专题02 二次根式的性质十大题型（专项训练）数学新教材青岛版八年级下册

专题02 二次根式的运算十大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一 二次根式的加减运算 1 题型二 二次根式的混合运算 3 题型三 分母有理化 5 题型四 二次根式的乘除混合运算 8 题型五 已知字母的值，化简求值 11 题型六 已知条件式，化简求值 14 题型七 比较二次根式的大小 17 题型八 二次根式的应用 20 题型九 化为最简二次根式 24 题型十 已知最简二次根式求参数 29 B 综合攻坚・能力跃升 31 题型一 二次根式的加减运算 B 综合攻坚・能力跃升 1．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)0 (2) (3) 【思路引导】本题考查了二次根式的加减运算，掌握先将二次根式化为最简形式，再合并同类二次根式是解题的关键． （1）先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）把所有二次根式化为最简形式，去括号后合并同类二次根式； （3）先化简绝对值，再将二次根式化为最简，去括号后合并同类二次根式． 【完整解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 2．（24-25八年级下·河南信阳·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了二次根式的化简和运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． （1）先化简每个二次根式，再合并同类项即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再去括号，最后加减计算即可． 【完整解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知实数，，满足． (1)求，，的值． (2)以，，为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，请说明理由并求出其周长；若不能构成三角形，请说明理由． 【答案】(1)，，． (2)能，周长为，理由见解析． 【思路引导】本题考查的是二次根式的加减，非负数的性质，三角形的三边关系的知识，掌握算术平方根、绝对值、偶次方的非负性是解题的关键． 【完整解答】（1）解：，，， 且， ，，， ，，． （2）解：，，， 即， 能构成三角形． 周长为：． 题型二 二次根式的混合运算 4．（25-26八年级下·全国·周测）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简，然后计算加减法即可； （2）先根据二次根式的加减法计算括号内的运算，再计算除法即可． 【完整解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 5．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【思路引导】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，利用完全平方公式计算等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先用完全平方公式展开，并去掉绝对值，再计算加减； （2）先计算乘除，再计算加减． 【完整解答】（1）解： ； （2） ． 6．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，平方差公式，熟知计算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的化简法则，即可解答； （2）根据二次根式的化简，平方差公式，零指数幂，即可解答． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 题型三 分母有理化 7．（23-24八年级下·陕西延安·期末）阅读材料：在解决问题“若，求的值”时，小俊是这样分析与解答的： ∵ ， ∴， ∴， ∴． ∴ ． 请你根据小俊的解答过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据平方差公式，将分母有理化即可； （2）先将化简，得出，则，进而得出，得出，代入计算即可． 【完整解答】（1）解： ； （2） ， ， ∴， ∴， ， ∴． 【考点再现】本题考查了二次根式的化简，分母有理化，完全平方公式，平方差公式，解题关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 8．（21-22八年级下·安徽蚌埠·月考）[核心素养]阅读下面的解答过程： ； ； …… 根据以上解答过程解决下列问题： (1) ； (2)试求的值． 【答案】(1) (2)8 【思路引导】本题考查了二次根式的混合运算，运用平方差公式进行运算，分母有理化，关键是读懂题中材料提供的解法，并能正确应用． （1）根据运用平方差公式进行运算，将分母有理化； （2）对每一项分母有理化，再去括号，合并同类二次根式． 【完整解答】（1）解：， 故答案为：； （2） ． 9．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）阅读材料： 像 两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与、与，与等都是互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)计算：___________；___________； (2)计算：． 【答案】(1) (2)44 【思路引导】本题考查了二次根式的混合运算，规律型：数字的变化类，分母有理化，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用分母有理化进行计算，即可解答； （2）先进行分母有理化，然后再进行计算，即可解答． 【完整解答】（1）解： ， ， 故答案为：；； （2）解： 题型四 二次根式的乘除混合运算 10．（23-24八年级下·河北邯郸·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)1 (3) (4) 【思路引导】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是关键． （1）把二次根式化简后进行加减运算即可； （2）先把除法转化为乘法，再进行计算即可； （3）先计算乘除法，再计算加减即可； （4）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【完整解答】（1）解： （2） （3） （4） 11．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查二次根式的混合运算． （1）利用算术平方根及立方根的定义计算后再算加减即可； （2）利用二次根式的乘除法则计算后再算加减即可． 【完整解答】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 12．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（）先进行二次根式的乘除法运算，再利用二次根式的性质化简后合并即可； （）利用平方差和完全平方公式展开，再合并即可； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键． 【完整解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型五 已知字母的值，化简求值 13．（25-26八年级下·全国·周测）求代数式的值，其中．下面是小明的解题过程，小明检查时发现有错误． 解： ．  第一步 当时，原式．  第二步 (1)小明是从第____________步开始出错的，正确的值为____________． (2)求代数式的值，其中． 【答案】(1)二  4049 (2) 【思路引导】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握是解题关键． （1）先根据完全平方公式判断第一步，再根据二次根式性质判断第二步，然后求出正确的值即可； （2）先根据完全平方公式化简，再根据二次根式性质代入计算，最后把的值代入计算得到答案． 【完整解答】（1）解：二，． ∵， ， ， ∴小明从第二步开始出错的 原式， 当时，原式． （2）解：， ， ∴原式 ． 当时，原式． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）求代数式的值，其中．下图是小亮和小芳的解答过程． (1)__________的解法是错误的． (2)求代数式的值，其中． 【答案】(1)小亮 (2) 【思路引导】（1）先将根号内的式子化为完全平方式，再根据二次根式性质，结合的取值判断绝对值内式子的符号，进而判断小亮、小芳的解法对错； （2）先将根号内的式子配方，根据的取值确定绝对值内式子的符号，去掉根号后化简代数式，再代入的值计算． 【完整解答】（1）解：小亮 ∵根号内， ∴原式 根据二次根式性质，原式应为 ∵， ∴，小芳的解法正确； 而小亮将根号内错误分解为，因式分解错误， ∴小亮的解法是错误的． （2）解：原式． ， ， 原式． 当时，原式． 【考点再现】本题考查了二次根式的性质与代数式求值，掌握，并根据字母的取值确定绝对值符号的化简方向是解题的关键． 15．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如：，即，的整数部分是，小数部分为． (1)如果的整数部分是，的整数部分是，求的立方根； (2)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了无理数的估算，已知字母的值求代数式的值，立方根，正确估算无理数是解此题的关键． （1）先估算出，结合的整数部分是，的整数部分是，则，求出，再求出立方根的即可得出答案； （2）先估算出，结合题意得出，又因为，是整数，得，，再代入进行计算，即可得出答案． 【完整解答】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∵的整数部分是，的整数部分是， ∴， ∴， ∴的立方根为， 即的立方根为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，，是整数， ∴，， ∴ 题型六 已知条件式，化简求值 17．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）问题：已知，求的值． 小明是这样分析与解答的：，， ，，， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：________； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】二次根式的化简求值，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键. （1）根据分母有理化的方法可以解答本题； （2）根据题目中的例子可以灵活变形解答本题． 【完整解答】（1）解：， 故答案为：． （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ 18．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）计算： (1)． (2)； (3)若均为实数，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（）利用二次根式的性质及零指数幂化简，再合并即可； （）利用分式的加减运算法则计算即可； （）利用二次根式和分式有意义的条件求出的值，进而得到的值，再代入二次根式计算即可； 本题考查了二次根式的混合运算，分式的加减运算，正确计算是解题的关键． 【完整解答】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：∵， ∴且且， 解得， ∴， ∴原式 ． 19．（24-25八年级下·河南安阳·月考）“双剑合璧，天下无敌”，意思是两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，像、、（0，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式 在进行二次根式计算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，例如： ； 解答下列问题 (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________，可以化简为________． (2)已知有理数、满足，求、的值． (3)若，求的值． 【答案】(1)；；． (2) (3)2 【思路引导】本题主要考查了分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式等知识点，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式、分母有理化进行解答即可； （2）先对等式左边进行分母有理化，然后求解即可； （3）先将分母有理化，然后将其代入计算即可． 【完整解答】（1）解：∵， ∴与互为有理化因式； ； ． 故答案为：；；． （2）解： ， ， ∴，解得：， ∴． （3）解：， ∴ ． 题型七 比较二次根式的大小 19．（24-25八年级下·河南信阳·期末）数学课上，孙老师在黑板上给出了如下等式． ，得； ，得； 利用你发现的规律： (1)化简：______； (2)______填>，<，或； (3)计算： 【答案】(1) (2)> (3) 【思路引导】（1）分母有理化即可； （2）先分母有理化，再比较大小； （3）先分母有理化，再算加减． 本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则． 【完整解答】（1）解：； 故答案为：； （2）， ， ， ； 故答案为：>； （3） 20．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如： 请你根据上述材料，解决如下问题： (1)的有理化因式是______，______； (2)比较大小：______（填>，<，或中的一种） (3)计算： (4)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4)1 【思路引导】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，平方差公式； （1）根据有理化因式的定义即可解决问题； （2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题； （3）先将括号内里的分母有理化，然后合并，再乘，最后算减法即可； （4）根据题干所给示例进行计算即可． 【完整解答】（1）解：的有理化因式是 故答案为：；． （2）解：∵， ∴ 故答案为：． （3）解： ； （4）∵ 又∵ ∴ 21．（24-25七年级上·江西抚州·月考）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方． 因为，， 所以，所以． 请利用“平方法”解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)猜想，之间的大小关系，并说明理由； (3)化简：________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【思路引导】本题考查了实数的大小比较，二次根式的大小比较和化简二次根式，解题的关键是熟练运用题干中“平方法”，第（3）题注意分情况讨论． （1）根据题干中“平方法”比较实数大小； （2）根据题干中“平方法”比较二次根式的大小； （3）根据题干中“平方法”找出，，再利用二次根式的性质结合完全平方公式进而开平方分类讨论得出答案． 【完整解答】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下：∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴； （3）解： ， 当时，即， ， 当时，即， ， 综上，的值为或， 故答案为：或． 题型八 二次根式的应用 22．（24-25八年级下·山东济南·期末）【阅读材料】当，时， ，， 【获得结论】 当，时，； 当且仅当时，等号成立，即； 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值问题中有着广泛的应用． 【应用举例】 例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 【解决问题】 (1)函数，y的最小值为______，此时，______． (2)当时，的最小值为______，此时，______． (3)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙墙足够长，其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形花园的宽为______时，所用的篱笆的总长度最短，最短为______米． 【答案】(1)6；3； (2)；； (3)10； 【思路引导】本题主要考查了二次根式的应用、配方法的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意，列出关系式是关键． （1）依据题意，当时，由，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为6，进而可以判断得解； （2）依据题意，当时，由，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为，进而可以判断得解； （3）依据题意，由米，则米，则篱笆的总长度，又，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为40，最后可以判断得解． 【完整解答】（1）由题意，当时，， ，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：6； （2）由题意，当时， ， ， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：； （3）由题意，米，则米， 篱笆的总长度 ， ， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为 答：当这个矩形花园的宽为米时，所用的篱笆的总长度最短，最短为米． 故答案为：； 23．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）阅读材料： 小甘在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小甘进行了以下探索：设（其中a，b，m，n均为正整数），则有．∴，．这样小甘就找到了一种把部分形如的式子化为平方式的方法． 请你仿照小甘的方法探索并解决下列问题： (1)当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得______，______； (2)若，且a，m，n为依次减小的正整数，求a的值． 【答案】(1)， (2)或 【思路引导】本题考查了二次根式的应用． （1）根据示例作答即可； （2）根据示例得到，，根据题意得到或，计算即可． 【完整解答】（1）解：若， 则有， ∴ ， 故答案为：，； （2）若， 则有， ∴，即， ∵a，m，n为依次减小的正整数， ∴或 当时，；满足a，m，n为依次减小的正整数，符合题意； 当时，；a，m，n为依次减小的正整数，符合题意． ∴或 244．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，在四边形中，，，，E为线段上一点，将沿折叠，使点A落在处．若的延长线与交于点F，且，那么 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质与判定、等角对等边、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由垂直的定义和平行线的性质可得，由折叠的性质得，，，利用平行四边形的判定推出四边形是平行四边形，得到，，设，表示出，，则有，推出，求出的长，再利用勾股定理即可求解． 【完整解答】解：∵，， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型九 化为最简二次根式 25．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在正方形中，点E是对角线上的一点（不与点A，C重合），连接，．过点E作，的垂线，垂足分别为点F，点G，连接与相交于点O． (1)求证：； (2)圆圆说：“直线”，你认为圆圆的说法是否正确？请说明理由； (3)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)圆圆的说法正确，证明见解析 (3) 【思路引导】（1）根据正方形的性质证明即可得到结论； （2）延长交于点M，交于点H，如图，证明，四边形为矩形，可得，可得，可得，进一步可得结论； （3）证明都为等腰直角三角形，可得，，，，结合，可得． 【完整解答】（1）证明：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：圆圆的说法正确，理由如下： 延长交于点M，交于点H，如图， ∵， ∴， 过点E作，的垂线，垂足分别为点F，点G，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：∵正方形， ∴，，， ∵， ∴都为等腰直角三角形， ∵，， ∴，， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴． 【考点再现】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，化为最简二次根式等等；证明是解题的关键． 26．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，垂直平分于点，则的长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查了矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，化为最简二次根式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由矩形的性质得，结合垂直平分线的性质得，证明是等边三角形，则根据勾股定理列式计算，得，即可作答． 【完整解答】解：∵四边形是矩形， ， ∵垂直平分， ， ， 是等边三角形， ，， ∴， ∴， 故选：C． 27．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【思路引导】连接，作于，由等边三角形的性质可判断①；证明，是等边三角形，可得，求解，可得判断③，可得，可判断②⑤，可得，如图，过作于点，则，进一步可判断④不符合题意． 【完整解答】解：连接，作于， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴，故①符合题意； ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴四边形是平行四边形，故③符合题意， ∵，，， ∴，故②符合题意， 根据全等三角形面积相等，可得故⑤不符合题意， 如图，过A作于点，则， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴，故④不符合题意； 综上①②③符合题意，共个， 故选：B． 【考点再现】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握它们的性质是解题的关键． 题型十 已知最简二次根式求参数 28．（24-25八年级上·陕西渭南·月考）已知是最简二次根式，且与可以合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，利用平方根解方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 由是最简二次根式且与可以合并，得出，然后利用平方根解方程即可． 【完整解答】解：∵是最简二次根式且与可以合并， ∴，解得：， 故选：． 29．（24-25八年级上·河北保定·月考）已知与最简二次根式可以加减合并，b是27的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的平方根； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)6 【思路引导】本题考查最简二次根式，平方根和立方根，化简求值： （1）根据题意，得到和是同类二次根式，求出的值，立方根的定义求出的值即可； （2）先求出代数式的值，再根据平方根的定义进行求解即可； （3）求出的值，将转化为，再代值计算即可． 【完整解答】（1）解：，由题意，得：， ∴， ∵b是27的立方根， ∴； （2）解：当，时， ， ∴的平方根； （3）， ∴ ． 30．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查最简二次根式、同类二次根式，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）由最简二次根式、同类二次根式的定义可得，解方程即可； （2）先判断出，，再化简绝对值和二次根式即可． 【完整解答】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：由，得， ，． 原式 ． 1．（24-25八年级下·山东淄博·期中）已知一等腰三角形的周长为，其中一边长．则三角形的腰长为（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系、二次根式运算等知识，根据等腰三角形的性质和三角形三边关系，分两种情况讨论已知边为底边或腰的情况，即可获得答案． 【完整解答】解：当已知边为底边时，底边长为，设腰长为， 则周长为：， 解得， 此时三边为、、， 验证三角形三边关系， 因此腰长为； 当已知边为腰时，腰长为，设底边长为， 则周长为，解得， 此时三边为、、， 验证三角形三边关系，，因此此情况不符合题意． 综上，该三角形的腰长为． 故选：D． 2．（2025·重庆·模拟预测）估计的值在（   ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 【答案】D 【思路引导】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的加减运算，先进行二次根式的加减计算，然后再估算出的值的范围即可解答． 【完整解答】解： 而， ∵， ∴， ∴估计的值在9和10之间， 故选：D． 3．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，在矩形中，平分交于点E，垂直平分交于点O，交于点F，若，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】设，则，证明四边形是菱形，再证明和全等得，在中，由勾股定理得，进而得，如图，连接，证明为等边三角形，可得，，求解，然后再根据菱形的面积公式即可得出四边形的面积． 【完整解答】解：设，则， ∵垂直平分交于点O， ∴，，，， 在矩形中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵平分交于点E，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 如图，连接，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为：． 故选：C． 【考点再现】此题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，二次根式的运算，理解矩形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，给出著名的三斜求积公式，即一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为现已知的三边长为2，3，，则利用公式求得的面积是 ． 【答案】 【思路引导】根据面积公式代入计算即可． 本题考查了代数式的值，二次根式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【完整解答】解：的三边长为2，3，，三角形的面积为， 的面积是 ， 故答案为： 5．（24-25八年级下·广东江门·月考）如图，在矩形中，，，分别平分，交于点E，F且，相交于点O，连接并延长交于点G．则下面结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①；②四边形是轴对称图形；③；④． 【答案】①②③④ 【思路引导】①根据矩形的性质和角平分线的性质即可得出答案；②连接，根据①中的结论可知是等腰直角三角形，再结合的长可求出，从而得出结论；③延长、相交于点H，根据题中条件证明，可得，即可证出结论；④取的中点M，连接，可知，即可求出答案． 【完整解答】解：①∵四边形是矩形，，分别平分，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②连接，如图所示， 由①知，是等腰直角三角形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是以为对称轴的轴对称图形，故②正确； ③延长、相交于点H，如图所示， ∵四边形是矩形，，分别平分，， ∴，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由①得，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，   ∴， 由②知，是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④取的中点M，连接，如图所示， ∵四边形是矩形，， ∴， 由③知，， ∴， ∴点O为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， 由③得，，， ∴， ∴， ∴ ，故④正确． 故答案为：①②③④． 【考点再现】本题考查了矩形的综合问题，涉及全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确做出辅助线是解题关键． 6．（24-25九年级下·广东河源·期中）对于任意正数a、b，定义运算“☆”为：，则的运算结果为 ． 【答案】4 【思路引导】本题主要考查实数的运算，解题的关键在于理解新定义的运算法则，并进行计算． 理解新定义运算法则，按照新定义运算法则计算即可； 【完整解答】解：原式 ， 故答案为：4． 7．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图是一张矩形纸片，点E为中点，点F在上，把该纸片沿折叠，点A、B的对应点分别为、，与相交于点G，的延长线过点C，若，则 ． 【答案】 【完整解答】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定和性质，分母有理化，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．如图，连接，过点作于点．设设，，．根据矩形和折叠的性质，证明出， 构建方程求出x，再证明四边形是矩形，求出可得结论． 【解答】解：如图，连接，过点作于点， ∵， ∴设，，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵E是的中点， ∴， 由翻折变换的性质可知，，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴， ∴，即， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）利用平方差公式计算前半部分，再计算二次根式乘法，最后合并即可； （2）先展开完全平方公式，再化简绝对值，最后合并； （3）用平方差公式计算前半部分，展开完全平方公式计算后半部分，再合并． 【完整解答】解：（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 【考点再现】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式及绝对值的化简，解题关键是熟练运用公式简化计算，准确处理绝对值与二次根式的运算． 9．（1）计算： ①   ② ③ …… （2）观察（1）中的式子，写第n个根式，并化简． （3）请根据（2）的结论计算： 【答案】（1）；（2）；（3）． 【思路引导】本题考查二次根式的化简计算，规律总结，算术平方根，掌握知识点是解题的关键． （1）逐个计算，最后根据算术平方根计算即可； （2）根据（1）中的①②③，找出规律，并总结出即可； （3）根据（2）中的规律计算，即可解答． 【完整解答】解：（1）①  ， ②， ③， …… （2）由（1）得 ①  ， ②， ③， …… 按此规律，可得 第n个根式为； （3） ． 10．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知：正方形中，是对角线所在直线上一点． (1)如图1，若在对角线上，连接，过点作交于点．求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，若，求的长； (3)如图3，若在的延长线上，连接，过点作交延长线于点，连接，若，的面积是20，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】（1）连接，证明≌，可得，进一步证明，可得，进一步可得结论． （2）过点作，由正方形的性质可得，根据，可得，继而可证是等腰三角形，由勾股定理可得，根据矩形的判定可得四边形是矩形和四边形是矩形，继而得到，继而求出，从而得到； （3）过点作，根据正方形的性质可得是的角平分线，由角平分线的性质可得，根据三角形的判定定理可证，继而可得，再由正方形的性质求出，设小正方形的边长为，则大正方形的边长为，根据列方程求出，最后根据勾股定理进行计算． 【完整解答】（1）证明：如图1，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴≌， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点作， ∵正方形中，是对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可证：四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵,， ∴， ∴， ∴． （3）过点作，如图， ∵正方形中，是对角线，点P在的平分线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵四边形和均为正方形， ∴， ∴， ∴， 设小正方形的边长为，则大正方形的边长为， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【考点再现】本题考查正方形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练运用正方形的性质和勾股定理以及正确的添加辅助线是解题的关键， 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式的运算十大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一 二次根式的加减运算 1 题型二 二次根式的混合运算 2 题型三 分母有理化 3 题型四 二次根式的乘除混合运算 5 题型五 已知字母的值，化简求值 6 题型六 已知条件式，化简求值 7 题型七 比较二次根式的大小 9 题型八 二次根式的应用 10 题型九 化为最简二次根式 12 题型十 已知最简二次根式求参数 13 B 综合攻坚・能力跃升 14 题型一 二次根式的加减运算 B 综合攻坚・能力跃升 1．（2026八年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． 2．（24-25八年级下·河南信阳·月考）计算： (1)； (2)． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知实数，，满足． (1)求，，的值． (2)以，，为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，请说明理由并求出其周长；若不能构成三角形，请说明理由． 题型二 二次根式的混合运算 4．（25-26八年级下·全国·周测）计算： (1)． (2)． 5．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）计算： (1) (2) 6．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）计算 (1) (2) 题型三 分母有理化 7．（23-24八年级下·陕西延安·期末）阅读材料：在解决问题“若，求的值”时，小俊是这样分析与解答的： ∵ ， ∴， ∴， ∴． ∴ ． 请你根据小俊的解答过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 8．（21-22八年级下·安徽蚌埠·月考）[核心素养]阅读下面的解答过程： ； ； …… 根据以上解答过程解决下列问题： (1) ； (2)试求的值． 9．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）阅读材料： 像 两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与、与，与等都是互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)计算：___________；___________； (2)计算：． 题型四 二次根式的乘除混合运算 10．（23-24八年级下·河北邯郸·月考）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 11．（24-25八年级下·河南驻马店·期末）计算： (1)； (2)． 12．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）计算： (1)； (2)． 题型五 已知字母的值，化简求值 13．（25-26八年级下·全国·周测）求代数式的值，其中．下面是小明的解题过程，小明检查时发现有错误． 解： ．  第一步 当时，原式．  第二步 (1)小明是从第____________步开始出错的，正确的值为____________． (2)求代数式的值，其中． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）求代数式的值，其中．下图是小亮和小芳的解答过程． (1)__________的解法是错误的． (2)求代数式的值，其中． 15．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如：，即，的整数部分是，小数部分为． (1)如果的整数部分是，的整数部分是，求的立方根； (2)已知，其中是整数，且，求的值． 题型六 已知条件式，化简求值 17．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）问题：已知，求的值． 小明是这样分析与解答的：，， ，，， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：________； (2)若，求的值． 18．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）计算： (1)． (2)； (3)若均为实数，且，求的值． 19．（24-25八年级下·河南安阳·月考）“双剑合璧，天下无敌”，意思是两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，像、、（0，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式 在进行二次根式计算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号，例如： ； 解答下列问题 (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________，可以化简为________． (2)已知有理数、满足，求、的值． (3)若，求的值． 题型七 比较二次根式的大小 19．（24-25八年级下·河南信阳·期末）数学课上，孙老师在黑板上给出了如下等式． ，得； ，得； 利用你发现的规律： (1)化简：______； (2)______填>，<，或； (3)计算： 20．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如： 请你根据上述材料，解决如下问题： (1)的有理化因式是______，______； (2)比较大小：______（填>，<，或中的一种） (3)计算： (4)已知，求的值． 21．（24-25七年级上·江西抚州·月考）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方． 因为，， 所以，所以． 请利用“平方法”解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)猜想，之间的大小关系，并说明理由； (3)化简：________． 题型八 二次根式的应用 22．（24-25八年级下·山东济南·期末）【阅读材料】当，时， ，， 【获得结论】 当，时，； 当且仅当时，等号成立，即； 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值问题中有着广泛的应用． 【应用举例】 例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 【解决问题】 (1)函数，y的最小值为______，此时，______． (2)当时，的最小值为______，此时，______． (3)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙墙足够长，其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形花园的宽为______时，所用的篱笆的总长度最短，最短为______米． 23．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）阅读材料： 小甘在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小甘进行了以下探索：设（其中a，b，m，n均为正整数），则有．∴，．这样小甘就找到了一种把部分形如的式子化为平方式的方法． 请你仿照小甘的方法探索并解决下列问题： (1)当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得______，______； (2)若，且a，m，n为依次减小的正整数，求a的值． 244．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，在四边形中，，，，E为线段上一点，将沿折叠，使点A落在处．若的延长线与交于点F，且，那么 ． 题型九 化为最简二次根式 25．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在正方形中，点E是对角线上的一点（不与点A，C重合），连接，．过点E作，的垂线，垂足分别为点F，点G，连接与相交于点O． (1)求证：； (2)圆圆说：“直线”，你认为圆圆的说法是否正确？请说明理由； (3)若，，求的长度． 26．（24-25八年级下·重庆·开学考试）如图，在矩形中，，对角线与相交于点，垂直平分于点，则的长为（    ） A． B． C． D．4 27．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，已知是边长为3的等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边，过点作，交于点，连接，则下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④；⑤，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型十 已知最简二次根式求参数 28．（24-25八年级上·陕西渭南·月考）已知是最简二次根式，且与可以合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 29．（24-25八年级上·河北保定·月考）已知与最简二次根式可以加减合并，b是27的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的平方根； (3)若，求的值． 30．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 1．（24-25八年级下·山东淄博·期中）已知一等腰三角形的周长为，其中一边长．则三角形的腰长为（　　） A． B．或 C．或 D． 2．（2025·重庆·模拟预测）估计的值在（   ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 3．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，在矩形中，平分交于点E，垂直平分交于点O，交于点F，若，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，给出著名的三斜求积公式，即一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为现已知的三边长为2，3，，则利用公式求得的面积是 ． 5．（24-25八年级下·广东江门·月考）如图，在矩形中，，，分别平分，交于点E，F且，相交于点O，连接并延长交于点G．则下面结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①；②四边形是轴对称图形；③；④． 6．（24-25九年级下·广东河源·期中）对于任意正数a、b，定义运算“☆”为：，则的运算结果为 ． 7．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图是一张矩形纸片，点E为中点，点F在上，把该纸片沿折叠，点A、B的对应点分别为、，与相交于点G，的延长线过点C，若，则 ． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 9．（1）计算： ①   ② ③ …… （2）观察（1）中的式子，写第n个根式，并化简． （3）请根据（2）的结论计算： 10．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知：正方形中，是对角线所在直线上一点． (1)如图1，若在对角线上，连接，过点作交于点．求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，若，求的长； (3)如图3，若在的延长线上，连接，过点作交延长线于点，连接，若，的面积是20，求的长． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $