2026年高二数学人教A版寒假巩固练习四（直线的倾斜角与斜率、直线的方程）

高二寒假作业 2025-2026学年第一学期高二寒假巩固练习四 直线的倾斜角与斜率、直线的方程【解析】 一、单选题 1．直线的倾斜角的变化范围是 (　　) A．　　 B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的斜率.由于， 所以，因此.设直线的倾斜角为， 则有．由于，所以， 即倾斜角的变化范围是. 故选B． 2.已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】D 【详解】直线的斜率为，直线的斜率为， 结合图象可得直线的斜率的取值范围是. 故选：D 3．已知，若点在线段上，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，因为表示点和点连线的斜率， 又，所以，， 由图知，的最小值为， 故选：C. 4．已知直线kx－y＋2k－1＝0恒过定点A，点A也在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m，n均为正数， 则＋的最小值为(　　) A．2 B．4 C．8 D．6 【答案】B 【解析】已知直线kx－y＋2k－1＝0，整理得y＋1＝k(x＋2)， 由直线恒过定点A，得A(－2，－1)． 因为点A也在直线mx＋ny＋2＝0上，所以2m＋n＝2，整理得m＋＝1， 由于m，n均为正数，则 当且仅当即时取等号． 故选B． 5．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若直线与直线互相平行且不重合， 则，解得，故. 所以“”是“直线与直线互相平行且不重合”的充要条件． 故选：C． 6．已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由直线的法向量为可得：直线的方向向量可取为. 当时，，此时直线垂直于轴，. 当时，直线的斜率， 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 则当时，由基本不等式可得：， 当且仅当时等号成立，此时； 综上可得：的取值范围是. 故选：B. 7．已知，，直线和垂直，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，直线，，且， ，即． 则， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为8， 故选：B． 8.下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．点关于直线的对称点为 C．直线关于直线的对称直线的方程为 D．直线关于点的对称直线的方程为 【答案】D 【解析】对于A，直线与两坐标轴交于，则所求三角形面积为，A错误； 对于B，点和的中点不在直线上，则点关于直线的对称点不是，B错误； 对于C，在直线上取点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，而点不在直线上，C错误； 对于D，在所求方程的直线上任取点，则该点关于点的对称点为在直线上， 于是，即，因此所求的直线方程为，D正确. 故选：D 二、多选题 9．下列说法一定正确的是（   ） A．过点的直线方程为 B．直线的倾斜角为 C．若，，则直线不经过第三象限 D．过、两点的直线方程为 【答案】CD 【解析】对于A选项，过点且斜率不存在的直线的方程为，A错； 对于B选项，若，则直线的倾斜角不是，B错； 对于C选项，因为，，则直线的方程可化为， 故直线的斜率为，该直线在轴上的截距为， 作出直线的图象如下图所示： 由图可知，当，时，直线不经过第三象限，C对； 对于D选项，当过点、的直线的斜率存在且不为零时， 则该直线的两点式方程为，可化为， 当直线与轴垂直时，直线的方程为，满足， 当直线与轴垂直时，直线的方程为，满足， 综上所述，过、两点的直线方程为，D对. 故选：CD. 10.下列说法正确的有(　　) A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则点(k，b)在第二象限； B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3,2)； C．过点(2，－1)斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)； D．斜率为－2，在y轴截距为3的直线方程为y＝－2x±3. 【答案】ABC 【解析】：对于A中，由直线y＝kx＋b过第一、二、四象限，所以直线的斜率k＜0，截距b＞0， 故点(k，b)在第二象限，所以A正确； 对于B中，由直线方程y＝ax－3a＋2，整理得a(x－3)＋(－y＋2)＝0，所以无论a取何值点(3,2)都满足方程， 所以B正确； 对于C中，由点斜式方程，可知过点(2，－1)斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)， 所以C正确； 由斜截式直线方程得到斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x＋3，所以D错误． 故选ABC． 11.已知与关于直线对称，则下列说法中正确的是（    ） A．直线过,的中点 B．直线的斜率为 C．直线的斜率为3 D．直线的一个方向向量的坐标是 【答案】ACD 【解析】对于A，因为与关于直线对称，所以直线过，的中点，故A正确； 对于B，直线的斜率为，故B错误； 对于C，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为3    ，故C正确； 对于D，因为直线的斜率为3，所以直线的一个方向向量的坐标是，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12.已知动直线l：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3， 则的最小值为________． 【答案】 【解析】∵动直线l：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，∴a＋bm＋c－3＝0． 又Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3， ∴． ∴a＋c＝3． 则 当且仅当时取等号． 的最小值为. 13． 已知在直线上，则的最小值为 ． 【答案】3 【解析】因为表示点到原点的距离，而点在直线上， 所以的最小值即为原点到直线的距离，. 所以的最小值为3. 故答案为：. 14.在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是 . 【答案】6x－8y＋1＝0 【解析】根据平移得到l1：y＝k（x－3）＋5＋b和直线：y＝kx＋3－4k＋b，解得k＝，再根据对称解得b＝，计算得到答案.由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b， 则直线l1：y＝k（x－3）＋5＋b，平移后的直线方程为y＝k（x－3－1）＋b＋5－2 即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝ ， ∴直线l的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b 取直线l上的一点 ，则点P关于点（2，3）的对称点为 ， ，解得b＝. ∴直线l的方程是 ，即6x－8y＋1＝0. 故答案为：6x－8y＋1＝0 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知直线. （1）证明：直线l过定点； （2）若直线l交x轴负半轴于A，交轴正半轴于B，的面积为S(O为坐标原点)，求O的最小值并求此时直线l的方程． 【答案】（1）证明见解析，定点为. (2),. 【解析】（1）证明：直线l的方程可化为， 令， 解得 ∴无论k取何值，直线总经过定点. （2）由题意可知，再由l的方程，得 依题意得： ∴. 当且仅当时取等号， ∴，此时直线l的方程为． 16．已知直线l：(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0． (1)m为何值时，点Q(3,4)到直线的距离最大，最大值为多少？ (2)若直线l分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程． 【答案】(1)， (2)△AOB面积的最小值为4，此时直线l的方程为2x＋y＋4＝0． 【解析】(1)直线方程可化为(2x＋y＋4)－m(x－2y－3)＝0，令解得 故直线l恒过定点P(－1，－2)， 由点Q(3,4)到直线的距离最大， 可知点Q与定点P的连线的距离就是所求最大值， 即为最大值． ∵kPQ＝＝， ∴(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0的斜率为－，可得－＝－，解得m＝． (2)若直线l分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点， ∵直线l恒过定点P(－1，－2)， ∴直线l的方程可设为y＋2＝k(x＋1)，k＜0，则A，B(0，k－2)， S△AOB＝|k－2|＝(2－k)＝2＋≥2＋2＝4， 当且仅当＝，即k＝－2时取等号，故△AOB面积的最小值为4． 此时直线l的方程为2x＋y＋4＝0． 17. 某地两村在一直角坐标系下的位置分别为，，一条河所在直线l的方程为．在河边上建一座供水站分别向两镇供水，若要使所用管道最省，则供水站应建在什么地方? 【答案】供水站应建在处 【解析】如图，作点关于直线l的对称点，连接交l于， 若（异于）在直线l上，则， 因此供水站建在处，才能使得所用管道最省． 设，则的中点在l上，且， 即，解得，即，又因为， 则直线的方程为：，则化简为， 所以直线的方程为． 解方程组，得． 所以点P的坐标为． 故供水站P应建在处． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $高二寒假作业 2025-2026学年第一学期高二寒假巩固练习四 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 一、单选题 1．直线的倾斜角的变化范围是 (　　) A．　　 B． C． D． 2.已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 3．已知，若点在线段上，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 4．已知直线kx－y＋2k－1＝0恒过定点A，点A也在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m，n均为正数， 则＋的最小值为(　　) A．2 B．4 C．8 D．6 5．“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，直线和垂直，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8.下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．点关于直线的对称点为 C．直线关于直线的对称直线的方程为 D．直线关于点的对称直线的方程为 二、多选题 9．下列说法一定正确的是（   ） A．过点的直线方程为 B．直线的倾斜角为 C．若，，则直线不经过第三象限 D．过、两点的直线方程为 10.下列说法正确的有(　　) A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则点(k，b)在第二象限； B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3,2)； C．过点(2，－1)斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)； D．斜率为－2，在y轴截距为3的直线方程为y＝－2x±3. 11.已知与关于直线对称，则下列说法中正确的是（    ） A．直线过,的中点 B．直线的斜率为 C．直线的斜率为3 D．直线的一个方向向量的坐标是 三、填空题 12.已知动直线l：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3， 则的最小值为________． 13． 已知在直线上，则的最小值为 ． 14.在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l的方程是 . 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知直线. （1）证明：直线l过定点； （2）若直线l交x轴负半轴于A，交轴正半轴于B，的面积为S(O为坐标原点)，求O的最小值并求此时直线l的方程． 16．已知直线l：(2－m)x＋(2m＋1)y＋3m＋4＝0． (1)m为何值时，点Q(3,4)到直线的距离最大，最大值为多少？ (2)若直线l分别与x轴，y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程． 17. 某地两村在一直角坐标系下的位置分别为，，一条河所在直线l的方程为．在河边上建一座供水站分别向两镇供水，若要使所用管道最省，则供水站应建在什么地方? 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $