精品解析：内蒙古商都县第五中学等校2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

乌兰察布市初中联盟校2025－2026学年度第一学期期末素养评价 九年级数学 注意事项： 1.本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚． 一．选择题（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共24分） 1. 值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值，直接进行计算即可． 【详解】解：； 故选C． 2. 为了全面地反映物体的形状，生产实践中往往采用多个视图来反映同一物体不同方面的形状．下图中飞机的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．根据俯视图是从上面看到的图象判定则可． 【详解】解：从上面看下来，看到的图形是，即为俯视图， 故选A． 3. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可以是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数图象的象限由系数符号决定，第二、四象限时系数小于零，解不等式即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 解得， 选项中只有1满足条件， 故选A． 4. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根求参数，根据一元二次方程有两个实数根的条件是判别式大于等于零求解即可得出答案． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴判别式， 即， 选项中只有，满足， ∴ m的值可以是4． 故选D． 5. 如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A. 3 B. 2 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理得到的长，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， 故选：A． 6. 如图，小聪在纸上利用透视关系画出物体正面的透视图，以消失点为位似中心，图中两个三角形位似，且相似比为，则下列说法错误的是（ ） A. 两个三角形的面积比为4∶1 B. 两个三角形的周长比为2∶1 C. 若小三角形的最短边长为3，则大三角形的最短边长为6 D. 若两个三角形的面积差为9，则大三角形的面积为18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键，根据位似比逐项判断即可． 【详解】解：∵相似比为， ∴两个三角形的面积比为，A选项正确，不符合题意； 两个三角形的周长比为 ，B选项正确，不符合题意； 若小三角形的最短边长为3，则大三角形的最短边长为，C选项正确，不符合题意； 若两个三角形的面积差为9，则大三角形的面积为，D选项错误，符合题意； 故选：D． 7. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，有最大值 C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项． 【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意； B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意； C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意； D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意． 故选B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，．若，的长是关于的一元二次方程：的两个根，且，连接，若为轴上的点，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，解绝对值方程，相似三角形的性质，先根据题意求出，，再由得列方程解答即可 【详解】解： 解得或， ∵， ∴，， ∵，， 设， ∴时，即解得或， 故选D． 二．填空题（每题3分，共12分） 9. 如图，反比例函数的图象经过长方形的顶点，，分别在轴上与轴上，则长方形的面积为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，由得即可解答． 【详解】解：设在上， ∴， 由题意得，， ∴， 故答案为6． 10. 如图，点C，D是以为直径的半圆上的点，且，半径，则阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查求扇形的面积，直接运用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：阴影部分面积为：． 故答案为：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在轴负半轴，点在轴正半轴），交轴于点，且，则此抛物线对应的解析式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用根与系数的关系求二次函数解析式，先求出，根据得，，即，，再由根与系数的关系即可解答． 详解】解：设，， 当时，则，， ∵， ∴，， ∴，，即，， ∴解得， 解得， ∴． 故答案为． 12. 如图，在中，，，，分别为，上两点，且，若，则的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形判定与性质、勾股定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，解一元二次方程等知识点，证得是解题的关键．先求出得，证根据列方程解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴即，整理得， 解得， 故答案为：或 三．解答题（本大题6个小题，共64分） 13. （1）计算：． （2）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． ①求反比例函数的解析式； ②根据函数图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】（1）；（2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查含三角函数的实数混合运算，一次函数和反比例函数的交点问题； （1）先算负整数指数幂，二次根式，绝对值，把三角函数值代入计算即可； （2）①将代入求出，再计算出即可解答；②根据函数图象即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解：①将代入得， ∴，， ∴， ∴； ②由函数图象可知，的解集为或． 14. “十四五”期间，约有10亿人次赴内蒙古！“诗和远方”成就旅游迈入万亿产业．小明和小丽打算寒假去乌兰察布市旅游，他们准备从岱海、乌兰哈达火山、九龙湾三个景点中任选一个去旅游，请用画树状图或列表的方法求他们选择的景点相同的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用画树状图或列表的方法求概率，先用画树状图或列表表示出所有可能性，再用公式求概率即可． 【详解】解：设岱海、乌兰哈达火山、九龙湾分别为，，，画树状图如图： 由图可知，共9种等可能的结果，其中两人选择同一景点的情况有3种， 15. 如图，某数学兴趣小组为了测量建在山上的信号塔的高度，先在附近一座办公楼底端处测得信号塔顶端的仰角为，然后在办公楼顶端处测得信号塔底部的俯角为，已知，，，，在同一直线上，山的高度为，办公楼的高度为（点，，，，在同一竖直平面内），求信号塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角函数的实际应用，根据仰角俯角求长度，过点作于点，求出，，即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点， 则，，， 在中，， ， 在中，， ， 答：信号塔的高度约为． 16. 12月9日，青海省西宁市大通县第一届中小学生乒乓球联赛决赛举行，因此也带动了当地相关产品的销售．某店因此采购一批成本价为50元的乒乓球拍，物价部门规定销售单价不高于成本价的倍，在销售过程中发现日销售量y与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：．（销售单价不低于成本价） （1）当每天获得的利润为400元时，则乒乓球拍的销售单价应定为多少元？ （2）当乒乓球拍的单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）60元 （2）当销售单价定为70元时，每天获得的利润最大，最大利润为600元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据每天的利润等于每副球拍的利润乘以销售量建立方程求解即可； （2）设每天获得的利润为w元，根据每天的利润等于每副球拍的利润乘以销售量列出w关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：依题意，得， 整理得：， 解得：，， ， ， 答：销售单价应定为60元． 【小问2详解】 解：设每天获得的利润为w元， 由题意得，， ， ∴当时，w随x的增大而增大， 当时，w最大，最大为（元）， 答：当销售单价定为70元时，每天获得的利润最大，最大利润为600元． 17. 如图，在中，，点O在上，以为半径的半圆O交于点D，交于点E，过点D作半圆O的切线，交于点F． （1）求证：； （2）若，，，求半圆O的半径长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，根据切线性质得到∠BDF+∠ADO=90°，再结合∠ADO=∠OAD，推出∠BDF=∠B，即可； （2）过F作FG⊥BD于G，先利用三角函数求出BG=DG，再过点O作OH⊥AD于H，在△AOH中，求出AO即可. 【详解】解：（1）连接OD， ∵DF和半圆相切， ∴OD⊥DF， ∴∠BDF+∠ADO=90°， ∵∠ADO=∠OAD， ∴∠OAD+∠BDF=90°，又∠C=90°， ∴∠OAD+∠B=90°， ∴∠BDF=∠B， ∴BF=DF； （2）过F作FG⊥BD于G，则GF垂直平分BD， ∵， ∴BF=DF=2， ∵，，∠C=90°， ∴AB=， ∴cos∠B==， ∴，解得：BG==DG， ∴AD=AB-BD=， 过点O作OH⊥AD于H， ∴AH=DH=AD=， ∵cos∠BAC=， ∴AO=， 即半圆O的半径长为. 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 18. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当，时，求的长； （3）如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点，与交于点．求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转可得，则，即可证明． （2）由勾股定理得，由相似三角形的性质得到，， 则可得到，，由旋转的性质可得，由勾股定理可得，解方程即可得到答案； （3）由旋转的性质可得，，，证明， 得到，据此可证明结论． 【小问1详解】 证明：由旋转性质可得， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：，，， ，， 又， ，， ，， ， 由旋转的性质可得， ， 解得或（舍去）， ． 【小问3详解】 证明：， ， 由旋转的性质可得，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌兰察布市初中联盟校2025－2026学年度第一学期期末素养评价 九年级数学 注意事项： 1.本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚． 一．选择题（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共24分） 1. 值是（ ） A 1 B. C. D. 2. 为了全面地反映物体的形状，生产实践中往往采用多个视图来反映同一物体不同方面的形状．下图中飞机的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 若反比例函数图象位于第二、四象限，则的值可以是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 4 4. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的值可以是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 5. 如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A. 3 B. 2 C. 6 D. 6. 如图，小聪在纸上利用透视关系画出物体正面的透视图，以消失点为位似中心，图中两个三角形位似，且相似比为，则下列说法错误的是（ ） A. 两个三角形的面积比为4∶1 B. 两个三角形的周长比为2∶1 C. 若小三角形最短边长为3，则大三角形的最短边长为6 D. 若两个三角形的面积差为9，则大三角形的面积为18 7. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，有最大值 C. 当时， D. 当时， 8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，．若，长是关于的一元二次方程：的两个根，且，连接，若为轴上的点，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二．填空题（每题3分，共12分） 9. 如图，反比例函数的图象经过长方形的顶点，，分别在轴上与轴上，则长方形的面积为___________． 10. 如图，点C，D是以为直径的半圆上的点，且，半径，则阴影部分的面积为______．（结果保留） 11. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在轴负半轴，点在轴正半轴），交轴于点，且，则此抛物线对应的解析式是__________． 12. 如图，在中，，，，分别为，上两点，且，若，则的长为___________． 三．解答题（本大题6个小题，共64分） 13. （1）计算：． （2）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． ①求反比例函数的解析式； ②根据函数图象，请直接写出不等式的解集． 14. “十四五”期间，约有10亿人次赴内蒙古！“诗和远方”成就旅游迈入万亿产业．小明和小丽打算寒假去乌兰察布市旅游，他们准备从岱海、乌兰哈达火山、九龙湾三个景点中任选一个去旅游，请用画树状图或列表的方法求他们选择的景点相同的概率． 15. 如图，某数学兴趣小组为了测量建在山上的信号塔的高度，先在附近一座办公楼底端处测得信号塔顶端的仰角为，然后在办公楼顶端处测得信号塔底部的俯角为，已知，，，，在同一直线上，山的高度为，办公楼的高度为（点，，，，在同一竖直平面内），求信号塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，） 16. 12月9日，青海省西宁市大通县第一届中小学生乒乓球联赛决赛举行，因此也带动了当地相关产品的销售．某店因此采购一批成本价为50元的乒乓球拍，物价部门规定销售单价不高于成本价的倍，在销售过程中发现日销售量y与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：．（销售单价不低于成本价） （1）当每天获得的利润为400元时，则乒乓球拍的销售单价应定为多少元？ （2）当乒乓球拍的单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 17. 如图，在中，，点O在上，以为半径的半圆O交于点D，交于点E，过点D作半圆O的切线，交于点F． （1）求证：； （2）若，，，求半圆O半径长． 18. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当，时，求的长； （3）如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点，与交于点．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $