寒假作业01 直线的倾斜角与斜率与平行、垂直5类重点必刷题型（巩固培优）高二数学苏教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业01 直线的倾斜角与斜率、平行与垂直 一、直线倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2、直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为；已知直线上任意两点，，则 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大； 二、平行与垂直 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 倾斜角与斜率的计算 1．（25-26高二上·四川广安·月考）直线的倾斜角是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖南·期中）已知直线过点，，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东广州·期中）若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知第一象限的点和经过直线，若直线的倾斜角为，则的最小值为 ． 5．（25-26高二上·天津和平·期中）已知在平面内的点，，直线的倾斜角为，则 . 6．（25-26高二上·北京·期中）若经过两点，的直线的斜率是12，则 ． 题型二 已知直线的倾斜角或斜率求参数或参数的取值范围 1．（25-26高二上·江苏无锡·月考）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东惠州·月考）若经过，两点的直线的倾斜角为45°，则（   ） A． B． C． D．2 3．（25-26高二上·陕西榆林·期中）若直线的倾斜角等于，则实数（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东烟台·月考）过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（   ） A． B． C．或2 D．或-2 5．（24-25高二上·甘肃庆阳·期中）已知直线过点、，且直线的方向向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·山东·期中）过、两点的直线的倾斜角为，那么实数 . 题型三 直线与线段的关系求参数或参数的取值范围 1．（25-26高二上·福建泉州·期中）过点作直线，若与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 2．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·四川内江·期中）设点，若过点的直线与线段有公共点．则直线的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 ． 5．（25-26高二上·安徽淮南·月考）已知点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 ． 题型四 平行 1．（25-26高二上·重庆·期中）“”是“直线和直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二下·湖南株洲·开学考试）已知直线与直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．直线，那么与 . 题型五 垂直 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）直线与直线一定（   ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 2．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 3．（25-26高二上·重庆·期中）已知直线与垂直，则实数的值为（    ） A． B．1或 C．1 D．或5 4．（25-26高二上·福建漳州·月考）已知直线，，且，则（    ） A． B． C．1或 D．或 5．（25-26高三·全国·假期作业）已知直线；，：，设甲：；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知直线：与：垂直，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·宁夏·月考）已知直线与互相垂直，则实数的值为 ． 8．（25-26高二上·四川成都·月考）已知直线与互相垂直，则实数的值为 . 1．（25-26高二上·重庆·期中）已知直线绕原点顺时针旋转得到直线，则的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知直线，当时，直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·辽宁·期中）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025·河南信阳·模拟预测）已知矩形ABCD四个顶点分别为，一质点从线段AB上某一点M处（不包含端点），沿与AB夹角为60°的方向射到边BC上，再依次反射到边CD，DA和AB上（入射角等于反射角），则的取值范围为 ． 5．（24-25高三下·福建福州·开学考试）已知，动直线与函数的图象交于三点，且点在轴的左侧，为线段的中点，则点的横坐标的取值范围为 . 1．（25-26高二上·北京·月考）已知，直线：上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏盐城·期中）（多选题）台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值可以为（    ）    A． B． C．1 D． 3．（2023·广东深圳·二模）足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择.若选择线路，则甲带球 码时，到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球 码时，到达最佳射门位置. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业01 直线的倾斜角与斜率、平行与垂直 一、直线倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2、直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为；已知直线上任意两点，，则 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而增大； 二、平行与垂直 两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程 平行 垂直 （斜率存在） （斜率不存在） 或 或中有一个为0，另一个不存在． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 倾斜角与斜率的计算 1．（25-26高二上·四川广安·月考）直线的倾斜角是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角 【分析】由直线求出斜率，利用求出直线的倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 的斜率为，，， ，，直线的倾斜角. 故选：C. 2．（25-26高二上·湖南·期中）已知直线过点，，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率 【分析】由斜率公式求得斜率，再由倾斜角和斜率关系即可求解. 【详解】直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 所以倾斜角的取值范围为. 故选：B． 3．（25-26高二上·广东广州·期中）若如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】设直线､､的倾斜角分别为， 则， 由图可知：，， 所以. 故选：D 4．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知第一象限的点和经过直线，若直线的倾斜角为，则的最小值为 ． 【答案】//1.125 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、直线的倾斜角、已知两点求斜率、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由题设知，根据目标式，结合基本不等式“1”的代换求最小值即可. 【详解】由题设知，可得， ∴， 当且仅当时，即时，等号成立，的最小值为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·天津和平·期中）已知在平面内的点，，直线的倾斜角为，则 . 【答案】8 【难度】0.85 【知识点】直线斜率的定义、已知两点求斜率 【分析】根据倾斜角可得斜率，结合斜率公式运算求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率， 且点，，则，解得. 故答案为：8. 6．（25-26高二上·北京·期中）若经过两点，的直线的斜率是12，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知斜率求参数、已知两点求斜率 【分析】根据过两点的直线的斜率公式求的值. 【详解】由两点，的直线的斜率是12，得， 即，解得. 故答案为： 题型二 已知直线的倾斜角或斜率求参数或参数的取值范围 1．（25-26高二上·江苏无锡·月考）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角 【分析】分和两种情况，表示出斜率并求出其范围，再根据正切函数性质求出倾斜角的范围. 【详解】因为，所以， 设其倾斜角为，当时，直线为，则， 当，直线的斜率，则， 由正切函数性质可知. 故直线的倾斜角的范围是 故选：D. 2．（25-26高二上·广东惠州·月考）若经过，两点的直线的倾斜角为45°，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】直线的倾斜角、已知两点求斜率、已知斜率求参数 【分析】根据过两点的直线的斜率公式列方程求解. 【详解】因为经过，两点的直线的倾斜角为45°， 所以该直线的斜率，即，解得. 故选：C. 3．（25-26高二上·陕西榆林·期中）若直线的倾斜角等于，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知斜率求参数、直线斜率的定义 【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系可得出的等式，解之即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率为，故. 故选：A. 4．（25-26高二上·山东烟台·月考）过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（   ） A． B． C．或2 D．或-2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知斜率求参数、已知两点求斜率 【分析】先根据斜率的定义及过两点的斜率的计算公式列出等式，求出，将值代入两点的坐标验证，即可得解. 【详解】因为过两点的直线倾斜角为45°，所以直线的斜率. 又因为， 所以， 整理可得，即，解得或. 当时，，，此时两点重合，不符合题意，舍去； 当时，，，此时两点不重合，符合题意. 综上，所以的取值为. 故选：B 5．（24-25高二上·甘肃庆阳·期中）已知直线过点、，且直线的方向向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知斜率求参数、直线方向向量的概念及辨析（平面中）） 【分析】利用直线的方向向量求出直线的斜率，再利用斜率公式可求得实数的值. 【详解】因为直线的方向向量为，则直线的斜率为， 又因为直线过点、，由斜率公式可得，解得. 故选：D. 6．（23-24高二上·山东·期中）过、两点的直线的倾斜角为，那么实数 . 【答案】 【难度】0.94 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、已知斜率求参数 【分析】由倾斜角得斜率，由斜率公式可得参数值． 【详解】过两点的直线的倾斜角为， 则，又. 故答案为：1. 题型三 直线与线段的关系求参数或参数的取值范围 1．（25-26高二上·福建泉州·期中）过点作直线，若与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围、已知两点求斜率 【分析】作出图象，计算出直线的斜率，结合图象可得答案. 【详解】直线的斜率， 直线的斜率， 结合图象得：直线斜率的取值范围为或. 故选：B    2．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】求得直线和的斜率，再结合图象即可求解. 【详解】记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交，    结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 3．（25-26高二上·四川内江·期中）设点，若过点的直线与线段有公共点．则直线的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围、已知两点求斜率 【分析】作出图形，求出直线、的斜率，观察直线在绕着点旋转时，直线的倾斜角的变化，即可得出直线的斜率的取值范围. 【详解】设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示： ，， 当直线从的位置旋转至与的位置靠近时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为锐角，则； 当直线从靠近的位置旋转至的位置时， 此时直线的倾斜角逐渐增大，且为钝角，则. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：A. 4．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】先求直线过A、B时对应的斜率，结合图象即可求得斜率的取值范围. 【详解】当直线过A时，直线PA的斜率， 当直线过B时，直线PB的斜率， 由图知，直线过点且与线段相交，需使或， 故答案为：. 5．（25-26高二上·安徽淮南·月考）已知点，，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】分别求得直线的斜率，结合图形可得的斜率的范围． 【详解】点，，过点的直线与线段有公共点， 直线的斜率或， 的斜率为，的斜率为， 直线的斜率或，即， 故答案为：．    题型四 平行 1．（25-26高二上·重庆·期中）“”是“直线和直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由斜率判断两条直线平行、已知直线平行求参数 【分析】根据两直线平行的判定条件进行判断即可. 【详解】当时，两直线方程为和， 可见两直线斜率相等，且两直线不重合，所以两直线平行， 所以“”是“直线和直线平行”的充分条件； 若直线和直线平行， 若，则，解得. 当时，两直线方程为和，斜率相等，平行； 当时，两直线方程为和，斜率相等，平行； 若，两直线方程为和，两直线垂直，不平行； 所以若直线和直线平行，则或. 综上，“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（24-25高二下·湖南株洲·开学考试）已知直线与直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知直线平行求参数、由斜率判断两条直线平行、判断命题的充分不必要条件 【分析】当时可推得，当时，可推得或，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】当时，直线，直线，此时，即可以推出， 当时，由，得到或， 又时，，，显然有，所以推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 3．（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由斜率判断两条直线平行 【分析】根据直线平行的等价条件求出，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】因为两条直线平行， 所以直线斜率相等或斜率不存在， 当两直线斜率不存在时，即，两直线为，成立； 当两直线斜率存在时，即，解得，两直线为成立， 综上或. 所以“”是“两条直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】 4．（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明、由斜率判断两条直线平行、已知直线平行求参数 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得. 【详解】当时，直线，则， 当时，，解得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 5．直线，那么与 . 【答案】平行 【难度】0.85 【知识点】由斜率判断两条直线平行 【分析】根据两条直线斜率关系即可判断. 【详解】由题可得，且与不重合，所以与平行； 故答案为：平行 题型五 垂直 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）直线与直线一定（   ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】求得两直线的斜率，根据斜率关系判断直线的位置关系. 【详解】由直线得，, 由直线得，, 因为，故两直线相交但不垂直. 故选：D. 2．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】由斜率判断两条直线垂直 【分析】求得两条直线的斜率，从而判断出两条直线的位置关系. 【详解】直线和直线的斜率分别为，， 因为，所以. 故选：A 3．（25-26高二上·重庆·期中）已知直线与垂直，则实数的值为（    ） A． B．1或 C．1 D．或5 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据直线垂直列方程，由此求得的值. 【详解】由于，所以， 解得或. 故选：B 4．（25-26高二上·福建漳州·月考）已知直线，，且，则（    ） A． B． C．1或 D．或 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据两直线的位置关系建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】由知，，解得. 故选：A． 5．（25-26高三·全国·假期作业）已知直线；，：，设甲：；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知直线垂直求参数、判断命题的必要不充分条件 【分析】由直线垂直得到，求得，再结合充分条件、必要条件的概念即可判断. 【详解】，解得或1， 故甲不能推出乙，乙能推出甲， 故甲是乙的必要不充分条件． 故选：B 6．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知直线：与：垂直，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据两直线垂直的判断方法，列出方程求解即得. 【详解】由直线：与：垂直，故 得 故选：C. 7．（25-26高二上·宁夏·月考）已知直线与互相垂直，则实数的值为 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】利用斜率是否存在进行讨论分析，再由斜率之积为列方程求参数. 【详解】当时， 直线化为：， 直线化为， 此时两直线不垂直，不满足题意； 当时， 直线的斜率为， 直线的斜率为， 因为两直线垂直，所以，解得， 综上可得：实数的值为. 故答案为：2 8．（25-26高二上·四川成都·月考）已知直线与互相垂直，则实数的值为 . 【答案】或/或 【难度】0.85 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】利用两直线垂直的充要条件来求解参数即可 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得或. 故答案为：或. 1．（25-26高二上·重庆·期中）已知直线绕原点顺时针旋转得到直线，则的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角 【分析】先求出直线的倾斜角，再利用已知条件结合倾斜角的取值范围求出的倾斜角． 【详解】直线 ，设直线斜率为，倾斜角为， ，， 直线绕原点顺时针旋转得到直线， 又倾斜角的取值范围为， 直线的倾斜角为，故D正确． 故选：D． 2．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知直线，当时，直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角 【分析】分和两种情况讨论，结合斜率的范围求解即可. 【详解】若，直线的方程为，所以直线的倾斜角，排除A，C. 若，则， 所以， 又，所以， 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：D. 3．（25-26高二上·辽宁·期中）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、直线斜率的定义 【分析】由充分、必要条件的定义结合倾斜角和斜率关系判断. 【详解】若，则， 又，可得， 所以或， 所以中较大的倾斜角在内，其斜率为负， 较小的倾斜角在内，其斜率为正，所以， 所以“”是“”的充分条件， 若，不妨取，此时， 所以， 所以“”不是“”的必要条件. 故选：A. 4．（2025·河南信阳·模拟预测）已知矩形ABCD四个顶点分别为，一质点从线段AB上某一点M处（不包含端点），沿与AB夹角为60°的方向射到边BC上，再依次反射到边CD，DA和AB上（入射角等于反射角），则的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率 【详解】如图所示，质点由出发依次经BC，CD，DA反射后到达线段AB，相当于直线与线段MN相交，则 又因为，且， 即，所以， 故答案为：. 5．（24-25高三下·福建福州·开学考试）已知，动直线与函数的图象交于三点，且点在轴的左侧，为线段的中点，则点的横坐标的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】函数与方程的综合应用、已知两点求斜率 【分析】通过设出函数图象上的点坐标，利用函数值关系，进而确定中点横坐标的取值范围. 【详解】直线与的图象交于三点，且点在轴的左侧， 设，且，为线段的中点， 已知, 因为在直线上，所以, 即， 展开并化简可得： ， ， 因为，所以. 所以,因为在轴的左侧，所以. 所以, 所以的横坐标的取值范围. 故答案为：. 1．（25-26高二上·北京·月考）已知，直线：上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据两点间的距离公式，以及直线过定点的判定方法，求出直线所过定点，判断满足题目条件的直线情况，进而求出斜率的取值范围，再求出倾斜角范围即可. 【详解】由题意得直线方程为，变形为， 可知直线过定点， 由可知， 当直线上存在点满足时，即直线与线段有交点， 如图所示，， 又因为直线的斜率不为0， 所以直线斜率在， 直线倾斜角的范围为. 故选：D. 2．（23-24高二上·江苏盐城·期中）（多选题）台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.如图，有一张长方形球台，，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中，若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律，则的值可以为（    ）    A． B． C．1 D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】直线综合 【分析】根据题意画出示意图，进而求解结论． 【详解】因为，现从角落沿角的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中； 当是图一时，如图： 关于 的对称点为，关于的对称点为；    如图；根据直线的对称性可得：； 当是图2时，如图： 关于 的对称点为，关于的对称点为，    如图：根据直线的对称性可得：； 故选：AC． 3．（2023·广东深圳·二模）足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择.若选择线路，则甲带球 码时，到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球 码时，到达最佳射门位置. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二次与二次（或一次）的商式的最值、直线斜率的定义 【分析】若选择线路，设，利用两角差的正切公式可得出关于的表达式，利用基本不等式可求得的值及的长；若选择线路，若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，利用斜率公式、两角差的正切公式以及基本不等式可求得结果. 【详解】若选择线路，设，其中，，， 则，， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立，此时， 所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置； 若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，， 直线的方程为，设点，其中， ，， 所以， ， 令，则， 所以， ， 当且仅当时，即当，即当时，等号成立， 所以，， 当且仅当时，等号成立， 此时，， 所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置. 故答案为：；. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $