专题07 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型（4大题型）（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

专题07 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 1 题型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 7 题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 14 题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 21 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 模型总结： 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：. 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，. ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A. 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D. 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，. ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）.即：2∠P=∠A+∠D. 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：. 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，. ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°.即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°. 1．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，的平分线，相交于点F，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题重点考查三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，正确理解和应用“三角形的内角和等于”是解题的关键．由，求得，因为，的平分线，相交于点F，所以，，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：在中，， ∴， ，的平分线，相交于点F， ，， ∴， ∴． 故选：C． 2．（25-26八年级上·山东滨州·期中）如图，在中，平分，平分，若，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的性质，熟知三角形内角和定理是解题的关键． 先根据三角形内角和定理求出的度数，再由平分，平分，得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：， ， 平分，平分， ， ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）综合与探究 【感知】如图1，在中，、分别是和的角平分线． 【应用】 （1）若，则___________；若，则________； （2）求与之间的关系并证明； 【拓展】 （3）如图2，在四边形中，、分别是和的角平分线，求与的数量关系． 【答案】(1) ； ； (2)，证明见解析； (3) 【分析】本题考查三角形内角和定理，外角性质定理，角平分线的定义；熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【详解】（1）解：若， ∵分别是和的平分线，，， ∴， ∴． 若， ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）解：；理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴ ； （3）解：． 如图，延长，交于点E，由（2）知，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 即． 4．（24-25七年级下·吉林长春·期中）【问题】 如图①，在中，，平分，平分．求的度数，对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：∵（三角形内角和180° ）． ∴　 　（等式性质）． ∵（已知）， ∴　 　（等量代换）． ∵平分 （已知）， ∴（角平分线的定义）． 同理，　 　； ∴　 　（等式性质）． ∵， ∴　 　（等式性质）． 【拓展】如图②，在中，，平分 ，平分 ． 则（ 　 　）． 【应用】如图③，在中，平分，平分 ，平分，平分．若，则　 　．    【答案】【问题】；；；；；【拓展】；【应用】 【分析】（1）由三角形的内角和可，从而求得，再角平分线的定义可得，，再次利用三角形的内角和可求∠D的度数； （2）仿照（1）即可求解； （3）结合（1）的过程，不难求的度数． 【详解】解：（1）∵（三角形的内角和定理）， ∴（等式性质）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． 同理，． ∴（等式性质）． ∵， ∴（等式性质）． 故答案为：；；；；； （2）∵（三角形的内角和定理）， ∴（等式性质）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． 同理，． ∴（等式性质）． ∵， ∴； 故答案为：； （3）∵平分，平分 ，平分，平分， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 题型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 模型总结： 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，. ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A. 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，. ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=.同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 5．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图，等腰中，，三角形的内外角的角平分线交于点，的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，三角形的外角的性质，角平分线的定义；根据题意得出三角形的外角性质得出，即可得出，根据三角形内角和定理求得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 三角形的内角的角平分线为， ， 平分外角， ， 在中，由三角形的外角性质，得， ， ， ； 故答案为：． 6．（25-26八年级上·山东济南·月考）如图，在中，，的平分线与的外角（）的平分线交于点；的平分线与的外角的平分线交于点，…，以此类推，则 （用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查三角形外角性质与角平分线规律探究，涉及知识点：三角形外角定理、角平分线的角的数量关系．解题方法是先推导与的关系，再归纳出递推规律；解题关键是利用外角定理建立角的等式，易错点是规律归纳时指数的对应关系．解题思路：先求，再推导，归纳出． 【详解】解：，， ， ， 而， ， ∴， 以此类推得，；， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·四川成都·期末）解答下列问题： (1)如图1所示，平分，平分，若，则______度； (2)如图2所示，平分，平分，求证； (3)如图3所示，平分，平分，平分，平分，平分、平分，，如此操作下去，直到平分．平分，若，请直接写出的值．（用含，的代数式表示，其中为正整数） 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查角平分线，三角形的外角和等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质，三角形的外角和，进行解答，即可． （1）根据角平分线的性质，则，，根据三角形的外角和，则，，等量代换，进行解答，即可； （2）根据角平分线的性质，则，，根据三角形的外角和，则，，等量代换，进行解答，即可； （3）根据（2）得到的结论，同理，，得到，进行计算，即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2）解：证明如下： ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：由（2）可得，， ∵平分，平分，平分，平分，平分、平分，， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（24-25七年级上·吉林长春·期末）【感知】如图①，在中，，的平分线与的平分线相交于点P．求的度数． 数学小组发现，利用三角形的外角性质和角平分线的定义，可以求出的度数． 证明：∵平分， ∴设，则． ∵平分的外角， ∴设．则． 在和中，由三角形外角性质得： 请你补全余下的证明过程． 【探究】如图②，在四边形中，，是四边形的一个外角．平分， 平分，则 ． 【应用】如图③，在五边形中，设，是五边形的一个外角，平分， 平分，则 （用含有的代数式表示） 【答案】[感知]见解析 [探究] [应用] 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形外角的性质，邻补角等知识．熟练掌握与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形外角的性质，邻补角是解题的关键． [感知]在和中，由三角形外角性质得：，，由，可得，即，然后求解作答即可； [探究]如图②，延长交于点，同理感知，，由题意知，，，然后计算求解即可； [应用]如图③，延长交于点，记的交点为，   同理探究，，由角平分线可得，设，则，在四边形中，，可求①，在 中，由三角形内角和定理可求②，由得，，计算求解即可． 【详解】[感知]证明：∵平分， ∴设，则． ∵平分的外角， ∴设．则． 在和中，由三角形外角性质得：，， ∵， ∴，即， 解得，， ∴的度数为． [探究]解：如图②，延长交于点， 同理感知，， 由题意知，， ∴， ∴， 故答案为：； [应用]解：如图③，延长交于点，记的交点为， 同理探究，， ∵平分， 平分， ∴， 设， ∴， 在四边形中，， ∴，即①， 在中，由三角形内角和定理可得，， ∵， ∴，即②， 得，， 解得，， 故答案为：． 题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 模型总结： 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，. ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A. 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD. 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD., 9．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，的平分线交于点O，． （1）的度数为 ． （2）若CD平分外角，交BO的延长线于点D，点E是的两外角平分线的交点，则的度数为 ． 【答案】 80° 10° 【分析】（1）根据三角形内角和定理，角的平分线定义解答即可． （2）根据三角形内角和定理，角的平分线定义，三角形外角性质解答即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角的平分线定义，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵BO平分，CO平分， ∴，. ∵，， ∴， ∴， ∴. （2）解：由（1）知. ∵点E是的两外角平分线的交点， ∴，， ∴ . ∵BO平分，CD平分外角， ∴，. ∵，， ∴ ， ∴. 10．（2026七年级下·全国·专题练习）在中，已知． (1)如图（1），角平分线和相交于点M，求的度数． (2)如图（2），外角平分线和相交于点N，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理：三角形内角和为．也考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义． （1）根据三角形内角和定理得到，则，再根据角平分线的定义得，则，得，即可求解； （2）根据三角形内角和定理和外角性质可得到． 【详解】（1）解：， ， ∵平分 平分， ， ， ， ， ， 当时，； （2）解：， ∵平分 平分， ， ， ∵， ， ∵， ， 即． 当时，． 11．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若与相交于点，，请直接写出，所满足的数量关系式； (3)如图，若，判断，的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】此题主要考查了平行线的性质及其判定、平角的定义，三角形内角和，角平分线的定义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练． （1）利用四边形的内角和和平角的定义推导即可； （2）利用角平分线的定义，四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可； （3）利用角平分线的定义以及平行线的判定与性质即可解答． 【详解】（1）解：四边形的内角和为， ， 和是四边形的外角， ，， ， ； （2）解：． 理由：如图1，连接BD，    由（1）有，， 、分别平分四边形的外角和， ， ， ， 在中，， 在中，，， ， ， ， ． 故答案为； （3）解：． 理由：如图，过点作，    则， ， 由（1）知， ， ， 又、分别平分和， ， ， 又， ， ， 又， ． 12．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）． (3)如图③，延长线段、交于点，当___________时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． （1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：． ， ∵点P是和的平分线的交点， ； （2）∵外角，的角平分线交于点Q， ， ， ， ， ， ∵， ； （3）延长至F，   为的外角的角平分线， 是的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ，即； ， ， ． 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或． 题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 模型总结： 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 13．如图，是的角平分线，是线段延长线上一点，于点，当时，的度数为 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及垂直的定义进行计算即可． 【详解】解：设，则， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．在中，，，是的角平分线．    （1）如图1，若是的高，则的度数为 ． （2）如图2，若是的角平分线，G是延长线上一点，过点G作于点H，则的度数为 ． 【答案】 /10度 /30度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理和外角的性质，角平分线的定义，高线的定义，求出是解本题的关键． （1）首先根据三角形内角和定理得到，然后由角平分线概念得到，然后由三角形外角的性质得到，进而求解即可； （2）首先由角平分线的概念得到，然后由三角形外角的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的高， ∴ ∴； （2）∵是的角平分线 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：；． 15．（24-25七年级下·全国·期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究． 【习题回顾】如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； 【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，则与还相等吗？说明理由； 【探究延伸】如图3，在中，在边上存在一点D，使得，的角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】习题回顾：证明见解析；变式思考：相等，理由见解析；探究延伸：，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 习题回顾：先证明，，再利用三角形的外角的性质可得：，，从而可得结论； 变式思考： 先证明，，结合， 可得； 探究延伸： 先证明，， 可得， 结合，，，， 可得， 从而可得答案． 【详解】习题回顾：证明：∵，是高， ∴，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴； 变式思考：， 证明：∵为的角平分线， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 探究延伸：， 证明：∵C、A、G三点共线，、为角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴． 16．已知：在中，，平分交于点．    (1)如图①，于点，若，求的度数； (2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数； (4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由． 【答案】(1)(2)(3)(4)的度数不会发生改变，理由见解析 【分析】（1）首先根据三角形内角和定理可得，再结合角平分线的定义可知，然后由“直角三角形两锐角互余”可得，进而可得，即可获得答案；（2）结合（1）可得结论； （3）结合，易得，再证明，由“两直线平行，同位角相等”可得，即可获得答案； （4）证明，由“两直线平行，内错角相等”可得，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵在中，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∴， 当时，； （2）由（1）可知，，∴当时，∴； （3）∵，而，∴， ∵，，∴，∴； （4）的度数大小不发生改变．理由如下： ∵，，∴，∴． 一、单选题 1．（24-25八年级上·新疆·期末）如图，是的角平分线，是的角平分线，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是． 先根据角平分线的定义得到，，再根据三角形内角和定理得，，根据等式的性质变形得，然后把代入计算即可． 【详解】解：∵分别平分和， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 而， ∴． 故选：C． 2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，的角平分线与外角的平分线交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角的定义及性质，角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据角平分线的意义求得，再利用三角形内角和定理求得，然后三角形外角的性质求得，根据角平分线的意义求得，再根据三角形外角的性质求得． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵平分， ∴， 在中，是外角， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 3．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，已知中，与，相邻的外角的角平分线交于点D，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了三角形外角的性质与角平分线的定义，解题的关键是利用三角形内角和及外角和的关系，结合角平分线表示出相关角的度数． 先根据三角形外角的性质，用表示出与的外角和；再结合角平分线的定义，求出所在三角形的内角和，进而得出的度数． 【详解】解：在中，， 故 ∴， ∵是外角平分线，， ∴， 故． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·安徽滁州·月考）如图，在中，的平分线与外角的平分线的反向延长线相交于点E． （1）若，则 ． （2）若外角的平分线与的平分线相交于点F，且，则 ． 【答案】 /35度 /45度 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的定义，角平分线的定义． （1）由角平分线的定义可得，，由三角形外角的性质可得，，等量代换可得答案； （2）由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，同（1）可得，，再根据，通过等量代换即可求解． 【详解】解： （1）平分，平分， ，， 是的外角，是的外角， ，， ， ； （2）平分，是的外角， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，． 三、解答题 5．（25-26八年级上·广东汕尾·月考）如图，在中，平分，为延长线上一点，于点．已知，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义，利用三角形内角和定理求的度数即可；利用角平分线的定义得的度数，利用外角的性质得的度数． 【详解】解：由三角形内角和定理得：， ∵平分， ∴， ∵于E， ∴， ∵， 又， ∴． 6．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，中，平分交于点，，垂足为点，，交于点，已知，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握角平分线的性质、三角形外角与内角的关系及三角形的内角和定理等知识点是解决本题的关键． 根据三角形内角和定理得出，再由角平分线得出，利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分交于点， ． ∵， ∴， ∴． 7．（25-26八年级上·四川广安·期中）如图，在中，，分别是，的外角平分线， (1)若，，那么___________． (2)若，求的度数用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质及平角的定义． （1）利用平角的定义及角平分线的性质可得出，，再通过三角形内角和定理求得结果； （2）利用三角形内角和定理，角平分线的性质得出角度之间的等量关系，经过计算即可得出的表达式． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 又∵，分别是，的外角平分线， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 又∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 8．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）在中，是角平分线，，． (1)如图1，若是的高，求的度数； (2)如图2，若是上一点，且，垂足为，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由三角形内角和定理求得，由是角平分线得到，由三角形外角的性质得，由是的高得，再根据直角三角形的两锐角互余即可求解； （2）由得，根据三角形外角的性质得； 本题主要考查了三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的有关计算，熟练掌握三角形内角和定理，外角和角平分线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ， 是角平分线， ， ； 是的高， ， ； （2）， ， ． 9．（25-26八年级上·广东汕尾·月考）在中，和的平分线相交于点． (1)若，，则_____； (2)若，则_____ (3)若，试猜想_____，并证明你的猜想的正确性． 【答案】(1)120 (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义的运用，解题时注意：三角形内角和等于． （1）根据角平分线的定义，即可得到，，再根据三角形内角和定理进行计算，即可得到的度数； （2）根据角平分线的定义，即可得到，，再根据三角形内角和定理进行计算，即可得到的度数； （3）根据角平分线的定义，即可得到，，再根据三角形内角和定理进行计算，即可得到的表达式． 【详解】（1）解：∵的平分线交于点O， ∴， ∴ ， 故答案为：120； （2）解： ∵的平分线交于点O， ∴，， ∴ ， 故答案为：； （3）解：∵的平分线交于点O， ∴，， ∴ 故答案为：． 10．（25-26八年级上·浙江·假期作业）如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． (3)若是中上的中线，且，求与周长的差． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的定义和性质，三角形有关的线段． （1）由三角形外角的定义及性质可得，再由三角形内角和定理结合对顶角相等得出 ，最后再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）由角平分线的定义可得 ，再由三角形内角和定理计算即可得解； （3）根据三角形中线的定义得到，结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∴． （3）解：∵是中上的中线， ∴， ∵， ∴，即与周长的差为． 11．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______°，_____°； (2)求证：； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)的度数为或或或 【分析】（1）根据，，可求出，再根据平分，平分，，可求出，，进而可求出；再根据平分，可得出，进而求出． （2）设，根据三角形内角和定理对进行表示，再根据平分，平分，，可求出，，再根据三角形外角的性质求出，根据，求出，将与相较即可证明． （3）由（2）可知，，则的内角为，，，根据题意分类讨论即可． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ，， 平分， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ，即， ． 答：，． （2）证明：设，则． ， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， ，即， ， ． （3）解：设，则，． , 可分类讨论： ①当时， ， 解得， ； ②当时， ， 解得， ③当时， ， 解得， ; ④当时， ， 解得， 综上可知或或或． 答：的度数为或或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角性质，掌握角度的和差运算与代数推导是解题关键． 12．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知的三条角平分线相交于点O，点D在边上，且有． (1)如图1，求证：． (2)如图2，延长，交的外角的平分线于点F． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②猜想和的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②，证明见解析 【分析】本题考查了三角形的外角性质：三角形的一个外角等于另外两个内角之和，三角形内角和定理：三角形的内角和为，难度适中． （1）先证明，，进而得出，由三角形外角的性质得，然后求出即可； （2）①只要证明即可； ②由三角形外角的性质得，由角平分线的定义得，，然后整理可得． 【详解】（1）证明：∵分别平分， ∴， ∴ ． 在中， ． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）①结论：． 理由：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ②∵是的外角， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∵， ∴． 13．（25-26八年级上·全国·期末）如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图，若，则 ． (2)如图，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点，若，求的度数． (3)如图，中，的角平分线与外角的角平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： 的值为定值； 的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 【答案】(1) (2) (3)正确的结论是①，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可得到结论； （2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出； （3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：正确的结论是①，理由如下： 同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值为定值，①正确，其值是． 14．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）【初步认识】 （1）如图1，在中，平分，平分．若，则______； 如图2，平分，平分外角，则与的数量关系是______； 【继续探索】 （2）如图3，平分外角，平分外角，求证：； 【拓展应用】 （3）如图4，点P是两内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，延长交于点M，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求的度数． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3）的度数为或或或 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，，分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：如图1，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图2，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，； （2）证明：∵平分外角，平分外角， ∴，． ∵， ∴ ， ∴ ． ∴． （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴ ． 由（1）（2）知，， ∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍， ∴①当时，， ∴． ②当时，， 解得． ③当时，， 解得． ④当时，， 解得． 综上，的度数为或或或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $©命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型 目录 A题型建模·专项突破 题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型..1 题型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型7 题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型…14 题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型.21 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 模型总结： 1)两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP,CP交于点P;结论： ∠P=90°+3∠A ∠ABC和∠ACB的平分线BB,CP交于点B,PBC方∠ABC∠PCB= 2 1 1 1 ∠P=180°-（∠PBC+∠PCB)=180.2(∠ABC+∠ACB)=180.2(180°-∠A)=90+2∠A 2)凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB,两条角平分线相交于点P;结论：2∠P=∠A+∠D. 证明：，BP、CP平分∠ABC、∠DCB,. =2∠ABC∠PCB=}∠DCB ∠PBC= 2 1 1 1 ∴.∠P=180°-（∠PBC+∠PCB)=180°.2（∠ABC+∠DCB)=180.2(360°-∠A-∠D)=2(∠A+∠D) 即：2∠P=∠A+∠D 3)凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE,两条角平分线相交于点P;结论： 2∠P=∠A+∠B+∠E-180° 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∠PCD=J ∠BCD∠PDC=L∠CDE 证明：CP、DP平分∠BCD、∠CDE, 2 ∴.∠P=180°.（∠PCD+∠PDC)=180°.2（∠BCD+∠CDE)=180°.2(540°-∠A-∠D- ∠E)=∠A+∠D+∠E-90°即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180° 1.(25-26七年级上山东淄博·期中)如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD相交于点 F,∠A=60°，则∠BFC等于() D B A.100° B.110 C.120 D.150° 2.(25-26八年级上山东滨州期中)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,若 ∠A=60°，则∠D的度数为 B 3.(25-26八年级上·甘肃陇南·期末)综合与探究 图1 图2 【感知】如图1，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， 【应用】 (1)若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BPC= 若∠BAC-70°，则∠BPC= (2)求∠BPC与∠A之间的关系并证明： 【拓展】 (3)如图2，在四边形ABCD中，BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，求∠BPC与∠A+∠D的 数量关系 4.(24-25七年级下·吉林长春·期中)【问题】 如图①，在△ABC中，∠A=74°，DB平分∠ABC,DC平分∠ACB.求∠D的度数，对于上述问题，在 以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）· 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：：∠ABC+∠ACB+∠A=180°（三角形内角和180°）. .∠ABC+∠ACB=(等式性质)· ∠A=74°（已知）， ∴.∠ABC+∠ACB= (等量代换)· :DB平分∠ABC(已知)， :∠DBC=)∠ABC(角平分线的定义). 2 同理，∠DCB= :∠DBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB= (等式性质). .∠DBC+∠DCB+∠D=180°， .∠D=180°-（∠DBC+∠DCB)=(等式性质）. 【拓展】如图②，在△ABC中，∠A=∠B,DB平分∠ABC,DC平分∠ACB. 则D=(). 【应用】如图③，在△ABC中，DB平分∠ABC,DC平分∠ACB,EB平分∠DBC,EC平分∠DCB, 若∠E=146°，则∠A= A D B 图① B B 图② 图③ 题型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 模型总结： 3/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 1)一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图I,在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P;结论： ∠PBC=∠ABC∠PCD=L∠ACD 证明：，BP、CP平分∠ABC、∠ACD,. 2 2 1 1 ∴.∠P=∠PCD-∠PBC2(∠ACD-∠ABC)=2∠A. 2)一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，∠A=a,∠ABC、∠4CD的平分线相交于点B,∠PBC,∠PCD的平分线相交于点B, C ∠BBC,∠BCD的平分线相交于点B…以此类推：结论：∠P的度数是2四 证明：BPI、mI平分∠BC、∠ACn.∠PsC= 1 ∠ABC∠PCD=S∠ACD 2 2 1 11 1 C ∠P=∠P,CD-∠PBC=2（∠ACD-∠ABC)=2∠A=2“同理：∠P,-2∠P=2Q, ，∠P,=2” 5.(25-26八年级上·河南信阳·期中)如图，等腰△ABC中AB=AC,∠ABC=46°，三角形的内外角的角 平分线交于点P,∠P的度数为一· B D 6.(25-26八年级上山东济南·月考)如图，在△ABC中，∠A=a,∠ABC的平分线与∠ACB的外角( ∠ACD)的平分线交于点A;∠A,BC的平分线与∠ACB的外角的平分线交于点A,…,以此类推，则 ∠A025=一（用含a的式子表示） C D 7.(24-25八年级上·四川成都期末)解答下列问题： 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (I)如图1所示，BP平分∠ABC,CP平分∠ACM,若∠A=70°，则∠P=度； 2如图2所示，BP平分∠4BC,CP平分∠ACM,求证∠P=∠A, (3)如图3所示，BR平分∠PBC,CR平分∠PCM,，BP平分∠PBC,CP平分∠PCM,BR平分∠PBC、 CR平分∠RCM,,如此操作下去，直到BP,平分∠PBC.CP平分∠nCM,若∠R=a,请直 接写出∠+∠B+∠B++∠Pn的值.（用含a,n的代数式表示，其中n为正整数） 8.(24-25七年级上·吉林长春·期末)【感知】如图①，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC的平分线与 ∠ACD的平分线相交于点P.求∠P的度数. 数学小组发现，利用三角形的外角性质和角平分线的定义，可以求出∠P的度数. 证明：：BP平分∠ABC, 设∠CBP=)∠ABC=Q,则2ABC=2a ,CP平分△ABC的外角， 设<DCP=方4CD=P.则∠ACD=2g 在△ABC和△BCP中，由三角形外角性质得： 请你补全余下的证明过程. 【探究】如图②，在四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=100°，∠DCE是四边形ABCD的一个外角.BP平 分∠ABC,CP平分∠DCE,则∠P=_°. 【应用】如图③，在五边形ABCDE中，设∠A=a,∠E=B,∠C=Y°，∠EDF是五边形ABCDE的一个外 角，BP平分∠ABC,DP平分∠EDF,则∠P=_(用含有，B,Y的代数式表示) B 图① 图② 图③ 5/14 ©命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 模型总结： C D B A A B A ME 图1 图2 图3 1)两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO,CO是△ABC的外角平分线；结论： 证明：，BO、CO平分∠CBE、∠BCF,∴. ∠OBC=3∠EBC,∠OCB-∠BCr 2 1 ∴.∠O=180°.（∠OBC+∠OCB)=180°.2（∠EBC+∠BCF)=180°.2（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A) 1 1 =180°.2(180°+∠A)=90°+2∠A 2)旁心模型旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D:结论：AD平分 ∠CAD. 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC, ,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB的外角， ∴.DH=DM,DH=DN,∴.DM=DN,∴AD平分∠CAD, 9.(25-26八年级上·安徽安庆·期中)如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线交于点O, ∠BOC=130° D B E (1)∠A的度数为。 (2)若CD平分外角∠ACF,交BO的延长线于点D,点E是△ABC的两外角平分线的交点，则∠E-∠D 的度数为 10.(2026七年级下·全国·专题练习)在△ABC中，已知∠A=40°. 6/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B (1) (2) (I)如图(1)，角平分线BM和CM相交于点M,求∠BMC的度数， (2)如图(2)，外角平分线BN和CN相交于点N,求∠BNC的度数， 11.(25-26八年级上·安徽六安·期中)如图，四边形ABCD,BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和 ∠NDC,若∠BAD=a,∠BCD=B M D D 图1 图2 (I)如图1，若a+B=105°，求∠MBC+∠NDC的度数： (2)如图1，若BE与DF相交于点G,∠BGD=45°，请直接写出a,B所满足的数量关系式： (3)如图2，若Q=B,判断BE,DF的位置关系，并说明理由 12.(25-26八年级上·浙江宁波期中)如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P. B M M O 图① 图② 图③ (I)如果∠A=80°，求∠BPC的度数： (2)如图②，作△ABC外角∠MBC,∠NCB的角平分线交于点Q,已知∠A=a,求∠Q(用a表示). (3)如图③，延长线段BP、QC交于点E,当∠A= 时，△BQE中存在一个内角等于另一个内角 的2倍（直接写出∠A的度数）. 题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 模型总结： 7/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1)条件：如图1，在△ABC中，AD,AE分别是△ABC的高和角平分线，结论： D1E=<c-∠B 2)条件：如图2，F为△ABC的角平分线AE的延长线上的一点，FD⊥BC于D,结论： ∠DFA=2C-∠B) B ED 图1 图2 D证明：E平分∠BC,片∠BaC-n1C ∠B1C=180°-∠B-∠C,片E4c-l0-∠B-2C=0-B-4c AEiD=∠EAC-∠DAc0-3B-c-(0-20=<c-∠B 2》证明：如图，过A作4G1BC于G,由(2)可知：BG=C-∠到】 :AG⊥BC,∠AGB=90°，FD⊥BC,∴∠FDC=90°，.∠AGD=∠FDC,.FD∥AG, 乙aD=∠BiG，,∠AFD=支C-∠a例 13.如图，OC是△ABC的角平分线，P是线段AB延长线上一点，PO1OC于点2，当 ∠ABC-∠BAC=42°时，∠APQ的度数为 O B 14.在△ABC中，∠A=40°，∠C=60°，BD是△ABC的角平分线. 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1I)如图1，若BE是△ABC的高，则∠DBE的度数为一. (2)如图2，若BF是△ABD的角平分线，G是BF延长线上一点，过点G作GH⊥AC于点H,则∠G的 度数为 15.(24-25七年级下·全国·期末)小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究， 【习题回顾】如图1，在△ABC中，∠ACB=9O°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F.求 证：∠CFE=∠CEF: 【变式思考】如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线 交CD的延长线于点F,其反向延长线与BC边的延长线交于点E,则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由： 【探究延伸】如图3，在△ABC中，在边AB上存在一点D,使得∠ACD=∠B,∠CAB的角平分线AE交 CD于点F.△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M.试判断∠M与∠CFE的 数量关系，并说明理由. G 图1 图2 图3 16.已知：在△ABC中，∠C>∠B,AE平分∠BAC交BC于点E. G R ① ② ③ (1)如图①，AD L BC于点D,若∠C=60°，∠B=30°，求∠DAE的度数： (2)如图①，AD L BC于点D,若∠B=,∠C=B,求∠DAE的度数（用含a,B的式子表示）； (3)如图②，在△ABC中，AD LBC于点D,F是AE上的任意一点（不与点A,E重合），过点F作 9/14 ©命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 FG⊥BC于点G,且∠B=30°，∠C=80°，请你运用(2)中的结论求出∠EFG的度数： (4)在(3)的条件下，若点F在AE的延长线上（如图③），其他条件不变，则∠EFG的度数会发生改变吗？ 说明理由. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(24-25八年级上·新疆·期末)如图，BD是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的角平分线， ∠BDC=120°，则∠A的度数为() A.40° B.50° C.60° D.75° 2.(25-26八年级上·陕西榆林·期末)如图，△ABC的角平分线AE与外角∠BCD的平分线交于点E,若 ∠B=60°，∠BAE=25°，则∠E的度数为() A.35° B.32° C.30 D.25° 二、填空题 3.(25-26八年级上·四川广元·期中)如图，己知△ABC中，∠B=40°，与∠BAC,∠ACB相邻的外角的 角平分线交于点D,则∠D的度数为· M 4.(25-26八年级上·安徽滁州·月考)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠BCN的平分线的反向 延长线相交于点E 10/14