专题09 巧构等腰三角形的基本模型（4大题型）（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题09巧构等腰三角形的基本模型 目录 A题型建模·专项突破 题型一、利用平行线+角平分线构造等腰三角形… 题型二、过腰或底作平行线构造等腰（边）三角形.6 题型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形.13 题型四、利用倍角关系构造新等腰三角形21 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、利用平行线+角平分线构造等腰三角形 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题.平行线、角平分线 及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。（简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。 图1 图2 图3 条件：如图1，OO平分∠MON,过OO的一点P作PQON结论：△OPQ是等腰三角形： 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE‖BC。结论：△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在△ABC中，BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,过点O作BC的平行线与AB,AC分别相 交于点M,N.结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 1.(25-26七年级上山东济宁.期中)如图，己知BD平分∠ABC,AD∥BC,且AC=AD D (I)求证：△ABD为等腰三角形； (2)判断∠C与∠D的数量关系，并说明理由. 2.(25-26八年级上陕西西安·月考)如图，在ABC中，CD平分∠ACB,交AB于点D,过点D作 1/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 DE∥BC交AC于点E,F为CD的中点，连接EF. D B (I)求证：△CDE为等腰三角形； (2)若LA=80°，∠B=56°，求∠CEF的度数. 3.(25-26八年级上陕西咸阳·期中)如图，在ABC中，AB=AC,D是BC边的中点，连接AD,BE平分 ∠ABC交AC于点E. (1)若∠C=40°，求∠BAD的度数； (②)过点E作EF∥BC交AB于点F,求证：△BEF是等腰三角形. 4.(1)如图1，ABC中，AB≠AC,∠ABC,∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB, AC于点E,F.图中有一个等腰三角形.猜想：EF与BE,CF之间有怎样的关系，并说明理由； (2)如图2，若AB=AC,其他条件不变，图中有-个等腰三角形；EF与BE,CF间的关系是一： (3)如图3，AB≠AC,若∠ABC的角平分线与ABC外角∠ACD的角平分线交于点O,过点O作 OE∥BC交AB于E,交AC于F.图中有-个等腰三角形.EF与BE,CF间的数量关系是- 图1 图2 图3 题型二、过腰或底作平行线构造等腰（边）三角形 模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形. 4 图①（作腰的平行线）图②（作底的平行线） 条件：如图I,若AC=BC,过点D作D作DEBC.结论：△ADE是等腰三角形 条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DEAB.结论：△CDE是等腰三角形 2/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.如图，BD是ABC的角平分线，DE∥BC,交AB于点E. D (1)求证：△DEB是等腰三角形. (2)当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由. 6.(25-26八年级上广东广州期中)如图，AD为ABC的角平分线，E为BC的中点，EF∥AD交BA的 延长线于点F,交AC于点G, F 6 D E (1)求证：△AFG为等腰三角形. (2)求证：BF=CG. ③)求B+AC的值. CG 7.(1)如图1，ABC为等边三角形，动点D在边AB上，动点E在边AC上.若这两点分别从点B,A同 时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接CD,BE交于点P,则在动点D,E的 运动过程中，CD与BE之间的数量关系是 D 图1 图2 图3 (2)如图2，若把(1)中的“动点D在边AB上，动点E在边AC上”改为“动点D在射线BA上运动，动点 E在射线AC上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由 (3)如图3，若把(1)中的“动点D在边AB上"改为“动点D在射线CB上运动”，连接DE,交AB于点M, 其他条件不变，则在动点D,E的运动过程中，DM与EM之间存在怎样的数量关系？请写出简要的证明过 程 8.(25-26八年级上·福建莆田·期中)数学课上，老师出示了如图中的题目 3/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图，在等边ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC.试确定线段AE与DB的大小 关系，并说明理由。 D B D B 图1 图2 小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答： 【特殊情况，归纳猜想】 (1)如图1，当E为AB的中点时，确定线段AE与BD的大小关系，并说明理由； 【特例启发，推理证明】 (2)如图2，当E不是AB的中点时，小优和小秀认为(1)中的结论仍然成立，请你帮助小优和小秀完成 证明过程； 【拓展延伸，问题解决】 (3)当点E在BA的延长线上时，点D在BC边上，且CE=DE,请自己画图，并探究(1)中的结论是否 发生变化？写出你的猜想并加以证明。 题型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 模型解析：如图，△ABC中，AD平分∠BAC,AD⊥BC,由“ASA”易得△ABD兰△ACD,从而得 AB=AC,BD=CD.即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形. D 9.某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，ABC为主梁框架，∠ABC 是桥墩支撑角度的2倍，即∠ABC=2LC,工程师计划在∠BAC的角平分线处安装钢架AD,交底梁BC于 点D,为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索BE,使得BE⊥AD,分别交AD,AC于点F,E. (I)求证：加固后的△ABE是等腰三角形； (2)经测量，主梁全长AC为13米，关键节点间距BD为5米，求原始支撑段AB的长度. 10.(25-26八年级上浙江杭州期中)如图，AD为ABC的角平分线，CE⊥AD交AD的延长线于点E, 4/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BAD=2∠DCE=2a. A D E (I)求证：△ABD为等腰三角形： (2)若DA=DC,BD=4,求DE的长； (3)求证：AD+AC=2AE. 11.(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON,点A为OM上 一点，过点A作AC⊥OP,垂足为C,延长AC交ON于点B,求证：△AOC≌△B0C. (2)【问题探究】如图2，在(1)的条件下，过点A作AD⊥0N,垂足为D,AD交OP于点E.若 AD=OD,试探究AC和OE的数量关系，并证明你的结论. (3)【拓展延伸】如图3，ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D在线段BC上，且 ∠BDE=】∠ACB,BE⊥DE于E,DE交AB于F,试探究BE和DF之间的数量关系，并证明你的结论， B N、B D 图1 图2 图3 12.利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①，OP平分∠MON.点A为OM上一点，过点A作 AC⊥OP,垂足为C,延长AC交ON于点B,可证得△A0C≌△B0C,则AO=BO,AC=BC. A 图O 图② 图③ 图④ 【问题提出】 (1)如图②，在ABC中，CD平分∠ACB,AE⊥CD于点E,若∠EAC=63°，∠B=37°，通过上述构 造全等的办法，求∠DAE的度数； 【问题探究】 (2)如图③，在ABC中，AB=AC,LBAC=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延长 线上，试探究BE和CD的数量关系； 5/11 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【问题解决】 (3)如图④是一块肥沃的土地ABC,其中AC边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形 土地△ADC进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作∠ACB的平分线CD; ②再过点A作AD⊥CD交CD于点D 己知BC=13米，AC=10米，ABC面积为20平方米，求划出的△ACD的面积. 题型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形. B 图① 图② 图③ 条件：如图1，若∠ABC-2∠C,作BD平分∠ABC.结论：△BDC是等腰三角形， 条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD.结论：△ADC是等腰三角形 条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB,交BA的 延长线于点D.结论：△DBC是等腰三角形 13.(25-26八年级上陕西榆林期中)如图，在ABC中，∠ABC=2LC,∠BAC的平分线AD交BC于点 D,过点B作BF⊥AD于点F,延长BF交AC于点E, B D (I)求证：△ABE为等腰三角形： (2)连接DE,若LC=36°，求∠EDC的度数. 14.将△ABC(AB>AC)沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上的点E处. B D D 图1 图2 (I)在图1中，若AB=8,AC=6,S△ACD=9,求BE; (2)在图2中，若∠C=2∠B, 6/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①求证：BE=ED. ②若AD=AC,求∠BAC的度数 15.(25-26八年级上江苏连云港·期中)综合与实践 【解决问题】 图① 图② 图③ (I)如图①，在ABC中，AD平分∠BAC,交BC于点D,且∠B=2LC.求证：AB+BD=AC. (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形ABCD中，已知LBAD=60°， ∠D=110°，∠ACD=40°，∠ACB=80°，CE是ABC的高，AD=8,EB=2.求AB的长. 16.(24-25八年级上·吉林长春·月考)问题提出：学习了等腰三角形，我们知道：等边对等角；反过来，等 角对等边.数学兴趣小组在活动时发现，在一个三角形中，如果两条边不相等，它们所对的角也不相等， 其中大边对大角，思路分析：解决不等边关系问题时，往往采用在长边上截取短边或者延长短边，构造全 等三角形解决问题，这种方法称为截长补短法. D B 图1 图2 图3 问题具化：如图1，在ABC中，AB>AC,求证：∠C>LB; 问题解决：如图2，在AB上找一点E,使AE=AC,过点A作∠BAC的平分线，交BC于点D,连接DE.请 你补全余下的证明过程： 问题拓展： 如图3，在ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB=3,AC=5,BD=2,∠C=26°，则∠ADB= 度 B 综合攻坚·能力跃升 一、解答题 1.(25-26八年级上江苏南京·月考)“角平分线”，“平行线”与“等腰三角形”三者关系密切. 7/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 图1 图2 (I)如图1，已知BC平分∠ABD,AC∥BD.求证：ABC是等腰三角形： (2)如图2，已知在ABC中，AB=AC,AE平分ABC的外角∠CAD,求证：AE∥BC. 2.(25-26八年级上·甘肃期末)如图，在等边三角形ABC中，点E在边AB上，点D在CB的延长线上， 且ED=EC. E D D B 图1 图2 (I)【特例探究】如图1，若点E为AB的中点，求证：AE=DB; (②)【类比迁移】如图2，若点E在边AB上任意一点，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明： 若不成立，请说明理由. 3.(25-26八年级上四川广元期中)(1)【问题情境】如图1，OP平分∠M0N.点A为0M上一点，过点 A作AC⊥OP,垂足为C,延长AC交OW于点B,求证：AC=BC; (2)【问题探究】如图2，ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD 的延长线上，求证：CD=2BE; W B 图1 图2 4.(24-25八年级上河南南阳期末)数学兴趣小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形； 有角平分线时，常过角平分线上一点作平行线构造等腰三角形.如图(1)，P为∠A0B的平分线OC上一点， 过点P作PD∥OB交OA于点D,易证△POD为等腰三角形. B D P B 图(1) 图(2) 图3) 8/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)基本运用：如图(2)，把长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B处，重合部分的△ACE是 等腰三角形吗？为什么？ (②)解决问题：如图(3)，在四边形ABCD中，AD∥BC,E为CD的中点，且AE平分∠BAD,连接BE,求 证：AE⊥BE. 5.(25-26八年级上·四川凉山期末)在边长为Q的等边ABC中，点P从点B出发沿射线BA移动，同时点 Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P、Q移动的速度相同，连接PQ与BC边所在的直线相交于点D. 图① 图② 备用图 (1)如图①，当点P为AB的中点时，CD的长为 (②)如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E,当点P、Q在移动过程中时，试确定BE、CD与边长Q的 数量关系，并说明理由， 6.(25-26八年级上湖南衡阳·期中)(1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1 ,OP平分LMON,点A为OM上一点，过点A作AC⊥OP,垂足为C,延长AC交ON于点B,可得 △A0C≌△B0C,则有AO=B0,AC=BC(即点C为AB的中点).请你写出证明△A0C≌△B0C的过 程 (2)【类比解答】如图2，在ABC中，CD平分∠ACB,AE⊥CD于E,若∠EAC=65°，∠B=35°，请 通过上述构造全等的方法，求∠DAE的度数， (3)【拓展延伸】如图3，ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD 的延长线上，试探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论 N、B M B 图1 图2 图3 7.(24-25八年级上·内蒙古乌兰察布期中)【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时， 我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形 ③ ④ (1)如图①，若∠ABC=2LC,可作∠ABC的平分线BD交AC于点D,则△DBC是等腰三角形，请给出 9/11 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 证明； (2)如图②，若LABC=2LC,可延长CB至点D,使BD=BA,连接AD,则 是等腰三角形： (3)如图③，若∠B=2LACB,以C为顶点，CA为一边，在ABC外作LACD=,交BA的延长线 于点D,则△DBC是等腰三角形； 【解决问题】 (4)如图④，在ABC中，∠C=2∠B,BC=2AC,求证：∠A=90°. 8.(2024辽宁.一模)(1)在数学教学活动公组讨论时，锦州组老师提出这样一个问题： 在几何题自中如果有∠BAC=2∠ABC的条件，同学们通常如何做辅助线呢？根据日常的学习交流和老师的 点拨，同学们会发现了这样几种方法： ①如图，作∠BAC的角平分线，构造等腰三角形.②如图b,作AC=AD,构造等腰三角形 ③如图c,作∠BCD=∠B,构造等腰三角形.④如图d,作∠ABD=∠ABC,构造等腰三角形. 图a 图b 图c 图d 参考以上方法同学们就会解决下面问题： 如图1，在ABC中，∠C=2∠A,AC=2BC,求证LB=90°， B 图1 【类比分析】 (2)如图2，在ABC中，点D、E两点分别在线段AB、BC上，LAGC=2LB,AE=CD,过点E作 EF⊥AB.如图2，求证AD=2BF. D B E E 图2 备用图 【学以致用】 (3)如图3，ABC为等边三角形，∠AFB=2∠ADB,若AF=10,CD=8,求BF的长. 10/11 专题09 巧构等腰三角形的基本模型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用平行线+角平分线构造等腰三角形 1 题型二、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 6 题型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 13 题型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用平行线+角平分线构造等腰三角形 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 1．（25-26七年级上·山东济宁·期中）如图，已知平分，，且． (1)求证：为等腰三角形； (2)判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的性质，平行线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由角平分线的性质得到，平行线的性质得到，进而得到，即可得出结论； （2）由，，得到，进而得到，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 2．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在中，平分，交于点，过点作交于点．为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)的度数为 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理和角平分线的定义，灵活运用所学知识是解决本题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，进而即可求证； （2）根据三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可得到的度数． 【详解】（1）证明：平分交于点， ， ， ， ， ∴为等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为的中点，且为等腰三角形， ∴， ∴， ∴在中，． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，是边的中点，连接平分交于点． (1)若，求的度数； (2)过点作交于点，求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识， （1）利用等腰三角形三线合一的性质即可得到，再利用等腰三角形的性质即可求出的度数，即可求解； （2）只要利用角平分线的定义和平行线的性质证明，即可解决问题． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴， ，为的中点， ， ， ∴； （2）证明：平分， ， 又∵， ∴， ∴， ， 是等腰三角形． 4．（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 【答案】（1）2， ，理由见解析．（2）5，（3）2， 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质得到角相等，再进行等量代换得到，，再利用等角对等边，得到，，即可解题． （2）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质，再进行等量代换得到、、、，再利用等角对等边，得到对应线段相等，即可解题． （3）本题解法与（1）类似． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，的平分线交于O点， ，，     ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2． （2）解：，即为等腰三角形， ， ，的平分线交于O点， ， ，即为等腰三角形， ， ，，， ，，，即为等腰三角形， ，， 和为等腰三角形， ． 综上所述，共有5个等腰三角形， 故答案为：5，． （3）解：的角平分线与外角的角平分线交于点O， ，， ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2，． 题型二、过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形. 条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DE//BC. 结论：△ADE是等腰三角形. 条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE//AB. 结论：△CDE是等腰三角形. 5．如图，是的角平分线，，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【知识点】角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，角平分线定义，熟练掌握等腰三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由角平分线得．再根据平行线的性质得，进而．即可证明结论成立； （2）由等边对等角及平行线的性质得，，从而．由（）得，，从而． 【详解】（1）证明：证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 由（）得， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，为的角平分线，E为的中点，交的延长线于点F，交于点G． (1)求证：为等腰三角形． (2)求证：． (3)求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据为的角平分线，，证得进而证得为等腰三角形； （2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的判定方法，证得，根据全等三角形的性质证得，根据角平分线的性质证得，进而证得； （3）由（1）知，根据、，证得，进而证得即可． 【详解】（1）证明：， ， 为的角平分线 为等腰三角形； （2）证明：延长至点，使，连接， 为的中点 在和中， 、 、 为的角平分线 ； （3）解：由（1）知， 、、 ． 7．（1）如图1，为等边三角形，动点D在边上，动点E在边上．若这两点分别从点B，A同时出发，以相同的速度分别由点B向点A和由点A向点C运动，连接交于点P，则在动点D，E的运动过程中，与之间的数量关系是______________________． （2）如图2，若把（1）中的“动点D在边上，动点E在边上”改为“动点D在射线上运动，动点E在射线上运动”，其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）如图3，若把（1）中的“动点D在边上”改为“动点D在射线上运动”，连接，交于点M，其他条件不变，则在动点D，E的运动过程中，与之间存在怎样的数量关系？请写出简要的证明过程． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3），证明见详解 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意得，和，即可证明，则有； （2）由题意得，，进一步得，结合等边三角形的性质即可证明，有； （3）作交于H，则，，，有为等边三角形，进一步得，即可证明，则． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴，， 由题意得，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）成立， 理由如下：由题意得，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （3）， 理由如下：作交于H，如图， ∵为等边三角形，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·福建莆田·期中）数学课上，老师出示了如图中的题目． 如图，在等边中，点在上，点在的延长线上，且．试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答： 【特殊情况，归纳猜想】 （）如图，当为的中点时，确定线段与的大小关系，并说明理由； 【特例启发，推理证明】 （）如图，当不是的中点时，小优和小秀认为（）中的结论仍然成立，请你帮助小优和小秀完成证明过程； 【拓展延伸，问题解决】 （）当点在的延长线上时，点在边上，且，请自己画图，并探究（）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 【答案】（），理由见解析；（）见解析；（）不发生变化，证明见解析 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）过点作交于点，可证是等边三角形，得到，再证明，得到，即可求证； （）过点作交的延长线于点，同理（）证明即可求证； 本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（）解：，理由如下： ∵是等边三角形，点为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （）证明：如图，过点作交于点， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （）不发生变化，证明如下： 如图，过点作交的延长线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 题型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 模型解析：如图， 中,AD平分 由“ASA”易得 从而得 即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形. 9．某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架，交底梁于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索，使得，分别交，于点F，E． (1)求证：加固后的是等腰三角形； (2)经测量，主梁全长为13米，关键节点间距为5米，求原始支撑段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)原始支撑段的长度是8米 【分析】（1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：连接，   ，平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ． 10．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，为的角平分线，交的延长线于点，． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的长； (3)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】利用三角形内角和定理可证，根据等角对等边可证结论成立； 过点作，利用三角形内角和定理可证，根据等腰三角形的三线合一定理可知，利用可证，根据全等三角形的性质求知； 过点作，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据等等腰三角形的三线合一定理可证结论成立． 【详解】（1）证明：， ， 交的延长线于点， ， ， ， 在中，， ， ， ； （2）解：如下图所示，过点作， 由可知， 为的角平分线， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ，，， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ； （3）证明：如下图所示，过点作， ， ， 由可知，， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， ． 11．（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，求证：． （2）【问题探究】如图2，在（1）的条件下，过点作，垂足为交于点．若，试探究和的数量关系，并证明你的结论． （3）【拓展延伸】如图3，中，，点在线段上，且于交于，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）；见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识， （1）根据“”证明即可得出结论； （2）先证，再证得出，进而即可得解； （3）如图：过点作，交的延长线于点，与相交于，证出和，然后进行线段的等量代换即可得解； 解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】（1）在和中， ， ； （2），理由如下： 由（1）得，， ，即， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）．理由如下： 如图：过点作，交的延长线于点，与相交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ，即， ． 12．利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图，在中，平分，于点，若，，通过上述构造全等的办法，求的度数； 【问题探究】 （2）如图，在中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，他进行了如下操作： 作的平分线； 再过点作交于点 已知米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 【答案】（）；（），理由见解析；（）． 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】（）延长交于点，由已知可知，再由等腰三角形的在得 ，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （）延长交于点，证，得，再由已知可知，即可得出结论； （）延长交于， 由已知可知，，则再由三角形面积关系得，即可得出结论． 【详解】（）如图， 延长交于点， 由已知可知， ∴， ∵， ∴； （），证明如下： 如图，延长交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由已知可知，， ∴； （）如图，延长交于， 由已知可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形． 条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC. 结论：△BDC是等腰三角形. 条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD. 结论：△ADC是等腰三角形. 条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延长线于点D. 结论：△DBC是等腰三角形. 13．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，延长交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）证明即可求证； （）由已知可得，即得，进而得到，再由垂直平分得到，即得到，再根据三角形的外角性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质等，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：平分，， ， ， ∴， 即， 为等腰三角形； （2）解：， ， 由（）得，为等腰三角形， ∴， ∴， ，为等腰三角形， ∴， ∴垂直平分， ， ∴， ∴． 14．将沿折叠，使点刚好落在边上的点处． (1)在图1中，若，，，求； (2)在图2中，若， ①求证：． ②若，求的度数． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查了折叠，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据折叠的性质可求出，即可求解； （2）根据折叠的性质可得出，，根据三角形外角的性质并结合已知可得出，则，最后根据等角对等边即可得证； ②设，则，，，根据等边对等角得出．根据折叠的性质可得出，则，根据三角形外角的性质得出，在中根据三角形内角和定理可求出，则，， 最后在中根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：由折叠性质得：， ∴， （2）①证明：沿折叠得到， ， ．， ， ， ； ②设，则，， ， ． 折叠， ∴． ， 在中，， 解得 ，， ∴． 15．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）综合与实践 【解决问题】 (1)如图①，在中，平分，交于点，且求证：． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键， （1）在上截取，使得，连接，由角平分线的定义可得，易利用证得，从而得到，，再由角度之间转换可得，根据等腰三角形的性质可得，即可推出； （2）在上截取，连接，在中，由三角形内角和可求得，从而易证得，得到，从而可推出，易证，得到，从而可推出的长． 【详解】（1）证明：在上截取，使得，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：在上截取，连接，如图所示： 在中，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 16．（24-25八年级上·吉林长春·月考）问题提出：学习了等腰三角形，我们知道：等边对等角；反过来，等角对等边．数学兴趣小组在活动时发现，在一个三角形中，如果两条边不相等，它们所对的角也不相等，其中大边对大角．思路分析：解决不等边关系问题时，往往采用在长边上截取短边或者延长短边，构造全等三角形解决问题，这种方法称为截长补短法． 问题具化：如图1，在中，，求证：； 问题解决：如图2，在上找一点，使，过点作的平分线，交于点，连接．请你补全余下的证明过程； 问题拓展： 如图3，在中，是的平分线，，则___________度． 【答案】问题解决：见解析；问题拓展： 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 问题解决：证明，得出，根据，即可得出答案； 问题拓展：在上取点E，使，连接，证明，得出，，，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：问题解决：在上找一点，使，过点作的平分线，交于点，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 问题拓展：在上取点E，使，连接，如图所示： ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 一、解答题 1．（25-26八年级上·江苏南京·月考）“角平分线”，“平行线”与“等腰三角形”三者关系密切． (1)如图1，已知平分，．求证：是等腰三角形； (2)如图2，已知在中，，平分的外角．求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查角平分线的应用、直线平行的判定与性质、三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质： （1）通过直线平行的性质和角平分线证明即可； （2）根据三角形外角的性质及角平分线证明即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）， ， ∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴， ， ． 2．（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在等边三角形中，点在边上，点在的延长线上，且． (1)【特例探究】如图1，若点为的中点，求证：； (2)【类比迁移】如图2，若点在边上任意一点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形． （1）先根据三线合一得到，然后由等边对等角得到，再证明，结合即可证明； （2）过点作交于点，证明即可． 【详解】（1）证明：∵等边三角形， ∴ ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下： 过点作交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·四川广元·期中）（1）【问题情境】如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，求证：； （2）【问题探究】如图2，中，，，平分，，垂足在的延长线上，求证：； 【答案】（1）见详解，（2）见详解， 【分析】（1）利用已知条件，证明，即可得出结论； （2）延长交延长线于F，求出，证明，推出，再证明，进而可得结论； 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图：延长交延长线于F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉全等三角形的判定． 4．（24-25八年级上·河南南阳·期末）数学兴趣小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形；有角平分线时，常过角平分线上一点作平行线构造等腰三角形．如图（1），P为的平分线上一点，过点P作交于点D，易证为等腰三角形．    (1)基本运用：如图（2），把长方形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，重合部分的是等腰三角形吗？为什么？ (2)解决问题：如图（3），在四边形中，，E为的中点，且平分，连接．求证：． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，得到，由折叠的性质可知，则， 可以得到，由此即可得到答案； （2）延长交延长线于点F，同（1）可证，然后证明得到，即可得到． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）如图所示，延长交延长线于点F， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴（三线合一定理）．    【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于添加辅助线，能够熟练掌握等腰三角形的性质与判定条件． 5．（25-26八年级上·四川凉山·期末）在边长为的等边中，点从点出发沿射线移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点、移动的速度相同，连接与边所在的直线相交于点． (1)如图①，当点为的中点时，的长为________ (2)如图②，过点作直线的垂线，垂足为，当点、在移动过程中时，试确定、与边长的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查三角形综合题、等边三角形的性质和判定、平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）过点作交于点，证明，推出即可； （2）分两种情形：当点在线段上时，；当点在线段的延长线上时，． 【详解】（1）解：如图①，过点作交于点， ∵是等边三角形， ． 是中点， ． 、的运动速度相同， ． ， ，，． 是等边三角形． ． ，． ． ． 故答案为：． （2）解：如图②，当点在线段上时，，理由如下： 作交于， 由（1）可知：， ． ， ． ． 如图②-1，当点在线段的延长线上时，，理由如下： 理由：作交的延长线于， ∵是等边三角形， ． 、的运动速度相同， ． ， ，，． 是等边三角形． ． ． ． ， ． ． 6．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）（1）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可得，则有，（即点为的中点）．请你写出证明的过程． （2）【类比解答】如图2，在中，平分，于，若，，请通过上述构造全等的方法，求的度数． （3）【拓展延伸】如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质．熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）角平分线得，垂直得，加公共边，利用证明全等即可； （2）延长交于点，利用角平分线和垂直构造，得到；再根据三角形外角性质进行计算即可； （3）延长、交于点，先证明，得到，再利用角平分线和垂直构造，得到，从而推出结论． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， （2）解：延长交于点， 平分， ， ， 又， ， ， ， ； （3）解：，理由如下， 延长、交于点， 则， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 又， ， ， ． 7．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）【阅读理解】在一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们可以通过以下三种方法转化倍角寻找等腰三角形． （1）如图①，若，可作的平分线交于点D，则是等腰三角形，请给出证明； （2）如图②，若，可延长至点D，使，连接，则______是等腰三角形； （3）如图③，若，以C为顶点，为一边，在外作______，交的延长线于点D，则是等腰三角形； 【解决问题】 （4）如图④，在中，，，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）（3）（4）见解析 【分析】本题考查三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等角对等边证明三角形为等边三角形，是解题的关键： （1）根据角平分线的定义，推出，即可得证； （2）利用等边对等角，三角形的外角，推出，即可得出结论； （3）根据等角对等边，证明是等腰三角形即可； （4）延长至点，使，取的中点，连接，证明，进而证明，推出为等边三角形，求出，利用三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：； （3）作，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）延长至点，使，取的中点，连接， 则：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 8．（2024·辽宁·一模）（1）在数学教学活动公组讨论时，锦州组老师提出这样一个问题： 在几何题自中如果有的条件，同学们通常如何做辅助线呢？根据日常的学习交流和老师的点拨，同学们会发现了这样几种方法： ①如图a，作的角平分线，构造等腰三角形．②如图b，作，构造等腰三角形． ③如图c，作，构造等腰三角形．④如图d，作，构造等腰三角形． 参考以上方法同学们就会解决下面问题： 如图1，在中，，，求证． 【类比分析】 （2）如图2，在中，点D、E两点分别在线段AB、BC上，，，过点E作．如图2，求证． 【学以致用】 （3）如图3，为等边三角形，，若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）作的平分线交于点E，作于点F．推出，得到，证明，即可证明； （2）在上作，在上作，得到，推出，证明，得到，，再证明，据此即可证明结论成立； （3）在上作，在上取点，使，连接，作，证明，推出，证明，设，则，，在中，求得，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：作的平分线交于点E，作于点F． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：在上作，在上作，连接，如图， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上作，在上取点，使，连接，作，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴， 在中，利用勾股定理得， 即， 解得， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $