精品解析：重庆开州区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

开州区2025~2026学年度（上）八年级期末质量监测 数学试卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列选项中，各字母看成图形，是轴对称图形的是（ ） A. H B. N C. F D. G 2. 下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ） A 4，11，7 B. 2，8，5 C. 3，4，6 D. 1，6，7 3. 顶级的光刻机等尖端科学仪器，其核心部件的加工与控制精度通常在0.000000001米级别，这相当于人类头发丝直径的百万分之一．米用科学记数法表示为米，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 若等腰三角形的两条边的长分别为5cm和8cm，则它的周长是（　　） A. 13cm B. 18cm C. 21cm D. 18cm或21cm 6. 甲、乙两地相距32千米，一艘轮船从甲地顺流航行至乙地，又立即从乙地逆流返回甲地，共用去6小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为千米/时，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到的平分线，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其截成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的式子为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，于点，若，则的长度为（ ） A. 3.5 B. 3 C. 2.5 D. 2 10. 已知多项式，下列四个结论： ①若为完全平方式，则； ②若，且，则； ③若，则关于的分式方程的解为或； ④若，则． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 分解因式：_______． 12. 若正多边形一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 13. 已知，且，则的值为_____． 14. 如图，在中，，则边上的中线的取值范围是_______． 15. 如图，在中，，，为边上一点，将沿着所在直线翻折得，的平分线交于点，连接，且，则______，______． 16. 若一个四位数各位数字均不为0，且个位数字平方与十位数字的平方之差恰好是去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“去尾数”．例如，四位数1367，因为，所以1367是“去尾数”．按照这个规定，2146、1224两个数中，_____是“去尾数”．一个“去尾数”的个位数字为，十位数字为，百位数字为，千位数字为，记，若均是整数，则满足条件的的最大值与最小值的差为_____． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 我们知道，长方形的面积等于这个长方形的长乘宽，小明想用其验证一个底为，高为的三角形的面积公式为．想法是：以为边作长方形，点在边上，再过点作的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空： 用直尺和圆规过点作的垂线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 证明：在和中， ， ， ； ， _____①_____； 又； ．（_____②_____） _____③_____ 同理可得， _____④_____． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 在工程中，物体重心位置有重要的应用．我们可以用数学的方法确定工程中薄板、薄壳等匀质物体的重心．由于许多工程用薄板的形状是常见的平面图形或者组合图形，所以我们可以先想办法确定一些简单平面图形的重心位置． （1）任务：认识三角形的重心．如图1，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡．此时，薄板与支点接触的点就是三角形匀质薄板的重心．图2是由图1中三角形匀质薄板抽象出的三角形，请你用数学作图的方法在图2中找到三角形的重心位置（利用直尺作图，保留作图痕迹），并说说你有什么发现． （2）任务：了解平面图形重心位置的分布特点．类比任务的方法，我们也可以用悬挂法确定平行四边形、矩形、正方形等常见平面图形的重心．通过实验，可以得到平行四边形、矩形、正方形匀质薄板的重心如图所示．请你观察匀质薄板的重心，说说平行四边形、矩形、正方形的重心位置有什么共同特点（写种）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． （1）若内有一点随着平移后到了点，直接写出点平移后对应点的坐标． （2）直接作出关于轴对称的（其中、、分别是、、的对应点） （3）求四边形的面积． 21. 如图，在中，，为的中点，过点作交延长线于点，过点作，过点作，且相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 22. 先化简，再求值：，其中使得关于的方程无解． 23. 开州南门红糖是南门镇传统特色产品，以手工熬制工艺闻名，具有深厚的历史文化底蕴和显著的经济效益．月初，超市何老板在糖厂用2100元购进红糖若干，很快售完；何老板又用3600元购进第一次重量2倍的红糖，且此次进价比第一次每斤便宜2元． （1）第二次红糖的进价为每斤多少元？ （2）如果两次红糖以相同的价格全部售出，且总利润率不低于，那么销售单价应不低于每斤多少元（结果取整数）？ 24. 在平面直角坐标系中，已知，． （1）如图1，若，满足，且． ①求的周长； ②点为第一象限内一点，若为等腰直角三角形，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． （2）如图2，若，，，当四边形的周长最小时，直接写出的值． 25. 在等边中，、分别是边、上两动点，连接、交于点． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，在（1）问的条件下延长至点，连接，当，时，探究、的数量关系； （3）如图3，在射线上取一点，使，当均取得最小值时，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开州区2025~2026学年度（上）八年级期末质量监测 数学试卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成； 4．考试结束，由监考人员将答题卡收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列选项中，各字母看成图形，是轴对称图形的是（ ） A. H B. N C. F D. G 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 2. 下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ） A. 4，11，7 B. 2，8，5 C. 3，4，6 D. 1，6，7 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数 ．根据“三角形任意两边之和大于第三边”对各选项逐一分析即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、，不能构成三角形，故此选项不符合题意； C、，能构成三角形，故此选项符合题意； D、，不能构成三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 顶级的光刻机等尖端科学仪器，其核心部件的加工与控制精度通常在0.000000001米级别，这相当于人类头发丝直径的百万分之一．米用科学记数法表示为米，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的知识．绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与绝对值大于1数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题根据科学记数法的知识，进行作答，即可求解． 【详解】解：， ∴的值是； 故选：A． 4. 下列计算错误是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整数指数幂．根据有理数的乘方，非零数的0次幂等于1，负整数指数幂的性质即可解得． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 若等腰三角形的两条边的长分别为5cm和8cm，则它的周长是（　　） A. 13cm B. 18cm C. 21cm D. 18cm或21cm 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：①当腰是5cm，底边是8cm时，能构成三角形，则其周长=5+5+8=18cm； ②当底边是5cm，腰长是8cm时，能构成三角形，则其周长=5+8+8=21cm．故选D． 6. 甲、乙两地相距32千米，一艘轮船从甲地顺流航行至乙地，又立即从乙地逆流返回甲地，共用去6小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为千米/时，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列分式方程．顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度．根据往返时间为6小时即可建立分式方程． 【详解】解：由题意得：顺水速度为：千米/时，逆水速度为千米/时 故方程为：． 故选：C． 7. 尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到的平分线，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图及全等三角形的判定与性质，根据作图痕迹得出，，利用证明，得出，即可得答案． 【详解】解：如图，连接、， 由尺规作图可知，，， 在和中，， ∴， ∴． ∴得到的依据是． 故选：A． 8. 从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其截成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的式子为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：∵从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板， ∴图甲中阴影部分的面积为， 图乙中阴影部分的面积为， ∴可以验证成立的式子为． 故选：B． 9. 如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，于点，若，则的长度为（ ） A. 3.5 B. 3 C. 2.5 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质． 连接，过点作于点，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，根据证明，可得，再根据证明，可得，继而可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作并交延长线于点， 是的平分线，，， ，， 在和中， ， ∴， ， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ∴， ， ， ，， ． 故选：B． 10. 已知多项式，下列四个结论： ①若为完全平方式，则； ②若，且，则； ③若，则关于的分式方程的解为或； ④若，则． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方式，多项式乘以多项式，负整数指数幂，解分式方程．熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 结论①由完全平方式定义推导；结论②由多项式乘法及指数运算验证；结论③通过分式方程转化为二次方程求解；结论④通过多项式除法比较系数得出。 【详解】①∵ 为完全平方式， ∴设 ， ∴ ，， ∴ ，故①正确； ②∵ ， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，， ∴ ， ∴ ，故②正确； ③∵ ， ∴ （）， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 或 （且，），故③正确； ④∵ ， ∴ ， ∴ ，， ∴ ，故④正确． 故选：D． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，直接提公因式即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数． 【详解】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是， 即该正多边形的边数是8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等． 13. 已知，且，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用；由完全平方公式变形即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 如图，在中，，则边上的中线的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，延长到E，使，由“”可证和全等，可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，然后即可得解． 【详解】解：如图，延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，为边上一点，将沿着所在直线翻折得，的平分线交于点，连接，且，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据三角形内角和等于和等边对等角，可得，再根据翻折的性质可得，，再证明，根据全等三角形的性质可得，结合等边对等角和外角，可得的度数，再结合三角形内角和即可求解． 【详解】解：设交于O，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵将沿着所在直线翻折得， ∴， ∴，，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和，等边对等角，全等三角形的性质和判定，翻折的性质，外角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 16. 若一个四位数各位数字均不为0，且个位数字平方与十位数字的平方之差恰好是去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“去尾数”．例如，四位数1367，因为，所以1367是“去尾数”．按照这个规定，2146、1224两个数中，_____是“去尾数”．一个“去尾数”的个位数字为，十位数字为，百位数字为，千位数字为，记，若均是整数，则满足条件的的最大值与最小值的差为_____． 【答案】 ①. 1224 ②. 3624 【解析】 【分析】本题考查了“去尾数”的定义，整式加减的应用，分式的运算，理解题意推导出是解题的关键． ①根据定义直接判断即可； ②依题意可得，，即，然后根据均是整数，得到b整除a，，代入得，设，则，推出b整除k，k整除，进而推导出，得到，进而得到b的取值范围为2、3、4，即可求得满足条件的N的值，即可解答． 【详解】解：①对于2146：个位数字的平方与十位数字的平方之差为，去掉个位和十位后为21， ∵， ∴2146不是“去尾数”； 对于1224：个位数字的平方与十位数字的平方之差为，去掉个位和十位后为12， ∵， ∴1224是“去尾数”； ②依题意可得，，即， ∵为整数， ∴b整除a； ∵为整数，且， 代入，得， ∴， 设，则， ∴，且为整数， ∴b整除k， 又∵中为整数， ∴k整除， ∴或， 当时，， ∵，， ∴，即， 当时， ∴， 把，代入， 得， ∵时，， ∴、3、4， 当时，，则，，，此时； 当时，，则，，，此时； 当时，，则，，，此时， 综上，满足条件的N为1224、2736、4848， ∴最大值与最小值的差． 故答案为：1224；3624． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算． （1）首先计算同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，然后合并即可； （2）首先计算单项式乘以多项式，平方差公式，再计算多项式除以单项式的法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 小问2详解】 解： ． 18. 我们知道，长方形的面积等于这个长方形的长乘宽，小明想用其验证一个底为，高为的三角形的面积公式为．想法是：以为边作长方形，点在边上，再过点作的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空： 用直尺和圆规过点作的垂线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 证明：和中， ， ， ； ， _____①_____； 又； ．（_____②_____） _____③_____ 同理可得， _____④_____． 【答案】图见解析，，，，． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定及性质，垂线的作图方法，熟练掌握三角形的判定定理是解题的关键．根据垂线的作图方法作图即可，利用垂直的定义得到，根据平行线的性质得到，即可证明，同理可得，由此得到结论． 【详解】解：如图，即为所求． 证明：在和中， ， ， ； ， ； 又； ．（） ， 同理可得， ． 故答案为：，，， 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 在工程中，物体重心的位置有重要的应用．我们可以用数学的方法确定工程中薄板、薄壳等匀质物体的重心．由于许多工程用薄板的形状是常见的平面图形或者组合图形，所以我们可以先想办法确定一些简单平面图形的重心位置． （1）任务：认识三角形的重心．如图1，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡．此时，薄板与支点接触的点就是三角形匀质薄板的重心．图2是由图1中三角形匀质薄板抽象出的三角形，请你用数学作图的方法在图2中找到三角形的重心位置（利用直尺作图，保留作图痕迹），并说说你有什么发现． （2）任务：了解平面图形重心位置的分布特点．类比任务的方法，我们也可以用悬挂法确定平行四边形、矩形、正方形等常见平面图形的重心．通过实验，可以得到平行四边形、矩形、正方形匀质薄板的重心如图所示．请你观察匀质薄板的重心，说说平行四边形、矩形、正方形的重心位置有什么共同特点（写种）． 【答案】（1）图见解析，发现见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图、重心的性质及平行四边形、矩形、正方形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键． （1）作出三角形的三条中线，交点即为重心； （2）根据图形，结合平行四边形、矩形、正方形的性质，写出共同特点即可． 【小问1详解】 如图，点即是三角形的重心位置． 作三角形三边的垂直平分线，得到三边的中点，连接三角形各顶点与对边中点，交点即为三角形重心位置． 发现：三角形重心在三角形内部，且交于一点． 【小问2详解】 解：根据图形发现：①平行四边形、矩形、正方形的重心都在对角线的交点处， ②重心平分每条对角线． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． （1）若内有一点随着平移后到了点，直接写出点平移后对应点的坐标． （2）直接作出关于轴对称的（其中、、分别是、、的对应点） （3）求四边形的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查平移及轴对称，这里需要注意得出正确的对应点，面积的计算借助网格图直接补全长方形即可求得最后答案． （1）先根据点平移后的坐标得出平移方式，再根据平移方式得出点坐标即可； （2）根据轴对称的性质画出图形即可； （3）用四边形所在长方形减去周围个小三角形的面积即可得答案． 【小问1详解】 解：∵内有一点随着平移后到了点， ∴平移方式为向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， 由图可知，点坐标为， ∴点平移后对应点的坐标为， 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：如（2）中图，连接， ∴四边形的面积． 21. 如图，在中，，为的中点，过点作交延长线于点，过点作，过点作，且相交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． （1）利用等腰三角形“三线合一”的性质得出，，根据直角三角形两锐角互余即可得答案； （2）根据平行线的性质得出，利用直角三角形两锐角互余得出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得结论． 【小问1详解】 证明：∵，为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 22. 先化简，再求值：，其中使得关于的方程无解． 【答案】，0 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式方程无解的问题，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则以及解分式方程的步骤． 先解分式方程，确定分式方程无解时的的值，然后进行分式的混合运算，再代入求值即可． 【详解】解： ， 解得， 当，即时方程无解； 当时，方程无解，则此时，解得， ∴当或时方程无解， ∵时，中分母为0无意义，舍； ∴当时，原式 23. 开州南门红糖是南门镇的传统特色产品，以手工熬制工艺闻名，具有深厚的历史文化底蕴和显著的经济效益．月初，超市何老板在糖厂用2100元购进红糖若干，很快售完；何老板又用3600元购进第一次重量2倍的红糖，且此次进价比第一次每斤便宜2元． （1）第二次红糖的进价为每斤多少元？ （2）如果两次红糖以相同的价格全部售出，且总利润率不低于，那么销售单价应不低于每斤多少元（结果取整数）？ 【答案】（1）第二次红糖的进价为每斤12元； （2）两次红糖的销售单价不低于16元． 【解析】 【分析】本题主要考查的是分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用． （1）设第一次红糖每斤进价为x元，那么第二次红糖每斤进价为元，依题意列分式方程即可； （2）设两次红糖的销售单价为y元，依题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设第一次红糖每斤进价为x元，那么第二次红糖每斤进价为元， 由题意得，， 解得， 经检验：符合题意， ， 答：第二次红糖的进价为每斤12元； 【小问2详解】 解：由（1）知，，，即何老板第一次红糖为斤，第二次红糖为斤， 设两次红糖的销售单价为y元，则有， 整理得， 解得：， 答：两次红糖的销售单价不低于16元． 24. 在平面直角坐标系中，已知，． （1）如图1，若，满足，且． ①求的周长； ②点为第一象限内一点，若为等腰直角三角形，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． （2）如图2，若，，，当四边形的周长最小时，直接写出的值． 【答案】（1）①；②点的坐标为或或； （2）． 【解析】 【分析】（1）①利用非负数的性质求得，，再利用直角三角形的性质求解即可； ②分三种情况讨论，分别利用全等三角形的判定和性质，结合坐标与图形，求解即可； （2）要求四边形的周长最小，即值最小，将线段向左平移3个单位，点和点重合，点在点处，此时点的坐标为，作点关于直线的对称点，连接，当点在直线上时，值最小，据此求解即可． 【小问1详解】 解：①∵，满足， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长； ②当时，如图，作轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点的坐标为； 当时，如图，作轴于点， 同理， ∴，， ∴点的坐标为； 当时，如图，过点作轴于点，过点作轴交于点， 则四边形是矩形， 同理，， ∴，， 设， ∴， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 要求四边形的周长最小，即值最小， ∵，， ∴点和点在直线上， 将线段向左平移3个单位，点和点重合，点在点处，此时点的坐标为，作点关于直线的对称点， 则点的坐标为， 连接，当点在直线上时，值最小， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴点的坐标为， ∵， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，轴对称变换．正确作出辅助线解决问题是解题的关键． 25. 在等边中，、分别是边、上两动点，连接、交于点． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，在（1）问的条件下延长至点，连接，当，时，探究、的数量关系； （3）如图3，在射线上取一点，使，当均取得最小值时，直接写出的度数． 【答案】（1）； （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据推出，求出，利用三角形的外角性质求解即可； （2）在上取一点K，使得，连接，可得为等边三角形，再根据推出，可得，从而得到，进而得到，再由，可得，即可求解； （3）当取得最小值时，，此时点为中点，当取得最小值时，，，此时点和点重合，点为中点，据此即可求解． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴， ∵在和中， ， ∴， ， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 在上取一点K，使得，连接， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ， ∵在和中， ， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当取得最小值时，，此时点为中点，当取得最小值时，，，此时点和点重合，点为中点， ∵是等边三角形， ∴，， 同理， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定的应用，能综合性质进行推理是解此题的关键，难度偏大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $