第9章 二次根式（单元自测·基础卷）数学新教材青岛版八年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第九章 二次根式·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知为实数，则代数式的值为（   ） A．0 B． C． D．无法确定 5．在二次根式，，，中，与是同类二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出．如果运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．的结果在（   ） A．10到11之间 B．9到10之间 C．8到9之间 D．7到8之间 8．实数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 9．小明在作业本上做了以下题目：①；②；③；④．其中做错的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 10．如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若三角形的一边长为，面积为，则这条边上的高为 ． 12．若为实数，且，则的值为 ． 13．已知的结果为3，那么的取值范围为 ． 14．我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算： ． 15．已知点在第三象限，化简的结果为 ． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）计算： (1)． (2)． 17．（本题8分）海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积． 如图，在中，，，．求的面积． 18．（本题8分）小华在学习二次根式时遇到一道计算题，他的做法如下： ． 他的做法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 19．（本题9分）我们可以用“平方法”比较二次根式和的大小，先把和分别平方，得，因为，所以，请结合上述材料解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较和的大小． 20．（本题8分）小明在复习二次根式的性质后，在一本数学资料上看到这样的一道题及它的解法： 问题 解法 已知，，试用含，的式子表示 利用上述解法解答问题：已知，，试用含，的式子表示． 21．（本题10分）如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位） (1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间． (2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？ 22．（本题12分）利用平方根去根号可以用一个无理数构造一个整数系数方程．例如：时，移项，得，两边平方，得，所以，即．仿照上述方法解答下面的题目． 已知，求： (1)的值． (2)的值． 23．（本题12分）八年级某班在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题：    (1)格点应用：如图2，边长为1的正方形网格内有两点、，直线与、的位置如图所示，点P是直线上一动点，则的最小值为 ，在网格内画出点P； (2)几何应用：如图3，在中，，边的垂直平分线交于点E，垂足为D．若，点P是直线上的动点，求的最小值．． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第九章 二次根式·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知为实数，则代数式的值为（   ） A．0 B． C． D．无法确定 5．在二次根式，，，中，与是同类二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出．如果运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．的结果在（   ） A．10到11之间 B．9到10之间 C．8到9之间 D．7到8之间 8．实数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 9．小明在作业本上做了以下题目：①；②；③；④．其中做错的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 10．如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若三角形的一边长为，面积为，则这条边上的高为 ． 12．若为实数，且，则的值为 ． 13．已知的结果为3，那么的取值范围为 ． 14．我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算： ． 15．已知点在第三象限，化简的结果为 ． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）计算： (1)． (2)． 17．（本题8分）海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积． 如图，在中，，，．求的面积． 18．（本题8分）小华在学习二次根式时遇到一道计算题，他的做法如下： ． 他的做法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 19．（本题9分）我们可以用“平方法”比较二次根式和的大小，先把和分别平方，得，因为，所以，请结合上述材料解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较和的大小． 20．（本题8分）小明在复习二次根式的性质后，在一本数学资料上看到这样的一道题及它的解法： 问题 解法 已知，，试用含，的式子表示 利用上述解法解答问题：已知，，试用含，的式子表示． 21．（本题10分）如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位） (1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间． (2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？ 22．（本题12分）利用平方根去根号可以用一个无理数构造一个整数系数方程．例如：时，移项，得，两边平方，得，所以，即．仿照上述方法解答下面的题目． 已知，求： (1)的值． (2)的值． 23．（本题12分）八年级某班在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题：    (1)格点应用：如图2，边长为1的正方形网格内有两点、，直线与、的位置如图所示，点P是直线上一动点，则的最小值为 ，在网格内画出点P； (2)几何应用：如图3，在中，，边的垂直平分线交于点E，垂足为D．若，点P是直线上的动点，求的最小值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第九章二次根式·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 8 9 10 B B B B A D A D 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.12W3 12.-2 13.1≤a≤4 14.42-5 15.2 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(本题8分)(1)解：原式=1+2V3+3-V3 =4+V5. (2)解：原式=V72-V2-(5-2) =62-2-3 =5V2-3. 17.(本题8分)解：：a=8,b=4,c=6, ∴p==9, :SAABc=Vp(p-a)(p-b)(p-c) =V9×(9-8)×(9-4)×(9-6) =3V15 18.(本题8分)解：他的做法不正确.正确的解答过程如下： 原式=V得×(25×V2)2 =是×(2V6)2 =昌×24 1/4 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =36: 19.(本题9分)(1)解：依题意，c2=(3V6)2=54,d2=(45)2=80, ,54<80, c2<d2 即c<d. (2)解：由题意得，m2=(25+V3)=20+4W65+13=33+4W65, n2=(2W万+5)=28+4W35+5=33+4W35, V65>35, 33+4W65>33+4W35, (25+)2>(27+5)2, 25+3>27+V5, 即m>n. 20.(本题8分)解：V0.3=V30×0.01 5×6×0.01 =5×6×0.01 =ab品 鴞 21.(本题10分)(1)解：已知1=0.49m,g=9.8m/s2,π=3，代入公式： 049 T=2×3×V98 =6×儡 =6×隔 =6×票 ≈6×器 ≈1.34(s). 2/4 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 （2)解：已知r=1s,对公式T=2官变形得：V?=景 1=g×(景)2 代入T=1、g=9.8、π=3： 1=9.8×(à)2 =9.8×六 ≈0.27(m). 2.(本题12分)1)解：由a-号得2a=5-1, 移项得2a+1=5, 两边平方得2a+1)2=5, 化简得a2+a=1· (2)解：a3-2a+2026 =a·a2-2a+2026 =a(1-a-2a+2026 =-a2-a+2026 =-(a2+a+2026 =-1+2026 =2025 23.(本题12分)(1)解：如图所示，作点B关于直线的对称点B,连接AB'交直线！于点P,则点P即为 所求， 此时PA+PB的最小值即为线段AB的长，即PA+PB的最小值为V42+42=4y2; 图2 (2)解：.在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°， 3/4 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠B=∠C=180B4c=30°； 2 ,'AB边的垂直平分线DE交BC于点E,垂足为D, ..AE=BE=3, ∴.∠EAB=∠B=30°， ∴∠CAE=∠BAC-∠EAB=90o, ∴.CE=2AE=6, ∴.BC=BE+CE=9; 如图所示，连接PAPC,PB,则PA=PC, ∴.PA+PC=PB+PC≥BC, .当P、B、C三点共线时，PA+PC有最小值，最小值为BC的长，即PA十PC的最小值为9. 图3 4/4 2025-2026学年八年级下册数学单元自测 第九章 二次根式·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式性质． 根据二次根式的性质，逐项计算判断即可. 【完整解答】解： A、 ，计算错误，不符合题意； B、 ，计算正确，符合题意； C、 ，计算错误，不符合题意； D 、，计算错误，不符合题意； 故选：B． 2．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查二次根式的运算，掌握二次根式乘除法运算法则是解题关键． 利用二次根式的加减乘除法则逐一判断即可． 【完整解答】解：A、 ，计算错误，不符合题意； B、 ，计算正确，符合题意； C、  ，计算错误，不符合题意； D、 ，计算错误，不符合题意； 故选：B． 3．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简，正确的计算是解题的关键. 通过直接计算每个选项，验证其正确性即可. 【完整解答】解：A、∵ > ， ∴A错误，不符合题意； B、∵ ≠ ， ∴B错误，不符合题意； C、∵ = = , ∴C正确，符合题意； D、∵ = , = , ∴ = , 则 = ≠ 1， ∴ D错误，不符合题意. 故选：C. 4．已知为实数，则代数式的值为（   ） A．0 B． C． D．无法确定 【答案】B 【思路引导】根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入代数式计算． 【完整解答】解：要使二次根式有意义，被开方数必须为非负数，则 由，得：． 将代入代数式： ． 故选：B． 【考点再现】本题考查了二次根式有意义的条件（被开方数非负），解题关键是通过的非负性确定的唯一值，再代入计算． 5．在二次根式，，，中，与是同类二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题关键． 将各二次根式化简为最简形式，判断被开方数是否与相同即可． 【完整解答】解：∵ ，被开方数为，与不同，∴ 不是同类二次根式； ∵ ，被开方数为，与相同，∴ 是同类二次根式； ∵ ，被开方数为，与相同，∴ 是同类二次根式； ∵ ，被开方数为，与不同，∴ 不是同类二次根式． ∴ 与是同类二次根式的有个. 故选：B． 6．陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出．如果运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【思路引导】本题考查二次根式的运算，通过计算每种运算的结果并判断其是否为有理数来求解. 分别计算“”、“”、“”、“”四种运算的结果，判断是否为有理数. 【完整解答】解：加法：（无理数），不符合题意； 减法：（有理数），符合题意； 乘法：（有理数），符合题意； 除法：（无理数），不符合题意. ∴ “□”中的运算符号可能是或. 故选：A. 7．的结果在（   ） A．10到11之间 B．9到10之间 C．8到9之间 D．7到8之间 【答案】D 【思路引导】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘除法法则是解决问题的关键． 先根据二次根式的乘除法法则进行计算，再估算的范围，从而确定整体值的区间． 【完整解答】解：∵ 原式 = . 又∵ , ∴ , ∴ , 即 , 故结果在到之间． 故选：D． 8．实数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了二次根式的性质与绝对值的化简，掌握二次根式化简，及根据数的符号化简绝对值是解题的关键． 先从数轴确定的符号及的正负，再利用二次根式的性质化简，最后结合绝对值的化简规则计算式子结果． 【完整解答】解：由数轴可知，，且，因此， 故， ∵， ∴ 原式 ． 故选：A． 9．小明在作业本上做了以下题目：①；②；③；④．其中做错的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【思路引导】此题主要考查了二次根式的乘除法，正确化简二次根式是解题关键． 利用二次根式的乘除法法则，逐一验证每个等式的正确性． 【完整解答】解：对于①： ∵ ，∴ ①正确； 对于②：∵ 当时， ，∴ ②正确； 对于③：∵ 当时，， ∴ ③正确； 对于④：∵ = ，∴ ④错误； 因此，做错的是④． 故选：D． 10．如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了算术平方根的应用，化简二次根式．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，的长，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【完整解答】解：两张正方形纸片的面积分别为和 它们的边长分别为 ， 空白部分的面积 ． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若三角形的一边长为，面积为，则这条边上的高为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次根式的除法，解题的关键是熟悉三角形的面积公式． 利用三角形面积公式，将已知面积和边长代入，求解高. 【完整解答】解：设这条边上的高为 ，根据三角形面积公式 ，代入已知值得 ． 两边同乘以得 ， 再两边同除以得 ． 故答案为：． 12．若为实数，且，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查代数式求值，涉及二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件求出值是解决问题的关键． 根据二次根式的被开方数非负，求出，再代入求出，最后代入代数式计算即可得到答案． 【完整解答】解： 中，， ， 解得， 则， ， 故答案为：． 13．已知的结果为3，那么的取值范围为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握绝对值的性质和二次根式的性质． 将原式化为绝对值方程 ，分段讨论求解． 【完整解答】解：原式可化为 当时，， 解得 ， 但 不在的范围，无解； 当时，，恒成立； 当时，， 解得 ，符合条件； 综上所述，． 故答案为：． 14．我们规定运算符号“”：当时，；当时，，其他运算符号的意义不变．计算： ． 【答案】 【思路引导】此题考查了二次根式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据运算符号“△”的定义，先比较每组数的大小，确定运算方式，再计算表达式． 【完整解答】解：∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ 。 原式 = ． 故答案为：． 15．已知点在第三象限，化简的结果为 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查了各象限内点的坐标特点，绝对值与算术平方根的性质；由点A在第三象限，确定m的取值范围，再化简绝对值与根式． 【完整解答】解：因为点在第三象限， 所以且，解得． 所以原式． 故答案为2． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（本题8分）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据完全平方公式，二次根式的除法计算，再算加减法即可； （2）先根据二次根式的乘法法则、平方差公式计算，再算加减法即可． 【完整解答】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 17．（本题8分）海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式．即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积． 如图，在中，，，．求的面积． 【答案】 【思路引导】本题考查了“海伦公式”的应用，二次根式，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 将，，代入公式计算得出，然后再代入计算即可得出答案． 【完整解答】解：∵，，， ∴， ． 18．（本题8分）小华在学习二次根式时遇到一道计算题，他的做法如下： ． 他的做法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程． 【答案】不正确  见解析 【思路引导】本题考查了二次根式的乘法，正确的计算是解题的关键． 先将带分数化为假分数，计算括号内的二次根式的乘法，然后计算积的乘方，最后再算乘法即可． 【完整解答】解：他的做法不正确．正确的解答过程如下： 原式 ． 19．（本题9分）我们可以用“平方法”比较二次根式和的大小，先把和分别平方，得，因为，所以，请结合上述材料解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了二次根式的混合运算，实数的大小比较，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别算出，再进行比较大小，即可作答． （2）先根据，，得出，再进行比较大小，即可作答． 【完整解答】（1）解：依题意，， ∵， ∴ 即． （2）解：由题意得，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 20．（本题8分）小明在复习二次根式的性质后，在一本数学资料上看到这样的一道题及它的解法： 问题 解法 已知，，试用含，的式子表示 利用上述解法解答问题：已知，，试用含，的式子表示． 【答案】 【思路引导】模仿题目给出的示例，先将化为，然后将分子利用已知条件，进行代换，化简即可． 【完整解答】解： = =． 【考点再现】本题考查了二次根式的性质与化简．解题关键是将目标根式拆成已知根式与的乘积，再整理成用、表示的形式． 21．（本题10分）如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位） (1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间． (2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？ 【答案】(1) (2)0.27m． 【思路引导】（1）已知摆长，直接代入周期公式​​计算即可； （2）已知周期，通过公式变形求解摆长． 【完整解答】（1）解：已知，，，代入公式： ． （2）解：已知，对公式变形得： 代入、、： ． 【考点再现】本题考查了二次根式的实际应用，解题关键是熟练代入公式计算，并根据已知量对公式进行合理变形，同时注意近似值的计算精度． 22．（本题12分）利用平方根去根号可以用一个无理数构造一个整数系数方程．例如：时，移项，得，两边平方，得，所以，即．仿照上述方法解答下面的题目． 已知，求： (1)的值． (2)的值． 【答案】(1)1 (2)2025 【思路引导】（1）对已知的a进行移项，将含根号的部分单独放在一边，再两边平方，整理后得到的值； （2）利用（1）的结果变形得到的表达式，将拆分为，代入表达式化简，再结合（1）的结论计算结果． 【完整解答】（1）解：由得， 移项得， 两边平方得， 化简得． （2）解： ． 【考点再现】本题考查了二次根式的化简与代数式求值，掌握通过移项、平方构造整式方程，再利用方程变形化简高次代数式是解题的关键． 23．（本题12分）八年级某班在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题：    (1)格点应用：如图2，边长为1的正方形网格内有两点、，直线与、的位置如图所示，点P是直线上一动点，则的最小值为 ，在网格内画出点P； (2)几何应用：如图3，在中，，边的垂直平分线交于点E，垂足为D．若，点P是直线上的动点，求的最小值． 【答案】(1)，见解析 (2)9 【思路引导】（1）作点B关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求，利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）根据等边对等角和三角形内角和定理可得；由线段垂直平分线的性质可得，则可推出，可得，；可证明，则当P、B、C三点共线时，有最小值，最小值为的长，即的最小值为9． 【完整解答】（1）解：如图所示，作点B关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求， 此时的最小值即为线段的长，即的最小值为；    （2）解：∵在中，， ∴； ∵边的垂直平分线交于点E，垂足为D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，连接，则， ∴， ∴当P、B、C三点共线时，有最小值，最小值为的长，即的最小值为9．    【考点再现】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理等等，正确理解题意确定线段之和取得最小值的情形是解题的关键． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $