精品解析：山西省晋中市部分学校2025-2026学年上学期九年级期末考试数学试卷

2025~2026学年第一学期九年级期末学情诊断卷 数学试卷 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置. 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，最适合采用抽样调查是（ ） A. 检查一批飞行员的视力 B. 对乘坐地铁乘客的安全检查 C. 对神舟二十二号飞船零部件质量的检查 D. 调查某款新能源汽车的抗撞击能力 3. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 下列一元二次方程，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 该函数的最大值为3 B. 该函数图象的对称轴为直线 C. 该函数图象开口向上 D. 当时，函数值随的增大而减小 6. 某校学生会在筹备校庆游园会的过程中，设计了一个投壶游戏，规则为参与者在一定距离外向特制壶中投掷箭矢，投中即可获奖.活动开始前，为检验游戏难度，策划者多次进行投掷试验，将获得的试验数据整理如下表： 投掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 投中的次数 12 27 49 60 70 88 250 510 1000 2500 投中的频率 0.60 0.45 0.49 0.50 050 0.55 0.50 0.51 0.50 0.50 则投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为（结果精确到0.01）（ ） A. 0.45 B. 0.49 C. 0.50 D. 0.51 7. 根据国家标准《自动扶梯和自动人行道的制造与安装安全规范》，自动扶梯的倾斜角不应大于．如图是某商场扶梯的示意图，扶梯的坡度（i为铅直高度与水平宽度的比）．若小光乘扶梯从扶梯底端A处以的速度用时到达扶梯顶端B处，则小光上升的铅直高度为（ ） A B. C. D. 8. 如图，在中，，分别是，边上的点，连接，，连接，相交于点．若，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 2025年是“绿水青山就是金山银山”理念提出的20周年．某地大力实施“植树造林，净化环境”计划，当地原来森林植被覆盖面积为9600公顷，经过两个周期（每个周期为5年）的全民行动，森林植被覆盖面积达到了15000公顷．设平均每个周期的增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为的直径，过圆上一点C作的切线l，过点B作于点D．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_________． 12. “50个人中有恰好2个人的生日相同”是______事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） 13. 如图，正五边形内接于，过点C的直径与交于点F，连接，则的度数为________． 14. 已知在高度处以初速度竖直向上抛某物体，抛出后该物体离地面的高度（单位：）与运动时间（单位：）之间的关系可以近似的用公式表示，其中为重力加速度，．若小明将一个小球从距离地面的高处以的初速度竖直向上抛出，则该小球达到的离地面的最大高度为_______． 15. 如图，在四边形中，，，，是边上一点，连接，，且，．若，则的长为______. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程：. 17. 现要装裱一幅竖式布局的《七律•长征》书法作品，装裱时四周加上一定宽度的绫边，上、下绫边的宽度之比为，左、右绫边的宽度相等，下绫边的宽度是左、右绫边宽度的2倍.若装裱成品的面积为，求装裱成品的长与宽． 18. 参加社会实践活动可以增强学生运用知识解决实际问题的能力，培养学生的自信心与责任心，某校数学小组为了解九年级学生这学期参加社会实践活动的时间，随机对该年级部分学生参加社会实践活动的时间（单位：）进行调查． 【收集数据】小明随机收集了50名九年级学生参加社会实践活动的时间，情况如下： 6 14 11 14 10 12 13 9 11 10 13 12 13 10 15 12 9 13 11 15 15 13 10 8 14 12 9 13 11 14 10 13 9 11 12 13 11 8 13 11 15 10 12 12 14 12 7 11 15 13 【整理数据】小明将这组数据以2为组距，分成5组（每组包含最小值，不包含最大值），整理成如下的频数分布表： 时间 频数 2 6 ______ 18 ______ 【表示数据】小明根据频数分布表绘制了如图1所示的频数分布直方图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布表和频数分布直方图． （2）若该校九年级共有600名学生，请估计该校九年级学生参加社会实践活动时间不少于12h的人数． （3）小明进一步随机调查了50名八年级学生参加社会实践活动时间的数据，并整理成如图2所示的扇形统计图，请根据上述统计图表，写出一个八、九年级学生参加社会实践活动时间情况的相同点． 19. 为了丰富学生的文体活动，营造积极向上的校园氛围，某学校组织了“校园科技艺术节”活动，其中有抽奖环节，在一个不透明的抽奖箱里放了个除颜色外其余均相同的彩色乒乓球，其中个“金色”，个“银色”.抽奖规则：从抽奖箱里任意摸取两个乒乓球，如果两个乒乓球都是“金色”，即可获得“艺术节大礼包”一份. （1）从抽奖箱里摸出一个乒乓球，摸到是“银色”球的概率为 ； （2）请用列表或画树状图的方法求抽奖者获得“艺术节大礼包”的概率． 20. 项目学习 项目背景： 汾河水库是一座以防洪、灌溉、城市生活和工业供水为主，兼发电和养殖等综合利用的大型水利枢纽工程．某综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何勘测汾河水库两岸某两点间的距离 活动内容 利用三角函数有关知识进行计算 活动过程 方案说明 如图，在同一水平线上的两岸边分别取A，B两点． ①无人机从水面竖直上升500m后到达，点C； ②在点C处测得点A的俯角为； ③在点C处测得，点B的俯角为．图中各点都在同一竖直平面内． 计算 … 交流展示 … （1）请根据上述数据，计算汾河水库两岸A，B两点间的距离．（结果精确到1m；参考数据：，，，，，） （2）该小组的同学想要写一份完整的项目学习活动报告，除上表内容外，你认为还需要补充哪些内容？（写出一个即可） 21. 阅读与思考 阅读下面材料，并完成相应任务． 探索“垂径四边形”的性质 在中国传统建筑中，圆形窗棂设计蕴含着丰富的几何原理．一种常见的圆形窗棂图案由四个端点均落在圆上的木条构成，其中两条对角线木条互相垂直，这种结构称为“垂径四边形”，因其稳定性常用于支撑结构． “垂径四边形”有如下性质：过对角线交点向一边作垂线，该垂线段的反向延长线必平分该边的对边．数学语言表述为：如图，四边形内接于，对角线于点．过点作于点，反向延长交于点，则． 证明：于点，． 于点， ． ． 又，（依据） …… 任务： （1）材料中“依据”是指________． （2）补充完整材料中的证明过程． （3）若，请直接写出四边形的面积． 22. 综合与实践 问题情境： 某篮球队为提高球员的投篮技术，运用科学手段追踪记录球员的每次投篮，发现在理想状态下，球员所投出去篮球的运动路线可看作抛物线： 测量数据： 篮球从距地面的球员手中投出，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，最高点与篮球出手点的水平距离为． 数学建模： 如图，将篮球的运动路线抽象为抛物线，其顶点为E，对称轴为直线l，篮球出手点为A，落地点为C．以水平地面为x轴，过点A且与水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，O为原点． （1）请直接写出顶点E的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决： 已知投出去篮球的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变； （2）如图，若球员原地垂直起跳投篮，篮球出手点记为B，即，篮球落地点为D，求起跳点与落地点D的水平距离的长； （3）已知在距点O水平距离，垂直高度处是篮框．若该球员向篮筐方向沿直线运球一定距离后，再垂直起跳投篮，篮球可准确落入篮筐内，请直接写出该球员向篮框方向沿直线运球的距离． 23. 综合与探究 问题情境： 如图，在中，，，是延长线上一点，以点为直角顶点，在的右侧作等腰，连结与交于点，取的中点，连结. （1）初步探究： 若，，求的长； （2）猜想证明： 试判断与的位置关系，并说明理由； （3）深入探究： 如图，若平分，连接．设，则的长为 ．（用含的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期九年级期末学情诊断卷 数学试卷 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置. 3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握乘法法则是解答本题的关键． 二次根式相乘，把系数相乘作为积的系数，被开方数相乘，并化为最简二次根式即可． 【详解】解：． 故选B． 2. 下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ） A. 检查一批飞行员的视力 B. 对乘坐地铁乘客的安全检查 C. 对神舟二十二号飞船零部件质量的检查 D. 调查某款新能源汽车的抗撞击能力 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．据此逐项分析即可． 【详解】解： A．飞行员视力检查，总体较小且关乎安全，需全面调查； B．地铁安检，涉及公共安全，需全面调查； C．飞船零部件质量检查，涉及航天员人身安全，需全面调查； D．新能源汽车抗撞击测试具有破坏性，且车辆数量大，适合抽样调查； 故选D． 3. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，求角的正弦值，由勾股定理得，然后通过，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：． 4. 下列一元二次方程，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算各选项方程的根的判别式Δ=b2-4ac，然后根据计算的结果分别判断根的情况． 【详解】解：A．Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，方程有两个不相等，故A错误； B．Δ=b2-4ac=42-4×1×(-1)=20>0，方程有两个不相等，故B错误； C．Δ=b2-4ac=(-4)2-4×2×3=-8<0，，方程没有实数根，故C正确； D．Δ=b2-4ac=(-5)2-4×3×2=1>0，方程有两个不相等，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ=b2-4ac．解题的关键是掌握当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根． 5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 该函数的最大值为3 B. 该函数图象的对称轴为直线 C. 该函数图象开口向上 D. 当时，函数值随的增大而减小 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，对于二次函数(a，h，k为常数，)，当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是，对称轴为直线． 根据二次函数顶点式 的性质逐项分析即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向下，故C错误； 对称轴为直线，故B错误； 函数有最大值，最大值为 ，故A正确； 当时，随增大而增大，故D错误． 故选A． 6. 某校学生会在筹备校庆游园会的过程中，设计了一个投壶游戏，规则为参与者在一定距离外向特制壶中投掷箭矢，投中即可获奖.活动开始前，为检验游戏难度，策划者多次进行投掷试验，将获得的试验数据整理如下表： 投掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 投中的次数 12 27 49 60 70 88 250 510 1000 2500 投中的频率 0.60 0.45 0.49 0.50 0.50 0.55 0.50 0.51 050 0.50 则投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为（结果精确到0.01）（ ） A. 0.45 B. 0.49 C. 0.50 D. 0.51 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率，根据大量重复试验中频率稳定于概率的原理，取投掷次数较大时的稳定频率作为概率的估计值． 【详解】解：由频率分布表可知，随着投中次数越来越大，频率逐渐稳定到常数0.50附近， ∴估计投掷一次箭矢恰好能够投中的概率约为0.50． 故选：C． 7. 根据国家标准《自动扶梯和自动人行道的制造与安装安全规范》，自动扶梯的倾斜角不应大于．如图是某商场扶梯的示意图，扶梯的坡度（i为铅直高度与水平宽度的比）．若小光乘扶梯从扶梯底端A处以的速度用时到达扶梯顶端B处，则小光上升的铅直高度为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查坡比的概念，勾股定理及解一元一次方程，理解题意，设未知数，构建方程是解题的关键． 先求得，设，再由勾股定理得，解得，即可求解. 【详解】根据题意，， 扶梯的坡度， ，设， ， 解得， ． 故选：C． 8. 如图，在中，，分别是，边上的点，连接，，连接，相交于点．若，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． 证明，，根据得到，，，，根据得到，根据“三角形高相等，面积比等于底的比”得到，，可知． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，，，，故A结论正确， ∴，，，故B、C结论正确； ∴，故D选项结论不正确，符合题意； 故选：D． 9. 2025年是“绿水青山就是金山银山”理念提出的20周年．某地大力实施“植树造林，净化环境”计划，当地原来森林植被覆盖面积为9600公顷，经过两个周期（每个周期为5年）的全民行动，森林植被覆盖面积达到了15000公顷．设平均每个周期的增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键．根据平均增长率的等量关系：，列出方程即可． 【详解】解：∵初始面积为9600公顷，每个周期增长率为x， ∵经过第一个周期后，面积变为， ∵经过第二个周期后，面积变为， ∴． 故选A． 10. 如图，为的直径，过圆上一点C作的切线l，过点B作于点D．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质、扇形的面积公式、等边三角形的判定与性质．连接，，作于点，求得四边形是矩形，是等边三角形，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，根据阴影部分的面积，列式计算即可求解． 【详解】解：连接，，作于点， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵为的直径，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵阴影部分的面积 ， 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出关于的不等式是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件求出的取值范围． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 则的取值范围是：． 故答案为：． 12. “50个人中有恰好2个人的生日相同”是______事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） 【答案】随机 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件的定义，判断“50个人中有恰好2个人的生日相同”属于哪类事件即可． 【详解】解：一年有365天，50个人中可能恰好有两人生日相同，也可能没有两人生日相同，因此该事件是随机事件． 故答案：随机． 13. 如图，正五边形内接于，过点C的直径与交于点F，连接，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆．连接，，先求得，利用等边对等角求得即可． 【详解】解：连接，， ∵正五边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴， 的度数为． 故答案为：． 14. 已知在高度处以初速度竖直向上抛某物体，抛出后该物体离地面的高度（单位：）与运动时间（单位：）之间的关系可以近似的用公式表示，其中为重力加速度，．若小明将一个小球从距离地面的高处以的初速度竖直向上抛出，则该小球达到的离地面的最大高度为_______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据竖直上抛运动的高度公式，代入已知值得到二次函数顶点式，利用二次函数的性质作答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴当时，函数有最大值， 即该小球达到的离地面的最大高度为． 故答案为：7． 15. 如图，在四边形中，，，，是边上一点，连接，，且，．若，则的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等腰直角三角形，解直角三角形，直角三角形的性质等知识，过作于，过作于，判定，得到，推出，求出，由等腰三角形的性质推出是的中点，由直角三角形斜边中线的性质得到，判定四边形是矩形，得到，，由锐角的正切定义求出，求出 ，即可得到的长，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：过作于，过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是的中点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程：. 【答案】（）；（），． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，一元二次方程解法，熟练掌握运算法则和解法是解题的关键． （）根据二次根式的乘法和减法法则即可求解； （）根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：（） ； （） ，即， 或， ∴，． 17. 现要装裱一幅竖式布局的《七律•长征》书法作品，装裱时四周加上一定宽度的绫边，上、下绫边的宽度之比为，左、右绫边的宽度相等，下绫边的宽度是左、右绫边宽度的2倍.若装裱成品的面积为，求装裱成品的长与宽． 【答案】装裱成品的长为，宽为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设左、右绫边的宽度为，则上绫边的宽度为，下绫边的宽度为，根据题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设左、右绫边的宽度为，则上绫边的宽度为，下绫边的宽度为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴，， 答：装裱成品的长为，宽为． 18. 参加社会实践活动可以增强学生运用知识解决实际问题的能力，培养学生的自信心与责任心，某校数学小组为了解九年级学生这学期参加社会实践活动的时间，随机对该年级部分学生参加社会实践活动的时间（单位：）进行调查． 【收集数据】小明随机收集了50名九年级学生参加社会实践活动的时间，情况如下： 6 14 11 14 10 12 13 9 11 10 13 12 13 10 15 12 9 13 11 15 15 13 10 8 14 12 9 13 11 14 10 13 9 11 12 13 11 8 13 11 15 10 12 12 14 12 7 11 15 13 【整理数据】小明将这组数据以2为组距，分成5组（每组包含最小值，不包含最大值），整理成如下的频数分布表： 时间 频数 2 6 ______ 18 ______ 【表示数据】小明根据频数分布表绘制了如图1所示的频数分布直方图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布表和频数分布直方图． （2）若该校九年级共有600名学生，请估计该校九年级学生参加社会实践活动时间不少于12h的人数． （3）小明进一步随机调查了50名八年级学生参加社会实践活动时间的数据，并整理成如图2所示的扇形统计图，请根据上述统计图表，写出一个八、九年级学生参加社会实践活动时间情况的相同点． 【答案】（1），，见解析； （2）； （3）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表和频数分布直方图，扇形统计图，样本估计总体，正确理解题意是解题的关键． （）根据题中数据即可求解； （）利用乘以参加社会实践活动时间不少于人数所占比即可求解； （）根据频数分布表和频数分布直方图，扇形统计图，获取信息即可． 【小问1详解】 解：补全频数分布表如下： 时间 频数 2 6 14 18 10 补全频数分布直方图如下： 【小问2详解】 解：（名）， 答：估计该校九年级学生参加社会实践活动时间不少于12h的人数为336； 【小问3详解】 解：八、九年级学生参加社会实践活动的时间在范围的人数最多，在范围的人数最少（答案不唯一）． 19. 为了丰富学生的文体活动，营造积极向上的校园氛围，某学校组织了“校园科技艺术节”活动，其中有抽奖环节，在一个不透明的抽奖箱里放了个除颜色外其余均相同的彩色乒乓球，其中个“金色”，个“银色”.抽奖规则：从抽奖箱里任意摸取两个乒乓球，如果两个乒乓球都是“金色”，即可获得“艺术节大礼包”一份. （1）从抽奖箱里摸出一个乒乓球，摸到是“银色”球的概率为 ； （2）请用列表或画树状图的方法求抽奖者获得“艺术节大礼包”的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，概率公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据概率公式即可求解； （）根据题意，列表可得一共有种等可能的情况，其中两个乒乓球都是“金色”的情况有种，然后通过概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：从抽奖箱里摸出一个乒乓球，摸到是“银色”球的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，列表如下： 金1 金2 银1 银2 银3 金1 —— （金2，金1） （银1，金1） （银2，金1） （银3，金1） 金2 （金1，金2） —— （银1，金2） （银2，金2） （银3，金2） 银1 （金1，银1） （金2，银1） —— （银2，银1） （银3，银1） 银2 （金1，银2） （金2，银2） （银1，银2） —— （银3，银2） 银3 （金1，银3） （金2，银3） （银1，银3） （银2，银3） —— 由表格可知，一共有种等可能的情况，其中两个乒乓球都是“金色”的情况有种， ∴抽奖者获得“艺术节大礼包”的概率为． 20. 项目学习 项目背景： 汾河水库是一座以防洪、灌溉、城市生活和工业供水为主，兼发电和养殖等综合利用的大型水利枢纽工程．某综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何勘测汾河水库两岸某两点间的距离 活动内容 利用三角函数有关知识进行计算 活动过程 方案说明 如图，在同一水平线上的两岸边分别取A，B两点． ①无人机从水面竖直上升500m后到达，点C； ②在点C处测得点A的俯角为； ③在点C处测得，点B的俯角为．图中各点都在同一竖直平面内． 计算 … 交流展示 … （1）请根据上述数据，计算汾河水库两岸A，B两点间的距离．（结果精确到1m；参考数据：，，，，，） （2）该小组的同学想要写一份完整的项目学习活动报告，除上表内容外，你认为还需要补充哪些内容？（写出一个即可） 【答案】（1）汾河水库两岸A，B两点间的距离约为2491m； （2）答案不唯一，如测量工具、人员分工、指导教师、活动感受等． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角与俯角问题，过点C作于点F，构建直角三角形,利用三角函数求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点C作于点F，则． 根据题意，得． 在中，， 在中，， ． 答：汾河水库两岸A，B两点间的距离约为2491m． 【小问2详解】 答案不唯一，如测量工具、人员分工、指导教师、活动感受等． 21. 阅读与思考 阅读下面材料，并完成相应任务． 探索“垂径四边形”的性质 在中国传统建筑中，圆形窗棂的设计蕴含着丰富的几何原理．一种常见的圆形窗棂图案由四个端点均落在圆上的木条构成，其中两条对角线木条互相垂直，这种结构称为“垂径四边形”，因其稳定性常用于支撑结构． “垂径四边形”有如下性质：过对角线交点向一边作垂线，该垂线段的反向延长线必平分该边的对边．数学语言表述为：如图，四边形内接于，对角线于点．过点作于点，反向延长交于点，则． 证明：于点，． 于点， ． ． 又，（依据） …… 任务： （1）材料中的“依据”是指________． （2）补充完整材料中的证明过程． （3）若，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）同弧所对的圆周角相等 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（）根据圆周角定理即可求解； （）由余角性质和圆周角定理可证，进而得，即得，再根据余角性质证明，得到，即可求证； （）由弧，弦和圆心角的关系可得，即得，进而得到，即得，，即可得，，可得四边形和四边形都是直角梯形，且面积相等，再求出四边形的面积即可求解； 本题考查了圆周角定理，弧、弦和圆心角关系，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：材料中的“依据”是指同弧所对的圆周角相等， 故答案为：同弧所对的圆周角相等； 【小问2详解】 证明：于点， ， 于点， ， ， 又，（同弧所对的圆周角相等） ∴， ∵， ∴， ∴， 于点， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 即， ∴， ∴四边形和四边形面积相等， ∵，对角线于点， ∴， ∴． 22. 综合与实践 问题情境： 某篮球队为提高球员的投篮技术，运用科学手段追踪记录球员的每次投篮，发现在理想状态下，球员所投出去篮球的运动路线可看作抛物线： 测量数据： 篮球从距地面的球员手中投出，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，最高点与篮球出手点的水平距离为． 数学建模： 如图，将篮球的运动路线抽象为抛物线，其顶点为E，对称轴为直线l，篮球出手点为A，落地点为C．以水平地面为x轴，过点A且与水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，O为原点． （1）请直接写出顶点E的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决： 已知投出去篮球的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变； （2）如图，若球员原地垂直起跳投篮，篮球出手点记为B，即，篮球落地点为D，求起跳点与落地点D的水平距离的长； （3）已知在距点O水平距离，垂直高度处是篮框．若该球员向篮筐方向沿直线运球一定距离后，再垂直起跳投篮，篮球可准确落入篮筐内，请直接写出该球员向篮框方向沿直线运球的距离． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意可直接得出二次函数的顶点为，出手点为，再用待定系数法即可求出解析式； （2）设新抛物线的表达式为，再把点代入得到新抛物线的表达式为，令，解方程即可； （3）根据题意设新抛物线为，把篮筐坐标代入即可得到新抛物线的表达式，令，再解方程即可求解． 【详解】解：（1）根据题意，最高点，设抛物线表达式为， 又出手点距地面，即出手点坐标为， ，解得， 即抛物线表达式为， 所以顶点，抛物线表达式为； （2）由题意可知，设新抛物线的表达式为， 又过点， ，解得， 即新抛物线的表达式为， 令，即， 整理得，解得或（舍去）， 所以，水平距离的长为； （3）由（2）知起跳后的抛物线的表达式为 则可设运球后起跳投篮的新抛物线为， 篮筐在距点O水平距离，垂直高度处， 即新抛物线过， 代入得：， 整理得：， 解得或（舍去）， 即新抛物线的表达式为， 令，， 整理得， 解得或（舍去）， 该球员向篮筐方向沿直线运球． 23. 综合与探究 问题情境： 如图，在中，，，是延长线上一点，以点为直角顶点，在的右侧作等腰，连结与交于点，取的中点，连结. （1）初步探究： 若，，求的长； （2）猜想证明： 试判断与的位置关系，并说明理由； （3）深入探究： 如图，若平分，连接．设，则的长为 ．（用含的代数式表示） 【答案】（1）； （2），理由见解析； （3）． 【解析】 【分析】（）因为是等腰直角三角形，所以，，又，所以，则，然后通过勾股定理，得，，然后通过线段和与差即可求解； （）延长交于点，由，，所以，又是等腰直角三角形，所以，则，然后证明是等腰直角三角形，从而可得是的中点，又因为是的中点，则是的中位线，从而求解； （）延长，交于点，由等腰三角形性质可得，，则，可证是等腰直角三角形，同（）理是的中位线，则有，即，所以，，然后证明，则，由平分，所以，则，可得，所以，因为，所以，由（），得，则，则有，，所以，可证是等腰直角三角形，则有，通过勾股定理得，又，所以，求出，得． 【小问1详解】 解：， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 又，， ，， ， ， ，即是的中点， ，， 在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， ； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如解图，延长交于点， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ， 是的中点， 又是的中点， 是的中位线， ，即； 【小问3详解】 解：如图，延长，交于点， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 又， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， ，即， ，， 又， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 由（），得， ， ，， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，中位线定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $