专题01 二次根式的性质六大题型（专项训练）数学新教材青岛版八年级下册

专题01 二次根式的性质六大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一 二次根式的识别 1 题型二 求二次根式的值 2 题型三 求二次根式中的参数 4 题型四 二次根式有意义的条件 6 题型五 利用二次根式的性质化简 7 题型六 复合二次根式的化简 9 B 综合攻坚・能力跃升 13 题型一 二次根式的识别 B 综合攻坚・能力跃升 1．（24-25八年级下·广东韶关·月考）下列根式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，根据二次根式的定义逐项分析即可得解，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 【完整解答】解：A、当时，，故无意义，不一定是二次根式，不符合题意； B、由可得，故一定是二次根式，符合题意； C、不是二次根式，故不符合题意； D、，故无意义，不是二次根式，不符合题意； 故选：B． 2．下列各式不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】此题主要考查了二次根式的定义，正确掌握二次根式的定义是解题关键． 根据二次根式的概念，形如的式子是二次根式，逐一判断即可得到答案． 【完整解答】解：A、是二次根式，不合题意； B、中，故不是二次根式，符合题意； C、，则是二次根式，不合题意； D、是二次根式，不合题意； 故选：B． 3．已知，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查非负数的性质．根据二次根式和绝对值的非负性求出x、y的值，即可代入原式计算． 【完整解答】解：∵， ∴要使，则， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二 求二次根式的值 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【思路引导】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． 【完整解答】（1）解：当 时， ； （2）解： 当 时， ． 5．（22-23八年级下·浙江丽水·期中）当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次根式的定义以及二次根式求值．代入求值是解题的关键． 把的值代入已知二次根式中，然后将其化为最简二次根式． 【完整解答】解：把代入，得． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·河南安阳·期中）当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【思路引导】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【完整解答】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：， 当时，； （3）解：∵， ∴， ∴原式． 题型三 求二次根式中的参数 7．（24-25八年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【思路引导】本题考查了求二次根式中的参数． 由题意可知，为整数，则必为完全平方数，根据自然数的取值范围，确定符合条件的值即可． 【完整解答】设（为非负整数）， 则， 即， ∵为自然数， ∴， 即， 完全平方数的可能值为，对应， 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（对应选项B）； 故选B． 8．（24-25八年级上·四川达州·月考）已知、、满足． (1)求 、、 的值； (2)判断： 以 、、为三角形的三边长能否构成三角形?若能，判断这个三角形的形状；若不能，请说 明理由． 【答案】(1)，， (2)以 、、为三角形的三边长能构成三角形，这个三角形是直角三角形 【思路引导】（1）根据非负数之和等于零，则每个非负数等于零，分别建立方程求解即可； （2）用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后根据勾股定理的逆定理求解即可． 【完整解答】（1）解： ， ， ，，， 解得：，，； （2） ，，，且， ， 以 、、为三角形的三边长能构成三角形； ， 这个三角形是直角三角形． 【考点再现】本题考查了非负数的性质，二次根式有意义的条件和构成三角形的条件，勾股定理的逆定理，解题的关键是灵活运用相关知识． 9．已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】． 【思路引导】把方程变形为，根据方程没有实数根可得，解不等式即可． 【完整解答】解：由得， 有意义，且， 方程没有实数根，即， ， 故答案为：． 【考点再现】本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定的取值范围． 题型四 二次根式有意义的条件 10．（23-24九年级下·贵州铜仁·月考）若实数a，b，c分别表示的三条边，且a，b满足，则的第三条边c的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，三角形的三边关系． 根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形的三边关系确定c的取值范围即可． 【完整解答】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵实数a，b，c分别表示的三条边， ∴， 即． 故答案为：． 11．（22-23八年级下·吉林延边·月考）若等式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【思路引导】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，根据分母不为零，被开方数大于等于零，列式，解答即可． 【完整解答】解： 有意义， ， 解得， 故选：C． 12．（24-25八年级下·江西赣州·月考）已知，为一个等腰三角形的两边长，且满足，求此等腰三角形的周长． 【答案】12 【思路引导】本题主要考查了二次根式有意义的条件，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列式可求出a的值，进而求出b的值，再讨论2为腰长和5为腰长，根据构成三角形的条件讨论求解即可． 【完整解答】解：由题意可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 分两种情况：①若腰为2，底为5， ∵， ∴此时不能组成三角形，舍去； ②若腰为5，底为2， ∵， ∴此时能组成三角形， ∴等腰三角形的周长为， 综上所述，这个等腰三角形的周长为12． 题型五 利用二次根式的性质化简 13．下列运算中，计算错误的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】本题考查二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决此题的关键．逐一分析各运算的正确性即可． 【完整解答】①： 将带分数化为假分数：，故．原式结果为，错误； ②： 算术平方根的非负性：．原式结果为，错误； ③： 在实数范围内无意义，无法计算，故错误； ④： ，故错误； 综上，错误个数为4， 故选：D． 14．（24-25八年级下·湖北十堰·月考）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：等． 【猜想】（1） ； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】（1）   （2），证明见解析   （3）71 【思路引导】本题考查二次根式的化简与求值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键， （1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据“穿墙”的定义，分别求出，的值即可得到答案． 【完整解答】解：（1），证明如下， ， 故答案为：； （2），证明如下， ； （3）∵ ∴根据（2）规律可得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 15．如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了利用数轴确定数的大小和代数式结果的正负，去绝对值，化简二次根式，解题的关键是掌握数形结合的数学思想，求绝对值的法则和二次根式的性质． 根据数轴得出，然后根据求绝对值和二次根式的性质进行计算即可． 【完整解答】解：由数轴可知，， ∴， 故选：A． 题型六 复合二次根式的化简 16．（24-25八年级下·山东济宁·期中）【数学经验】 我们已经知道，，通过这种办法可以把原式的分母转化成不含根号的形式，类似的形如的代数式也可以借助平方差公式转化成分母不含根号的形式： 例如：． 【深入探索】如何化简？ 【数学建模】形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，，那么便有：， 【问题解决】化简． 解：首先把化为，这里，．由于，． 即，． ． 利用上述解决问题的方法解答下列问题： (1)化简： ①； ②． (2)已知中，，，，求边的长为多少？（结果化成最简形式）． 【答案】(1)①  ② (2) 【思路引导】本题考查了符合二次根式的化简，勾股定理，掌握复合二次根式的化简方法是解答本题的关键． （1）①②根据复合二次根式的化简方法求解即可； （2）先由勾股定理求出，开方后利用复合二次根式的化简方法求解即可． 【完整解答】（1）解：①这里，，由于，， 即，   ． ②首先把化为， 这里，，由于，， 即，， ． （2）在中，由勾股定理得，， ， ，   ． 17．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）阅读与思考 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样，，那么便有（）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，，， ∴． 仿照上面例题，解决下列问题． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握复合二次根式化简的方法是解答本题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法计算即可； （2）仿照阅读材料中的方法计算即可； （3）仿照阅读材料中的方法计算即可． 【完整解答】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 18．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 【答案】(1)； (2) (3) 【思路引导】（1）根据“横负纵变点”的定义进行求解即可； （2）根据题干提供的信息，进行变形求解即可； （3）先根据，得出，求出，，再求出m的值，得出，根据“横负纵变点”的定义写出结果即可． 【完整解答】（1）解：， ∴点的“横负纵变点”为； ， ∴点的“横负纵变点”为； 故答案为：；． （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ， ． ， ， ， ． 故答案为：． 【考点再现】本题主要考查了新定义运算，二次根式化简求值，化简复合型二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解新定义． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查二次根式的性质，解题的关键是注意平方后的符号变化. 根据二次根式的性质，（a ≥ 0），然后考虑负号的影响，逐项判断即可. 【完整解答】解：A、∵ ，∴ ，A计算正确，符合题意； B、∵ ，∴ B计算错误，不符合题意； C、∵ ，∴ 不应有号，C计算错误，不符合题意； D、∵ ，∴ ，∴ ，∴ D计算错误，不符合题意； 故选：A. 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）若式子在实数范围内有意义，则，的取值范围分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【思路引导】本题考查二次根式和分式有意义的条件，二次根式要求被开方数非负，分式要求分母不为零． 分别确定式子中二次根式a​、分式有意义的条件，结合这两个条件得到的取值范围，再逐一判断选项． 【完整解答】解：∵ 式子 在实数范围内有意义， ∴ 有意义要求 ， 有意义要求 ， ∴ 且 ． 故选：B． 3.若是二次根式，则a，b应满足的条件是（    ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件． 利用二次根式有意义的条件进行求解即可． 【完整解答】解：根据二次根式的性质得，， ∴， 故选：D． 4．（25-26八年级下·全国·周测）已知，，为的三条边的长，则化简的结果是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【思路引导】此题主要考查了三角形三边关系、二次根式以及绝对值的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 先根据化简二次根式，然后利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断绝对值内的正负，从而化简表达式． 【完整解答】解：∵ 是 的三边， ∴ ，即 ， ∴ . 又 ∵，即， ∴. ∴ 原式   . 故选：D． 5．化简的结果为（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【思路引导】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合完全平方公式化简二次根式． 【完整解答】解： 由有意义，得，即 ， ∵， ∴． 又∵， ∴原式． 故选：B． 【考点再现】本题考查了二次根式的性质与化简，解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再结合绝对值的性质化简式子． 6．（24-25八年级下·广东湛江·月考）已知点在第三象限，化简的结果为 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查了各象限内点的坐标特点，绝对值与算术平方根的性质；由点A在第三象限，确定m的取值范围，再化简绝对值与根式． 【完整解答】解：因为点在第三象限， 所以且，解得． 所以原式． 故答案为2． 7．观察：，，，…计算，其结果为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了数字规律、有理数的加减运算、加法运算律等知识点，发现规律成为解题的关键． 先观察发现规律将根号去掉，然后运用加法运算律以及裂项法求解即可． 【完整解答】解：， ， ， …… ， ． 8．（2025·湖南长沙·一模）如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理，正方形的面积计算，归纳总结．熟练掌握勾股定理，正方形的面积计算和归纳总结出正方形边长的规律是解题的关键． 通过依次计算前几个正方形的边长，找出边长的规律，进而得到第个正方形的边长，再根据正方形面积公式求出面积即可． 【完整解答】解：， ， ， ， 通过上述分析，可以总结出第个正方形的边长为， 第个正方形的边长为， 个正方形的面积为， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·四川南充·月考）已知，则 ． 【答案】2 【思路引导】根据已知和二次根式的性质求出x、y的值，把x、y的值代入化简后的式子计算即可． 本题考查的是二次根式的化简求值，二次根式有意义的条件，正确计算是解题的关键． 【完整解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故， 故答案为：2． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据互为相反数的两数之和为，结合二次根式有意义的条件与绝对值的非负性，得到两个非负数相加为0的等式，从而建立二元一次方程组求解． （2）将（1）中求得的的值代入代数式，进行计算求值． 【完整解答】（1）解：与互为相反数， ． ，， 解得 （2）解：由（1）得，， ． 【考点再现】本题考查了二次根式有意义的条件与绝对值的非负性、二元一次方程组的解法以及代数式求值，掌握几个非负数的和为，则每个非负数都为的性质是解题的关键． 11．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 （1）计算：用“，，”填空． ________；________；________． 猜想：（，）． （2）利用上述结论解决下面问题： 如图，某同学准备做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝，请你计算用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 【答案】（1），，，（2）厘米 【思路引导】本题主要考查了平方数的非负性，二次根式的大小比较，完全平方公式，二次根式的实际应用，识别出完全平方式的结构是解题关键， （1）依据题意，将需要比较大小的两式作差，其结构符合完全平方式，利用完全平方式的非负性证明即可； （2）依据题意，做对角线的竹条的和符合（2）中的形式，根据风筝面积求出两条对角线长度的积，应用（2）中的结论即可． 【完整解答】解：（1）由题意，， ． ； ， ． ； ， ． ； ， ． ． 故答案为：，，，． （2）对角线相互垂直， ． ． ． ． 用来做对角线的竹条至少要厘米． 12．（24-25八年级下·广西百色·期中）【阅读理解】已知在平面内两点的坐标为，，则该两点间的距离公式为．同时，当两点在同一条直线上，所在直线平行于轴或垂直于轴时，两点间的距离公式可化简成或． 【方法运用】 （1）若已知两点，，试求A，B两点间的距离； （2）已知点M，N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为，点N的纵坐标为3，试求M，N两点间的距离； 【拓展运用】 （3）已知一个三角形各顶点的坐标为，，，你能判断此三角形的形状吗？试说明理由． 【答案】（1）；（2）7；（3）能，为等腰直角三角形，理由见解析 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系中两点之间的距离公式，等腰三角形判定和勾股定理的逆定理，正确理解题意及掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据定义直接计算即可； （2）根据定义直接计算即可； （3）根据两点间的距离公式分别计算，，的长，可得，可知是等腰三角形，进一步推理可得，可知是直角三角形，即得答案． 【完整解答】解：（1）点，， ， 即A，B两点间的距离为； （2）点M，N在平行于y轴的同一条直线上， ， 即M，N两点间的距离为7； （3）能，为等腰直角三角形． 理由如下：点，，， ，，， ， 又，， ， 为等腰直角三角形． 13．（24-25八年级下·河北沧州·月考）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，（），AB=DE=a，AC=AE=b，BC=AD=c，，显然． (1)请用a，b，c分别表示出四边形的面积，（提示：）梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)如图3，网格中小正方形边长为1， ①点P为已给网格中格点上的点，求的最大值为______． ②请利用“等面积法”解决问题：连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高的长度为______． (3)如图4，在中，是边上的高，，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) ； (3) 【思路引导】本题主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，二次根式的化简，根据勾股定理列方程求解是解本题的关键． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论； （2）①利用勾股定理求解即可；②根据三角形的面积的两种算法列等式即可求出答案； （3）分别在两个直角三角形中利用勾股定理求出，列出方程求解即可． 【完整解答】（1）证明：如图，设与交于点G， ，，，，， ， ， ， ， ， 化简，得； （2）解：①点P与格点图左上角或左下角的点的距离最大，的最大值． 故答案为：． ②设边上的高为h， ， ， ， 边上的高为． 故答案为：． （3）解：设， ， ， 在中， ∵AB=4，，是边上的高， ， 在中， ∵AC=5，， ， ， 解得， ． 14．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）如图可知，______，______，______，______0．(填写，或) 化简：______． 【答案】； 【思路引导】本题考查了根据数轴判断式子的符号，二次根式的性质，整式的加减，先根据数轴可得，，则，进而化简二次根式和绝对值，再合并同类项，即可求解． 【完整解答】解：根据数轴可得：， ∴ 故答案为：． ∴ ； 故答案为：． 15．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）阅读下列解题过程： 例：若代数式的值是2，求的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当，原式，解得（舍去）． 的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：_____． (2)若等式成立，求的取值范围． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】本题考查了二次根式的性质与化简，在解答此类问题时要注意进行分类讨论． （1）根据，得出；再将原式化为去绝对值即可得出答案； （2）先将原式化为再分，，三种情况解方程，得出符合条件的即可； （3）先将原式化为，再分，，三种情况解方程，即可求出a的值． 【完整解答】（1）解：当时， 原式； （2）解：原式= 当时，原式，解得(舍去)； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得 (舍去)． 所以，的取值范围是； （3）解：∵， ∴原式=， 当时，原式，解得符合条件； 当时，原式，不符合条件； 当时，原式，解得 符合条件． 所以，的值是或． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式的性质六大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一 二次根式的识别 1 题型二 求二次根式的值 2 题型三 求二次根式中的参数 4 题型四 二次根式有意义的条件 6 题型五 利用二次根式的性质化简 7 题型六 复合二次根式的化简 9 B 综合攻坚・能力跃升 13 题型一 二次根式的识别 B 综合攻坚・能力跃升 1．（24-25八年级下·广东韶关·月考）下列根式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式不是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则 ． 题型二 求二次根式的值 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 5．（22-23八年级下·浙江丽水·期中）当时，二次根式的值为 ． 6．（24-25八年级下·河南安阳·期中）当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 题型三 求二次根式中的参数 7．（24-25八年级下·广东汕头·期末）已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（24-25八年级上·四川达州·月考）已知、、满足． (1)求 、、 的值； (2)判断： 以 、、为三角形的三边长能否构成三角形?若能，判断这个三角形的形状；若不能，请说 明理由． 9．已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是 ． 题型四 二次根式有意义的条件 10．（23-24九年级下·贵州铜仁·月考）若实数a，b，c分别表示的三条边，且a，b满足，则的第三条边c的取值范围是 ． 11．（22-23八年级下·吉林延边·月考）若等式有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 12．（24-25八年级下·江西赣州·月考）已知，为一个等腰三角形的两边长，且满足，求此等腰三角形的周长． 题型五 利用二次根式的性质化简 13．下列运算中，计算错误的有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（24-25八年级下·湖北十堰·月考）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：等． 【猜想】（1） ； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 15．如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果等于（   ） A． B． C． D． 题型六 复合二次根式的化简 16．（24-25八年级下·山东济宁·期中）【数学经验】 我们已经知道，，通过这种办法可以把原式的分母转化成不含根号的形式，类似的形如的代数式也可以借助平方差公式转化成分母不含根号的形式： 例如：． 【深入探索】如何化简？ 【数学建模】形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，这样，，那么便有：， 【问题解决】化简． 解：首先把化为，这里，．由于，． 即，． ． 利用上述解决问题的方法解答下列问题： (1)化简： ①； ②． (2)已知中，，，，求边的长为多少？（结果化成最简形式）． 17．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）阅读与思考 形如的化简，只要我们找到两个数，使，，这样，，那么便有（）． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，． 由于，，，， ∴． 仿照上面例题，解决下列问题． (1) ． (2)． (3)． 18．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）若式子在实数范围内有意义，则，的取值范围分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 3.若是二次根式，则a，b应满足的条件是（    ） A．， B．， C． D． 4．（25-26八年级下·全国·周测）已知，，为的三条边的长，则化简的结果是（    ） A． B．0 C． D． 5．化简的结果为（   ） A． B．0 C． D． 6．（24-25八年级下·广东湛江·月考）已知点在第三象限，化简的结果为 ． 7．观察：，，，…计算，其结果为 ． 8．（2025·湖南长沙·一模）如图，正方形的边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，…，按照这样的规律作下去，第个正方形的面积为 ． 9．（24-25八年级下·四川南充·月考）已知，则 ． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)求的值． 11．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）综合与实践 （1）计算：用“，，”填空． ________；________；________． 猜想：（，）． （2）利用上述结论解决下面问题： 如图，某同学准备做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝，请你计算用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 12．（24-25八年级下·广西百色·期中）【阅读理解】已知在平面内两点的坐标为，，则该两点间的距离公式为．同时，当两点在同一条直线上，所在直线平行于轴或垂直于轴时，两点间的距离公式可化简成或． 【方法运用】 （1）若已知两点，，试求A，B两点间的距离； （2）已知点M，N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为，点N的纵坐标为3，试求M，N两点间的距离； 【拓展运用】 （3）已知一个三角形各顶点的坐标为，，，你能判断此三角形的形状吗？试说明理由． 13．（24-25八年级下·河北沧州·月考）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，（），AB=DE=a，AC=AE=b，BC=AD=c，，显然． (1)请用a，b，c分别表示出四边形的面积，（提示：）梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)如图3，网格中小正方形边长为1， ①点P为已给网格中格点上的点，求的最大值为______． ②请利用“等面积法”解决问题：连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高的长度为______． (3)如图4，在中，是边上的高，，，，求的长． 14．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）如图可知，______，______，______，______0．(填写，或) 化简：______． 15．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）阅读下列解题过程： 例：若代数式的值是2，求的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当，原式，解得（舍去）． 的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： (1)当时，化简：_____． (2)若等式成立，求的取值范围． (3)若，求的值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $