（能力提升） 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A B B B C C A AC BC AD 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】C 由，得，则， 由，得，解得，则， 所以. 2. 已知，，则xy的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 【解析】A由，得，得，即， 因为，所以，当且仅当，时，等号成立， 所以，即xy的最大值为. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】B ， 因为函数为增函数，所以， 又函数上单调递增，所以，所以. 4. 已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【解析】B 由，且，，得在内有零点； 由，且，，得在内有零点； 所以经过2次二分法后确定的零点所在区间为． 5. 函数（）的值域为（ ） A. B. C. D. 【解析】B ，且， 令，则， 又的图象开口向上且对称轴为，且， 所以. 6. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期.现有一杯用热水冲的速溶咖啡，放在的房间中，如果咖啡降温到需要，那么降温到，需要的时长为（    ）. A．10 B．20 C．30 D．40 【解析】C由题得， ，代入得，即，解得， 故有. 当时，，即，解得， 即降温到，需要的时长为. 7. 已知函数，则图象上关于原点对称的点有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【解析】C 作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示. 因为函数关于原点对称的图象与图象有三个交点， 故图象上关于原点对称的点有3对. 8. 若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（   ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【解析】A 因为，所以的周期为2， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 令，则， 即求与在上交点个数， 作出与图象，如图所示 所以与图象在上有11个交点， 则函数在区间内的零点个数为11. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【解析】AC 对于A，由，所以，所以A正确； 对于B，由对数的运算法则，可得，所以B错误； 对于C，由指数幂的运算法则，可得，所以C正确； 对于D，由对数的运算法则，可得，所以D不正确. 10. 下列函数的最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 【解析】BC对于A，由二次函数性质可知，无最小值，A错误； 对于B，令， 因为单调递增， 所以，当时等号成立， 所以，B正确； 对于C，因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，C正确； 对于D，由指数函数性质可知，，所以，D错误. 11. 已知函数，下列选项正确的有（ ） A B. C. 函数有唯一零点 D. 不等式的解集为 【解析】AD 对于A，因为， 所以， 所以，故A选项正确； 对于B，根据解析式，得 ， 所以，所以，故B选项错误； 对于C，令，即， 则，即，所以，方程无解，故C选项错误； 对于D，不等式，即，化简得， 即，所以，所以， 所以，即，所以，解不等式得，即，故D选项正确. 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：______. 【解析】 . 13. 已知且，甲说：已知是R上的增函数，乙说：函数在区间上为增函数，若甲、乙两人说的话有且仅有一个正确，则a的取值范围是______． 【解析】若甲说的正确， 则由函数为增函数可得， 解得， 若乙说的正确，则需要，解得， 所以当甲正确乙错误时，则，解得， 当甲错误乙正确时，则，解得 综上，a的取值范围是或. 14. 已知函数，若，当时，都有，则实数的取值范围为_____. 【解析】若，当时，都有，即， 令，可得， 所以函数在单调递增. 又， ∴，解得， 则实数的取值范围为. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，函数的定义域为． （1）求： （2）已知集合，若，求实数的取值范围． 【解析】（1）解不等式，即，解得，得 对于函数，有，解得，则 ，则； （2）因为，所以， 当时，，得到，符合题意， 当时，，解得 综上所述，实数的取值范围是. 16. 函数，其中． （1）若，求的零点； （2）若函数有两个零点，求的取值范围． 【解析】（1）当时，，令，则，故， 所以的零点为. （2）令，则，，故， 由于，所以，因此，由于，由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，故， 所以的取值范围为 17. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 （1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． （2）根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 【解析】（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得， 所以； （2）（i）因为当趋于无穷大时，无限接近于， 所以推测实验室室温为； （ii）令，则， 所以， 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 18. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）求不等式的解集； （3）函数，若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【解析】（1）因为函数为奇函数， 所以，即， 即，所以，解得， 经检验不符题意， 所以； （2）由（1）得， 由，解得， 所以函数的定义域为， 令，函数在上单调递减， 而函数是增函数， 所以函数上单调递减， 由，得， 则，即， 所以，解得， 即不等式的解集为； （3）由题意，函数和在上的值域的交集不为空集， 由（2）可知：时，为减函数， 又，所以的值域为， 若，则在上单调递减，则的值域为， 此时只需，即，所以； 若，则在上单调递增，则的值域为， 此时与的交集显然为空集，不满足题意； 综上所述，实数的范围是. 19. 对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”． （1）试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由； （2）若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数的取值范围； （3）试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由． 【解析】（1）因为，所以，，则， 故函数是“伪奇函数”． （2）令，则， 可得，可得， 即在有解， 而，则，所以，则， 又因为在时恒成立，所以，则，即， 因此实数的取值范围为． （3）当为定义域上的“伪奇函数”时， 则在上有解，可化为在上有解， 令，则，当且仅当时等号成立， 因为，则， 则在有解，即可保证为“伪奇函数”， 令，， 函数的图象开口向上，对称轴为直线. ①当时，即当时，函数在上单调递增， 此时只需，解得， 此时； ②当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 故只需，解得，此时. 综上所述，当时，为定义域上的“伪奇函数”，否则不是． ( 第 1 页 共 12 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章《指数函数与对数函数》章末综合测试（能力提升） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则xy的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 5. 函数（）的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期.现有一杯用热水冲的速溶咖啡，放在的房间中，如果咖啡降温到需要，那么降温到，需要的时长为（    ）. A．10 B．20 C．30 D．40 7. 已知函数，则图象上关于原点对称的点有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 8. 若定义在R上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（   ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数的最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，下列选项正确的有（ ） A B. C. 函数有唯一零点 D. 不等式的解集为 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：______. 13. 已知且，甲说：已知是R上的增函数，乙说：函数在区间上为增函数，若甲、乙两人说的话有且仅有一个正确，则a的取值范围是______． 14. 已知函数，若，当时，都有，则实数的取值范围为_____. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，函数的定义域为． （1）求： （2）已知集合，若，求实数的取值范围． 16. 函数，其中． （1）若，求的零点； （2）若函数有两个零点，求的取值范围． 17. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 （1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． （2）根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 18. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）求不等式的解集； （3）函数，若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 19. 对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”． （1）试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由； （2）若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数的取值范围； （3）试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由． ( 第 1 页 共 5 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $