2026年中考数学复习 几何压轴・满分突破集训 专题02 相交线与平行线重难点模型汇编（全国通用）

专题02 相交线与平行线重难点模型汇编 模型一：三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如下图所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 模型二：“铅笔模型” 点 P在 EF右侧，在 AB、 CD 内部 结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 模型三：“猪蹄模型” 点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 模型四：“臭脚模型” 点P在EF右侧，在AB、CD 外部 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 模型五：“骨折模型” 点P在EF左侧，在AB、CD 外部 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP； 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD. 模型六：三角版拼接模型 【题型1 三线八角问题】 【典例1】如图，直线截直线b、c所得的一对同位角是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1】如图，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图所示，直线被直线c所截．若，则（   ） A． B． C． D． 【题型2 两平行线间的拐点问题】 【典例2】已知是一条折线段，且，为平行线间的一点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，作的平分线交直线于点F，若，，求证：； (3)如图3，作的平分线交直线于点F，射线交直线于点M，且为射线上一动点，连接的平分线交直线于点Q．设，请直接写出与的数量关系． 【变式1】已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点． (1)如图1，若，，求的度数． (2)求证：． (3)如图2，若，，，求的度数（用，的代数式表示）． 【变式2】．综合与实践： 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动已知直线，在直角三角板中，，，． 【操作发现】 （1）如图所示，将直角三角板顶点放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点当时，求证：． 【深入探究】 （2）如图所示，将图中三角板的直角顶点放在平行线和之间，交于点，交于点，若，求的度数． 【拓展运用】 （3）同学们继续探究以下问题，将图中三角板的直角顶点放在平行线和之间，交于点，交于点，点在上，连接并延长至点，连接，，平分，若，求的度数． 【变式3】2025年央视春节联欢晚会上，一群穿卷花棉袄的人形机器人科技感爆棚，这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技求领域的重大突破， 【提出问题】 图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，借要添加辅助线构建新的图形． 【问题解决】 解：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 所以． 所以（ ）． 因为． 所以 ， 所以 ． 【迁移应用】 如图③是一款手推车的平面示意图，． （1）若，，则 ． （2）请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则 ． 【题型3 两平行线外的拐点问题】 【典例3】（1）基础问题：如图（1），若，，，则的度数为____________°． （2）问题迁移：如图（2），若，点P在的上方，问：、、之间有什么数量关系？请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，，的角平分线和的平分线交于点G，则____________°（用含有、的代数式表示）． 【变式2】已知：点在直线上，点在直线上，且． (1)如图1，点在直线、之间，连接、，求证： ； (2)如图2，平分，平分，、相交于点，求证：； (3)如图3，，点在延长线上，点在上，点在内，连接，，求的值． 【题型4 三角版拼接问题】 【典例1】将一个含角的三角尺和直尺按如图摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，直线，，．若．则等于（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ． 【变式3】某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 分层训练 【基础巩固】 1．如图，在一个弯形管道中，已知拐角，管道，则 ． 2．已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线被直线所截，根据“同位角相等，两直线平行”判定，需要的条件是（    ） A． B． C． D． 4．如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若，则为（   ） A． B． C． D． 9．如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时，则 ． 【能力提升】 1．2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图1，，，，求的度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，求的度数； （问题迁移） （2）如图2，，点在射线上运动，记，，当点在两点之间运动时，问与之间有何数量关系？请说明理由； （问题应用） （3）在（2）的条件下，如果点在两点外侧运动时（点与点三点不重合），请直接写出与之间的数量关系（并画出相应的图形）． 4．如图，，的角平分线与的角平分线交于，若设． (1)如图1，求的度数（用含的式子表示）； (2)如图2，当时，点在延长线上，点是上一点，若，求的度数 （用含的式子表示）； (3)如图3，的延长线交于点，点 是线段上一点，且，过点作交直线于点，若在直线上取一点，使，求的值． 5．已知，，点E在上方，为钝角，连接，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，过点E作交的延长线于点F，求的值； (3)如图3，若的边交直线于点N，点G为线段上一点，连接，使，连接并延长至点H，若，请你直接写出和之间的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相交线与平行线重难点模型汇编 模型一：三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如下图所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 模型二：“铅笔模型” 点 P在 EF右侧，在 AB、 CD 内部 结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 模型三：“猪蹄模型” 点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 模型四：“臭脚模型” 点P在EF右侧，在AB、CD 外部 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 模型五：“骨折模型” 点P在EF左侧，在AB、CD 外部 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP； 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD. 模型六：三角版拼接模型 【题型1 三线八角问题】 【典例1】如图，直线截直线b、c所得的一对同位角是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据同位角的定义判断即可． 本题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角的定义是解题的关键． 【详解】解：A、与是同旁内角，故此选项不符合题意； B、与不是同位角，故此选项不符合题意； C、与是同位角，故此选项符合题意； D、与不是同位角，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】如图，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 根据平行线的性质即可直接得出，进而根据对顶角相等即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】如图所示，直线被直线c所截．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，结合平角的定义，对顶角相等，求出每个角的度数，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，； 故选B． 【题型2 两平行线间的拐点问题】 【典例2】已知是一条折线段，且，为平行线间的一点． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，作的平分线交直线于点F，若，，求证：； (3)如图3，作的平分线交直线于点F，射线交直线于点M，且为射线上一动点，连接的平分线交直线于点Q．设，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了利用平行线的性质和角平分线的定义判断角度的关系，三角形内角和和外角的性质，熟练利用分类讨论思想是解题的关键． （1）过点作的平行线，利用平行线的判定和性质即可解答； （2）利用平行线的性质和角平分线的定义可得，根据三角形内角和求得，即可解答； （3）分类讨论：分点在点左边或右边，画出图形，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点作的平行线， ，， ，， ， ； （2）解：， ， 是的平分线， ， ，， ， ； （3）解：当点在点左边时，如图， ，，平分， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ，即； 当点在点右边时，如图， ，， 平分， ， ， ，即， 综上，或． 【变式1】已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点． (1)如图1，若，，求的度数． (2)求证：． (3)如图2，若，，，求的度数（用，的代数式表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法是解题关键． （1）过点作直线，根据平行线的性质得、，利用即可求解； （2）过点作直线，利用平行线的性质可得，通过角平分线的定义得、，结合（1）的即可求解； （3）过点作直线，根据题意可得，结合（1）（2）可得，利用平行线的性质得即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵由（1）得，， ∴． （3）解：如图，过点作直线， ∵，， ∴， ， ∵由（1）得：， 由（2）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】．综合与实践： 【问题情境】 在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动已知直线，在直角三角板中，，，． 【操作发现】 （1）如图所示，将直角三角板顶点放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点当时，求证：． 【深入探究】 （2）如图所示，将图中三角板的直角顶点放在平行线和之间，交于点，交于点，若，求的度数． 【拓展运用】 （3）同学们继续探究以下问题，将图中三角板的直角顶点放在平行线和之间，交于点，交于点，点在上，连接并延长至点，连接，，平分，若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由题意，得到，证得，结合已知条件，得到结论； （2）结合图形，利用平行线的性质，得到，从而得到； （3）根据题意，结合图形，得，，结合角平分线得到，从而得到结果． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ； 解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 解：过点作， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设， ， 平分， ， 过点作， ，， ， ， ， ， ． 【变式3】2025年央视春节联欢晚会上，一群穿卷花棉袄的人形机器人科技感爆棚，这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技求领域的重大突破， 【提出问题】 图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】 依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，借要添加辅助线构建新的图形． 【问题解决】 解：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 所以． 所以（ ）． 因为． 所以 ， 所以 ． 【迁移应用】 如图③是一款手推车的平面示意图，． （1）若，，则 ． （2）请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，则 ． 【答案】问题解决：两直线平行，内错角相等；；105；迁移应用：（1）130；（2），理由见解析；拓展提高： 【分析】本题考查了垂直、平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 问题解决：先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，然后根据角的和差即可得； 迁移应用：（1）过点作，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质求解即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得； 拓展提高：过点作，过点作，先求出，，再根据垂直的定义可得，根据角平分线的定义可得，然后求出，最后根据求解即可得． 【详解】解：问题解决：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以． 因为，， 所以， 所以．（根据两直线平行，内错角相等） 因为， 所以， 所以． 迁移应用：（1）如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， （2），理由如下： 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 拓展提高：如图，过点作，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 【题型3 两平行线外的拐点问题】 【典例3】（1）基础问题：如图（1），若，，，则的度数为____________°． （2）问题迁移：如图（2），若，点P在的上方，问：、、之间有什么数量关系？请说明理由． （3）联想拓展：如图（3），在（2）的条件下，已知，，的角平分线和的平分线交于点G，则____________°（用含有、的代数式表示）． 【答案】（1）90；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的计算，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质与判定可求解； （2）过P点作，则，可得，进而可得，即可求解； （3）过点G作的平行线，利用平行线的判定与性质、角平分线的性质求解即可． 【详解】解：（1）如图1，过点作． ， ， ∵， ，． ， 故答案为：90； （2）．理由如下： 如图2，过点作， ， ， ，， ； （3）如图3，过点G作的平行线． ，， ， ，， 又 的平分线和的平分线交于点G，， ，， 由（2）得，， ∴， ， ． 故答案为：． 【变式2】已知：点在直线上，点在直线上，且． (1)如图1，点在直线、之间，连接、，求证： ； (2)如图2，平分，平分，、相交于点，求证：； (3)如图3，，点在延长线上，点在上，点在内，连接，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质探究角度之间的关系，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）过点作，则，进而可得，可得，即可得证 （2）过点分别作的平行线，根据平行线的性质可得,，，，根据角平分线的定义可得，，分别表示出，即可得证． （3）延长交于点，过点作，由（1）可得，结合已知可得，设，则，得出，进而表示出，代入，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 即； （2）解：如图，过点分别作的平行线， ∵， ∴ ∴,，， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ （3）解：如图，延长交于点，过点作 由（1）可得 ∵，即 ∴ 设，则， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ 【题型4 三角版拼接问题】 【典例1】将一个含角的三角尺和直尺按如图摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的性质和三角板的相关计算，熟练掌握平行线的性质是关键．根据平行线的性质得到，，进一步即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C 【变式1】如图，直线，，．若．则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】如图所示， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 故选：A． 【变式2】如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ． 【答案】/65度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，根据平行线的性质，得到，等边对等角，得到，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3】某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 分层训练 【基础巩固】 1．如图，在一个弯形管道中，已知拐角，管道，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据两直线平行同旁内角互补进行解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： 2．已知：如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线性质，三角形的外角性质，先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角性质解答即可． 【详解】解：设和交于点F， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．如图，直线被直线所截，根据“同位角相等，两直线平行”判定，需要的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行线的判定定理：同位角相等两直线平行，据此依次判断． 【详解】解：A.，不能判定，故不符合题意； B.，不能判定，故不符合题意； C.根据“同位角相等，两直线平行”能判定，故符合题意； D.，不能判定，故不符合题意； 故选：C． 4．如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，结合图形求解是解题关键． 根据平行线的性质得出，结合图形即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．如图是一款儿童小推车的示意图，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴； 故选：A． 6．如图，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，过点作，易得，根据平行线的性质，进行求解即可．过拐点作平行线，是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 7．如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，正确理解题意、熟练掌握平行线的性质是解题的关键； 根据题意可得，然后根据平行线的性质结合角的和差即可求解． 【详解】解：如图，根据题意可得， ∴， ∵， ∴； 故选：A． 8．将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质，三角形外角的性质．掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题关键．根据平行线的性质求出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴． 故选：B． 9．如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一次转弯时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，运用两直线平行，内错角相等是解题关键 ． 根据两直线平行，内错角相等即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 【能力提升】 1．2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质． 过点C作，得到，推出，，即可求出． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 故选B． 2．一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质，平行公理的推论，过点作，可得，即得，，根据求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴与所成锐角的度数为为， 故选：． 3．如图1，，，，求的度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，求的度数； （问题迁移） （2）如图2，，点在射线上运动，记，，当点在两点之间运动时，问与之间有何数量关系？请说明理由； （问题应用） （3）在（2）的条件下，如果点在两点外侧运动时（点与点三点不重合），请直接写出与之间的数量关系（并画出相应的图形）． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或者，画图见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． （1）利用平行线的性质，同旁内角互补，求出，度数，利用，进行求解即可； （2）过点作，得，得到，，进而得到； （3）分点在的延长线上和在线段上两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）， 理由如下：如图2，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）如图3所示，当在线段的延长线时，由（2）可知，， ， 如图4所示，当在线段上时，由（2）可知，， ． 4．如图，，的角平分线与的角平分线交于，若设． (1)如图1，求的度数（用含的式子表示）； (2)如图2，当时，点在延长线上，点是上一点，若，求的度数 （用含的式子表示）； (3)如图3，的延长线交于点，点 是线段上一点，且，过点作交直线于点，若在直线上取一点，使，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义； （1）根据平行线的性质得出 ，进而根据角平分线的定义，即可得出 （2）过点作 ，根据平行线的性质得出，根据（1）得出，根据，即可求解． （3）当在线段上时，当在的延长线上时，分别画出图形，根据已知得出，，结合图形，即可求解． 【详解】（1） 平分 （2）过点作 ， 由（1）可得， ∴ （3）如图，当在线段上时 由（1）可得， ∵ ， 如图，当在的延长线上时 同理可得，， ∴． 5．已知，，点E在上方，为钝角，连接，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，过点E作交的延长线于点F，求的值； (3)如图3，若的边交直线于点N，点G为线段上一点，连接，使，连接并延长至点H，若，请你直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图，过作，证明，再利用平行线的性质与角的和差运算可得答案； （2）如图，过作，设，可得，结合，证明，可得，进一步可得答案； （3）如图，过作，过作，而，可得，设，，，，，，再结合平行线的性质与三角形的内角和定理解答即可. 【详解】（1）解；如图，过作，而， ∴， ∵， ∴，而， ∴， ∴； （2）解：如图，过作，设， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过作，过作，而， ∴， 设，，， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴，，， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是平行线的性质，角的和差运算，平行公理的应用，三角形的内角和定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $