2026年中考数学复习 几何压轴・满分突破集训 专题01 线段和双角平分线模型（全国通用）

该初中数学中考复习讲义聚焦“线段和双角平分线模型”专题，覆盖中考高频的线段双中点计算、角双角平分线分类讨论等核心考点，通过“模型梳理-题型突破-分层训练”架构，结合典例精析与变式训练，帮助学生构建知识体系，突破动态问题与多情况分析难点。 亮点在于融入核心素养培养，如通过动态旋转问题（典例3）发展几何直观与空间观念，分类讨论题型（变式3）提升推理意识，分层训练（基础巩固+能力提升）落实模型意识。特设5分钟限时测试与即时反馈，助力学生高效掌握解题方法，教师可据此精准把控复习节奏，提升备考效率。

专题01 线段和双角平分线模型 模型1“线段--双中点”模型 在一条直线上，如下图，已知线段AB，点C为直线AB上的动点，点M、N分别是线段AC、BC的中点，我们将由这两个中点构成的线段求解模型，称为线段双中点模型。 模型核心：无论点C在AB上、AB的延长线还是反向延长线上，双中点连线MN的长度都满足。 模型2“角--双角平分线"模型 【题型1 “线段--双中点”模型有关计算】 【典例1】已知线段，在直线AB上作线段BC，使得．若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（   ） A．1 B．3 C．1或3 D．2或3 【答案】C 【分析】先分C在AB上和C在AB的延长线上两种情况，分别画出图形，然后运用中点的定义和线段的和差进行计算即可． 【详解】解：如图：当C在AB上时，AC=AB-BC=2, ∴AD=AC=1    如图：当C在AB的延长线上时，AC=AB+BC=6, ∴AD=AC=3    故选C． 【点睛】本题主要考查了线段的和差、中点的定义以及分类讨论思想，灵活运用分类讨论思想成为解答本题的关键． 【变式1】点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段，则线段BD的长为（ ） A．10cm B．8cm C．8cm或10cm D．2cm或4cm 【答案】C 【分析】根据题意作图，由线段之间的关系即可求解． 【详解】如图，∵点C是线段AB的中点， ∴AC=BC=AB=6cm 当AD=AC=4cm时，CD=AC-AD=2cm ∴BD=BC+CD=6+2=8cm； 当AD=AC=2cm时，CD=AC-AD=4cm ∴BD=BC+CD=6+4=10cm； 故选C． 【点睛】此题主要考查线段之间的关系，解题的关键是熟知线段的和差关系． 【变式2】如图，点是线段上两点（点在点左侧），已知，点分别是线段和的中点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，一元一次方程的应用，设，则，，即得，再根据可求得，即得到，，，，，再根据线段中点的定义求出的长度，最后根据线段的和差关系解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，，，， ∴， ∵点分别是线段的中点， ∴，， ∴． 【题型2 “角--双角平分线"模型的基础计算】 【典例2】如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，先求解，可得，可得，可得，再进一步结合角的和差运算可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ， ∴； 故答案为： 【变式1】如图，已知射线分别平分，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据角的和差关系求出的度数，角平分线的定义求出的度数，再根据角的和差关系即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵射线分别平分， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【变式2】如图，是平角，，分别是的平分线，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、几何图形中的角度计算等知识点，弄清角之间的关系是解题的关键。 先求出和的度数，再用减去和的度数即可． 【详解】解：∵，分别是的平分线， ∴，， ∴， 故选：C． 【变式3】如图，已知，是内任意一条射线，平分，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系是解题的关键． （1）利用角平分线的定义和角的和差关系可得，即可得到的度数； （2）利用角平分线的定义和角的和差关系求得的度数，进而求得的度数． 【详解】（1）解：平分， ， 平分， ， ， ，， ， 即的度数为； （2）解：平分，， ， ， 平分， ， 的度数为． 【题型3 “角--双角平分线"模型的分类讨论问题】 【典例3】已知，点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，则的度数为_______； (2)如图2，过点在直线下方作射线，使，作的角平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据邻补角的性质求解即可； （2）首先由（1）可知，结合垂直的定义可得，再结合角平分线的定义可得，然后由求解即可； （3）由（2）知，结合与互余，可求得，然后分射线在内部和射线在外部两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； （3）解：由（2）知， ∵与互余， ∴， ∴， 当射线在内部时，如下图所示： ； 当射线在外部时，如下图， ． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了补角和余角、垂直的定义、角平分线以及几何图形中角度计算，熟练掌握相关定义和性质是解题关键． 【变式1】如图1，在内部画三条射线平分． (1)求； (2)如图2，射线和射线分别从射线和射线的位置出发，同时开始绕点旋转，其中射线以每秒的速度顺时针方向旋转．射线以每秒的速度逆时针方向旋转，射线到达射线位置时，射线和射线立即停止运动，设运动时间为秒． ①射线到达射线位置时，___________秒，此时___________度． ②求时的值． 【答案】(1) (2)①50；40； ②或 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算问题，一元一次方程的应用等知识． （1）设，则，则，由角平分线的定义得出，再根据求出x的值，进而可求出． （2）①由（1）知，即可求出射线到达射线位置所需的时间，此时走了，即，最后根据角的和差关系即可求出． ②分两种情况求解． 【详解】（1）解：设，则， 则， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴． （2）解：①由（1）知， 则射线到达射线位置时，， 此时走了：，即， ∵，， ∴， ∴． ②相遇前，， 解得：， 相遇后：， 解得：． 综上：时的值为或． 【变式2】如图1，点A，O，B在同一条直线上，是射线，射线和射线分别平分和． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)如图2，若点A，O，B不在同一条直线上，且（），是射线，且（），射线和射线分别平分和．请你画出相应的图形，并求出的度数（用含或的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)图形见详解， 【分析】本题考查角平分线的定义和角的和差关系，掌握角平分线的定义和找到角之间的和差关系是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，得到和的度数，再根据计算即可求解； （2）根据角平分线的定义，得到，，又根据，可得，利用，求出的度数，即可的度数； （3）分情况画出图形，根据角平分线的定义和角的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：点A，O，B在同一条直线上， ，， ， ， 和分别平分和， ， ， ， 则的度数为； （2）解： 和分别平分和， ，， ， ， ， ， ， ， 则的度数为； （3）解： 和分别平分和， ，， 第一种情况如下图2， ， ， ，， ； 第二种情况如下图， ， ， ，， ； 综上可知：的度数为． 【变式3】【问题背景】 小明在学习了角平分线的知识后，作如下几何图形：如图，在外部作射线，且． 【问题提出】 （1）如图，若，平分，平分，求的度数． 【问题推广】 （2）如图，若，从点出发在外部作射线，满足，若平分，平分． 求的度数； 请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）的度数为或；或 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义先得到，由得到，从而得到的度数，再根据角平分线的定义可得，从而得到的度数； （2）分两种情况讨论：当靠近外侧时，当靠近外侧时，分别先求出、的度数，结合已知的，可求得的度数，再由角平分线的定义和角之间的和差关系求得的度数即可； 同分两种情况讨论，分别求出的度数，即可得解． 【详解】解：（1），平分，， ，， ， 平分， ， ； （2）当靠近外侧时，如图所示， ，． ， ， ，即， ， ， 平分，平分， ，， ； 当靠近外侧时，如图所示， ，． ， ， ，即， ， ， 平分，平分， ，， ； 综上，的度数为或； 当靠近外侧时， ，， ； 当靠近外侧时， ，， ； 综上，的值为或． 分层训练 【基础巩固】 1．如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，先根据平分，得，故，即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，是的平分线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的性质成为解题的关键． 由平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故选C． 3．如图，，平分，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，根据平行线的性质求角，根据、 即可求解. 【详解】解：∵，， ∴ ∵平分， ∴ 故选：B 4．已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】A 【分析】本题考查了有关线段中点的计算．熟练掌握线段中点的定义，线段的和差，分情况讨论，是解题的关键． 分两种情况讨论，①当点C在线段上时，②当点C在线段的延长线上时，根据线段中点定义及和差关系即可求解． 【详解】解：①当点C在线段上时，如图所示： ∵，， ∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴ ， ， ∴（）． ②当点C在线段的延长线上时，如图所示： ∵，， ∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴ ， ， ∴（）． 综上所述，线段的长度是8． 故选：A． 5．已知，是的角平分线，射线将分成的两部分，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角的计算，能够根据角平分线表示相关的角之间的倍分关系，再根据角的和差进行计算； 先根据角平分线定义求出和的度数，再根据比例关系求出分的两种情况下的度数，最后利用角的和差关系求出的度数 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵将分成的两部分， ∴当时，，， 则； 当时，，， 则， 故答案为：或． 6．如图，在中，射线平分，连接，射线平分． (1)若是直角，，求的度数； (2)若，，则是多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角之间的和差关系是解题的关键： （1）根据直角结合角的和差关系得到的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）根据角平分线和角的和差关系推出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是直角， ∴， ∴， ∵射线平分，射线平分， ∴，， ∴； （2）解：∵射线平分，射线平分， ∴，， ∵，， ∴，即：， ∴． 【能力提升】 1．已知，．若平分，平分，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．30° 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的定义、角的和差计算．解题的关键是正确识别在内部和外部两种情形，并分别计算和．由于射线的位置没有明确限定，需要分两种情况讨论： 当在内部时：此时．平分，平分．等于与的差． 当在外部时：此时．平分，平分．等于与的和． 分别根据角平分线的定义求出和，再根据上述关系计算即可． 【详解】情况1：当在内部时， 平分，， ， 平分，， ， . 情况2：当在外部时， ， ， ， ， . 故答案为. 故选C 2．如图，直线与直线相交于点O，，一直角三角尺的直角顶点与点O重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（），当直线平分时，t的值为 【答案】或 【分析】本题考查角的动态问题和一元一次方程的应用，分两种情况进行讨论：当转动较小角度的平分时；当转动较大角度的平分时，分别依据角的和差关系进行计算即可得到的值． 【详解】解：在旋转之前时， ∵平分， ∴． 分两种情况： ①如图，当平分时， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，解得； ②如图平分时， 转过了，此时，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得． 综上所述，当平分时，的值为或， 故答案为：或． 3．【问题提出】 （1）如图1，点A、O、B在一条直线上，是一条射线，平分，平分，则 ； 【问题探究】 （2）如图2，点A、O、B不在一条直线上，是内的一条射线，平分，平分，判断与的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】 （3）如图3，当是内的一条射线时，平分，平分，（2）中与的数量关系是否仍然成立，请说明理由． 【答案】（1）90；（2），见解析；（3）仍然成立，见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角度的和与差等知识点，利用角平分线的定义得出与的关系是解题的关键． （1）根据平角得，结合角平分线得，再结合即可解答； （2）由题意得∠，结合角平分线得，结合即可解答； （3）根据角平分线得，结合题意，则，结合即可解答． 【详解】解：（1）∵点A、O、B在一条直线上， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； 故答案为：90； （2）．理由如下： 由条件可知． ∵平分，平分， ∴ ∴． ∵， ∴； （3）仍然成立．理由如下： 由条件可知 ∵是内的一条射线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 4．爱钻研的琪琪发现将图1所示的手表，理解成图2的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上），可以产生下面的数学问题． (1)已知表盘直径为4cm，，若B是中点，则表带______cm． (2)在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”（此时与重合）．时针为，表盘显示时间为是，如图3所示． ①时分针和时针的夹角为______度； ②作射线，使，求此时的度数； (3)如图4所示，自之后，若射线始终是的角平分线（分针还是），在一小时以内，经过______分钟后，的度数是（直接写出结果）． 【答案】(1)16 (2)①135；②或 (3)或 【分析】（1）中点，得到，进而求出的长即可； （2）表盘为圆分12小时，每分钟时针走过的度数为，一格为，根据分针和时针的夹角的度数等于4格的度数加上时针30分钟走过的度数计算即可； ②分情况讨论，当射线在内部和外部两种情况讨论，即可求得解； （3）设经过时间为分钟，的度数是，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵为4cm，B是中点， ∴， ∴； 故答案为：16； （2）①表盘分为12格，一格的度数为，时针一分钟所走的度数为：， ∴从到，时针30分钟走的度数为， ∴分针和时针的夹角的度数为； 故答案为：135； ②由①知：， ∴， 当在内部时：； 当在外部时：； 综上：或； （3）解：设经过时间为分钟，的度数是， ∵时针与分针得速度差为， 平分， ， ， 解得（分） 解得（分）， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了线段的和差问题，角平分线的性质和钟面角，一元一次方程的应用，以及分类讨论的思想．读懂题意，找准线段之间的和差关系，角度之间的和差关系，是解题的关键． 5.【阅读理解】 射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的“近邻线”．例如，如图1，，，则，称射线是射线的近邻线；同时，由于，称射线是射线的近邻线． 【知识运用】 (1)如图2，，射线是射线的近邻线，则______； (2)如图3，，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的速度顺时针旋转得到射线，当射线与射线重合时，射线，停止旋转，设旋转的时间为． ①当与重合时，求此时的值； ②射线，重合后各自继续旋转，恰好有一条射线是另一条射线的近邻线，求此时的值． 【答案】(1)40； (2)①；②为秒或45秒． 【分析】本题主要考查了角的运算、角的旋转定义、解一元一次方程等知识点，审清题意、理解“近邻线”的定义以及分类讨论思想是本题的关键． （1）根据“近邻线”的含义即可完成； （2）①当与重合时，即，据此列一元一次方程求解即可；②分是的“近邻线”和是的“近邻线”分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵射线是射线的“近邻线”，且， ∴ ． 故答案为：40． （2）解：①∵当与重合时，即， ∴，解得： ∴当时，与重合． ②a．如图： 若是的“近邻线”时，，即，解得； b．如图： 若是的“近邻线”时，，即，解得． 综上所述，当为秒或45秒时，射线、中恰好有一条射线是另一条射线的渐近． 6．已知是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查角的和差计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用， （1）由补角及直角的定义可求得的度数，结合角平分线的定义可求解的度数； （2）由角平分线的定义可得，即可得解； （3）可分两种情况：①时，②时，分别计算可求解； 利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （3）解：①当时，由题意得：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， 由题意得：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵ ， ∴； 综上所述，，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 线段和双角平分线模型 模型1“线段--双中点”模型 在一条直线上，如下图，已知线段AB，点C为直线AB上的动点，点M、N分别是线段AC、BC的中点，我们将由这两个中点构成的线段求解模型，称为线段双中点模型。 模型核心：无论点C在AB上、AB的延长线还是反向延长线上，双中点连线MN的长度都满足。 模型2“角--双角平分线"模型 【题型1 “线段--双中点”模型有关计算】 【典例1】已知线段，在直线AB上作线段BC，使得．若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（   ） A．1 B．3 C．1或3 D．2或3 【变式1】点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段，则线段BD的长为（ ） A．10cm B．8cm C．8cm或10cm D．2cm或4cm 【变式2】如图，点是线段上两点（点在点左侧），已知，点分别是线段和的中点，若，求的长． 【题型2 “角--双角平分线"模型的基础计算】 【典例2】如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ． 【变式1】如图，已知射线分别平分，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，是平角，，分别是的平分线，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，已知，是内任意一条射线，平分，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【题型3 “角--双角平分线"模型的分类讨论问题】 【典例3】已知，点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，则的度数为_______； (2)如图2，过点在直线下方作射线，使，作的角平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 【变式1】如图1，在内部画三条射线平分． (1)求； (2)如图2，射线和射线分别从射线和射线的位置出发，同时开始绕点旋转，其中射线以每秒的速度顺时针方向旋转．射线以每秒的速度逆时针方向旋转，射线到达射线位置时，射线和射线立即停止运动，设运动时间为秒． ①射线到达射线位置时，___________秒，此时___________度． ②求时的值． 【变式2】如图1，点A，O，B在同一条直线上，是射线，射线和射线分别平分和． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)如图2，若点A，O，B不在同一条直线上，且（），是射线，且（），射线和射线分别平分和．请你画出相应的图形，并求出的度数（用含或的式子表示）． 【变式3】【问题背景】 小明在学习了角平分线的知识后，作如下几何图形：如图，在外部作射线，且． 【问题提出】 （1）如图，若，平分，平分，求的度数． 【问题推广】 （2）如图，若，从点出发在外部作射线，满足，若平分，平分． 求的度数； 请直接写出的值． 分层训练 【基础巩固】 1．如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的平分线，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，，平分，，则（    ）    A． B． C． D． 4．已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 5．已知，是的角平分线，射线将分成的两部分，则的度数为 ． 6．如图，在中，射线平分，连接，射线平分． (1)若是直角，，求的度数； (2)若，，则是多少度？ 【能力提升】 1．已知，．若平分，平分，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．30° 2．如图，直线与直线相交于点O，，一直角三角尺的直角顶点与点O重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（），当直线平分时，t的值为 3．【问题提出】 （1）如图1，点A、O、B在一条直线上，是一条射线，平分，平分，则 ； 【问题探究】 （2）如图2，点A、O、B不在一条直线上，是内的一条射线，平分，平分，判断与的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】 （3）如图3，当是内的一条射线时，平分，平分，（2）中与的数量关系是否仍然成立，请说明理由． 4．爱钻研的琪琪发现将图1所示的手表，理解成图2的数学模型（点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上），可以产生下面的数学问题． (1)已知表盘直径为4cm，，若B是中点，则表带______cm． (2)在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”（此时与重合）．时针为，表盘显示时间为是，如图3所示． ①时分针和时针的夹角为______度； ②作射线，使，求此时的度数； (3)如图4所示，自之后，若射线始终是的角平分线（分针还是），在一小时以内，经过______分钟后，的度数是（直接写出结果）． 5.【阅读理解】 射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的“近邻线”．例如，如图1，，，则，称射线是射线的近邻线；同时，由于，称射线是射线的近邻线． 【知识运用】 (1)如图2，，射线是射线的近邻线，则______； (2)如图3，，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的速度顺时针旋转得到射线，当射线与射线重合时，射线，停止旋转，设旋转的时间为． ①当与重合时，求此时的值； ②射线，重合后各自继续旋转，恰好有一条射线是另一条射线的近邻线，求此时的值． 6．已知是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，当，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $