专题2.2.1 椭圆的标准方程 （4大知识点+12大题型+21题强化）-2026-2027学年高二上学期数学预修提升讲义（沪教版选择性必修第一册）

本高中数学讲义聚焦椭圆的标准方程核心知识点，系统梳理椭圆定义（含集合语言及注意事项）、标准方程推导（从建系设点到方程化简）、方程特点（焦点位置与a,b,c关系）及焦点三角形（周长、面积公式），构建从定义到应用的递进学习支架。 该资料通过题型分类（定义辨析、方程求解等）与实例（如焦点三角形面积计算），以问题驱动培养数学思维（推理、运算）和数学眼光（抽象、几何直观）。课中助力教师分层教学，课后学生可借跟踪训练巩固知识，弥补薄弱环节。

2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题2.2.1 椭圆的标准方程 知识点一、椭圆的定义 1、椭圆定义：平面内与两个定点的、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距，焦距的一半叫作半焦距。 2、椭圆定义的集合语言表示： 3、注意事项：定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在． 知识点二、椭圆标准方程的推导 1、建系设点。建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的． 以两定点、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系（如图）． 设（），为椭圆上任意一点，则有． （2）点的集合。由定义不难得出椭圆集合为：． （3）建立代数方程。， 即：. （4）化简方程：由可得，则得方程 关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略． 因此，方程即为所求椭圆的标准方程．它表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是．这里． 知识点三、椭圆的标准方程 （1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； （2）在椭圆的两种标准方程中，都有和； （3）椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； （4）在两种标准方程中，因为，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 知识点四、椭圆的焦点三角形 1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。 2．焦点三角形的常用公式 (1)焦点三角形的周长L=2a+2c. (2)在中，由余弦定理可得. (3)设，，则. 知识点一、椭圆的定义 题型01：椭圆定义及辨析 【例1】下列命题是真命题的是 .(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点，则满足|P|＋|P|＝的点P的轨迹为椭圆； ②已知定点 (－2，0)， (2，0)，则满足|P|＋|P|＝4的点P的轨迹为线段； ③到定点的距离相等的点的轨迹为椭圆. 【例2】若椭圆上一点到焦点的距离为2，则点到另一焦点的距离为________ 【跟踪训练】 1．方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 2.如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点P的轨迹为（    ） A．线段 B．直线 C．椭圆 D．圆 3.已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为_______ 4.设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为_________. 5.已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则________ 6.已知点P为椭圆上的一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则_______ 7.已知分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为 . 8.设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则______ 题型02：椭圆方程的充要条件 【例3】若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4】已知方程＝1. (1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围. 【跟踪训练】 1.方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 2. 方程表示椭圆，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 3. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点二、椭圆标准方程的求解 题型03：定义法求椭圆的标准方程 【例5】已知动点到两个定点的距离之和为6，则动点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2.平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 3.椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10，则椭圆的标准方程为题型04：待定系数法求椭圆的标准方程 【方法点拨】①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0,B>0，且A≠B)，再解答. ③与椭圆＋＝1共焦点的椭圆可设为＋＝1(k>－m2,k>－n2) 【例6】求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为，，经过点； (2)经过点两点． (3)过且与有相同的焦点；． 【跟踪训练】 1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）一个焦点为 （2）焦点在轴上，且经过两个点和； （3）椭圆的焦点在x轴上，a∶b＝2∶1，c＝. 2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）椭圆经过和．； （2）经过点，． （3）经过和两点. . 3.求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）过点，且与椭圆有相同的焦点. （2）过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点 （3）经过点，且与椭圆有共同的焦点； 题型05：求椭圆的动点轨迹方程 【例7】已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则动点的轨迹方程为 ． 【跟踪训练】 1.已知的两个顶点坐标分别是和，边AB，AC所在直线的斜率的乘积是，求顶点A的轨迹方程. 2.点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点M的轨迹. 3.设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.求点P的轨迹方程； 4.一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为 ． 5.已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型06：根据椭圆方程求参数的范围 【例8】若焦点在轴上的椭圆的焦距为，则实数的值为 ． 【跟踪训练】 1.已知椭圆的的焦距为2，则m的值为（   ） A．5 B． C．3或5 D．或 2.若椭圆＋＝1的一个焦点坐标为(1,0)，则实数m的值为______ 3.“是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4.已知m、n均为实数，方程表示椭圆，且该椭圆的焦距为4，则n的取值范围是 . 知识点三、椭圆的焦点三角形 题型07：椭圆中焦点三角形的周长问题 【例9】已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，则的周长为_______ 【跟踪训练】 1.已知是椭圆的左右焦点，若直线过焦点，且与椭圆交于，则的周长为 . 2.椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上异于左右顶点的任意一点，、的中点分别为M、N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为4，则的周长是_____． 3. 已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为____________ 4. 已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为______． 题型08：椭圆中焦点三角形的面积问题 【例10】设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为 . 【例11】如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，且，求的面积．    【跟踪训练】 1.已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 2.已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 3.已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为 A． B． C． D．9 4.，是椭圆的两个焦点，A是椭圆上一点，是直角三角形，则的面积为（    ） 5.已知点是椭圆上的点，点、是椭圆的两个焦点． （1）若，求； （2）若的面积为9，求的大小． 题型09：椭圆中焦点三角形的其他问题 【例12】椭圆的焦点为点在椭圆上，若则的大小为___． 【例13】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的面积为，则下列说法错误的是（    ） A．点的横坐标为 B．的周长为16 C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的半径为 【跟踪训练】 1.若P是椭圆上任意一点，、是焦点，则的最大值为______． 2.点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 知识点四、综合提升 题型10：椭圆上两点距离的最值问题 【例14】为椭圆：上一点，，则最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知椭圆C：的左焦点为，为椭圆C上任意一点，则的最小值为______． 2.已知椭圆的右顶点为，为上一点，则的最大值为______. 3.已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为______ 题型11：椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【例15】已知椭圆C：的左焦点为F，P为C上一动点，定点，则的最大值为 A． B． C． D． 【例16】设F是椭圆上的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（　   ） A． B．3 C． D． 【跟踪训练】 1.已知，F是椭圆C：的左焦点，点P是椭圆C上的动点，则的最小值为___________. 2.已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3.已知点 在椭圆 上，点 ，则 的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 4.设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值分别是 ． 5. 已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最大值与最小值． 一、填空题 1.椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则______ 2.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 . 3.已知椭圆的焦距为2，则实数m的值为 . 4.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 . 5.经过点和的椭圆的标准方程为________ 6.过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为_______ 7.平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为______ 8.平面内点到的距离之和是10，则动点的轨迹方程是_______ 9.点在椭圆上，则等于_______ 10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的周长为______ 11.已知，为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则的面积为_______ 12.设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为____________ 二、选择题 13.曲线与的关系是（    ） A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有不等的焦距，相同的焦点 C．有不等的焦距，不同的焦点 D．有相等的焦距，不同的焦点 14.过点且与有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 15.已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 16.已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，则下列说法错误的有（    ） A．若，则 B．面积的最大值为2 C．的最大值为 D．的最大值为4 3、 解答题 17.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过和点． 18.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点. (2)经过点，且与椭圆有共同的焦点； 19.已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点. (1)若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，的面积为4，求b的值. 20．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点. (1)若焦距为，点的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，且，的面积为，求b的值. 21.已知椭圆的焦点为、，该椭圆经过点 (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆上的点满足，求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学暑假班预修提升讲义【精英班课程】 专题2.2.1 椭圆的标准方程 知识点一、椭圆的定义 1、椭圆定义：平面内与两个定点的、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距，焦距的一半叫作半焦距。 2、椭圆定义的集合语言表示： 3、注意事项：定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当时，其轨迹为线段； ②当时，其轨迹不存在． 知识点二、椭圆标准方程的推导 1、建系设点。建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线斜率等）的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的． 以两定点、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系（如图）． 设（），为椭圆上任意一点，则有． （2）点的集合。由定义不难得出椭圆集合为： ． （3）建立代数方程。， 即：. （4）化简方程：由可得，则得方程 关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略． 因此，方程即为所求椭圆的标准方程．它表示的椭圆的焦点在轴上，焦点是．这里． 知识点三、椭圆的标准方程 知识点诠释： （1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； （2）在椭圆的两种标准方程中，都有和； （3）椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； （4）在两种标准方程中，因为，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 知识点四、椭圆的焦点三角形 1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。 2．焦点三角形的常用公式 (1)焦点三角形的周长L=2a+2c. (2)在中，由余弦定理可得. (3)设，，则. 知识点一、椭圆的定义 题型01：椭圆定义及辨析 【例1】下列命题是真命题的是 .(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点，则满足|P|＋|P|＝的点P的轨迹为椭圆； ②已知定点 (－2，0)， (2，0)，则满足|P|＋|P|＝4的点P的轨迹为线段； ③到定点的距离相等的点的轨迹为椭圆. 【答案】② 【分析】根据椭圆的定义，以及垂直平分线的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】①中，因为，可得，因为，所以点的轨迹不存在； ②中，因为，所以点P的轨迹是线段； ③中，由定点的距离相等的点的轨迹是线段的垂直平分线，即. 故答案为：② 【例2】若椭圆上一点到焦点的距离为2，则点到另一焦点的距离为________ 【分析】利用椭圆的定义有，结合已知即可求到焦点的距离. 【详解】由椭圆方程知：.根据椭圆的定义有. 因为，所以. 【跟踪训练】 1．方程表示的曲线为（    ） A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不表示任何图形 【答案】C 【详解】解：∵， ∴方程可表示平面内点到点与点的距离之和为的图形， 此时， ∴方程表示的轨迹是线段， 故选：C． 2.如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点P的轨迹为（    ） A．线段 B．直线 C．椭圆 D．圆 【答案】C 【分析】根据两点间距离公式结合椭圆的定义分析判断. 【详解】可设，，则， 可得， 由椭圆的定义可知：点P的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，. 故选：C 3.已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为_______ 【分析】根据椭圆的定义即可求出. 【详解】由椭圆，得，即，设左焦点为，右焦点为， 则，因为，所以，即点到左焦点的距离为2. 4.设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为_________. 【分析】首先求出，再根据椭圆的定义得解. 【详解】椭圆，则，所以， 因为是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为. 5.已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则________ 【分析】由椭圆方程求出，利用椭圆的定义式，求得，代入计算即得. 【解析】由可得：，则， 因，则，故. 6.已知点P为椭圆上的一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则_______ 【分析】利用椭圆的定义进行求解. 【详解】因为点P为椭圆上的一点，所以，因为，所以. 7.已知分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】分别为椭圆的两个焦点，则， 所以，当且仅当位于椭圆的右顶点时取等号， 故的最大值为. 故答案为：. 8.设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则______ 【解题思路】由条件得到，设，结合椭圆的定义及勾股定理即可求解. 【解答过程】因为椭圆，所以， 又因为，所以，即， 设，则且， 得到，所以. 题型02：椭圆方程的充要条件 【例3】若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆建立不等式，并解出不等式即可 【解析】由题意可知：方程表示焦点在轴上的椭圆 则有： 解得： 故选：A. 【例4】已知方程＝1. (1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据椭圆的标准方程求解； （2）根据椭圆的标准方程求解； （3）根据椭圆的标准方程求解. 【解析】（1）依题意，有，解得. 故实数m的取值范围为. （2）依题意，有，解得. 故实数m的取值范围为. （3）依题意，有，解得，且， 故实数m的取值范围是. 【跟踪训练】 1.方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】借助椭圆定义与充要条件的定义计算即可得. 【详解】若表示椭圆，则有， 解得或. 故选：D. 2. 方程表示椭圆，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【解题思路】结合椭圆的标准方程求解即可. 【解答过程】由题意知，，解得或. 故选：B. 3. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据椭圆的标准方程的类型列式可得结果. 【解答过程】方程表示焦点在轴上的椭圆， 则,解得：, 所以实数的取值范围是， 故选：C. 知识点二、椭圆标准方程的求解 题型03：定义法求椭圆的标准方程 【例5】已知动点到两个定点的距离之和为6，则动点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义即可求出答案. 【详解】根据椭圆的定义知动点M轨迹为以A，B为焦点的椭圆，，，， 即动点轨迹方程为. 故选：D. 【跟踪训练】 1. 若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得：到与的距离之和为，且， 故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，， 所以，，所以椭圆方程为. 故选：C 2.平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，平面内点P到、的距离之和是10， ∴动点的轨迹为椭圆,焦点在轴上, , 解得：， ∴， ∴轨迹方程为: ，故选: B. 3.椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10，则椭圆的标准方程为___. [解析]　(1)椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． ∵2a＝10，c＝4，∴b2＝a2－c2＝9， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 题型04：待定系数法求椭圆的标准方程 【方法点拨】①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0,B>0，且A≠B)，再解答. ③与椭圆＋＝1共焦点的椭圆可设为＋＝1(k>－m2,k>－n2) 【例6】求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为，，经过点； (2)经过点两点． (3)过且与有相同的焦点；． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设椭圆的标准方程为，依题意求出和可得结果； （2）过两点的椭圆方程，可设为，代入计算即可． （3）由焦点坐标得值，设出椭圆方程将点代入方程待定系数可得． 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， 依题可得，将代入到方程中得， 故， 所以椭圆的标准方程为． （2）设方程为 则，解得，则所求椭圆方程为 （3）由方程可知，其焦点的坐标为，即． 则， 设所求椭圆方程， 因为椭圆过点，代入方程得， 解得（舍去），， 故椭圆的标准方程为； 【跟踪训练】 1. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）一个焦点为 （2）焦点在轴上，且经过两个点和； （3）椭圆的焦点在x轴上，a∶b＝2∶1，c＝. 【答案】（1）；【答案】(1)；（3）＋＝1 【解析】（1）由题知，，椭圆焦点在x轴上， 又，所以， 所以，椭圆方程为. （2）因为椭圆的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为． 又椭圆经过点和， 所以解得 所以所求椭圆的标准方程为． (3)∵c＝，∴a2－b2＝c2＝6.① 又由a∶b＝2∶1，得a＝2b，代入①得4b2－b2＝6， ∴b2＝2，∴a2＝8. 又∵椭圆的焦点在x轴上， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1) 椭圆经过和．； (2）经过点，． （3）经过和两点. 【答案】(1) (2) （3） 【分析】(1) 可设椭圆的方程为mx2+ny2＝1，采用待定系数法即可求解； (2)已知椭圆过两点，设其方程为，将点代入解方程组即可求解. （3）设所求椭圆方程为，代入和两点的坐标，联立方程组，求得的值，即可求解. 【详解】（1）根据题意，设椭圆的方程为mx2+ny2＝1， 又由椭圆经过和， 则有，解可得m＝5，n＝4； 则要求椭圆的方程为5x2+4y2＝1， 即其标准方程为. （2）设椭圆的方程为（，，且）． 因为点，在椭圆上， 所以代入椭圆的方程得，解得，， 所以椭圆的标准方程为． （3）设所求椭圆方程为， 由和两点在椭圆上，可得， 即，解得， 故所求椭圆的标准方程为． 3.求适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）过点，且与椭圆有相同的焦点. （2）过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点 （3）经过点，且与椭圆有共同的焦点； 【答案】（1）.＋＝1. （3）(2) 【分析】根据题意，设它的标准方程为且，代入点，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】（1）由与椭圆有相同的焦点，可得， 因为焦点在x轴上，可设它的标准方程为且， 因为椭圆过点，所以有     ①， 又因为     ②， 由①②解得：，. 所求椭圆的标准方程为. （2）方法一(定义法)：椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4. 由椭圆的定义知，2a＝＋，解得a＝2. 由c2＝a2－b2，可得b2＝4.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 方法二(待定系数法)：设所求椭圆方程为＋＝1(k<9)，将点(，－)的坐标代入，可得＋＝1，解得k＝5或k＝21(舍去)，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. 方法三(待定系数法)：设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．由题意得解得 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. （3）椭圆，即，故， 则焦点为，， 依题意，设所求椭圆的标准方程， 则有，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 题型05：求椭圆的动点轨迹方程 【例7】已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设动点，斜率用坐标表示，由斜率之积为可得出之间的关系式，进而得的轨迹方程. 【详解】设动点的坐标为，又，， 所以的斜率，的斜率， 由题意可得， 化简，得点的轨迹方程为. 故答案为： 【跟踪训练】 1.已知的两个顶点坐标分别是和，边AB，AC所在直线的斜率的乘积是，求顶点A的轨迹方程. 【答案】. 【分析】设顶点A的坐标为，进而根据斜率之积列式计算即可得轨迹方程. 【详解】设顶点A的坐标为，则，，. 依题意得，化简可得顶点A的轨迹方程为. 2.点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点M的轨迹. 【答案】点M的轨迹是长轴长为4，短轴长为，焦点在x轴上的椭圆. 【分析】根据给定条件，列出方程并化简，再由方程特征确定轨迹作答. 【详解】设点到直线l的距离为d，依题意，， 于是，化简得，即. 所以点M的轨迹是长轴长为4，短轴长为，焦点在x轴上的椭圆，如图，    3.设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.求点P的轨迹方程； 【答案】； 【分析】首先设点和的坐标，再根据向量间的关系，采用代入法求点的轨迹. 【详解】 设，，则，， 由得.因为在C上，所以. 因此点P的轨迹为. 4.一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设动圆圆心为，半径为，根据题意知：，， 所以，所以圆心的轨迹为椭圆. 其中，，故， 因为焦点在轴上，故圆心轨迹方程为：. 故答案为：. 5.已知点，点是圆上一动点，线段MP的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一般方程得到圆心和半径，再由几何关系得到点的轨迹是以为焦点的椭圆即可； 【解析】    由题意得，圆心，半径， 因为，， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，其中， 所以动点的轨迹方程为， 故选：B. 题型06：根据椭圆方程求参数的范围 【例8】若焦点在轴上的椭圆的焦距为，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】由于椭圆焦距为，所以， 由于椭圆的焦点在轴上，， 所以， 解得. 故答案为： 【跟踪训练】 1.已知椭圆的的焦距为2，则m的值为（   ） A．5 B． C．3或5 D．或 【答案】C 【详解】由题有，所以 当椭圆方程的交点在轴时， 且，解得； 当椭圆方程的交点在轴时， 且，解得； 的值为5或3. 故选C. 2.若椭圆＋＝1的一个焦点坐标为(1,0)，则实数m的值为______ 答案：4 3.“是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由题意，方程，可化为标， 当时，方程表示焦点在上的椭圆，即充分性成立； 若方程表示焦点在上的椭圆，则满足，即必要性成立， 所以时方程表示焦点在上的椭圆的充要条件.故选：A. 4.已知m、n均为实数，方程表示椭圆，且该椭圆的焦距为4，则n的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意得，，，所以， 1 若，即时，则焦点在轴上， 则，所以， 代入，，， 得，解得； 2 若，即时，则焦点在轴上， 则，所以， 代入，，， 得，解得； 综上，n的取值范围是. 故答案为：. 知识点三、椭圆的焦点三角形 题型07：椭圆中焦点三角形的周长问题 【例9】已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上，则的周长为_______ 【分析】根据椭圆的标准方程得出椭圆中的，利用椭圆的定义及三角形的周长公式即可求解. 【详解】由，得，即， 所以，即. 由椭圆的定义知，, 所以的周长为. 【跟踪训练】 1.已知是椭圆的左右焦点，若直线过焦点，且与椭圆交于，则的周长为 . 【答案】8 【解析】已知是椭圆的左右焦点， 若直线过焦点，且与椭圆交于， 根据椭圆定义可知，， 所以的周长. 故答案为：8 2.椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上异于左右顶点的任意一点，、的中点分别为M、N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为4，则的周长是_____． 【答案】 【解析】因为M,O,N分别为的中点，所以， 则四边形OMPN是平行四边形，所以， 由四边形OMPN的周长为4可知， ，即，则， 于是的周长是. 故答案为：. 3. 已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为____________ 【答案】 【分析】由题意，根据椭圆的定义计算直接得出结果. 【解析】由题意知，，由椭圆的定义知， 四边形的周长为. 故答案为： 4. 已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为______． 【答案】10 【解析】椭圆的方程为，∴，，， 连接，，则由椭圆的中心对称性可得 的周长， 当AB位于短轴的端点时，取最小值，最小值为， ． 故答案为：10 题型08：椭圆中焦点三角形的面积问题 【例10】设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为 . 【答案】 【解析】由椭圆定义可得， 则有，即，， 又， 由，故， 故. 故答案为：. 【例11】如图所示，已知椭圆的方程为，若点为椭圆上的点，且，求的面积．    【答案】 【分析】在中，利用余弦定理结合椭圆的定义可求出，再利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】由已知，得， 则，， 在中，由余弦定理，得， 所以， 由，得， 所以，化简解得， 所以的面积为， 【跟踪训练】 1.已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】D 【分析】在中，结合椭圆定义及勾股定理可得，进而求得的面积. 【详解】由椭圆定义可得， 又因为，所以由勾股定理可得， 即，解得， 则的面积为. 故选：D. 2.已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】由椭圆定义和得到，结合，由余弦定理得，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案. 【解析】由椭圆定义可得， 故， 又， 则由余弦定理得， 故， 故. 故选：C 3.已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D．9 【答案】A 【解析】因为， 所以， 又 记，则， ②2-①整理得：，所以 故选：A 4.，是椭圆的两个焦点，A是椭圆上一点，是直角三角形，则的面积为（    ） 【答案】9或 【分析】对的直角进行分类讨论，结合椭圆的定义以及标准方程求得正确答案. 【详解】由得，不妨，，则， 当时，则 ①平方减去②得， ∴， 当 (或者)时，， 令，则，解得， 则， .    5.已知点是椭圆上的点，点、是椭圆的两个焦点． （1）若，求； （2）若的面积为9，求的大小． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设，设， 由，则， 所以有， 由余弦定理可知：， 所以有， 即 （2）由（1）可知：， 因为，所以，因此，即. 题型09：椭圆中焦点三角形的其他问题 【例12】椭圆的焦点为点在椭圆上，若则的大小为___． 【答案】 【解析】，． 在中，， ． 故答案为：. 【例13】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，的面积为，则下列说法错误的是（    ） A．点的横坐标为 B．的周长为16 C．的内切圆的半径为 D．的外接圆的半径为 【答案】A 【分析】 根据椭圆的标准方程，椭圆的定义式，三角形的周长，以及三角形的周长与三角形的内切圆半径的关系，正余弦定理，即可依次得出答案. 【详解】由题意知，，，则，. 对于A选项，因为，解得，又， 则，，故A错误； 对于B选项，的周长为，故B正确； 对于C选项，设的内切圆的半径， 则， 又，， 解得，故C正确； 对于D选项，在中， 由， 解得， 又， 即， 整理得：， 即， 即， 又， 解得， 设的外接圆的半径为， 由正弦定理知： ，即，解得，故D正确. 故选：A. 【跟踪训练】 1.若P是椭圆上任意一点，、是焦点，则的最大值为______． 【答案】## 【分析】先根据椭圆的方程得到，进而利用椭圆的基本性质确定最大角的位置，即可得到答案 【详解】【解析】根据椭圆的方程可知：，∴，，， 方法1：由椭圆的对称性可知，的最大时，P在短轴端点，此时，所以是正三角形，∴的最大值为； 方法2：在中，， 所以令，则，所以即，则（当且仅当即时，等号成立），又因为，所以的最大值为故答案为： 2.点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆方程求出，由椭圆的定义可求出，然后利用等面积法可求出P点的纵坐标. 【详解】由，得， 所以， 所以， 设的内切圆半径为， 因为 所以，得. 故选：B 知识点四、综合提升 题型10：椭圆上两点距离的最值问题 【例14】为椭圆：上一点，，则最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角换元得，即可根据两点距离公式求解. 【详解】设， 则 ， 由于，故当时，取最小值， 故选：D 【跟踪训练】 1.已知椭圆C：的左焦点为，为椭圆C上任意一点，则的最小值为______． 【答案】1 【解析】由椭圆C：知：，故， 所以， 所以，的最小值为. 故答案为： 2.已知椭圆的右顶点为，为上一点，则的最大值为______. 【答案】 【解析】椭圆的右顶点为，设点，则，即，且， 于是得， 因，则当时，， 所以的最大值为. 故答案为： 3.已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为______ 【分析】设出点坐标，利用坐标表示出并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出的最大值. 【详解】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以， 题型11：椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 【例15】已知椭圆C：的左焦点为F，P为C上一动点，定点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记椭圆的右焦点为，由椭圆定义转化为，当是的延长线椭圆的交点时，可取得最大值． 【详解】，在椭圆内部，记椭圆的右焦点为，，椭圆中，在椭圆上， ，， ，当是的延长线椭圆的交点时，取等号， 所以的最大值为， 故选：B． 【例16】设F是椭圆上的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（　   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】， 设为该椭圆的左焦点，， 所以， 于是， 显然当三点共线，且与垂直时， 有最小值，最小值为， 故选：D    【跟踪训练】 1.已知，F是椭圆C：的左焦点，点P是椭圆C上的动点，则的最小值为___________. 【答案】4 【解析】设椭圆C的右焦点为，依题意，，由椭圆的定义得：， 而，即，有， 因此，，当且仅当点P是线段的延长与椭圆C的交点时取“=”， 所以的最小值为4. 故答案为：4 2.已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取椭圆的右焦点为，故, 由于,故， 因此， 故的最小值为5，当且仅当三点共线，且在上半椭圆时取到最小值， 故选：B 3.已知点 在椭圆 上，点 ，则 的最大值为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【详解】 作椭圆的左焦点，则， 当且仅当点为线段的延长线与椭圆的交点时取得，由两点间距离公式得， 故，C正确， 故选：C 4.设P是椭圆上一点，M、N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值分别是 ． 【答案】4，8 【解析】椭圆的两个焦点坐标为， 且恰好为两个圆的圆心坐标，两个圆的半径相等都等于1， 则由椭圆的定义可得 故椭圆上动点与焦点连线与圆相交于、时，最小， 所以， . 故答案为：4，8. 5. 已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为;(2)最大值为，最小值为 【分析】(1)由题意可知：根据三角形的性质，即可求得然后得到的最大值与最小值； (2)利用椭圆的定义表示出，根据椭圆的定义及三角形三边的关系，即可求得答案． 【解析】（1）由椭圆可知，，， 则，，    则，当且仅当、、三点共线时成立， 所以， 所以的最大值与最小值分别为和； （2），，， 设是椭圆上任一点，由，， ， 等号仅当时成立，此时、、共线， 由， ， 等号仅当时成立，此时、、共线， 故的最大值与最小值为． 一、填空题 1.椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则______ 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出结果. 【详解】椭圆的长半轴长，依题意，，而， 所以. 2.如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 . 解析：由题意可知：方程表示焦点在轴上的椭圆 则有： 解得： 3.已知椭圆的焦距为2，则实数m的值为 . 【答案】3 【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上，所以，，， 所以，解得. 故答案为：3. 4.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】把给定方程化成标准形式，再利用椭圆的特征列式求解即得. 【详解】椭圆方程化为， 依题意，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 5.经过点和的椭圆的标准方程为________ 【解题思路】利用待定系数法求解椭圆标准方程. 【解答过程】根据题意设, 由在椭圆上， 则，解得 所以椭圆的标准方程. 6.过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为_______ 【解题思路】将与椭圆焦点相同的椭圆的方程设为，再将点代入，求得的值，即可得出椭圆标准方程. 【解答过程】设所求椭圆方程为， 将点代入，可得，解得（舍去）， 故所求椭圆的标准方程为． 7.平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为______ 【解题思路】利用椭圆的定义求解即可. 【解答过程】由题意，点到两点，的距离之和为， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，，， 所以点P的轨迹方程为. 8.平面内点到的距离之和是10，则动点的轨迹方程是_______ 【解题思路】根据题设条件结合椭圆的定义进行求解. 【解答过程】由题知，， 由椭圆的定义可知，的轨迹方程是焦点在轴上的椭圆， 其中，则， 方程为：. 9.点在椭圆上，则等于_______ 【详解】因为椭圆的标准方程为：，所以该椭圆的交点在轴上，且，， 所以，所以焦点坐标为：和. 因为表示点到两点和的距离之和； 根据椭圆的定义，所以. 10.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的周长为______ 【分析】利用椭圆定义以及标准方程即可得出结果. 【详解】由题知，椭圆， 则长轴，焦距， 的周长为. 11.已知，为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则的面积为_______ 【解析】由椭圆可知， 故，结合， 可得，而， 故为等腰三角形，其面积为， 12.设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为____________ 【答案】3 【分析】利用椭圆定义转化为，即求的最大值，根据三角形性质，当三点共线时最大可得答案. 【解析】，所以，所以轴， 因为，所以在椭圆内部，且， 所以， 即求的最大值， 由于，当三点共线时最大， 此时，， 所以. 故答案为：3 二、选择题 13.曲线与的关系是（    ） A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有不等的焦距，相同的焦点 C．有不等的焦距，不同的焦点 D．有相等的焦距，不同的焦点 【答案】D 【分析】根据椭圆标准方程的特点及焦距的定义即可求解. 【详解】由题意可知，椭圆的焦点在轴上，且， 所以，焦距为，焦点坐标为， 椭圆的焦点在轴上，且， 所以，焦距为，焦点坐标为， 所以两椭圆有相等的焦距，不同的焦点. 故选：D. 14.过点且与有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知方程求出焦点即为所求椭圆焦点，设出所求椭圆方程，代入，解方程组即可. 【详解】由知，焦点为，，即，. 设所求椭圆方程为，则，解得， 故所求椭圆方程为. 故选：A. 15.已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要求的最小值，根据椭圆的定义可以转化为（其中为椭圆的左焦点），即求的最小值，即为圆心与的距离减去半径，进而解决问题． 【详解】如图，由题可知，圆的圆心坐标为，半径为1， 设椭圆的左焦点为，即， 则， 故要求的最小值，即求的最小值， 所以的最小值等于， 即的最小值为， 故选：D． 16.已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，则下列说法错误的有（    ） A．若，则 B．面积的最大值为2 C．的最大值为 D．的最大值为4 【答案】B 【分析】利用余弦定理可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用椭圆的定义可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项． 【详解】在椭圆中，，且， 对于A选项，当时，则为椭圆的上下顶点，故， 由余弦定理可得， 因为，所以，，A对； 对于B选项，当点为椭圆的短轴顶点时，点到轴的距离最大， 所以，△面积的最大值为，B错误； 对于C选项，因为，即， 所以，C对； 对于D选项，由椭圆定义可知， 所以，当且仅当时取等号． 故选：B． 3、 解答题 17.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)经过和点． 【答案】(1)1 (2) (3)． 【分析】（1）由焦点坐标求，由椭圆定义得即可求，从而得方程； （2）结合图形，已知点是长短轴的顶点，则可得； （3）设椭圆方程的简化形式，待定系数解方程组可得. 【详解】（1）由题意，椭圆焦点在轴上，且， 则， ∴椭圆方程为1； （2）根据题意，所求椭圆的焦点在y轴上，且经过两个点和， 则，则椭圆的标准方程为； （3）根据题意，要求椭圆经过（，）和点（，1）两点， 设其方程为， 则有，解可得， 则所求椭圆的方程为． 18.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点. (2)经过点，且与椭圆有共同的焦点； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，设椭圆的一般式方程，代入两点，列出方程组，求解即得； （2）由已知椭圆求出半焦距并判断焦点位置，设出所求椭圆方程，列方程组，求解后即得. 【详解】（1）设所求椭圆的方程， 将代入上式得，解得， 所以所求椭圆的标准方程为； （2）椭圆，即，故， 则焦点为，， 依题意，设所求椭圆的标准方程， 则有，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 19.已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点. (1)若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，的面积为4，求b的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知可求出，点坐标可代入椭圆方程求出，进而求出； （2）得到椭圆标准方程根据，利用三角形面积公式和椭圆定义以及勾股定理来求解的值. 【详解】（1）已知，因为，所以.点在椭圆上，将其代入椭圆方程，可得，即，解得. 又因为，，，所以. 所以椭圆的标准方程为. （2）因为，所以的面积，则.根据椭圆定义，. 由勾股定理可得. 又，即. 在椭圆中有，将变形为，即，解得. 20．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点. (1)若焦距为，点的坐标为，求椭圆C的标准方程； (2)若，且，的面积为，求b的值. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）已知，因为，所以， 点在椭圆上，将其代入椭圆的， 可得，即①， 又因为，即②， 联立①②，整理得，解得或， 因为，所以， 所以， 故椭圆的标准方程为； （2）因为，所以的面积， 则， 因为， 根据椭圆的定义得， 所以，即③， 由余弦定理可得， 整理得 ④， 联立③④得：，即， 则，所以， 在椭圆中有，即， 解得. 21.已知椭圆的焦点为、，该椭圆经过点 (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆上的点满足，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用椭圆的定义可求出的值，结合的值可得出的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）由题意得出，由题意得出，结合平面向量数量积的坐标运算求出的值，结合三角形的面积公式可求得的值. 【解答过程】（1）根据题意可设椭圆的标准方程为， 由椭圆的定义可得，故， 又因为，所以， 因此椭圆的标准方程为. （2）由题意可得，故， ，， 因为，所以 ，解得， 故. 1 学科网（北京）股份有限公司 $