第9章 二次根式（单元自测·提升卷）数学新教材青岛版八年级下册

2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第九章 二次根式·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．能使式子有意义的实数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了二次根式的意义和性质，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 式子有意义需被开方数非负，即 ，结合平方数非负，只能取等号. 【完整解答】解：∵ 式子 有意义需被开方数 ， 又 ∵ ， ∴ ， ∴ 只能 ，即 ， ∴ ，， ∴ 只有个实数使式子有意义. 故选：B． 2．已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了二次根式的乘法，实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 可根据二次根式的乘法法则进行化简，求出、、的整数值，然后比较大小即可. 【完整解答】解：∵ ，且， ∴． ∵，且， ∴． ∵，且， ∴． ∴, , , ． 故选：A． 3．实数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了二次根式的性质与绝对值的化简，掌握二次根式化简，及根据数的符号化简绝对值是解题的关键． 先从数轴确定的符号及的正负，再利用二次根式的性质化简，最后结合绝对值的化简规则计算式子结果． 【完整解答】解：由数轴可知，，且，因此， 故， ∵， ∴ 原式 ． 故选：A． 4．已知，，为的三条边的长，则化简的结果是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【思路引导】此题主要考查了三角形三边关系、二次根式以及绝对值的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 先根据化简二次根式，然后利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断绝对值内的正负，从而化简表达式． 【完整解答】解：∵ 是 的三边， ∴ ，即 ， ∴ . 又 ∵，即， ∴. ∴ 原式   . 故选：D． 5．已知，，为的三条边，化简（） A． B．0 C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查三角形的三边关系和绝对值的性质，二次根式的性质．利用三角形两边之和大于第三边，判断绝对值内的符号，进而化简代数式． 【完整解答】解：，，为的三条边， ，（三角形两边之和大于第三边）， ，， ， ， 原式． 故选：． 6．如图，从一个大正方形中裁去面积为和48 的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A．78 B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查二次根式的实际应用，求出大正方形的边长，分割法求出余下部分的面积即可． 【完整解答】解：∵两个小正方形的面积为和， ∴两个小正方形的边长为和， ∴大正方形的边长为， ∴余下部分的面积为， 故选：D． 7．已知直角三角形的两条直角边的长分别为和，则其斜边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了勾股定理，完全平方公式，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 利用勾股定理建立式子运算求解即可． 【完整解答】解：由题意可得：斜边， 故选：C． 8．已知，，则化简求的值是（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了二次根式的化简求值，根据已知条件可证明a、b都小于0，则可先化简二次根式得到，进一步通分得到，再代值计算即可． 【完整解答】解：∵， ∴a、b同号， ∵， ∴a、b都小于0， ∴ ， ∵，， ∴原式， 故选：B． 9．如图，正方形的对角线与相交于点，是边上一点，连接，将沿折叠，使得点恰好落在上的点处．若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，折叠的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键． 先根据正方形的性质求出，由勾股定理求出，由折叠得到，，然后求出，再由等腰直角三角形求出，即可求解周长． 【完整解答】解：正方形， ∴，， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是． 故选：A． 10．已知，则的算术平方根是（   ） A． B．3 C．5 D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式中被开方数为非负数是解决问题的关键． 根据二次根式的被开方数非负，确定的值，进而求出b的值，再计算的算术平方根． 【完整解答】解：∵ 和都有意义， ∴ 且， ∴ 且， ∴ ． 当时，，， ∴ 方程左边 ， ∴ ， ∴ ． ∴ ， ∴的算术平方根为． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若实数a，b，c分别表示的三条边，且a，b满足，则的第三条边c的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，三角形的三边关系． 根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形的三边关系确定c的取值范围即可． 【完整解答】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵实数a，b，c分别表示的三条边， ∴， 即． 故答案为：． 12．小静设计了一个长方形，已知长方形的长为，宽为．她又想设计一个与这个长方形面积相等的圆，则这个圆的半径为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次根式的乘法运算、长方形与圆的面积公式，解题关键是熟练运用二次根式的乘法性质化简计算，同时准确建立不同图形面积的等量关系． 先根据长方形面积公式求出长方形面积，再结合圆的面积公式建立等式，求解圆的半径，过程中会用到二次根式的乘法运算． 【完整解答】解：①计算长方形的面积： ． 根据二次根式乘法性质可得：． ②设圆的半径为，根据圆的面积公式，且，则： ， ． ∵半径， ∴． 13．下列二次根式：①；②；③；④；⑤．其中不能与合并的是 （填序号）． 【答案】②⑤ 【思路引导】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键． 判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后，被开方数相同才能合并；化简 =，被开方数为，再逐一化简各选项，比较被开方数即可． 【完整解答】解：=，被开方数为； ①=，被开方数为，可合并； ②=，被开方数为，不可合并； ③==，被开方数为，可合并； ④，被开方数为，可合并； ⑤=，被开方数为，不可合并． 故答案为：②⑤． 14．、在数轴上的位置如图，化简： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了利用数轴判断式子的正负，二次根式的化简，整式加减，根据数在数轴上的位置确定，及的符号，再根据二次根式的性质进行开方运算，再合并同类项，掌握二次根式的化简是解题的关键. 【完整解答】解：由、在数轴上的位置可得：，，， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 15．观察下列等式： ，，…，则前10个等式的和是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了裂项相消法的应用，掌握将等式展开后，抵消中间重复的正负项来简化计算是解题的关键． 先写出前 10 个等式的具体展开形式，再通过裂项相消，计算最终的和． 【完整解答】解：​第1个等式： 第2个等式： …… 第9个等式： ​第10个等式： 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查二次根式加减乘除混合运算，掌握二次根式混合运算顺序和法则是解题的关键． （1）运用二次根式的乘除法法则进行计算即可； （2）先运用二次根式的乘除法法则化简，然后再按照二次根式的加减法则进行计算即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 17．（本题8分）已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据互为相反数的两数之和为，结合二次根式有意义的条件与绝对值的非负性，得到两个非负数相加为0的等式，从而建立二元一次方程组求解． （2）将（1）中求得的的值代入代数式，进行计算求值． 【完整解答】（1）解：与互为相反数， ． ，， 解得 （2）解：由（1）得，， ． 【考点再现】本题考查了二次根式有意义的条件与绝对值的非负性、二元一次方程组的解法以及代数式求值，掌握几个非负数的和为，则每个非负数都为的性质是解题的关键． 18．（本题8分）自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求式子中实数的取值范围”，她告诉刘敏：“你把题目抄错了，不是‘’，而是‘’，”刘敏说：“哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正和都在根号内．”刘敏说得对吗？也就是说，按照解题和按照解题的结果一样吗？ 【答案】刘敏说得不对，结果不一样． 【思路引导】将两个式子分别计算比较最后结果是否相同即可； 本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算方法是解题的关键． 【完整解答】解：按照解题， 则，且， 即，或，， 解得或． 按照解题， 则，， 解得． 故刘敏说得不对，结果不一样． 19．（本题9分）问题：已知，求的值． 小明是这样分析与解答的：，， ，，， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：________； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】二次根式的化简求值，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键. （1）根据分母有理化的方法可以解答本题； （2）根据题目中的例子可以灵活变形解答本题． 【完整解答】（1）解：， 故答案为：． （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ 20．（本题8分）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、、一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；（Ⅰ）（Ⅱ）．（Ⅲ）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：．（Ⅳ） (1)请用两种方法化简．①参照（Ⅲ）式得 ．②参照（Ⅳ）式得 ． (2)化简：． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了分母有理化，解题的关键是掌握材料中分母有理化的方法． （1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）规律：分母的两个被开方数相差是，分母有理化后，分母都是，分子可以出现抵消的情况，据此求解即可． 【完整解答】（1）解：①参照（Ⅲ）式得， ②参照（Ⅳ）式得， 故答案为：； （2） ． 21．（本题10分）阅读下列解题过程： ； ； ； … (1)__________，__________． (2)利用这一规律计算：． (3)观察上面的解题过程，计算：（为正整数）． 【答案】(1)   (2) (3) 【思路引导】（1）通过观察已知例子，总结被开方数的规律，再利用二次根式的性质化简； （2）先根据规律将每个根式转化为分数形式，再通过约分计算乘积； （3）先对被开方数通分，再结合完全平方公式和二次根式性质化简． 【完整解答】（1）解：对于： ∵， ∴． 对于： ∵， ∴． （2）解： ． （3）解：对被开方数通分并化简： ∵为正整数 ∴，即． 【考点再现】本题考查了二次根式的化简与规律探究，解题关键是通过观察例子总结出根式的化简规律，再利用分式约分、完全平方公式等知识进行计算． 22．（本题12分）我们规定：若，则称与是关于1的平衡数． (1)若3与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数，求，的值． (2)若，当，为何值时，与是关于1的平衡数？并说明理由． 【答案】(1), (2)，时，与是关于1的平衡数，理由见解析 【思路引导】本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． （1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案； （2）对式子进行化简，得到、的关系，再联立方程组求解即可． 【完整解答】（1）解：根据题意可得：，， 解得，． 故答案为，． （2）解： 与是关于1的平衡数， ． ． 将②代入①，， ， 整理得． ， 代入②得，． 综上，当，时，与是关于1的平衡数． 23．（本题12分）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则，即， ∴，当且仅当时取等号，此时有最小值为； 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：，当且仅当，∵，即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如 ， ． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当 时，式子取得最小值，最小值为 ； (2)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有 个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取得最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)4，8 (2)真分式，，4 (3)当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【思路引导】（1）根据材料1可得，即可求解； （2）根据新定义分式是真分式，根据题意得出为整数，进而求得满足条件的整数x的值有4个； （3）设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米，结合材料1，即可求解； （4）根据材料2的方法，进行化简即可求解． 【完整解答】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8； 故答案为：4，8； （2）解：根据新定义分式是真分式， ∵x为整数，的值为整数， ∴为整数， ∴或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴ 此时，， ∴， 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； （4）解： ∵， ∴， ∴ 当且仅当时，即时，式子有最小值为4， ∴当时，分式取到最大值，最大值为． 【考点再现】本题考查了分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第九章 二次根式·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．能使式子有意义的实数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 2．已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．实数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，为的三条边的长，则化简的结果是（    ） A． B．0 C． D． 5．已知，，为的三条边，化简（） A． B．0 C． D． 6．如图，从一个大正方形中裁去面积为和48 的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A．78 B． C． D． 7．已知直角三角形的两条直角边的长分别为和，则其斜边的长为（   ） A． B． C． D． 8．已知，，则化简求的值是（   ） A． B．2 C． D．1 9．如图，正方形的对角线与相交于点，是边上一点，连接，将沿折叠，使得点恰好落在上的点处．若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 10．已知，则的算术平方根是（   ） A． B．3 C．5 D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若实数a，b，c分别表示的三条边，且a，b满足，则的第三条边c的取值范围是 ． 12．小静设计了一个长方形，已知长方形的长为，宽为．她又想设计一个与这个长方形面积相等的圆，则这个圆的半径为 ． 13．下列二次根式：①；②；③；④；⑤．其中不能与合并的是 （填序号）． 14．、在数轴上的位置如图，化简： ． 15．观察下列等式： ，，…，则前10个等式的和是 ． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）计算： (1)； (2) 17．（本题8分）已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)求的值． 18．（本题8分）自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求式子中实数的取值范围”，她告诉刘敏：“你把题目抄错了，不是‘’，而是‘’，”刘敏说：“哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正和都在根号内．”刘敏说得对吗？也就是说，按照解题和按照解题的结果一样吗？ 19．（本题9分）问题：已知，求的值． 小明是这样分析与解答的：，， ，，， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：________； (2)若，求的值． 20．（本题8分）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、、一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；（Ⅰ）（Ⅱ）．（Ⅲ）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：．（Ⅳ） (1)请用两种方法化简．①参照（Ⅲ）式得 ．②参照（Ⅳ）式得 ． (2)化简：． 21．（本题10分）阅读下列解题过程： ； ； ； … (1)__________，__________． (2)利用这一规律计算：． (3)观察上面的解题过程，计算：（为正整数）． 22．（本题12分）我们规定：若，则称与是关于1的平衡数． (1)若3与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数，求，的值． (2)若，当，为何值时，与是关于1的平衡数？并说明理由． 23．（本题12分）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则，即， ∴，当且仅当时取等号，此时有最小值为； 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：，当且仅当，∵，即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如 ， ． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当 时，式子取得最小值，最小值为 ； (2)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有 个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取得最大值，最大值是多少？ 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第九章二次根式·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 6 7 8 9 10 B A D D D C B 9 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.4<c<12 12.V70 13.②⑤14.2a-2b+2 15.0 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(本题8分)(1)解：月×V24÷(-25) =V月×24÷(-2W5) =2W5÷(-25) =-1 (2)解：18-§-(V5+1)(1-5) =3V2-2W2+(3-1) =2+2. 17.(本题8分)1)解：：V2x+y+1与x-y+5互为相反数， .V2x+y+1+|x-y+5|=0. :V2x+y+1≥0，|x-y+5|≥0， |2x+y+1=0, (x-y+5=0, （x=-2, 解得y=3. (2)解：由(1)得x=-2,y=3, 1/5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Vx2+4y+3=-2)2+4×3+3=V9 18.(本题8分)解：按照V品解题， 则号≥20，且a-5≠0， 即a≥0，a-5>0或a≤0，a-5<0, 解得a>5或a≤0. a 按照一解题， 则a≥0，a-5>0, 解得a>5 故刘敏说得不对，结果不一样. V2025-√2024 19.(本题9分)(1)解：2025+W2024 =2025+20242025-2024 =V2025-V2024, 故答案为：V2025-V2024, V10+3 (2)解：：a= V10-3 =40+310-3 =V10+3 a-3=V10 .(a-3)2=10 ÷a2-6a+9=10 ·a2-6a=1 ∴.3a2-18a+5=3(a2-6a)+5 =3×1+5 =8 2 2V5-3) 20.(本题8分)①解：①参照)式得后5=店包 5-且=5-5， 5-3 2 53 ②参照(V)式得5布= 5_5+X5-且=5-5， -5+3 5+V3 故答案为：5-5： (2)年+中雨+7+布5+…+1*2 -5号+9+55+…+2122 =×(V5-1+5-5+V7-5+…+2m+1-2n-1) 2/5 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =支×(V2n+1-1) =2+1-1 2 21.(本题10分)(1)解：对于V1-是： 1-品=第=（告）只， ∴1-是=鲁. 对于V-器： 1-器=器=()月， 1-语= (2)解：V1-xV1-哥×V-石×…×V-器 =×号×景×…×器 = (3)解：对被开方数通分并化简： /1-2+ (+1) (+1)2-(2+1)） (+1 2+2+1-2m-1 =v (+1) Y(+1)2 ,n为正整数 品=品，即- (+1)3 22.(本题12分)(1)解：根据题意可得：3+x=2,5-V2+y=2, 解得x=-1,y=V2-3. 故答案为-1，V2-3. (2)解：：(m+V31-同=-2+3(5-1 3/5 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m-m5+V5-3=-2n+33-3 m+2m+(-m-2λ5=0① :m+V3与5n-V5是关于1的平衡数， a(m+v5)+(5n-3)=2. .m+5n=2→m=2-5n ② 将②代入①，2-5n+2n+(-2+5n-2W5=0, 2-3m+5m-4λW3=0, 整理得55-3)=4V3-2. n=452-45-255+型=2 53-3 66 33 代入②得，m=2-5×275=955 33 33 综上，当m=,a=时，m+5与5a-5是关于1的平衡数。 23.(本题12分)(1)解：令a=x,b=9,则有a+b≥2√ab, 得x+°≥2k要=8， 当且仅当x=时，即正数x=4时，式子有最小值，最小值为8； 故答案为：4,8； (2)解：根据新定义分式是是真分式， =驶=1+是 +1 +1 :x为整数，袋=1十品的值为整数， “品为整数， ∴x十4=2或x十4=-2或x+4=1或x十4=-1， 解得：x=-2或x=-6或x=-3或x=-5, 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，1+是，4： (3)解：设这个矩形的长为x米，则宽为要米，所用的篱笆总长为y米， 4/5 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 根据题意得：y=2x+ 由上述性质知：x>0, ∴y=2x+4≥2V2x.=60 此时，x=2, ∴.x=15, 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； （解：品=文=中高 ,x>1, .x-1>0, x-1+4≥2W(x-1)·x=4 当且仅当x-1=号时，即x=3时，式子x-1十号有最小值为4， :“当x=3时，分式取到最大值，最大值为好. 5/5………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第九章 二次根式·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．能使式子有意义的实数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 2．已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．实数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，为的三条边的长，则化简的结果是（    ） A． B．0 C． D． 5．已知，，为的三条边，化简（） A． B．0 C． D． 6．如图，从一个大正方形中裁去面积为和48 的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A．78 B． C． D． 7．已知直角三角形的两条直角边的长分别为和，则其斜边的长为（   ） A． B． C． D． 8．已知，，则化简求的值是（   ） A． B．2 C． D．1 9．如图，正方形的对角线与相交于点，是边上一点，连接，将沿折叠，使得点恰好落在上的点处．若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 10．已知，则的算术平方根是（   ） A． B．3 C．5 D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若实数a，b，c分别表示的三条边，且a，b满足，则的第三条边c的取值范围是 ． 12．小静设计了一个长方形，已知长方形的长为，宽为．她又想设计一个与这个长方形面积相等的圆，则这个圆的半径为 ． 13．下列二次根式：①；②；③；④；⑤．其中不能与合并的是 （填序号）． 14．、在数轴上的位置如图，化简： ． 15．观察下列等式： ，，…，则前10个等式的和是 ． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）计算： (1)； (2) 17．（本题8分）已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)求的值． 18．（本题8分）自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题目是“求式子中实数的取值范围”，她告诉刘敏：“你把题目抄错了，不是‘’，而是‘’，”刘敏说：“哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正和都在根号内．”刘敏说得对吗？也就是说，按照解题和按照解题的结果一样吗？ 19．（本题9分）问题：已知，求的值． 小明是这样分析与解答的：，， ，，， ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：________； (2)若，求的值． 20．（本题8分）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、、一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；（Ⅰ）（Ⅱ）．（Ⅲ）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：．（Ⅳ） (1)请用两种方法化简．①参照（Ⅲ）式得 ．②参照（Ⅳ）式得 ． (2)化简：． 21．（本题10分）阅读下列解题过程： ； ； ； … (1)__________，__________． (2)利用这一规律计算：． (3)观察上面的解题过程，计算：（为正整数）． 22．（本题12分）我们规定：若，则称与是关于1的平衡数． (1)若3与是关于1的平衡数，与是关于1的平衡数，求，的值． (2)若，当，为何值时，与是关于1的平衡数？并说明理由． 23．（本题12分）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则，即， ∴，当且仅当时取等号，此时有最小值为； 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：，当且仅当，∵，即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如 ， ． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当 时，式子取得最小值，最小值为 ； (2)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有 个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取得最大值，最大值是多少？ 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $