精品解析：北京密云区2025--2026学年八年级上学期期末数学试卷

2025—2026学年第一学期期末 八年级数学练习B 考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分．练习时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和练习编号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，作图必须使用2B铅笔． 4．练习结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的． 1. 近年来，将文字与建筑元素巧妙融合的创意设计，凭借独特视觉呈现与深厚内涵，愈发受到市场与大众的广泛认可与喜爱．下列创意图标中，是轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 我国超导量子计算原型机“祖冲之三号”，其量子比特相干时间达到微秒．微秒用于计量极短的时间间隔，已知微秒秒．用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，的边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 等腰三角形一个内角是，其顶角的度数为（） A. B. C. 或 D. 或 6. 下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列尺规作图中，线段能平分面积的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若正方形M的边长为，其面积记为，长方形N的长为，宽为，其面积记为，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若分式有意义，则实数a的取值范围是__________． 10. 因式分解：5x2﹣10x+5=_____． 11. 一个三角形的两边长分别为5和9，其第三边的长度可以是__________（写出一个即可）． 12. 如图，是的外角的平分线，且交延长线于点E．若，，则__________． 13. 计算：__________． 14. 如图，相交于点O，，添加一个条件使得，可添加的条件是（添加一个即可）__________． 15. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E．若，的周长为20，则的周长为__________． 16. 如图，中，，，，，点P为边上一动点（不与端点重合），点P关于直线的对称点分别为、，连接．在点P的运动过程中，下列结论正确的是（填序号）__________． ①； ②； ③一定是直角三角形； ④长度的最小值是． 三、解答题（共68分，其中17～22题每题5分，23～26题每题6分，27、28题每题7分） 17. 计算：． 18 解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 已知，求代数式的值． 21. 已知：． 求作：点P，使点P在的平分线上． 作法： ①在边上任取一点A，过点A作的垂线，垂足为A； ②以O为圆心，长为半径作弧交于点B； ③以点B为圆心，小于长为半径作弧，交于C、D两点； ④分别以点C、D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，点E在射线上方； ⑤作直线交于点P； 所以点P为所求作． （1）使用直尺和圆规，在图中补全图形（保留作图痕迹）． （2）完成下列证明． 证明：连接，由作图可知，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴ ． 又∵， ∴点P在的平分线上（ ）（填推理依据）． 22. 已知，是等边三角形，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 23. 如图，在平面直角坐标系，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点A关于x轴对称． （1）写出点C的坐标； （2）画出及关于y轴对称的图形； （3）已知点E在格点上（横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点），若以C、A、E为顶点的三角形与全等，写出所有点E的坐标（点E与点B不重合）． 24. 如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接于点E，交于点O． （1）求证：垂直平分； （2）若，求长度． 25. 雪季来临，密云南山滑雪场成为北京滑雪爱好者的首选目的地之一．目前，从北京市区前往南山滑雪场有以下两种较为实用的出行方式． 已知雪场直通巴士的平均速度是高铁免费接驳车平均速度的倍，且方式二的总用时比方式一少24分钟（不计候车时间），求雪场直通巴士的平均速度． 26. 如果两个分式M与N的和为k（k为正整数），则称M与N互为“和整分式”，其中k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，求出k值； （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且． ①求G所代表的代数式； ②若x为整数，分式D的值为正整数，直接写出x的值． 27. 在中，，P为边上一点（不与端点重合），连接，在线段的延长线上取一点D，使，过A点作，垂足为E，连接． （1）如图，当点E与点P重合时，若，则 ． （2）如图，当点E与点P不重合时． ①求证：； ②用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于不共线的三点A、B、P，，若满足，则称点P为点A与点B的“等距点”． （1）已知点，，若点P是点A与点B的“等距点”，则点P的坐标为 ； （2）已知点，D为y轴正半轴上的一点，且，若点Q是点C与点D的“等距点”，求点Q的横坐标． （3）已知点、，点E为线段上一点，点F与点E关于y轴对称，若点是点N与点F的“等距点”，直接写出点P纵坐标y的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期末 八年级数学练习B 考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分．练习时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校、班级、姓名和练习编号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，作图必须使用2B铅笔． 4．练习结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的． 1. 近年来，将文字与建筑元素巧妙融合的创意设计，凭借独特视觉呈现与深厚内涵，愈发受到市场与大众的广泛认可与喜爱．下列创意图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，选项错误； B、不是轴对称图形，选项错误； C、是轴对称图形，选项正确； D、不是轴对称图形，选项错误； 故选：C． 2. 我国超导量子计算原型机“祖冲之三号”，其量子比特相干时间达到微秒．微秒用于计量极短的时间间隔，已知微秒秒．用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，掌握相关知识是解决问题的关键．科学记数法要求将数字表示为的形式，其中，n为整数． 【详解】解：． 故选择． 3. 如图所示，的边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，根据三角形高线的定义，过点作交的延长线于点，则为边上的高，解题的关键是熟练掌握三角形高的画法． 【详解】解：由题意可知，的边上的高是线段， 故选：． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法运算，积的乘方运算和合并同类项，根据相关运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 等腰三角形的一个内角是，其顶角的度数为（） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．等腰三角形的一个内角为，可能是顶角或底角，分两种情况讨论，利用三角形内角和定理求顶角． 【详解】解：等腰三角形的一个内角为， ①若为顶角，则顶角为； ②若为底角，则另一个底角也为， ∵三角形内角和为， ∴顶角； ∴顶角为或． 故选：D． 6. 下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的判断，熟练掌握因式分解的定义是解题关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、等式左边是积的形式，右边是多项式，是乘法运算，不是因式分解，选项错误； B、等式右边不是积的形式，而是和差形式，不是因式分解，选项错误； C、等式右边是整式的积的形式，是因式分解，选项正确； D、等式右边有分式，不是整式，因此不是整式的积，不是因式分解，选项错误； 故选：C． 7. 下列尺规作图中，线段能平分面积的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，三角形的中线平分三角形的面积，掌握尺规作图的步骤是解题的关键． 分别根据尺规作线段垂直平分线，角平分线的步骤逐项判断即可． 【详解】解：A选项是尺规作边的垂直平分线，故为的中线，所以A选项符合题意； B选项是尺规作边的垂直平分线，可知，所以B选项不符合题意； C选项所作射线为的平分线，所以C选项不符合题意； D选项所作射线为边的高线，所以D选项不符合题意． 故选：A． 8. 已知，若正方形M的边长为，其面积记为，长方形N的长为，宽为，其面积记为，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，整式的混合运算的应用，掌握相关运算法则是解题关键．由题意可知，，，再计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 则 ， 故选：D． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若分式有意义，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件是分母不等于零．据此列式求解即可． 【详解】∵分式有意义， ∴， 解得． 故答案为：． 10. 因式分解：5x2﹣10x+5=_____． 【答案】5（x﹣1）2 【解析】 【详解】原式=5（x2﹣2x+1）=5（x﹣1）2. 故答案为：5（x﹣1）2. 11. 一个三角形的两边长分别为5和9，其第三边的长度可以是__________（写出一个即可）． 【答案】5（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形三边关系可求得第三边的取值范围是大于4，小于14，即可解答． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为5和9， ∴第三边的取值范围是大于，小于， ∴第三边的长可以是5． 故答案为：5（答案不唯一）． 12. 如图，是的外角的平分线，且交延长线于点E．若，，则__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，掌握三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题关键．由角平分线的定义可得，再结合三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：，是的平分线， ， 是的外角， ， ， 故答案为： 13. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式除以单项式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据多项式除以单项式的运算法则，用多项式的每一项除以单项式． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 如图，相交于点O，，添加一个条件使得，可添加的条件是（添加一个即可）__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理求解即可，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：添加条件，结合条件，可利用证明， 添加条件，结合条件，可利用证明， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E．若，的周长为20，则的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键． 根据线段垂直平分线的性质可得、，从而得到的周长即为，再计算的周长即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，， ∴，， ∵的周长为20， ∴， ∴即， ∴的周长． 故答案为：． 16. 如图，中，，，，，点P为边上一动点（不与端点重合），点P关于直线的对称点分别为、，连接．在点P的运动过程中，下列结论正确的是（填序号）__________． ①； ②； ③一定是直角三角形； ④长度的最小值是． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等边对等角，三角形内角和定理，全等三角形的判定，连接，由轴对称的性质可得，，则可判断②；可证明，得到三点共线，则可证明，可判断③；根据，且垂线段最短，得到当时，有最小值，即此时有最小值，由等面积法可得，据此可判断④；当时，，据此可判断①． 【详解】解：如图所示，连接， 由轴对称的性质可得，，则，故②正确； ∴，； ∵， ∴， ∴，即， ∴三点共线， ∴，， ∴， ∴， ∴一定是直角三角形，故③正确； ∵，且垂线段最短， ∴当时，有最小值，即此时有最小值， 此时有， ∴， ∴， ∴的最小值为，故④正确； ∵当时，， ∴此时与不全等，故①错误； 故答案为：②③④． 三、解答题（共68分，其中17～22题每题5分，23～26题每题6分，27、28题每题7分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，掌握相关运算法则是解题关键．先计算乘方、负整数指数幂、绝对值、零指数幂，再计算加减法即可． 详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把分式方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算平方差公式和单项式乘以多项式，再合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式 ． 20. 已知，求代数式的值． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． 先计算括号内分式的减法，再将除法化为乘法计算，最后利用整体的思想代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 即原式． 21. 已知：． 求作：点P，使点P在的平分线上． 作法： ①在边上任取一点A，过点A作的垂线，垂足为A； ②以O为圆心，长为半径作弧交于点B； ③以点B为圆心，小于长为半径作弧，交于C、D两点； ④分别以点C、D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，点E在射线上方； ⑤作直线交于点P； 所以点P为所求作． （1）使用直尺和圆规，在图中补全图形（保留作图痕迹）． （2）完成下列证明． 证明：连接，由作图可知，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴ ． 又∵， ∴点P在的平分线上（ ）（填推理依据）． 【答案】（1）见解析 （2）；到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，垂线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，熟知角平分线的判定定理是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）证明得到，再由到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上可证明结论． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：连接，由作图可知，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴点P在的平分线上（到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上） 22. 已知，是等边三角形，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质和全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，再利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得的度数，再由等边三角形的性质可得的度数，据此可得答案． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系，点A的坐标为，点B的坐标为，点C与点A关于x轴对称． （1）写出点C的坐标； （2）画出及关于y轴对称的图形； （3）已知点E在格点上（横坐标与纵坐标都是整数的点叫作格点），若以C、A、E为顶点的三角形与全等，写出所有点E的坐标（点E与点B不重合）． 【答案】（1） （2）见解析； （3）或或． 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称的性质，全等三角形的性质，坐标与图形，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到答案； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）再直角坐标系中画出全等三角形，再写出坐标即可． 【小问1详解】 解：点A的坐标为，点C与点A关于x轴对称， 则点C的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作； 【小问3详解】 解：如下图，点E的坐标为或或． 24. 如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接于点E，交于点O． （1）求证：垂直平分； （2）若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）证明得，可证垂直平分； （2）根据线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质解答即可． 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键． 【小问1详解】 证明：∵为的角平分线，于点E，于点F， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴点A、D都在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【小问2详解】 解：∵，为角平分线，， ∴，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25. 雪季来临，密云南山滑雪场成为北京滑雪爱好者的首选目的地之一．目前，从北京市区前往南山滑雪场有以下两种较为实用的出行方式． 已知雪场直通巴士的平均速度是高铁免费接驳车平均速度的倍，且方式二的总用时比方式一少24分钟（不计候车时间），求雪场直通巴士的平均速度． 【答案】雪场直通巴士的平均速度为 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设高铁免费接驳车平均速度为，则雪场直通巴士的平均速度为，根据方式二的总用时比方式一少24分钟（不计候车时间）建立方程求解即可． 【详解】解：设高铁免费接驳车平均速度为，则雪场直通巴士的平均速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴ 答：雪场直通巴士的平均速度为． 26. 如果两个分式M与N的和为k（k为正整数），则称M与N互为“和整分式”，其中k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，求出k的值； （2）已知分式，，C与D互“和整分式”，且． ①求G所代表的代数式； ②若x为整数，分式D的值为正整数，直接写出x的值． 【答案】（1）是， （2）①②或0 【解析】 【分析】本题考查分式的加减法，分式方程，分式的值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据分式的加减法的运算法则求出，即可得出结论． （2）①由题意可得，再去分母、整理求出的值即可． ②将①所求值代入，再化简得到最简结果，根据为整数，分式的值也为正整数可得出的值． 【小问1详解】 解：， 与互为“和整分式”，“和整值” ； 【小问2详解】 解：①，，与互为“和整分式”，且“和整值” ， ， ， ； ②， ． 分式的值为正整数， 或， 当时，， 当时，， 值为或0． 27. 在中，，P为边上一点（不与端点重合），连接，在线段的延长线上取一点D，使，过A点作，垂足为E，连接． （1）如图，当点E与点P重合时，若，则 ． （2）如图，当点E与点P不重合时． ①求证：； ②用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据垂直可得，再利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可； （2）①根据垂直可得，再利用等边对等角和三角形内角和定理，可得，即可证明结论； ②在上取点，使得，连接，先证明，从而得出，，再证明，得到，即可得出结论． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①， ， ， ， ， ， 即； ②，证明如下： 如图，在上取点，使得，连接， ， ， 又， ， ，， ， 由①可知，， ， ，即， 又， ， ， ， 即． 28. 在平面直角坐标系中，对于不共线的三点A、B、P，，若满足，则称点P为点A与点B的“等距点”． （1）已知点，，若点P是点A与点B的“等距点”，则点P的坐标为 ； （2）已知点，D为y轴正半轴上的一点，且，若点Q是点C与点D的“等距点”，求点Q的横坐标． （3）已知点、，点E为线段上一点，点F与点E关于y轴对称，若点是点N与点F的“等距点”，直接写出点P纵坐标y的取值范围． 【答案】（1）或； （2）或． （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据点在上方或下方，分两类讨论．根据题意，容易判断是等腰直角三角形，使用等腰直角三角形的性质计算点的坐标即可； （2）根据点在上方或下方，分两类讨论．根据题意，容易判断是等边三角形，使用等边三角形的性质，计算点Q的横坐标即可； （3）使用待定系数法求出的函数解析式，设点的坐标为，则点的坐标为．分点在上方和下方两类讨论，通过构造全等三角形，计算出点的坐标，结合点在线段上，求出点纵坐标的取值范围． 【小问1详解】 解：连接， ①当点在下方时，如图，取的中点，连接， ∵点P是点A与点B的“等距点”， ∴，， ∴等腰直角三角形， ∵点是的中点， 又∵，， ∴点坐标为，，， ∴点P的坐标为； ②当点在上方时，如图，取的中点，连接， 同理可得，点坐标为，，， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【小问2详解】 解：∵ 点Q是点C与点D的“等距点”， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ①当点在下方时，如图， ∵， ∴点在轴上， ∵是等边三角形， 又∵， ∴， ∴点的横坐标为； ②当点在上方时，如图， 在直角中，，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴点横坐标为； 综上所述，点横坐标为或． 【小问3详解】 解； 设的函数解析式为， 将、代入，得， ， 解得， ∴的函数解析式为， 设点的坐标为， ∵点F与点E关于y轴对称， ∴点的坐标为， ①当点在上方时，如图，过点作轴的平行线，分别过点、作的垂线，垂足为、， ∵点是点N与点F的“等距点”， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，，，， 列方程组， 解得，， ∵点在线段上， ∴， ∴，即； ②当点在下方时，如图，过点作轴的平行线，分别过点、作的垂线，垂足为、， 同理①可得，， ∴，， ，，，， 列方程组， 解得， ∵， ∴，即； 综上所述，点P纵坐标y的取值范围为或． 【点睛】本题考查新定义，等腰直角三角形的判定和性质，一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识并运用分类讨论思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $