精品解析：贵州省六盘水市2026年初中学业水平适应性考试（一）数学试卷

2026年初中学业水平适应性考试（一）数学试卷 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分，考试时间为120分钟． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试卷上答题无效． 3．考试形式为闭卷考试，不能使用计算器． 一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答） 1. 如果上升记作，那么下降记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正负数的意义．直接根据正负数的意义进行求解即可． 【详解】解：如果上升记作，那么下降记作． 故选：A． 2. 下列立体图形的俯视图为圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据各个几何体的俯视图的形状进行判断即可． 本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体三视图的形状是正确判断的前提． 【详解】解：选项中只有球的俯视图是圆， 故选：B． 3. 关于x的一元二次方程的根为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是关键．通过提取公因式求解即可． 【详解】解：， ， 或， 即，． 故选：B． 4. 如图，在菱形中，，，则菱形的周长为（ ） A. 36 B. 30 C. 24 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定．证明是等边三角形求出即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴菱形的周长， 故选：C． 5. 已知反比例函数的图象如图所示，m的值可以是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质．反比例函数，当时，图象在第一、三象限．在每个象限，y随着x的增大而减小，当时，图象在第二、四象限．在每个象限，y随着x的增大而增大．根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可． 【详解】解：由函数图象知，反比例函数的图象在第一、三象限， 则， 解得：． 观察四个选项，只有D选项符合题意． 故选：D． 6. 关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，关键是掌握，一元二次方程有两个不相等的实数根，，一元二次方程没有实数根，，一元二次方程有两个相等的实数根．根据一元二次方程根的判别式的值，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 7. 为了解学生体质健康状况，体育老师随机抽取班上10名学生进行立定跳远测试，其成绩（单位：）如下：235，210，238，235，240，239，216，239，235，237．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 236，235 B. 236，239 C. 235，236 D. 235，235 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一组数据中位数和众数，熟练掌握求一组数据中位数和众数是关键．因为数据是偶数个，所以计算中位数时需将数据排序后取中间两数的平均值，众数为出现次数最多的数，据此求解即可． 【详解】解：10名学生立定跳远测试成绩排序后为：210，216，235，235，235，237，238，239，239，240， 其中第5和第6个数据为235，237， 所以这组数据的中位数是； 因为出现次数最多的数据是235， 所以这组数据的众数是235． 故选：A． 8. 如图，小亮在做小孔成像实验时，测得物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，利用相似三角形的性质解题．设蜡烛火焰的高度是，根据相似三角形的对应高之比等于相似比，列方程求解即可． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得到， 解得， 即蜡烛火焰的高度是． 故选：B． 9. 六盘水市某景区2023年全年接待游客25万人次，经过两年加大旅游开发力度，该景区2025年全年接待游客36万人次．那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为多少?若设这两年接待游客的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设这两年游客人数的年平均增长率为x，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意得： ， 故选：A． 10. 如图，在正方形中，，将沿折叠至，延长交于点G．若点G刚好是的中点，则的长是（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】连接，先根据正方形的性质及图形轴对称的性质，证明，，然后根据全等三角形的判定证明，可得，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ，， 点G是的中点， ， 沿折叠至， ，， ，， ， ， ， 设，则， 根据图形翻折的性质可知，， 在中，， ， 解得， 的长是． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，图形轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 11. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，其两个锐角的外角平分线相交于点P，若点P恰好在反比例函数的图象上，则的面积是（ ） A. 30 B. 24 C. 18 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】过点P分别作轴于点D，轴于点E，于点C，先证明四边形是正方形，然后求出点P的坐标，即可求出，再根据勾股定理求出，即可求得答案． 【详解】解：过点P分别作轴于点D，轴于点E，于点C， ， 四边形是矩形， 平分， ， 同理， ， 四边形是正方形， 设， 点P恰好在反比例函数的图象上， ， 解得或（舍去）， ， ，， ，， 在中，， 的面积是． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质定理，添加辅助线构造全等三角形是关键． 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 12. 化简：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了约分．通过约分化简分式，消去分子和分母中的公因式． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 在一个不透明的袋子里装有红球和白球共15个，这些球除颜色外都相同．先将袋子中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个，记下颜色后放回．不断重复这个过程，发现摸到红球的频率在附近摆动，则袋中有红球_____个． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率，正确理解频率估计概率是关键．根据频率估计概率的原理，摸到红球的频率稳定在附近，因此摸到红球的概率约为，再利用概率公式列方程求解即可． 【详解】解：设红球有x个， 根据题意，得， 解得， 因此袋中红球约有6个． 故答案为：6． 14. 小明利用标杆在阳光下测量旗杆的高度．如图，将标杆底端和旗杆影子顶端重合，已知标杆，测得标杆的影长，旗杆的影长，则旗杆的高_____m． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解题意是关键．先证明，即可根据相似三角形的性质列方程求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 解得（m）． 故答案为：12． 15. 如图，在中，，于点D，，边与的延长线相交于点F，的延长线与相交于点M，过点C作于点E．若，，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．先求得平分，作于点N，证明，求得，，再证明，求得，在中，解直角三角形即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴，即平分， 作于点N， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解不等式：． 【答案】（1）3；（2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂的运算，特殊角三角函数值，解一元一次不等式，熟练掌握零指数幂的运算，特殊角三角函数值及解一元一次不等式是关键． （1）先化简绝对值，零指数幂的计算及求特殊角三角函数值，再进行有理数的混合运算即可； （2）通过去括号，移项，合并同类项等步骤计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 17. 如图，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求方程的解． 【答案】（1）， （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出；两个函数解析式即可； （2）根据图象，即可得到方程的解． 【小问1详解】 解：一次函数与反比例函数的图象相交于点，， ， ，， ∴点，，反比例解析式为， ，在一次函数上， ， 解得， 直线解析式为：； 【小问2详解】 解：由图象可知，方程的解为：或． 18. 为了解学生“防诈骗意识”的强弱情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果，把“防诈骗意识”分为A（很强），B（强），C（一般），D（弱），E（很弱）五个等级，将收集的数据整理后，绘制成如下不完整的统计图表： 学生“防诈骗意识”强弱情况人数统计表 等级 人数（人） A（很强） 4 B（强） C（一般） 10 D（弱） 8 E（很弱） 16 （1）本次抽取的学生共_____人， _____； （2）将条形统计图补充完整； （3）为提升全校学生的“防诈骗意识”，学校从“防诈骗意识”很强的四名同学（两男两女）中随机抽取两名同学，进行防诈骗知识宣讲，请用列表或画树状图的方法求抽到一男一女的概率． 【答案】（1）50；12 （2） 补充条形统计图如图： （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图及扇形统计图的综合运用，画树状图法求随机事件的概率． （1）根据C等级的人数和占比求得本次抽取的学生总数，用50减去其他等级的人数即可求得的值； （2）根据（1）的结论即可补充条形统计图； （3）运用画树状图法将所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：（人）， ， 故答案为：50；12； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：两名男生表示为男，男，两名女生表示为女，女， 画树状图如图所示， 共有种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有种， ∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是． 19. 在研究三角形、平行四边形的数学实践课上，李老师给出如图所示的，，，，点D是边上的中点． （1）请用尺规作图作出绕点D旋转后的图形（不写作法，保留作图痕迹）．试判断新组合图形的形状，并说出此图形的一条性质； （2）在（1）的条件下，求点A与其旋转后的对应点之间的距离． 【答案】（1） 解：如图，就是所求作的图形； 绕点D旋转后得到， ，， 新组合图形是平行四边形； 该平行四边形的一条性质：； （2） 【解析】 【分析】（1）由于点D是边上的中点，所以旋转后点B与点C对应，点C与点B对应，所以只需画出点A的对应点即可，作射线，在射线上截取点，使，连接，，即可根据平行四边形的判定证明新组合图形的形状； （2）根据勾股定理求出，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 即点A与其旋转后的对应点之间的距离是． 【点睛】本题考查了图形旋转的尺规作图，图形旋转的性质，平行四边形的判定，勾股定理，熟练掌握图形旋转的性质及正确作出图形是关键． 20. 某经销商销售某种农产品，每盒进价为30元．调查发现：当售价为每盒40元时，平均每天可售出100盒，如果该农产品的售价每降价1元，那么平均每天可多售出20盒． （1）若设该农产品每盒降价x元，则每盒农产品的售价可表示为______元，每天的销量可表示为_______盒； （2）该经销商每天销售利润要达到1120元，若要尽可能让利于顾客，该农产品每盒需降价多少元？ 【答案】（1）； （2）该农产品每盒需降价3元 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据该农产品每盒降价x元可表示出降价后的售价，根据售价每降价1元，平均每天可多售出20盒可表示出降价后的销量； （2）利用总利润=每盒商品的利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合为了让利于顾客，即可确定结论． 【小问1详解】 解：∵该农产品每盒降价x元， ∴降价后的售价为元； ∵售价每降价1元，那么平均每天可多售出20盒 ∴降价后的销量为盒． 故答案为：；； 【小问2详解】 解：每盒利润为元，即元；由题意得， ， 整理得， 解得，． ∵为了让利于顾客， ∴ 答：该农产品每盒需降价3元． 21. 小明同学和爸爸去六盘水市野钟大峡谷游玩，峡谷的险峻、雄奇引起了小明的好奇心，他们想用锐角三角函数的相关知识测量峡谷的宽度．具体操作如下：他们站在岸边的点A处将无人机铅直上升到达点M处，再往峡谷方向水平飞行至点B处，在点B处测得点A的俯角为，对面同一水平线上的点C处的俯角为，据此计算峡谷的宽度．（题目中所涉及的点都在同一平面内；参考数据：，，，，）． （1）求无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离；（结果保留根号） （2）根据题目中测量的数据计算峡谷的宽度．（结果精确到） 【答案】（1） （2）峡谷AC的宽度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是关键． （1）在中，根据求解即可； （2）连接，过点B作于点H，先证明四边形是矩形，得到，，然后在中，根据可求出的长，即可求得答案． 【小问1详解】 解：， ， ， 即无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离是； 【小问2详解】 解：连接，过点B作于点H， 是水平线， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， 峡谷的宽度约为． 22. 在中，，，，动点P从点B开始沿边向点C运动，速度为，动点Q从点C开始沿边向点A运动，速度为．如果P，Q两点同时运动，一点运动到终点，另一点随之停止．设运动时间为． （1）用含t的代数式表示______，_______； （2）是否存在时间t，使得，若存在，请求出时间t；若不存在，请说明理由； （3）当t为何值时，与相似． 【答案】（1）， （2）不存在时间t，使得，理由： ∵， ∴， 整理得，， ∵， ∴方程无实数根， ∴不存在时间t，使得； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，相似三角形的性质分类讨论是解（3）的关键． （1）根据可表示出的长，根据路程=速度×时间可表示出的长； （2）根据列出方程，结合根的判别式解答即可； （3）分和两种情况，利用形似三角形的性质列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵动点P的速度为，动点Q的速度为， ∴，． 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时， 则， ∴， 解得； 当时， 则， ∴， 解得． 综上可知，当t的值为或时，与相似． 23. 阅读下列材料，并完成相应的学习任务： 数学兴趣小组在进行方程专题研究的时候发现：求解一元一次方程，是根据等式的基本性质，把方程转化为的形式；求解二元一次方程组，可以把它转化为一元一次方程来解；求解三元一次方程组，可以把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，可以把它转化为一元一次方程来解；求解分式方程，可以把它转化为整式方程来解．但由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程时必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：解一元三次方程时，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的根． 学习任务： （1）方程的根是：，_____，_____； （2）求方程的根； （3）如图是一个篮球场的平面示意图，已知长，宽，小明在篮球场进行体育实践课时，他把一根长为的绳子两端固定在B，C两点，小明（抽象成点P）在篮球场上将绳子拉直，当点P恰好落在边上时，求的长． 【答案】（1）， （2），； （3）的长为． 【解析】 【分析】本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法，解无理方程时注意到验根． （1）首先提出，然后因式分解多项式，然后得结论； （2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根； （3）设的长为，根据勾股定理和，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可． 【小问1详解】 解：提公因式得， 继续分解得， ∴或或， ∴，，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：， 方程的两边平方，得，即， 因式分解得， ∴或， ∴，， 经检验，，都是原方程的解． 所以方程的解是，； 【小问3详解】 解：因为四边形是矩形， 所以，， 设，则， 因为，，， ， 两边平方并整理，得， 解得或8（不合题意，舍去）， 经检验，是方程的解． 答：的长为． 24. 当角与直角相遇时，那绝对是一场浪漫的邂逅．把含角的图形构造成直角三角形进行研究，会点亮思维的导航灯． 【初步感知】 （1）如图1，在中，，D是边上的一点，，，于点F，求证：； 【解决问题】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，点M在正方形的内部，且，．若，，求正方形的边长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，，点D是边上的中点，点E在边上，连接交于点F，若，，求的长． 【答案】（1）∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得出即可； （2）过点M作于点H，交于点G，证明四边形为矩形，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，证明为等腰直角三角形，得出，最后求出结果即可； （3）过点E作于点G，延长，过点B作于点H，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，，解直角三角形得出，，求出，，，，，根据，得出，求出x的值，然后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点M作于点H，交于点G，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即正方形的边长为． （3）解：过点E作于点G，延长，过点B作于点H，如图所示： 则， ∵在中，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点为的中点， ∴， 设，则，， ∴在中，根据勾股定理得：， ，， ∴在中，，， ∴， ， ∵， ∴， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平适应性考试（一）数学试卷 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．全卷共6页，三个大题，共25小题，满分150分，考试时间为120分钟． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试卷上答题无效． 3．考试形式为闭卷考试，不能使用计算器． 一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答） 1. 如果上升记作，那么下降记作（ ） A. B. C. D. 2. 下列立体图形的俯视图为圆的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程的根为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图，在菱形中，，，则菱形的周长为（ ） A. 36 B. 30 C. 24 D. 18 5. 已知反比例函数的图象如图所示，m的值可以是（ ） A. B. C. D. 1 6. 关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 7. 为了解学生体质健康状况，体育老师随机抽取班上10名学生进行立定跳远测试，其成绩（单位：）如下：235，210，238，235，240，239，216，239，235，237．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 236，235 B. 236，239 C. 235，236 D. 235，235 8. 如图，小亮在做小孔成像实验时，测得物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. C. D. 9. 六盘水市某景区2023年全年接待游客25万人次，经过两年加大旅游开发力度，该景区2025年全年接待游客36万人次．那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为多少?若设这两年接待游客的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，将沿折叠至，延长交于点G．若点G刚好是的中点，则的长是（ ） A. 1 B. C. D. 3 11. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，其两个锐角的外角平分线相交于点P，若点P恰好在反比例函数的图象上，则的面积是（ ） A. 30 B. 24 C. 18 D. 15 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 12. 化简：_____． 13. 在一个不透明的袋子里装有红球和白球共15个，这些球除颜色外都相同．先将袋子中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个，记下颜色后放回．不断重复这个过程，发现摸到红球的频率在附近摆动，则袋中有红球_____个． 14. 小明利用标杆在阳光下测量旗杆的高度．如图，将标杆底端和旗杆影子顶端重合，已知标杆，测得标杆的影长，旗杆的影长，则旗杆的高_____m． 15. 如图，在中，，于点D，，边与的延长线相交于点F，的延长线与相交于点M，过点C作于点E．若，，则_____． 三、解答题（本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解不等式：． 17. 如图，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求方程的解． 18. 为了解学生“防诈骗意识”的强弱情况，某校随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据调查结果，把“防诈骗意识”分为A（很强），B（强），C（一般），D（弱），E（很弱）五个等级，将收集的数据整理后，绘制成如下不完整的统计图表： 学生“防诈骗意识”强弱情况人数统计表 等级 人数（人） A（很强） 4 B（强） C（一般） 10 D（弱） 8 E（很弱） 16 （1）本次抽取的学生共_____人， _____； （2）将条形统计图补充完整； （3）为提升全校学生的“防诈骗意识”，学校从“防诈骗意识”很强的四名同学（两男两女）中随机抽取两名同学，进行防诈骗知识宣讲，请用列表或画树状图的方法求抽到一男一女的概率． 19. 在研究三角形、平行四边形的数学实践课上，李老师给出如图所示的，，，，点D是边上的中点． （1）请用尺规作图作出绕点D旋转后的图形（不写作法，保留作图痕迹）．试判断新组合图形的形状，并说出此图形的一条性质； （2）在（1）的条件下，求点A与其旋转后的对应点之间的距离． 20. 某经销商销售某种农产品，每盒进价为30元．调查发现：当售价为每盒40元时，平均每天可售出100盒，如果该农产品的售价每降价1元，那么平均每天可多售出20盒． （1）若设该农产品每盒降价x元，则每盒农产品的售价可表示为______元，每天的销量可表示为_______盒； （2）该经销商每天销售利润要达到1120元，若要尽可能让利于顾客，该农产品每盒需降价多少元？ 21. 小明同学和爸爸去六盘水市野钟大峡谷游玩，峡谷的险峻、雄奇引起了小明的好奇心，他们想用锐角三角函数的相关知识测量峡谷的宽度．具体操作如下：他们站在岸边的点A处将无人机铅直上升到达点M处，再往峡谷方向水平飞行至点B处，在点B处测得点A的俯角为，对面同一水平线上的点C处的俯角为，据此计算峡谷的宽度．（题目中所涉及的点都在同一平面内；参考数据：，，，，）． （1）求无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离；（结果保留根号） （2）根据题目中测量的数据计算峡谷的宽度．（结果精确到） 22. 在中，，，，动点P从点B开始沿边向点C运动，速度为，动点Q从点C开始沿边向点A运动，速度为．如果P，Q两点同时运动，一点运动到终点，另一点随之停止．设运动时间为． （1）用含t的代数式表示______，_______； （2）是否存在时间t，使得，若存在，请求出时间t；若不存在，请说明理由； （3）当t为何值时，与相似． 23. 阅读下列材料，并完成相应的学习任务： 数学兴趣小组在进行方程专题研究的时候发现：求解一元一次方程，是根据等式的基本性质，把方程转化为的形式；求解二元一次方程组，可以把它转化为一元一次方程来解；求解三元一次方程组，可以把它转化为二元一次方程组来解；求解一元二次方程，可以把它转化为一元一次方程来解；求解分式方程，可以把它转化为整式方程来解．但由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程时必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如：解一元三次方程时，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的根． 学习任务： （1）方程的根是：，_____，_____； （2）求方程的根； （3）如图是一个篮球场的平面示意图，已知长，宽，小明在篮球场进行体育实践课时，他把一根长为的绳子两端固定在B，C两点，小明（抽象成点P）在篮球场上将绳子拉直，当点P恰好落在边上时，求的长． 24. 当角与直角相遇时，那绝对是一场浪漫的邂逅．把含角的图形构造成直角三角形进行研究，会点亮思维的导航灯． 【初步感知】 （1）如图1，在中，，D是边上的一点，，，于点F，求证：； 【解决问题】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边，上，点M在正方形的内部，且，．若，，求正方形的边长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，，点D是边上的中点，点E在边上，连接交于点F，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $