23.3矩形、菱形与正方形（第1课时矩形）课件【满分全攻略备课系列】2025-2026学年（新教材沪教版五四制）数学八年级下册教学课件

八年级沪教版数学下册 第二十三章 四边形 23.3矩形、菱形与正方形 第一课时 矩形 布置作业 3 学习目标 1 5 课堂小结 习题巩固 4 知识详解 2 6 布置作业 典例分析 学习目标 1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系. 2.探索并证明矩形的性质定理，并能运用它们进行证明和计算，提升推理能力.（重点） 3.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理．（重点） 4.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.（难点） 在本节中，我们将研究几类特殊的四边形矩形、菱形与正方形.在小学阶段，我们已经了解过长方形与正方形，其中长方形就是我们将要介绍的矩形. 定义 四个内角都是直角的四边形叫作矩形. 生活中有很多矩形的实例，如图，黑板、教科书、地砖，它们的边框都可以看作矩形. 作为一种特殊的平行四边形，矩形除了具有平行四边形的所有性质，还可能具有哪些性质呢? 如图，在矩形ABCD中，由矩形的定义，可知∠A=∠B=∠C=∠D=90°.所以∠A+∠B=180°，∠A+∠D=180°，所以AD//BC，AB//CD,即矩形ABCD的两组对边平行.根据平行四边形的定义，可知矩形必然是平行四边形.所以，矩形是一种特殊的平行四边形. 我们仍然可以从边、角和对角线来研究矩形的性质.利用矩形的定义和平行四边形的性质，可以得到矩形的性质定理: 定理 矩形的两条对角线相等. 符号语言： ∵四边形 ABCD是矩形， ∴AC=BD. B C D A O 你能根据平行四边形的性质证明吗？ 如图，已知:四边形ABCD是一个矩形，AC、BD是它的对角线.求证:AC=BD. 证明：因为矩形ABCD是一个平行四边形， 由平行四边形的性质定理1，得AB=DC. 在△ABC和△DCB中, ∴△ABC≌△DCB（SAS）.∴AC=DB. 由于平行四边形是中心对称图形，因此矩形也是中心对称图形，其两条对角线的交点是对称中心. B C D A O 请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考.矩形是不是轴对称图形? 如果是，那么对称轴有几条? 矩形的性质： 对称性： 对称轴： 轴对称图形 2条 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，且∠AOD=120，AB=4cm.求AC、BD的长. 解:∵四边形ABCD是一个矩形， ∴AC=BD(矩形的两条对角线相等) ∵四边形ABCD是一个平行四边形， ∴OA=0C=AC，OB=OD= BD(平行四边形的对角线互相平分). ∴OA=OB.∴∠ABO=∠BAO. ∵∠A0D=120°,∴∠A0B=60°.∴∠ABO=∠BAO=60°. ∴ △ AOB是一个等边三角形. ∴OA=AB=4(cm). ∴ BD=AC=2OA=8(cm). 教材 例题 B C D A O 由矩形的定义可以判定一个四边形是矩形.除此之外，矩形还有其他的判定方法吗? 利用矩形的定义和平行四边形的性质，可以推出矩形的一个判定定理: 定理1 有一个内角是直角的平行四边形是矩形. 由于矩形是四个内角均为直角的平行四边形，那么对于平行四边形而言，有几个角是直角就能保证它是一个矩形呢? 符号语言： 如图，在□ ABCD中，∠B=90°, ∴ □ ABCD是矩形. 如图，已知:在平行四边形ABCD中，∠A=90°.求证:平行四边形ABCD是一个矩形. 证明：因为四边形ABCD是一个平行四边形， 由平行四边形的性质定理2，得∠A=∠C，∠B= ∠ D. 由多边形的内角和定理，得∠A+∠B+C+∠D=360°， 又因为∠A=90°，所以∠C=90°，2∠B=180°. 所以∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 由矩形的定义，得平行四边形ABCD是一个矩形. 如果一个平行四边形是矩形，那么它的对角线相等.这个命题的逆命题也是真命题.由此，又得到矩形的一个判定定理: 定理2对角线相等的平行四边形是矩形。 你能根据平行四边形的性质证明吗？ 如图，已知:在平行四边形ABCD中,AC=BD. 求证:平行四边形ABCD是一个矩形. 证明：因为四边形ABCD是一个平行四边形， 由平行四边形的性质定理1，得AB=DC. 又因为AC=BD,BC=CB，所以△ABC≌△DCB.所以∠ABC=∠DCB. 由平行四边形的定义，知AB//DC，进而∠ABC+∠DCB=180°. 所以∠ABC=90°. 由矩形的判定定理1，得平行四边形ABCD是一个矩形. B C D A O 如图，已知:矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E、F、G、H分别在AO、BO、CO、DO上，且AE=BF=CG=DH. 求证:四边形EFGH是一个矩形. 分析：根据已知条件，可以先证明四边形EFGH是 平行四边形，再证明对角线EG、FH相等就可以了. 证明:∵四边形ABCD是一个矩形，∴AC=BD(矩形的两条对角线相等). ∵四边形ABCD是一个平行四边形， ∴OA=OC=AC，0B=OD=BD(平行四边形的对角线互相平分). ∴0A=0C=0B=0D. 又∵AE=BF=CG=DH，∴ OE=OF=0G=0H. ∴四边形EFGH是一个平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形). ∵EO+0G=FO+OH，∴EG=FH. ∴平行四边形EFGH是一个矩形(对角线相等的平行四边形是矩形). 教材P25 例题 教材 练习 课内练习 1.工人师傅在做矩形门窗或零件时，不仅要测量两组对边是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，请说明理由. 解：因为两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 所以测量两组对边分别相等，可得该四边形是平行四边形。 又因为对角线相等的平行四边形是矩形， 所以测量两条对角线相等，可得该平行四边形是矩形。 综上，通过测量两组对边分别相等和两条对角线相等，可以确保图形是矩形。 2.已知一个矩形的一条对角线长为8cm，两条对角线的夹角是60.求这个矩形相邻两边的长. 解:设矩形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，已知AC=8cm, ∵矩形的对角线相等且互相平分， ∴OA=OC=AC=4cm,OB=OD= BD,且AC=BD=8cm。 已知两条对角线的夹角是60°，不妨设∠AOB=60° 在△AOB中，OA=0B=4cm,且∠AOB=60 ∴△AOB是等边三角形，∴AB= 0A= 4cm。 在Rt△ABC中，AC=8cm,AB= 4cm,∴BC= . 因此，这个矩形相邻两边的长分别为4cm和cm 3.如图，已知:BF、BE分别是∠ABC与它的邻补角的平分线，AE⊥BE，AF⊥BF，垂足分别为E、F.求证:四边形AEBF是一个矩形. 证明:∵∠MBA+∠ABC=180°， BE、BF分别平分∠MBA和∠ABC, ∴∠EBF=90° ∵AF⊥BE, AF⊥BF, ∴ ∠AEB=∠AFB=90° ∴四边形AEBF是矩形 1.一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线相交所成的角中有一个为 120°.求这个矩形相邻两边的长. 解：如图所示，AC与BD交于点O. 在矩形ABCD中，AC=8，∠1=120°. ∵∠1+∠2=180°，∴∠2=60°. ∵在矩形ABCD中，OA =OB， ∴△AOB为等边三角形，∴AB = OA = AC = ×8 = 4. 在Rt△ABC中，BC===4. B C D A O 1 2 基础巩固题 2.求证：四个角都相等的四边形是矩形. 证明：如图所示，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D， 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵∠A=∠B=∠C=∠D，且∠A+∠B+∠C+∠D=360°. ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形. A B C D 3.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=2. 求□ABCD的面积. 解：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以OA = AC，OB = BD. 因为△OAB是等边三角形， 所以OA=OB=AB，∠BAO=60°，所以AC=BD， 所以□ABCD是矩形，所以∠ABC=90°. 在Rt△ABC中,因为∠BAO=60°,所以∠ACB=30°， 所以AC=2AB=2×2=4. 所以BC==2，所以S□ABCD=AB·BC=2×2=4. O A B C D 4.如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC的延长线上，DE∥AC，△DBE是等腰三角形吗？试说明理由. B C D A E 解：△DBE是等腰三角形. 理由：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥CE，AC=BD. ∵DE∥AC， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AC=DE，∴BD=DE， ∴△DBE是等腰三角形. 能力提升题 5.如图，在△ABC中，AB=AC. D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF. 求证：四边形ADCF是矩形. B C D A F E 证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE. ∵E是线段AD的中点，∴AE=DE. 又∵∠AEF=∠DEB，∴△BDE≌△FAE(AAS)， ∴AF=BD. ∵D是线段BC的中点，∴BD=CD，∴AF=CD. 又∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形. ∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC， ∴∠ADC=90°，∴平行四边形ADCF是矩形. 性质 对角线相等 是轴对称图形，有两条对称轴 定义 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 矩形 判定 有一个角是直角的平行四边形 对角线相等的平行四边形 课堂小结 教科书第26-27页练习 第1，2，3题 布置作业 $