专题10 等腰（直角）三角形中的分类讨论思想（5大题型）（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

专题10 等腰（直角）三角形中的分类讨论思想 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等腰三角形的边长未定求周长时未分类讨论 1 题型二、等腰三角形中腰和底未定求角度时未分类讨论 3 题型三、三角形的形状不明时与高线及其他线结合时未分类讨论 5 题型四、求有关等腰三角形中的边长时未分类讨论 11 题型五、求有关直角三角形中的边长时未分类讨论 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、等腰三角形的边长未定求周长时未分类讨论 1．（25-26八年级上·福建厦门·月考）已知等腰三角形的两边长为、，则它的周长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）是解题的关键． 分两种情况讨论等腰三角形的腰长，再根据三角形三边关系判断是否成立，进而计算周长． 【详解】解：情况一：当腰长为时， 因为， 所以三边能构成三角形， 周长为， 情况二： 当腰长为时， 因为， 所以三边能构成三角形， 周长为， 故答案为：或． 2．（25-26八年级上·全国·周测）已知等腰三角形的周长为，一边长为，则另外两边的长分别为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；在已知没有明确腰和底边的题目一定要进行分类讨论，还需验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键． 题中给出一边长为cm，但未明确是底边长还是腰长，因此分两种进行讨论，再通过三角形的三边关系验证是否能构成三角形即可． 【详解】解：根据题意，分类讨论： ①当底边长为cm，则腰长为：cm， ∵， ∴能组成三角形 ∴此时其它两边长分别为cm，cm； ②当腰长为cm，则底边长为：cm， ∵ ∴能组成三角形 ∴此时其它两边长分别为cm，cm 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为6，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系；利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．本题分两种情况讨论：①腰是底的2倍；②底是腰的2倍，再利用三角形三边关系（三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）进行检验即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： ①当腰是底的2倍时，底边为， ∵， ∴可以构成三角形； ②当底是腰的2倍时，底边为， ∵， ∴不能构成三角形． ∴的周长= 故答案为：． 4．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·月考）在中，，边上的中线将的周长分为和两部分，求的边长． 【答案】或． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握有关等腰三角形边的分类讨论及三边关系的确定是解决本题的关键． 先根据题意画出示意图，然后再利用三角形的中线定义及三角形周长和三角形的三边关系求得三角形三边的长即可． 【详解】解：如图， 设 ∵是中线 ∴ 若 即 解得：， 此时，，符合题意， 若 即 解得：， ∵此时，符合题意， 综上所述，或． 题型二、等腰三角形中腰和底未定求角度时未分类讨论 5．（25-26八年级上·江苏·月考）等腰三角形的一个角是，则它的底角是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，分两种情况：顶角为和底角为，讨论求解即可． 【详解】解：当顶角为时，则底角为， 当底角为时，则底角为， 综上所述，它的底角是或， 故答案为：或． 6．（25-26八年级上·江苏南通·期中）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分角为底角和顶角两种情况求解即可，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：当的角为底角时， 此时顶角为； 当的角为顶角时， 此时顶角为； 即该三角形的顶角为或， 故答案为：或． 7．（25-26八年级上·江苏镇江·月考）在等腰三角形中，已知，则顶角的大小为 度． 【答案】或 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质，可知的角可能是顶角，也可能是底角，利用三角形内角和定理，可求解． 【详解】解：当顶角为时，则这个等腰三角形的顶角为； 当底角为时，顶角为， 故答案为：或． 8．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）中，，，点D在直线上，连接，若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，分点D在直线上，点D在延长线上两种情况讨论即可． 【详解】解：∵中，，， ∴， 如图，当点D在直线上时， ∵， ∴， ∴； 如图，当点D在延长线上时， ∵，， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 题型三、三角形的形状不明时与高线及其他线结合时未分类讨论 9．已知等腰，，过点B的一条直线把这个三角形分成两个等腰三角形，则 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，解决问题的关键是分类思想的运用．先作图以及分类讨论，利用等腰三角形的性质进行求解即可 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴． 如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴7∠A=180°， ∴， 故答案为：或． 10．（25-26八年级上·广东汕头·月考）已知分别是等腰三角形的高线与角平分线，且相交于F．若，则的度数为 ⁠． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线，三角形内角和定理．根据题意分类讨论是解题的关键． 由题意知，等腰分；；；三种情况，利用等腰三角形的性质，角平分线，三角形内角和定理计算求解即可． 【详解】解：由题意知，等腰分；；；三种情况求解； 如图1，当时， ∴，， ∵分别是等腰的高线与角平分线， ∴，， ∴； 如图2，当时， ∴， 同理，，， ∴； 如图3，当时， ∴， 同理，，， ∴； 综上所述，的度数为或或； 故答案为：或或． 11．（25-26八年级上·广东汕头·月考）已知分别是等腰三角形的高线与角平分线，且相交于F．若，则的度数为 ⁠． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线，三角形内角和定理．根据题意分类讨论是解题的关键． 由题意知，等腰分；；；三种情况，利用等腰三角形的性质，角平分线，三角形内角和定理计算求解即可． 【详解】解：由题意知，等腰分；；；三种情况求解； 如图1，当时， ∴，， ∵分别是等腰的高线与角平分线， ∴，， ∴； 如图2，当时， ∴， 同理，，， ∴； 如图3，当时， ∴， 同理，，， ∴； 综上所述，的度数为或或； 故答案为：或或． 12．在中，为钝角，，如果经过其中一个顶点作一条直线能把分成两个等腰三角形，那么的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】加减消元法、三角形内角和定理的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、解二元一次方程组，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理分多种情况求解即可． 【详解】解：①过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点A为顶点的等腰三角形为，如下图， ∴， ∴， 若是等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设成立； ②过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点C为顶点的等腰三角形为，如图， ∴， ∴， ∵， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设成立； ③过顶点C作一条直线把分成两个等腰三角形，假设以点M为顶点的等腰三角形为，如图， ∴， ∴， ∵， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， ∴， 故假设不成立； ④过顶点A作一条直线把分成两个等腰三角形，等腰三角形为只能以点C为顶点，如图， 设，， 则， ∴， 若为等腰三角形，顶点为M， ∴， 解得， 故假设成立； ⑤由题得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 若过顶点B作直线交于点M，等腰三角形为以点C为顶角，如图， ∵，故矛盾； 综上所述，的度数为：或或， 故答案为：或或． 题型四、求有关等腰三角形中的边长时未分类讨论 13．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，在中，，，点在边上（点与，不重合），作，与边相交于点．若是等腰三角形，则度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，分情况讨论：①；②；③以的等腰三角形不存在；由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 则， ①如图，，即是等腰三角形， ∵， ∴， ∴； ②如图，，即是等腰三角形， ∴， ∴； ③∵D不与B、C重合，， ∴以的等腰三角形不存在； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 14．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图，在中，，点D在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E．当是等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可得的度数，是等腰三角形，分情况讨论：①时，②时，③时，分别求解即可． 【详解】解：， ， ， ，是等腰三角形， 分情况讨论：①时，， ，此时D点与B点重合，不符合题意； ②时，， ； ③时，， ， 综上，的度数为或． 故答案为：或． 15．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在△中，，，，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度向运动，过点作交所在的直线于点，连接，．设点运动时间为秒．当△是等腰三角形时，则 秒． 【答案】5或或4 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质，灵活运用三角形的面积公式及勾股定理进行计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 由勾股定理求出，再分三种情况讨论如下：①当时，根据得，由此得点运动时间为秒；②时，根据得，则，由三角形的面积公式得，进而在△中，由勾股定理得，由此得点运动时间为秒；③当时，则，在△中，由勾股定理得，再由三角形面积公式得，进而在△中，由勾股定理得，由此得点运动时间为秒，综上所述即可得出答案． 【详解】解：在△中，，，， 由勾股定理得：， 当△是等腰三角形时，有以下三种情况： ①当时，如图， 交所在的直线于点， ， 此时点运动时间为（秒； ②时，如图， ， ， ， ， 由三角形的面积公式得：， ， 在△中，由勾股定理得：， 此时点运动时间为（秒； ③当时，如图， ， ， 在△中，由勾股定理得：， 交所在的直线于点，， 由三角形面积公式得：， ， 在△中，由勾股定理得：， 此时点运动时间为（秒， 综上所述：当△是等腰三角形时，点运动时间为为5秒或秒或4秒． 故答案为：5或或4． 16．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）如图，在中，，，，在直线上找一点，使得为以为腰的等腰三角形，则的长度为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形判定和性质.先由勾股定理算出的长度为5，为以为腰的等腰三角形，分两种情况：当时由得；当时根据P点位置得为8或2. 【详解】在中，，，， ∴ 当时，如图1所示， ∵ ∴在与中 ∴ ∴， 当时，如图2所示， P点在B点左侧： 或P点在B点右侧：. 综上所述：的长度为3或8或2. 题型五、求有关直角三角形中的边长时未分类讨论 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知P是射线上一动点，．当的度数为 时，为直角三角形． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形的两锐角互余，分类讨论是解题的关键． 先分类讨论，根据直角三角形的两锐角互余即可求解． 【详解】解：依题意，为直角三角形时， 当为直角三角形时，； 当时，， 故答案为：或． 18．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，等腰三角形的底边为，腰为，一动点Q（与点A，C不重合）在底边上从点C以的速度向点A移动．当动点Q运动了 s时，是直角三角形． 【答案】2或 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形 【分析】本题综合考查了等腰三角形的性质、勾股定理等内容，要求学生能通过做辅助线构造直角三角形，列出关系式，求出对应线段的长，本题蕴含了分类讨论的思想方法． 先利用等腰三角形“三线合一”求出以及边上的高，再分别讨论和为直角的情况，利用勾股定理分别求出两种情况下的长，即可求出所需时间． 【详解】解：如图，作， ， ，， 当点运动到与点重合时，是直角三角形， 此时， ∴运动时间为（秒）； 当时，设， ， 又， ， ， ， 所以运动时间为（秒）； 综上可得：当运动2秒或秒时，是直角三角形； 故答案为：2或． 19．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，，，点，分别是，边上的动点，沿所在直线折叠，使点的对应点始终落在边上，若是直角三角形时，则的长为 ． 【答案】或 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，分情况讨论：①当时，根据含角的直角三角形的性质和折叠的性质可得出，根据勾股定理可求出，然后结合线段的和差求解即可；②当时，根据含角的直角三角形的性质和折叠的性质可得出，然后结合线段的和差求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴ ①当时， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ②当时 ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 20．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，，，，D是边上的一点（不与点B，C重合），连接，将沿折叠，使点C落在点E处．当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】6或/或6 【知识点】含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，直角三角形的性质，根据勾股定理得到，根据已知条件得到当是直角三角形时，或，①当时，则，根据折叠的性质得到，于是得到，②当时，根据折叠的性质得到，，推出点E在上，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴ ∵, ∴ ∴， ∵点D是边上的一点， ∴， ∴当是直角三角形时，或， ①当时，则， ∵将沿折叠，使点C落在点E处， ∴， ∴， ∴， ②当时， ∵将沿折叠，使点C落在点E处， ∴， ∴， ∴点E在上，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为 6或， 故答案为：6或． 一、单选题 1．（25-26八年级上·云南大理·期末）已知等腰三角形的两边长分别为2和3，则此等腰三角形的周长为（   ） A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，根据等腰三角形的定义，分类讨论：分腰长为2或腰长为3两种情况讨论，计算周长并验证是否满足三角形三边关系． 【详解】解：∵ 等腰三角形两边长分别为2和3， ∴当腰长2，底边3时，三边为2，2，3， ∵， ∴满足三边关系，周长； 当腰长3，底边2时，三边为3，3，2， ∵， ∴满足三边关系，周长； ∴周长为7或8， 故选：A． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知等腰三角形中一个内角的度数为，则该等腰三角形底角的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键．分顶角为和底角为，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形的顶角为时，则底角的度数为； 当等腰三角形的底角为时，则底角的度数为， 综上所述，该等腰三角形的底角度数为或， 故选：B． 3．（24-25八年级上·北京·期末）已知等腰三角形的周长为25cm，一边长为11cm，那么这个等腰三角形的腰长为（   ） A．11cm B．7cm C．14cm D．7cm或11cm 【答案】D 【分析】由于本题中等腰三角形的腰和底不确定，因此要分类讨论，最后还要根据三角形的三边关系将不合题意的解舍去． 本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；在等腰三角形腰和底不确定的情况下，一定要分类讨论，还要注意看最后的结果是否符合三角形的三边关系． 等腰三角形周长为，一边长为，需分为腰或底边两种情况讨论，并利用三角形两边之和大于第三边验证是否构成三角形. 【详解】解：①若为腰长，则底边长为（）， ∵, ∴能构成三角形，腰长为． ②若为底边长，则腰长（）， ∵， ∴能构成三角形，腰长为． 综上，腰长为或． 故选：D． 4．（25-26八年级上·安徽淮南·月考）已知，，若的周长是，，则的边长可能为（） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．根据等腰三角形的性质求出，再根据全等三角形对应边相等解答即可． 【详解】解：∵的周长是，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴的边长可能为或． 故选：D． 5．（25-26八年级上·贵州黔西·期末）已知等腰三角形的周长为，，与全等，则的边（    ） A．2 B．5或8 C．2或5或8 D．2或7或8 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，根据等腰三角形的性质，分为腰和为底两种情况，求出三角形的边长，再根据全等三角形的性质，可能等于三角形的任意一边． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为，， 当为腰时，另一腰长为8，底边长为； 当为底时，两腰长均为； ∴三角形的边长可能为8，8，2或5，5，8； ∵， ∴可能等于三角形的任意一边，即或5或8． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）等腰三角形的一边长是6，周长是16，则其另外两边长是 ． 【答案】5和5或4和6 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分两种情况讨论：当边长为6的边是腰时和边长为6的边是底边，根据等腰三角形的定义求出另外两边的长，再根据构成三角形的条件验证即可． 【详解】解：当边长为6的边是腰时，则底边长为， 此时该三角形的三边长分别为6，6，4， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 当边长为6的边是底边时，则腰长为， 此时该三角形的三边长分别为5，5，6， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意； 综上所述，该等腰三角形的另外两边长为5和5或4和6， 故答案为：5和5或4和6． 7．（25-26八年级上·陕西西安·期末）等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及分类讨论思想．需要分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，利用直角三角形两锐角互余和三角形内角和定理求解． 【详解】解：设等腰三角形中，，为腰上的高，与另一腰的夹角为， ①当为锐角三角形时，高在三角形内部，如图， 在中，，，则， ②当为钝角三角形时，顶角为钝角，高在外部，即点在的延长线上，如图： 在中，，， 则， 综上，该等腰三角形的顶角的度数是或， 故答案为：或． 8．（25-26八年级上·陕西延安·期末）我们称等腰三角形的腰长与其底边长的比值为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则这个等腰三角形的“和谐比”为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质．熟悉等腰三角形三边关系，根据不同情况分别计算答案，是解题的关键．根据等腰三角形的周长和一边长，分别讨论该边为腰长或底边长两种情况，计算和谐比即可． 【详解】解：等腰三角形的周长为，其中一边长为， 若为腰长，则底边长为，满足三角形的三边条件，其和谐比为， 若为底边长，则腰长为，满足三角形的三边条件，其和谐比为． 故答案为：或． 9．（22-23七年级下·江苏苏州·月考）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，在中，，，是射线上一点，且是“准直角三角形”，则的所有可能的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了“准直角三角形”的定义、直角三角形的性质等知识，理解新定义“准直角三角形”是解题关键．根据“准直角三角形”的定义，分类讨论即可解决问题． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 分三种情况讨论， 如图，当点P在延长线上，，则， 此时， 即， ∴①， ∵②， 由，可得， ∴； 如图，当点P在延长线上，时，则， 此时，即， ∴③， ∵④， 由，可得， ∴； 如图，当点P在线段上时，，， ∴， ∴此时； 综上所述，的所有可能的度数为或或． 故答案为：或或． 10．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，动点P从点C出发，以的速度沿折线移动到B，当点P在上运动时，则点P出发 秒时，为等腰三角形；当点P在上运动时，则点P出发 秒时，为等腰三角形． 【答案】 6 12或13或 【分析】本题考查等腰三角形的判定，勾股定理，分类讨论是解题关键． 当点P在上运动时，，为等腰三角形，，则，即可求出t的值；当点P在上运动时，为等腰三角形，分三种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：当点P在上运动时，， ∵为等腰三角形，， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：6 当点P在上运动时， ∵ ∴， 当为等腰三角形时， 有三种情况∶①当时 ∴， 解得：； ②当时，过点P作，如图， ∴E是的中点， ∴, 设边上的高为h,则, 解得：， ∵ ∴， 即 解得； ③当时，过点C作，如图∶ ∵， ∴， ∴ ∴， 即， 解得：， 综上：当点P在上运动时，则点P出发12或13或秒时，为等腰三角形 故答案为：12或13或． 三、解答题 11．（2026八年级·全国·专题练习）已知为等腰三角形，它的一个外角为，求的度数． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后用内角和定理或三角形外角的性质求的度数即可． 【详解】解：当是顶角，且的外角是时，； 当是顶角，且或的外角是时，故底角； 当是顶角，且或的外角是时，底角为， 故顶角； 当是顶角，且的外角是时，． 综上所述，的度数为或或． 12．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，若点P是边上的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从运动，同时点Q从以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．在运动过程中，设运动时间为t，当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键；由题意可分当时，当时，进而进行分类求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴当点Q到达点C时，所需时间为秒，点P到达点B的时间为秒，到达终点A的时间为秒， 由题意可分： ①如图1，当时， ∴， ∴， ∴． ， ，解得：． ②如图2，当时， ， ， ， 若，则，解得：； 若时，则，解得：． 综上所述：当t为时，为直角三角形． 13．（25-26八年级上·贵州遵义·期中）已知是的三边长，． (1)求的取值范围． (2)若是等腰三角形，的周长是多少． 【答案】(1) (2)15或18 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，等腰三角形的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可； （2）根据，c必须与a或b相等，再分两种情况：和，结合（1）所求的c的取值范围，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵是的三边长， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴c必须与a或b相等， 当时，满足，即此时能构成三角形， ∴此时的周长； 当时，满足，即此时能构成三角形， ∴此时的周长； 综上所述，的周长是15或18． 14．（24-25八年级上·福建南平·期中）阅读：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．根据材料及所学知识，解决下列问题：如图1，在中，，，，动点从点出发，沿射线运动，动点从点出发，沿射线运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题： (1)当为多少时，是等腰三角形？请说明理由． (2)当为多少时，是直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)或时，是等腰三角形，见解析 (2)或时，是直角三角形，见解析 【分析】（1）由题知，，，再分两种情况：①当点，点在线段，上运动时，即时；②当点，点在线段，延长线上运动时，即时；分别根据等腰三角形的性质列出方程，求解即可； （2）分情况讨论，根据直角三角形的性质列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：，， ， 由题知，， ①当点，点在线段，上运动时，即时 是等腰三角形 是等边三角形 ， 解得， ②当点，点在线段，延长线上运动时，即时 是等腰三角形 ， 解得， 综上所述，或时，是等腰三角形 （2）解：当点，点在线段，上运动时，即时 ①当时 ， ， 解得， ②当时 ， ∴，      解得， 当点，点在线段，延长线上运动时，是钝角三角形，不符合题意，舍去. 综上所述，或时，是直角三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 15．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点的运动时间为秒，连接． (1)当秒时，求的长度； (2)当为等腰三角形时，求的值； (3)过点作于点，连接，在点的运动过程中，当平分时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或或12 (3)或 【分析】（1）先求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长即可； （2）分3种情况进行讨论求解即可； （3）分两种情况：①点P在线段上时，先证，得出，，再由勾股定理求出，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，同①得，得出，，再由勾股定理得，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意，当时，， ∴， 在中，，，， ∴； （2）解：由题意，， ∵，，， ∴， 当为等腰三角形时，分3种情况： ①，如图，则：，， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得； ②，则； ③，如图： ∵，即， ∴， ∴； 综上：或或12； （3）解：①点P在线段上时，过点D作于E，如图1所示： 则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，如图2所示： 同①得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为或时，平分． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解本题的关键． 16．（25-26八年级上·全国·单元测试）（综合探究）点是边长为3cm的等边的边上的动点，点从点出发，沿线段向点运动． (1)如图1，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，交于点，连接． ①当为何值时，是直角三角形？ ②在，运动的过程中，会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交于点，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1)①或；②不会发生变化， (2)1 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，一元一次方程动点问题，等腰三角形的判定，较为综合，根据题意分情况讨论是本题的关键． （1）①当是直角三角形时，分或时两种情况列方程，即可算出t的值；②根据证得，得到，根据三角形外角的性质得到，即可证明； （2）当是等腰三角形时，，然后即可证明，即可根据题意求出t的值． 【详解】（1）解：①∵等边的边长为3cm， ∴，， 根据题意得：，， ∵是直角三角形， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，， ∴， ， 解得． 当的值为1或2时，是直角三角形． ②不会发生变化，． 是等边三角形， ，． 在和中， ， ， ． ， ． 故不会发生变化，． （2）解：， 当是等腰三角形时，， ． ， ， ，即． ， ，解得． 故当的值为1时，是等腰三角形． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题10等腰（直角）三角形中的分类讨论思想 目录 A题型建模·专项突破 题型一、等腰三角形的边长未定求周长时未分类讨论… 题型二、等腰三角形中腰和底未定求角度时未分类讨论.3 题型三、三角形的形状不明时与高线及其他线结合时未分类讨论 5 题型四、求有关等腰三角形中的边长时未分类讨论… 题型五、求有关直角三角形中的边长时未分类讨论… ..16 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、等腰三角形的边长未定求周长时未分类讨论 1.(25-26八年级上福建厦门月考)己知等腰三角形的两边长为3cm、5cm,则它的周长为 2.(25-26八年级上全国·周测)己知等腰三角形的周长为18cm,一边长为7cm,则另外两边的长分别 为 3.(2425八年级上江苏扬州期末)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍 长三角形”，若等腰ABC是“倍长三角形”，腰AB的长为6，则ABC的周长为 4.(25-26八年级上·黑龙江牡丹江·月考)在ABC中，AB=AC,AC边上的中线BD将ABC的周长分为 12cm和15cm两部分，求BC的边长. 题型二、等腰三角形中腰和底未定求角度时未分类讨论 5.(25-26八年级上江苏月考)等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是 6.(25-26八年级上江苏南通期中)已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为 7.(25-26八年级上江苏镇江·月考)在等腰三角形ABC中，已知∠A=40°，则顶角的大小为 度。 8.(25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末)ABC中，∠ABC=30°，∠ACB=40°，点D在直线BC上，连接 AD,若AC=DC,则∠BAD的度数为一· 题型三、三角形的形状不明时与高线及其他线结合时未分类讨论 9.已知等腰ABC,AB=AC,，过点B的一条直线把这个三角形分成两个等腰三角形，则LC=_ 10.(25-26八年级上广东汕头·月考)已知AD,CE分别是等腰三角形ABC的高线与角平分线，且AD,CE相 交于F.若LB=70°，则∠CFD的度数为」 11.(25-26八年级上·广东汕头月考)已知AD,CE分别是等腰三角形ABC的高线与角平分线，且AD,CE相 1/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 交于F.若∠B=70°，则∠CFD的度数为 12.在ABC中，∠C为钝角，∠A=48°，如果经过ABC其中一个顶点作一条直线能把ABC分成两个 等腰三角形，那么∠C的度数为 题型四、求有关等腰三角形中的边长时未分类讨论 13.(25-26八年级上河北保定·期中)如图，在ABC中，AB=AC,∠B=30°，点D在边BC上（点D与 B,C不重合)，作∠ADE=30°，DE与边AB相交于点E.若ADE是等腰三角形，则∠CAD度数为 D 14.(25-26八年级上全国假期作业)如图，在ABC中，AB=AC,∠B=50°，点D在线段BC上运动（点 D不与点B,C重合)，连接AD,作∠ADE=50°，DE交线段AC于点E.当ADE是等腰三角形时， ∠BAD的度数为 15.(25-26八年级上浙江宁波期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,AB=10,动点D从 点A出发，沿线段AB以每秒1个单位的速度向B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F,连接 AF,CD,设点D运动时间为t秒.当△ABF是等腰三角形时，则t=秒. 16.(25-26八年级上江苏宿迁月考)如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=3,AC=4,在直线BC上 找一点P,使得△ABP为以AB为腰的等腰三角形，则PC的长度为_ 2/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型五、求有关直角三角形中的边长时未分类讨论 17.(24-25七年级下·全国课后作业)如图，已知P是射线0N上一动点，∠0=40°.当∠A的度数为 时，△AOP为直角三角形. P N 18.(24-25八年级上河南周口期末)如图，等腰三角形ABC的底边AC为8cm,腰AB为5cm,一动点Q (与点A,C不重合)在底边上从点C以2cm/s的速度向点A移动.当动点Q运动了一 S时， △BQC是直角三角形. 19.(24-25八年级上浙江宁波期中)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=√3+1，点E, F分别是BC,AC边上的动点，沿EF所在直线折叠∠C,使点C的对应点C始终落在边AB上，若 △BEC'是直角三角形时，则BE的长为 20.(24-25八年级上·河南驻马店阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，BC=6√5， D是边BC上的一点（不与点B,C重合），连接AD,将△ACD沿AD折叠，使点C落在点E处.当BDE 是直角三角形时，CD的长为一 E ▣. D B B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26八年级上·云南大理期末)己知等腰三角形的两边长分别为2和3，则此等腰三角形的周长为() A.7或8 B.6或10 C.6或7 D.7或10 3/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(25-26八年级上安徽合肥期末)已知等腰三角形中一个内角的度数为50°，则该等腰三角形底角的度数 为() A.50 B.50°或659 C.65° D.55°或659 3.(24-25八年级上·北京·期末)己知等腰三角形的周长为25cm,一边长为11cm,那么这个等腰三角形的 腰长为() A.11cm B.7cm C.14cm D.7cm或1lcm 4.(25-26八年级上·安微准南月考)已知△ABC≌△DEF,AB=AC,若ABC的周长是22cm, BC=4cm,则aDEF的边长可能为() A.4cm B.9cm C.8cm或4cm D.4cm或9cm 5.(25-26八年级上·贵州黔西·期末)己知等腰三角形ABC的周长为18，BC=8,△ABC与aDEF全等，则 △DEF的边DE=() A.2 B.5或8 C.2或5或8 D.2或7或8 二、填空题 6.(25-26八年级上·辽宁丹东·期末)等腰三角形的一边长是6，周长是16，则其另外两边长是 7.(25-26八年级上陕西西安期末)等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30°，则该等腰三角形的顶 角的度数是 8.(25-26八年级上陕西延安期末)我们称等腰三角形的腰长与其底边长的比值为这个等腰三角形的“和谐 比”.若等腰三角形ABC的周长为20，其中一边长为6，则这个等腰三角形的和谐比”为 9.(22-23七年级下.江苏苏州月考)如果三角形的两个内角α与B满足20+B=90°，那么我们称这样的三 角形为准直角三角形”.如图，在ABC中，∠C=90°，∠ABC=50°，P是射线CB上一点，且△ABP是“准 直角三角形”，则∠APB的所有可能的度数为 B 10.(22-23八年级上·浙江温州期中)如图，在ABC中，∠C=90°，BC=30cm,CA=40cm,动点P从点 C出发，以5cms的速度沿折线C→A→B移动到B,当点P在CA上运动时，则点P出发 秒时， △BCP为等腰三角形；当点P在AB上运动时，则点P出发 秒时，△BCP为等腰三角形. 4/6 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 11.(2026八年级全国.专题练习)已知ABC为等腰三角形，它的一个外角为100°，求∠B的度数， 12.(25-26八年级上·全国·单元测试)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6,若点P是边AB上 的一个动点，以每秒3个单位的速度按照从A→B→A运动，同时点Q从B→C以每秒1个单位的速度运 动，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.在运动过程中，设运动时间为，当t为何值时， BPQ为直角三角形？ 13.(25-26八年级上贵州遵义期中)已知a,b,c是ABC的三边长，a=4,b=7. (1)求c的取值范围 (②)若ABC是等腰三角形，ABC的周长是多少. 14.(24-25八年级上·福建南平.期中)阅读：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角 边等于斜边的一半.根据材料及所学知识，解决下列问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， BC=16cm,动点P从点A出发，沿射线AB运动，动点Q从点B出发，沿射线BC运动，如果动点P以 4cm/s,Q以2cms的速度同时出发，设运动时间为t(S),解答下列问题： P 图1 备用图 备用图 (1)当t为多少时，△PBQ是等腰三角形？请说明理由. (2)当t为多少时，△PBQ是直角三角形？请说明理由. 15.(25-26八年级上浙江杭州月考)如图，己知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=12,D是 AC上的一点，CD=2,点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时 间为t秒，连接AP (1)当t=3秒时，求AP的长度 (2)当aABP为等腰三角形时，求t的值； (3)过点D作DE⊥AP于点E,连接PD,在点P的运动过程中，当PD平分∠APC时，直接写出t的值. 16.(25-26八年级上·全国·单元测试)（综合探究）点P是边长为3Cm的等边ABC的边AB上的动点，点 P从点A出发，沿线段AB向点B运动. 5/6 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 P M D B Q 图1 图2 (I)如图1，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，动点P,Q都以1cm/s的速度同时出发，设 运动时间为(s,连接AQ,CP交于点M,连接PQ ①当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ ②在P,Q运动的过程中，∠CM但会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)如图2，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，连接P2交AC于点D,动点P,Q都以1cm/s 的速度同时出发，设运动时间为(s,连接PC,当t为何值时，△DCQ是等腰三角形？ 6/6