第9章 二次根式（复习讲义）数学新教材青岛版八年级下册

该初中数学二次根式复习讲义通过“概念-性质-运算”模块系统构建知识体系，以知识点框架图呈现二次根式的定义、双重非负性、最简与同类二次根式及运算法则，清晰梳理重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于22类分层题型设计，涵盖识别、化简、运算及应用等，如复合二次根式化简通过构造完全平方式培养推理意识，基础巩固与能力提升练习满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生运算能力与应用意识。

第九章 二次根式（复习讲义） 1. 了解二次根式有意义（被开方数为非负数）与无意义的条件，体会二次根式“双重非负性”与平方根之间的整体联系。 2. 能识别最简二次根式，并掌握将二次根式化简为最简二次根式的方法。 3. 理解同类二次根式的概念，能准确判断并正确合并同类二次根式，利用乘法分配律完成运算。 4. 掌握二次根式的乘、除法法则（被开方数相乘除，根指数不变）与加减运算顺序（先化简，再合并同类项）。 5. 理解二次根式的混合运算顺序与整式运算一致（先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内），并能利用运算法则解决相关计算问题。 知识点01 二次根式 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 （a≥0）的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式. 2.二次根式满足条件： （1）必须含有二次根号； （2）被开方数必须是非负数. 3.二次根式有无意义的条件 ①二次根式有意义：被开方数为非负数，即有意义⇔a≥0； ②二次根式无意义：被开方数为负数，即无意义a<0. 4.二次根式的性质 ①二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． ②二次根式的性质：（） ③二次根式的性质： 知识点02 最简二次根式与同类二次根式 1.最简二次根式 （1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.同类二次根式 （1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点03 二次根式的运算 1.二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则：*=（a≥0；b≥0）（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） （2）二次根式的乘法法则的推广: ①*=（a≥0；b≥0；c≥0） ②a*c=ac（b≥0；d≥0），即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. （3）二次根式的乘法法则的逆用：=*（a≥0；b≥0）（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） （4）二次根式的乘法法则的逆用的推广：=***（a≥0；b≥0；c≥0；d≥0） 2.二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） （2）二次根式的除法法则的推广：. 3.二次根式的加减法 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式—将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 题型一 二次根式的识别 【例1】（24-25八年级下·云南红河·期末）下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了二次根式的定义，一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，熟练掌握二次根式的定义是解此题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可得出答案． 【完整解答】二次根式需满足根指数为且被开方数， 对于：，根指数为，不是二次根式； 对于：，被开方数，无意义，不是二次根式； 对于：，，，恒成立，是二次根式； 对于：，当时，，被开方数不能保证为非负数，不属于二次根式的式子； 故选． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 【答案】错 【思路引导】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义解答即可． 【完整解答】解：根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．中被开方数为，满足，且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质． 故小红的说法是错误的． 故答案为：错． 题型二 求二次根式的值 【例2】（24-25八年级下·河南安阳·期中）当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【思路引导】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【完整解答】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：， 当时，； （3）解：∵， ∴， ∴原式． 【变式】下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据形如的式子是二次根式，可得答案． 【完整解答】解：二次根式有（1），（3）， 故选：C． 题型三 求二次根式中的参数 【例3】二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是 ． 【答案】2 【思路引导】本题主要考查二次根式的性质、二次根式的定义等知识点，掌握二次根式的性质成为解题的关键． 利用二次根式的性质可得，则是一个平方数，然后确定a的最小正整数即可． 【完整解答】解：∵是一个正整数， ∴是一个平方数， ∴正整数a的最小值是2． 故答案为：2． 【变式】（24-25八年级上·四川达州·月考）已知、、满足． (1)求 、、 的值； (2)判断： 以 、、为三角形的三边长能否构成三角形?若能，判断这个三角形的形状；若不能，请说 明理由． 【答案】(1)，， (2)以 、、为三角形的三边长能构成三角形，这个三角形是直角三角形 【思路引导】（1）根据非负数之和等于零，则每个非负数等于零，分别建立方程求解即可； （2）用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后根据勾股定理的逆定理求解即可． 【完整解答】（1）解： ， ， ，，， 解得：，，； （2） ，，，且， ， 以 、、为三角形的三边长能构成三角形； ， 这个三角形是直角三角形． 【考点剖析】本题考查了非负数的性质，二次根式有意义的条件和构成三角形的条件，勾股定理的逆定理，解题的关键是灵活运用相关知识． 题型四 二次根式有意义的条件 【例4】（24-25八年级下·上海徐汇·月考）如果方程无实数解，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查解无理方程，二次根式有意义的条件，能得出关于k的不等式是解此题的关键． 移项后得出，根据方程无实数解得出，再求出k的范围即可． 【完整解答】解：， ， ∵方程无实数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式】已知，为实数，且，求的值． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，将式子变形为，再由二次根式有意义的条件计算得出，，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【完整解答】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 题型五 利用二次根式的性质化简 【例5】（25-26八年级下·全国·课后作业）若整数满足，则能使为整数的的值是 ． 【答案】或3 【思路引导】根据绝对值不等式确定整数的取值范围，再根据算术平方根为整数的条件，逐一验证可能的值． 本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算方法是解题的关键． 【完整解答】解：由整数满足 得可取． 计算 ： 当 时，，不是整数； 当 时，，是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，不是整数； 当 时，，是整数． ∴能使 为整数的 的值是和 ； 故答案为：或． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）若与互为相反数，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，掌握几个非负数的和为0时，每个非负数都为是解题的关键． 根据相反数的定义，两个非负的表达式互为相反数，只能同时为零，从而求出和的值，再代入计算． 【完整解答】解：∵与互为相反数，且，， ∴且， ∴， 解得：； ， 解得：； ∴ 故答案为 ：． 题型六 复合二次根式的化简 【例6】（2024八年级下·江西上饶·竞赛）像，…这样的根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 根据上述方法解决下列问题： (1)化简：①；②； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【思路引导】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握完全平方公式，利用二次根式的性质是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）先将凑成完全平方式，逐步对内部被开方数化简，计算即可． 【完整解答】（1）解：①． ②． （2）解：设，两边平方可得： ， 所以． 则． 又因为， 所以． （3）∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴原式． 【变式】（24-25八年级下·四川绵阳·月考）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ______； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据，比较对应项系数即可． （2）根据，得；根据得，最后代入计算即可． 【完整解答】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 题型七 同类二次根式 【例7】（24-25八年级下·浙江金华·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查二次根式的混合运算 （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可； 掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解题的关键． 【完整解答】（1）解： ； （2） ． 【变式】（24-25八年级下·广东汕头·期末）下列命题为真命题的是（　　） A．已知a、b、c是的三条边，则 B．有一个内角是直角的平行四边形是正方形 C．一组数据的中位数可能有两个 D．若最简二次根式与可以合并，则 【答案】D 【思路引导】本题考查判断命题的真假，根据勾股定理、正方形的判定、中位数、最简二次根式相关知识逐项判断即可． 【完整解答】解：选项A：勾股定理成立的条件是直角三角形的斜边为最长边．题目未明确c为斜边，若c为直角边，则等式不成立．故A错误． 选项B：有一个内角是直角的平行四边形为矩形，需满足邻边相等才是正方形．仅有一个直角无法确定邻边相等，故B错误． 选项C：中位数是数据排序后中间位置的数．数据个数为偶数时，中位数为中间两数的平均数，但结果唯一，不存在两个中位数．故C错误． 选项D：最简二次根式可合并需被开方数相同，即，解得，验证：当时，与均为最简二次根式，可合并．故D正确． 综上，真命题为D． 故选D． 题型八 二次根式的加减运算 【例8】（25-26八年级下·全国·周测）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简，然后计算加减法即可； （2）先根据二次根式的加减法计算括号内的运算，再计算除法即可． 【完整解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）规定：若，则称与是关于1的“平衡数”． (1)若3与是关于1的“平衡数”，与也是关于1的“平衡数”，求，的值． (2)若，，至少有一个是有理数，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由． 【答案】(1)， (2)不是，理由见解析 【思路引导】（1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； （2）分两种情况，①当和均为有理数时，然后对所给的进行处理，求出，，进行验证即可；②当和中一个是有理数，另一个是无理数时，有，而此时为无理数，与“平衡数”的概念矛盾，由此可得到结论． 【完整解答】（1）解：根据题意，知，， ，． （2）解：和不是关于的“平衡数”． 理由如下：①当和均为有理数时， ，即 ，， 解得，． 当，时，， 与不是关于的“平衡数”． ②假设与是关于1的“平衡数”，则有，即， 将代入中，得：， 再根据“，至少有一个是有理数”的条件分类讨论： ①若为有理数，则也为有理数， 此时必有且，分别解得和，产生矛盾， ②若为无理数，则必为有理数， 但从来看，一个有理数等于一个无理数，产生矛盾． 综上，假设不成立． 故与不是关于1的“平衡数”． 【考点剖析】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 题型九 二次根式的混合运算 【例9】（25-26八年级下·全国·周测）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算、零指数幂，熟练掌握二次根式的化简与运算规则、零指数幂的定义是解题的关键． （1）分别化简，计算乘法，零次幂，化简二次根式，最后相加即可． （2）先利用完全平方公式展开，然后对进行除法运算，可转化为分别除以再相加，最后合并同类二次根式即可． 【完整解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式】（2026八年级下·全国·专题练习）在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． (1)化简：__________． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． (3)利用分母有理化计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）模仿示例，分子分母同乘，利用平方差公式分母有理化； （2）观察示例规律，给的分子分母同乘​，化简得到式子； （3）先利用（2）的规律将每个分式分母有理化，得到相邻二次根式的差，合并后再与相乘计算结果 【完整解答】（1）解：分子分母同乘： 原式 ． （2）解：分子分母同乘​： 原式 ． （3）解：原式 ． 【考点剖析】本题考查了二次根式的分母有理化，掌握利用平方差公式对​型分式分母有理化，及相邻二次根式差的合并规律是解题的关键． 题型十 分母有理化 【例10】（25-26八年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)。 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了二次根式的混合运算、负整数指数幂、立方根运算及因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则，灵活运用因式分解简化计算． （1）先化简二次根式、分母有理化、计算负整数指数幂，再合并同类项； （2）先计算完全平方、化简根式、立方根，再进行除法运算，最后合并； （3）提取公因式简化高次幂项，再逐步计算． 【完整解答】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 【变式】观察下列等式： ① ② ③；… 回答下列问题： (1)利用你观察到的规律，化简： ①______， ②______； (2)计算： 【答案】(1)①；② (2) 【思路引导】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，解决本题的关键是读懂题目意思，并正确地找出规律． （1）①根据已知的3个等式提供的方法计算，②同法计算即可． （2）先利用上题的规律分母有理化，再计算即可． 【完整解答】（1）解：① ． ② ． （2）解： ． 题型十一 已知字母的值，化简求值 【例11】（24-25八年级下·北京海淀·月考）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题考查了二次根式的混合运算,分式的求值，完全平方公式的变形应用． （1）把变形为，利用整体代入求值即可； （2）把变为，利用整体代入求值即可． 【完整解答】（1）解：∵， ∴； （2）∵，， ∴ ． 【变式】（24-25八年级上·四川·期中）阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的： 已知，求的值． 他是这样分析与解的：， ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求值． (2)化简：. 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查分母有理化及乘法公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法可进行求解； （2）先分母有理化，再根据相互抵消计算． 【完整解答】（1）解：∵； ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：原式 ． 题型十二 已知条件式，化简求值 【例12】（23-24八年级下·甘肃定西·期末）计算： (1)； (2)已知，．求代数式的值． 【答案】(1) (2)11 【思路引导】本题主要考查实数的混合运算和二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）首先计算有理数的乘方，立方根和算术平方根，然后计算加减； （2）首先计算出和的值，然后把所求的式子化为，整体代入计算即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 【变式】（23-24八年级下·北京西城·期中）阅读下列材料： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们会遇到分母中含有字母，形如的式子．我们可以用这样的方法将其进行化简：，这种化简的方法叫做分母有理化． ②数学学习的一项最重要内容是数学思想方法的学习与运用，有这样一种“整体思想”，它可以简化计算过程，如：已知，，求．我们可以把和分别看成一个整体，令则．这样我们不用求出a和b的值就可以得到要求的结果． 根据以上材料回答下列问题： (1)计算：． (2)已知n是整数，，，且．求n的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算，掌握分母有理化的方法是解本题的关键； （1）先分母有理化，再合并即可； （2）先求解，，再把原方程化为，再代入解方程并检验即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）∵，， ∴， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴； 题型十三 二次根式的乘法 【例13】（25-26八年级下·全国·课后作业）化简的结果是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘法，掌握二次根式的性质是解决问题的关键． 根据二次根式的性质和绝对值的定义，二次根式的乘法，结合给定条件化简即可． 【完整解答】解： ． ，， ，， 原式， 故答案为：． 【变式】（25-26八年级下·全国·周测）计算： (1)． (2)（，）． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）利用二次根式的乘法法则，先将系数相乘，再将被开方数相乘，最后化简； （2）结合幂的运算和二次根式乘法法则，系数与系数相乘，根式部分按法则计算； （3）先将二次根式化为最简形式，再按乘除法则计算； （4）先将系数和根式部分分开运算，再结合二次根式的乘除法则化简． 【完整解答】（1）解： 原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：先化简各根式： ，， 原式 ． 【考点剖析】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘除法则，并结合最简二次根式的化简方法进行计算． 题型十四 二次根式的除法 【例14】（25-26八年级下·全国·课后作业）小明在作业本上做了以下题目：①；②；③；④．其中做错的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【思路引导】此题主要考查了二次根式的乘除法，正确化简二次根式是解题关键． 利用二次根式的乘除法法则，逐一验证每个等式的正确性． 【完整解答】解：对于①： ∵ ，∴ ①正确； 对于②：∵ 当时， ，∴ ②正确； 对于③：∵ 当时，， ∴ ③正确； 对于④：∵ = ，∴ ④错误； 因此，做错的是④． 故选：D． 【变式】如图所示，的顶点、、在边长为的正方形网格点上，于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查的是勾股定理的应用，网格三角形的面积的计算，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．根据图形和三角形的面积公式求出三角形的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【完整解答】解：如图，由勾股定理得： ， 根据的面积，得： ， 即：， 解得：． 故选：C． 题型十五 二次根式的乘除混合运算 【例15】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1） ． （2） ． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是准确化简． （1）（2）根据二次根式的乘除法则化简计算即可． 【完整解答】解：（1）原式 （2）原式 故答案为：①，②． 【变式】（25-26八年级下·全国·周测）计算： （其中）． 【答案】 【思路引导】本题可根据二次根式的乘除运算法则，先将系数部分和根式部分分别进行运算，再结合幂的运算化简结果． 【完整解答】解：按照二次根式乘除法则，先处理系数部分，再处理根式部分： 系数部分运算：； 根式部分运算：； 化简被开方数：； 因此根式部分结果为：； 将系数与根式部分结合：． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了二次根式的乘除运算，解题关键是熟练运用二次根式乘除法则，并结合幂的运算化简被开方数． 题型十六 已知字母的值，化简求值 【例16】（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）已知 ，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【思路引导】本题考查二次根式的运算，分母有理化和代数式的化简是解题的关键． （1）首先将，进行分母有理化，再计算即可； （2）首先对该分式进行化简，最后将，的值代入即可． 【完整解答】（1）解：化简， ， 故． （2）解：原式 将，代入上式得． 故 【变式】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如：，即，的整数部分是，小数部分为． (1)如果的整数部分是，的整数部分是，求的立方根； (2)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了无理数的估算，已知字母的值求代数式的值，立方根，正确估算无理数是解此题的关键． （1）先估算出，结合的整数部分是，的整数部分是，则，求出，再求出立方根的即可得出答案； （2）先估算出，结合题意得出，又因为，是整数，得，，再代入进行计算，即可得出答案． 【完整解答】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∵的整数部分是，的整数部分是， ∴， ∴， ∴的立方根为， 即的立方根为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，，是整数， ∴，， ∴ 题型十七 已知条件式，化简求值 【例17】（23-24八年级下·山东·期末）计算∶ (1)； (2)先化简，再求值∶，其中． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】本题考查二次根式的混合运算，化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）根据混合运算的法则进行计算即可； （2）根据平方差公式，单项式乘以多项式的法则进行计算，化简后，再代值计算即可． 【完整解答】（1）解：原式； ； （2）原式； 当时， 原式 ． 【变式】（24-25七年级下·重庆·期末）已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了完全平方公式以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．通过对等式进行变形，凑成完全平方的形式，根据非负数的性质求出和的值，进而计算． 【完整解答】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，， 解得，， ∴ ， 故选：D． 题型十八 比较二次根式的大小 【例18】（23-24八年级下·河南漯河·月考）观察下列一组等式，解答后面的问题： ， ． (1)化简：_______，______（n为正整数） (2)比较大小：_______（填“”，“”或“”） (3)请根据上面的结论，找规律，计算下列算式的结果：． 【答案】(1)； (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了分母有理化，二次根式的加减计算，正确理解题意并掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）根据（1）所求可得，，再由可得答案； （3）根据（1）所求可得，据此把所求式子裂项分母有理化后计算求解即可． 【完整解答】（1）解：； ； （2）解：由（1）可得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 【变式】（23-24八年级下·山东潍坊·期中）【阅读材料】 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“好搭档”，如，，它们的乘积不含有二次根式，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 【解决问题】 （1）将下列式子分母有理化：______． （2）比较大小：______（用“”“”或“”填空）； 【能力提升】 （3）已知有理数m，n满足，则______； （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）1；（4） 【思路引导】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键． （1）直接分母有理化即可； （2）先将两边进行分母有理化后再进行比较大小即可； （3）先将两边进行分母有理化后观察对比即可得出结果； （4）先将其中的一项进行分母有理化后观察规律，再进行计算即可． 【完整解答】解：（1）； 故答案为：； （2），， ∵， ∴， ∴； 故答案为：＞； （3）∵ ， ∴， ，是有理数， ，且， ； 故答案为：1； （4）∵ ， ∴ ． 题型十九 二次根式的应用 【例19】（25-26八年级下·全国·课后作业）古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积．此公式称为海伦公式． 思考运用：已知王大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，，，你能求出这块菜地的面积吗（结果精确到，参考数据：，，）？ 【答案】能， 【思路引导】本题考查了二次根式的实际应用，解题的关键是正确代入公式并计算． 将题目中的已知量代入到公式中计算即可． 【完整解答】解：，，， ， 故这块菜地的面积约为． 【变式】（22-23九年级上·河南新乡·期末）如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上某种蔬菜元/千克，张大伯种植该种蔬菜，且每平方米可以产千克的该种蔬菜．如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【思路引导】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键． （1）利用长方形的周长公式即可求解； （2）先求得蔬菜地的面积，再计算收入即可求解． 【完整解答】（1）长方形的周长 ， 答：长方形的周长是； （2）蔬菜地的面积 ， （元）， 答：如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为元． 题型二十 最简二次根式的判断 【例20】（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知，，，A，B为最简二次根式，且，求代数式的值． 【答案】 【思路引导】本题考查最简二次根式，一元一次方程，二次根式的混合运算，结合已知条件得到是解题的关键． 根据最简二次根式及同类二次根式的定义可得，解得x的值后根据求得y的值，然后将其代入原式计算即可． 【完整解答】解：已知，，，A，B为最简二次根式，且， 则， 解得：， 那么，， 则， 那么， 即， 解得：， 原式． 【变式】（24-25八年级下·山东泰安·期末）下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【完整解答】解：、是最简二次根式，符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 题型二十一 化为最简二次根式 【例21】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列二次根式：①；②；③；④；⑤．其中不能与合并的是 （填序号）． 【答案】②⑤ 【思路引导】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键． 判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后，被开方数相同才能合并；化简 =，被开方数为，再逐一化简各选项，比较被开方数即可． 【完整解答】解：=，被开方数为； ①=，被开方数为，可合并； ②=，被开方数为，不可合并； ③==，被开方数为，可合并； ④，被开方数为，可合并； ⑤=，被开方数为，不可合并． 故答案为：②⑤． 62．（25-26八年级下·全国·周测）请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 【答案】(1)①  ②  ③ (2) 【思路引导】（1）仿照例子，将根号外的数平方后移入根号内，再结合二次根式的性质化简； （2）先根据二次根式有意义的条件确定的范围，再将根号外的因式变形后移入根号内化简． 【完整解答】（1）解：①． ②． ③． （2）解：把中根号外的因式移到根号内： 由有意义，得，即． 将变形为，再平方移入根号内： 原式 ． 【考点剖析】本题考查了二次根式的化简（根号外因式移入根号内），解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再将根号外的因式平方后（注意符号）移入根号内化简． 题型二十二 已知最简二次根式求参数 【例22】（24-25八年级下·云南临沧·月考）若最简二次根式与能进行合并，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义，根据最简二次根式以及同类二次根式的定义得，然后解方程即可． 【完整解答】解：最简二次根式与能进行合并， 与是同类二次根式， ， 解得． 经检验，时，，符合题意； 故答案为：． 64．（24-25九年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值是 ． 【答案】4 【思路引导】本题主要考查了二根式的性质、同类二次根式、最简二次根式、解一元一次方程等知识点，掌握同类二次根式定义是解题的关键． 先把化简为，然后再根据最简二次根式与二次根式能够合并，由同类二次根式的定义可得，然后解一元一次方程即可解答． 【完整解答】解：， 最简二次根式与二次根式能够合并， ∴最简二次根式与二次根式是同类二次根式， ，解得：. 故答案为：4． 基础巩固通关测 1．（25-26八年级下·全国·周测）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式乘除法运算法则是解题关键． 利用二次根式的加减乘除法则逐一判断即可． 【完整解答】解：A、 ，计算错误，不符合题意； B、 ，计算正确，符合题意； C、  ，计算错误，不符合题意； D、 ，计算错误，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【思路引导】本题考查了二次根式的应用．先根据矩形面积和长求出宽，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积，即可作答． 【完整解答】解：∵矩形的长为，面积为， ∴矩形的宽为 ， ∵ ， ，且 ∴， ∴正方形的最大边长为， ∴正方形的最大面积为 ， 故选：D 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简，正确的计算是解题的关键. 通过直接计算每个选项，验证其正确性即可. 【完整解答】解：A、∵ > ， ∴A错误，不符合题意； B、∵ ≠ ， ∴B错误，不符合题意； C、∵ = = , ∴C正确，符合题意； D、∵ = , = , ∴ = , 则 = ≠ 1， ∴ D错误，不符合题意. 故选：C. 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）若成立，则（    ） A． B． C． D．为任意实数 【答案】A 【思路引导】本题考查了二次根式的乘法，二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件可得，再解一元一次不等式组即可得出答案． 【完整解答】解：∵二次根式中的被开方数是非负数， ∴ 解得： 当 时，左边 右边 ∴ 等式成立的条件是 ， 故选：A． 5．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）计算： ． 【答案】 【思路引导】本题考查二次根式的减法运算，分母有理化，先化简二次根式，再相减即可． 【完整解答】解：． 故答案为：． 6．计算： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次根式的乘法运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的乘法运算及平方差公式是解题的关键．根据平方差公式计算即可． 【完整解答】解：． 故答案为：． 7．（25-26八年级下·全国·周测）若，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质，正确的计算是解题的关键． 通过简化根式乘法运算，比较等式两边系数和根号内值，求出和的值，再代入计算表达式． 【完整解答】解：， 又 ， ， 解得：， 又 ， ， 解得：， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式和完全平方公式化简后再进行加减运算即可． 【完整解答】解： ． 9．（24-25八年级下·甘肃临夏·月考）我们可以用“平方法”比较二次根式和的大小，先把和分别平方，得，因为，所以，请结合上述材料解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了二次根式的混合运算，实数的大小比较，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别算出，再进行比较大小，即可作答． （2）先根据，，得出，再进行比较大小，即可作答． 【完整解答】（1）解：依题意，， ∵， ∴ 即． （2）解：由题意得，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 10．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）如图，在中，为锐角，作交的延长线于点． (1)若，则的度数为_____． (2)求证：． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意求出的度数，再根据，得出即可求出； （2）设，根据题意表示出的度数，再根据，表示出，即可求出； （3）过C作于E，可证明为等腰直角三角形，则可求出和，再利用勾股定理计算即可． 【完整解答】（1）解： ∵， ∴， 又∵     ，   ∴， ∴； （2）证明：设， ∵， ∴， 又∵，   ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过C作于E， ∵， ∴由（2）得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，     又∵ ，     ∴， 又∵ ，           ∴， ∴． 能力提升进阶练 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）的结果在（   ） A．10到11之间 B．9到10之间 C．8到9之间 D．7到8之间 【答案】D 【思路引导】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘除法法则是解决问题的关键． 先根据二次根式的乘除法法则进行计算，再估算的范围，从而确定整体值的区间． 【完整解答】解：∵ 原式 = . 又∵ , ∴ , ∴ , 即 , 故结果在到之间． 故选：D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列式子中，化简后不能与（，）合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 判断各选项化简后是否与是同类二次根式，即被开方数是否相同即可. 【完整解答】解：A、∵ ，， ，被开方数为，能与合并，不符合题意； B、∵ ，， ，被开方数为，能与合并，不符合题意； C、∵ ，， ，不是二次根式，不能与合并，符合题意； D、∵ ，， ，被开方数为，能与合并，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了算术平方根的应用，化简二次根式．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，的长，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【完整解答】解：两张正方形纸片的面积分别为和 它们的边长分别为 ， 空白部分的面积 ． 故选：D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握此知识点是解题的关键． 根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可． 【完整解答】解：原式 ． 故答案为：． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算： ． 【答案】 【思路引导】此题考查了二次根式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据运算符号“△”的定义，先比较每组数的大小，确定运算方式，再计算表达式． 【完整解答】解：∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ 。 原式 = ． 故答案为：． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简： ． 【答案】2 【思路引导】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简式子． 【完整解答】解：由有意义，得，即． 化简： ∵， ∴，故：． 化简： 根据二次根式的性质，， ∴． 因此，原式． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了二次根式的性质、和二次根式有意义的条件，解题关键是先确定的范围，再结合范围化简二次根式． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了二次根式的乘法，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）（2）根据二次根式的乘法法则计算即可． 【完整解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 8．（25-26八年级下·全国·周测）实数，对应的点在数轴上的位置如下图所示，化简：． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次根式的化简与绝对值的化简，掌握根据数轴确定字母的取值范围，进而判断式子的正负，再利用和绝对值的化简规则进行计算是解题的关键． 先从数轴确定的取值范围，再判断根号内式子与绝对值内式子的正负，利用二次根式和绝对值的化简规则去掉符号，最后合并同类项． 【完整解答】解：由图可知，，， ，，， 原式 ． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位） (1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间． (2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？ 【答案】(1) (2)0.27m． 【思路引导】（1）已知摆长，直接代入周期公式​​计算即可； （2）已知周期，通过公式变形求解摆长． 【完整解答】（1）解：已知，，，代入公式： ． （2）解：已知，对公式变形得： 代入、、： ． 【考点剖析】本题考查了二次根式的实际应用，解题关键是熟练代入公式计算，并根据已知量对公式进行合理变形，同时注意近似值的计算精度． 10．（25-26八年级下·全国·周测）阅读下列解题过程： ； ； ； … (1)__________，__________． (2)利用这一规律计算：． (3)观察上面的解题过程，计算：（为正整数）． 【答案】(1)   (2) (3) 【思路引导】（1）通过观察已知例子，总结被开方数的规律，再利用二次根式的性质化简； （2）先根据规律将每个根式转化为分数形式，再通过约分计算乘积； （3）先对被开方数通分，再结合完全平方公式和二次根式性质化简． 【完整解答】（1）解：对于： ∵， ∴． 对于： ∵， ∴． （2）解： ． （3）解：对被开方数通分并化简： ∵为正整数 ∴，即． 【考点剖析】本题考查了二次根式的化简与规律探究，解题关键是通过观察例子总结出根式的化简规律，再利用分式约分、完全平方公式等知识进行计算． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 二次根式（复习讲义） 1. 了解二次根式有意义（被开方数为非负数）与无意义的条件，体会二次根式“双重非负性”与平方根之间的整体联系。 2. 能识别最简二次根式，并掌握将二次根式化简为最简二次根式的方法。 3. 理解同类二次根式的概念，能准确判断并正确合并同类二次根式，利用乘法分配律完成运算。 4. 掌握二次根式的乘、除法法则（被开方数相乘除，根指数不变）与加减运算顺序（先化简，再合并同类项）。 5. 理解二次根式的混合运算顺序与整式运算一致（先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内），并能利用运算法则解决相关计算问题。 知识点01 二次根式 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 （a≥0）的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式. 2.二次根式满足条件： （1）必须含有二次根号； （2）被开方数必须是非负数. 3.二次根式有无意义的条件 ①二次根式有意义：被开方数为非负数，即有意义⇔a≥0； ②二次根式无意义：被开方数为负数，即无意义a<0. 4.二次根式的性质 ①二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． ②二次根式的性质：（） ③二次根式的性质： 知识点02 最简二次根式与同类二次根式 1.最简二次根式 （1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.同类二次根式 （1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点03 二次根式的运算 1.二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则：*=（a≥0；b≥0）（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） （2）二次根式的乘法法则的推广: ①*=（a≥0；b≥0；c≥0） ②a*c=ac（b≥0；d≥0），即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. （3）二次根式的乘法法则的逆用：=*（a≥0；b≥0）（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） （4）二次根式的乘法法则的逆用的推广：=***（a≥0；b≥0；c≥0；d≥0） 2.二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） （2）二次根式的除法法则的推广：. 3.二次根式的加减法 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式—将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 题型一 二次根式的识别 【例1】（24-25八年级下·云南红河·期末）下列式子中，属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是 的（填“对”或“错”）． 题型二 求二次根式的值 【例2】（24-25八年级下·河南安阳·期中）当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【变式】下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型三 求二次根式中的参数 【例3】二次根式是一个整数，那么正整数a的最小值是 ． 【变式】（24-25八年级上·四川达州·月考）已知、、满足． (1)求 、、 的值； (2)判断： 以 、、为三角形的三边长能否构成三角形?若能，判断这个三角形的形状；若不能，请说 明理由． 题型四 二次根式有意义的条件 【例4】（24-25八年级下·上海徐汇·月考）如果方程无实数解，那么k的取值范围是 ． 【变式】已知，为实数，且，求的值． 题型五 利用二次根式的性质化简 【例5】（25-26八年级下·全国·课后作业）若整数满足，则能使为整数的的值是 ． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）若与互为相反数，则 ． 题型六 复合二次根式的化简 【例6】（2024八年级下·江西上饶·竞赛）像，…这样的根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 根据上述方法解决下列问题： (1)化简：①；②； (2)化简：； (3)化简：． 【变式】（24-25八年级下·四川绵阳·月考）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ______； (2)计算：． 题型七 同类二次根式 【例7】（24-25八年级下·浙江金华·月考）计算： (1) ； (2)． 【变式】（24-25八年级下·广东汕头·期末）下列命题为真命题的是（　　） A．已知a、b、c是的三条边，则 B．有一个内角是直角的平行四边形是正方形 C．一组数据的中位数可能有两个 D．若最简二次根式与可以合并，则 题型八 二次根式的加减运算 【例8】（25-26八年级下·全国·周测）计算： (1) ． (2)． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）规定：若，则称与是关于1的“平衡数”． (1)若3与是关于1的“平衡数”，与也是关于1的“平衡数”，求，的值． (2)若，，至少有一个是有理数，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由． 题型九 二次根式的混合运算 【例9】（25-26八年级下·全国·周测）计算： (1) ． (2)． 【变式】（2026八年级下·全国·专题练习）在学习完二次根式后我们又掌握了一种分母有理化的方法．例如：，． (1)化简：__________． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子：__________． (3)利用分母有理化计算：． 题型十 分母有理化 【例10】（25-26八年级下·全国·期中）计算： (1)； (2)； (2) 。 【变式】观察下列等式： ① ② ③；… 回答下列问题： (1)利用你观察到的规律，化简： ①______， ②______； (2)计算： 题型十一 已知字母的值，化简求值 【例11】（24-25八年级下·北京海淀·月考）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式】（24-25八年级上·四川·期中）阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的： 已知，求的值． 他是这样分析与解的：， ，， ，． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)若，求值． (2)化简：. 题型十二 已知条件式，化简求值 【例12】（23-24八年级下·甘肃定西·期末）计算： (1)； (2)已知，．求代数式的值． 【变式】（23-24八年级下·北京西城·期中）阅读下列材料： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们会遇到分母中含有字母，形如的式子．我们可以用这样的方法将其进行化简：，这种化简的方法叫做分母有理化． ②数学学习的一项最重要内容是数学思想方法的学习与运用，有这样一种“整体思想”，它可以简化计算过程，如：已知，，求．我们可以把和分别看成一个整体，令则．这样我们不用求出a和b的值就可以得到要求的结果． 根据以上材料回答下列问题： (1)计算：． (2)已知n是整数，，，且．求n的值． 题型十三 二次根式的乘法 【例13】（25-26八年级下·全国·课后作业）化简的结果是 ． 【变式】（25-26八年级下·全国·周测）计算： (1) ． (2)（，）． (2) ． (4)． 题型十四 二次根式的除法 【例14】（25-26八年级下·全国·课后作业）小明在作业本上做了以下题目：①；②；③；④．其中做错的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式】如图所示，的顶点、、在边长为的正方形网格点上，于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型十五 二次根式的乘除混合运算 【例15】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1） ． （2） ． 【变式】（25-26八年级下·全国·周测）计算： （其中）． 题型十六 已知字母的值，化简求值 【例16】（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）已知 ，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如：，即，的整数部分是，小数部分为． (1)如果的整数部分是，的整数部分是，求的立方根； (2)已知，其中是整数，且，求的值． 题型十七 已知条件式，化简求值 【例17】（23-24八年级下·山东·期末）计算∶ (1)； (2)先化简，再求值∶，其中． 【变式】（24-25七年级下·重庆·期末）已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 题型十八 比较二次根式的大小 【例18】（23-24八年级下·河南漯河·月考）观察下列一组等式，解答后面的问题： ， ． (1)化简：_______，______（n为正整数） (2)比较大小：_______（填“”，“”或“”） (3)请根据上面的结论，找规律，计算下列算式的结果：． 【变式】（23-24八年级下·山东潍坊·期中）【阅读材料】 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“好搭档”，如，，它们的乘积不含有二次根式，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 【解决问题】 （1）将下列式子分母有理化：______． （2）比较大小：______（用“”“”或“”填空）； 【能力提升】 （3）已知有理数m，n满足，则______； （4）计算：． 题型十九 二次根式的应用 【例19】（25-26八年级下·全国·课后作业）古希腊的几何学家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量论》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积．此公式称为海伦公式． 思考运用：已知王大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，，，你能求出这块菜地的面积吗（结果精确到，参考数据：，，）？ 【变式】（22-23九年级上·河南新乡·期末）如图，张大伯家有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上某种蔬菜元/千克，张大伯种植该种蔬菜，且每平方米可以产千克的该种蔬菜．如果张大伯将所种的蔬菜全部销售完，那么销售收入为多少元？ 题型二十 最简二次根式的判断 【例20】（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知，，，A，B为最简二次根式，且，求代数式的值． 【变式】（24-25八年级下·山东泰安·期末）下列各式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型二十一 化为最简二次根式 【例21】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列二次根式：①；②；③；④；⑤．其中不能与合并的是 （填序号）． 62．（25-26八年级下·全国·周测）请观察式子：，． 仿照上面的方法解决下列问题： (1)化简：①；②；③． (2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果． 题型二十二 已知最简二次根式求参数 【例22】（24-25八年级下·云南临沧·月考）若最简二次根式与能进行合并，则 ． 64．（24-25九年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值是 ． 基础巩固通关测 1．（25-26八年级下·全国·周测）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）若成立，则（    ） A． B． C． D．为任意实数 5．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）计算： ． 6．计算： ． 7．（25-26八年级下·全国·周测）若，则 ． 8．（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算： ． 9．（24-25八年级下·甘肃临夏·月考）我们可以用“平方法”比较二次根式和的大小，先把和分别平方，得，因为，所以，请结合上述材料解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较和的大小． 10．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）如图，在中，为锐角，作交的延长线于点． (1)若，则的度数为_____． (2)求证：． (3)已知，求的值． 能力提升进阶练 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）的结果在（   ） A．10到11之间 B．9到10之间 C．8到9之间 D．7到8之间 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列式子中，化简后不能与（，）合并的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： ． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算： ． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简： ． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 8．（25-26八年级下·全国·周测）实数，对应的点在数轴上的位置如下图所示，化简：． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位） (1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间． (2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？ 10．（25-26八年级下·全国·周测）阅读下列解题过程： ； ； ； … (1)__________，__________． (2)利用这一规律计算：． (3)观察上面的解题过程，计算：（为正整数）． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $