专题06 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型（3大题型）（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

©命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型 目录 A题型建模·专项突破 题型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 题型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 .6 题型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型.9 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、三角形中的倒角模型之“A"字模型 模型总结：如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC,形状类似于英文字母A,故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在△4BC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角： 结论：①∠1+∠2=∠A+180°；②∠3+∠4-∠D+∠E 证明：①，∠1=∠A+∠ACB∴.∠1=∠A+180°-∠2.∠1+∠2=∠A+180°。 ②在△ABC中，∠A+∠3+∠4-180°：在△4DE中，∠A+∠D+∠E-=180°.∴∠3+∠4∠D+∠E。 1.(25-26八年级上·四川广安·月考)如图，在四边形ABCD中，∠D=50°，若沿图中虚线剪去∠D,则 ∠1+∠2= B 2.(25-26七年级上山东淄博·月考)如图，在△ABC中，∠B=75°，∠C=55°，点E、F在边AB、 AC上，沿EF向内折叠△AEF得到△DEF,则图中∠I+∠2等于 3. (2025八年级上·全国·专题练习)探索归纳： 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 图1 图2 图3 (1)如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A,则∠I+∠2= (2)如图2，己知△ABC中，∠A=60°，剪去∠A后形成四边形，则∠1+∠2= (3)如图2，根据上面的求解过程，猜想∠1+∠2与∠A的数量关系，并证明： (4)若∠A没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想∠I+∠2与∠A的数量关系，并说明理由. 4.如图1，直线I与△ABC的边AC,AB分别相交于点D,E(都不与点A重合)· E 图1 图2 图3 图4 (1)若∠A=64°，①求∠1+∠2的度数：②如图2，直线m与边AB,AC相交得到∠3和∠4，直接写出 ∠3+∠4的度数.(2)如图3，EO,DO分别平分∠BED和∠CDE,写出∠EOD和∠A的数量关系，并说明 理由； (3)如图4，在四边形BCDE中，点M,N分别是线段DC、线段BE上的点，NG,MG分别平分∠BNM 和∠CMN,直接写出∠NGM与∠E,∠D的关系. 题型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 模型总结： 1)8字模型（基础型） 条件：如图，AD、BC相交于点O,连接AB、CD;结论：①∠A+∠B=∠C+∠D;②AB+CD<AD+BC。 证明：在△ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°： 在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ,∠AOB=∠COD∴.∠A+∠B=∠C+∠D: 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△4BO中，AB<AO+BO:在△COD中，CD<CO+DO: ..AB+CD<A0+BO+CO+DO=AD+BC:.AB+CD<AD+BC 2)8字模型（加角平分线） 条件：如图，线段AP平分∠BAD,线段CP平分∠BCD;结论：2∠P-∠B+∠D 证明：，线段AP平分∠BAD,线段CP平分∠BCD∴.∠BAP-=∠PAD,∠BCP=∠PCD .∠BCP+∠P-∠BAP+∠B①∠PAD+∠P-∠PCD+∠D② D+②得2∠P∠B+∠D,则22DT,即2∠P∠t0 5.(25-26八年级上·吉林·月考)如图，AD和BC相交于点O,连接AB和CD,若∠A=40°，∠B=75°， ∠D=42°，则∠C= B 6.(24-25七年级下·甘肃武威期末)如图，DE LAB,∠A=30°，∠D=55°，则∠ACB的度数为 7.(25-26八年级上·全国课后作业)“8”字的性质及应用： B D 图① 图② (I)如图①，AD,BC相交于点O,得到1个“8字ABCD.求证：∠A+∠B=∠C+∠D (2)如图②，以图中已有字母的顶点组成的“8”字有多少个？请分别写出来。 (3)如图②，∠ABC利∠A0c的平分线相交于点E,利明)中的结论说明：∠E=2A+∠C。 8.(25-26八年级上·安徽淮北期中)如图1，线段AD,BC相交于点O,连接AB,CD,我们把形如图 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1的图形称为“8字形”. 图1 图2 图3 (I)求证：∠A+∠B=∠C+∠D: (2)如图2，点M是线段AO上一点，连接CM,，求∠OMC+∠OCM+∠A+∠B的度数： (3)如图3，点E是DC延长线上一点，∠ABC与∠BCE的平分线交于点P,试猜想∠P,∠A与∠D之间 的数量关系，并说明理由. 题型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 模型总结：条件：如图，凹四边形ABCD:结论：①∠BCD=∠A+∠B+∠D:②AB+AD>BC+CD。 证明：连接AC并延长至点P:在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B;在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D: 又：∠BAD=∠BAC+∠DAC,∠BCD=∠BCP+∠DCP;∴.∠BAD+∠B+∠DF∠BCD. 延长BC交AD于点P,在△ABO中，AB+A0>BC+CO:在△CD0中，CO+OD>CD 即：AB+A0+CO+OD>BC+CO+CD,故AB+AD>BC+CD 拓展模型1：条件：如图，BO平分∠ABC,OD平分∠ADC;结论：∠O2(∠A+∠C)。 1 证明：，BO平分∠ABC,OD平分∠ADC:∴.∠ABO=2∠ABC;∠ADO=2∠ADC: 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=2∠ABC+2∠ADC+∠A;∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A: 1 ∴.2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A:即∠O=2(∠A+∠C)。 9.(25-26八年级上·湖南长沙开学考试)一个零件的形状如图，按规定∠A=90°.已知∠B=∠D=25°， 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 要判断这个零件是否合格，只要检验∠BCD的度数就可以了.量得∠BCD=140°，这个零件（填“合 格”或“不合格”). 10.(24-25八年级上河南平顶山期末)如图，CE平分∠ACD,交AB于点E,若∠A=40°，∠B=30°， ∠BDC=110°，则∠BEC的度数为 D B C 11.(23-24七年级下江苏南京·月考)凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解 决下列问题： 图① 图② (I)用图①证明：∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD: (2)在图①中，若BE平分∠ABD,CE平分∠ACD,BE与CE交于E点，运用(1)的结论写出∠BDC、 ∠BEC和∠BAC之间的关系，并说明理由： (⊙咖图@，若A=48D,2-4CD,试探素∠BDC”∠BtC和∠B4C三个角之间的关系为 (直接写出结果即可). 12.(24-25七年级下·甘肃天水·期末)【模型建立】(1)如图①，凹四边形AB0C.因为酷似燕尾，所 以称之为“燕尾型”求证：∠BOC=∠A+∠B+∠C: 【模型应用】(2)一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，∠A=38°，∠D=12°，∠ABC=64°， ∠BCD=46°，求椅面和椅背的夹角∠AED的度数： 【模型迁移】(3)如图③，∠ABC=100°，∠DEF=130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数. 5/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D A E0130° 100° B B C ② ③ B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26八年级上·浙江湖州期中)如图，AB⊥BD,AC1CD,若∠A=25°，则∠D的度数是() C B ● D A.250 B.65 C.55° D.45° 2.(25-26八年级上·贵州黔南·期中)在如图所示的三角形纸片ABC中剪去△CDE,得到四边形ABDE, 若∠C=50°，则∠1+∠2的度数是() C D A.260° B.230° C.130° D.100° 3.(25-26八年级上·广西玉林·期中)利用身边的各种生活废品来满足我们的日常需要，这种“低碳”的 生活方式逐渐影响居民的生活习惯.周末，小颖准备用家里废弃的布料手工缝制玩偶，找到了如图所示的 块四边形的余料，经过测量，∠BDC=90°，∠C=32°，∠A=32°，那么∠B的度数是（) A.230 B.330 C.26° D.36° 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、 填空题 4. (25-26八年级上·全国·课后作业)如图，∠A=43°，∠D=57°，∠C=37°，则∠B的度数为一 5.(25-26八年级上·福建龙岩·月考)小聪一笔画成了如图所示的图形，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度 数为 D 6.(25-26八年级上·江西南昌·期中)一个三角板ABC和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的 两脚恰好接触三角板的一组邻直角边.若∠2=25°，∠3=35°，则∠1=°. B 三、解答题 7.(25-26八年级上·广东肇庆月考)【问题背景】 (1)如图①的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D: 【简单应用】 (2)如图②，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD,若∠ABC=35°，∠ADC=15°，求∠P的度数： 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B C D 图① 图② 8. (25-26八年级上·广东东莞·期中)如图①，有一块直角三角尺PMN放置在△ABC上（点P在△ABC 内)，三角尺PMN的两条直角边PM,PW恰好分别经过点B和点C. M ① @ (I)请猜想∠ABP+∠ACP与∠A的关系，并证明： (2)如图②，使点P在△ABC外，其两条直角边PM,PN分别经过点C和点B,(I)中的结论是否仍然成 立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出新的结论. 9.(25-26八年级上·云南红河·期中)【问题呈现】 小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题： 如图①，∠1与∠2分别为△ABC的两个外角，求证：∠1+∠2=180°+∠A. 【推理证明】 A A B D 2 D D 图① 图② 图③ (1)补全证明过程. 证明：：∠I与∠2分别为△ABC的两个外角， ∴.∠1=∠A+,∠2=∠A+ .∠1+∠2= ∠3+∠4+∠A=180°， .∠1+∠2=180°+∠A. (2)如图②，在△ABC纸片中剪去△AED,得到四边形BCDE.若∠I=130°，则∠2-∠A的大小为度， (3)如图③，在△ABC中，BP,CP分别为外角∠DBC,∠ECB的平分线，写出∠P与∠A之间的数量关系， 并说明理由. 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(25-26八年级上：浙江舟山期中)如图1，已知线段AB、CD相交于点O,连接AC、BD,则我们把 形如这样的图形称为“8字型” 图1 图2 (I)求证：∠A+∠C=∠B+∠D: (2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P,与CD、AB分别相交于点M、N. ①以线段AC为边的“8字型”有个，以点O为交点的“8字型”有个； ②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数： ③若角平分线中角的关系改为“∠CAB=3∠CAP,∠CDB-3LCDP”,试探究∠P与∠B、∠C之间存在 的数量关系，并证明理由. 11.(25-26八年级上广东阳江·月考)[问题背景]学习三角形内角和定理后，我们认识到：任何一个三角 形的三个内角之和都等于180°.现在请同学们通过探索归纳，解答下列问题： 图1 图2 图3 【问题引入】 (1)如图1，己知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中的虚线剪去∠A,则∠I+∠2= 度 【类比探究】 (2)如图2，在△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后得到一个四边形，则∠1+∠2=度. 【归纳总结】 (3)根据(1)与(2)的思考和解答过程，请你猜想∠1+∠2与∠A的数量关系，并证明你的结论. 【知识拓展】 (4)如图3，如果沿着剩下的四边形再剪一刀，得到∠3与∠4，那么∠1+∠2和∠3+∠4的数量关系为 12.(25-26八年级上河北廊坊期中)【问题背景】 (1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D: 【简单应用】 (2)如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD,若∠ABC=44°，∠ADC=18°，求∠P的度数： 【问题探究】 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图3，直线AP平分△BAD的外角∠FAD,CP平分△BCD的外角∠BCE,若 ∠A8C=46,∠AC=26°，请猜想∠P的度数，并说明理由， 【拓展延伸】 (4)在图4中，若设∠ABC=a,∠ADC=B,AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P与 ∠ABC、∠ADC的关系，直接写出结论（用B表示∠P)· B D B A E A D 图1 图2 图3 图4 10/10 专题06 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 1 题型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 6 题型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 模型总结：如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 1．（25-26八年级上·四川广安·月考）如图，在四边形中，，若沿图中虚线剪去，则 ． 【答案】/230度 【分析】本题考查了外角的性质，三角形的内角和定理，熟练运用外角的性质是解题的关键；根据外角的性质再结合三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：如图， ，， ， 故答案为：． 2．（25-26七年级上·山东淄博·月考）如图，在中，，，点、在边、上，沿向内折叠得到，则图中等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质和外角的性质，解决此题的关键是作出合理的辅助线；根据折叠的性质可知，根据三角形的内角和得到的度数，再根据外角的性质即可得到答案； 【详解】解：如图，连接AD， ∵，， ∴， 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）探索归纳： (1)如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则________； (2)如图，已知中，，剪去后形成四边形，则________； (3)如图，根据上面的求解过程，猜想与的数量关系，并证明； (4)若没有剪掉，而是把它折成如图的形状，请猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)．证明见解析 (4)．理由见解析 【分析】本题主要考查了折叠的性质及三角形的内角和外角之间的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和、三角形的内角和是度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件． ()利用三角形的外角定理及直角三角形的性质求解； ()利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解； ()根据()、()中思路即可求解； ()根据折叠对应角相等，得到，，进而求出，最后利用即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： ∴ ∵为直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示： 在中，由外角性质可知： ； ∵ ∴ 故答案为： （3）解：由()、()中思路，由三角形外角性质可知： ，； ∴ ， ∴与的关系是：， 故答案为：； （4）． 理由：连接． ∵是由折叠得到的， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴与的关系为：． 4．如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.           (1)若，①求的度数；②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数.(2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系. 【答案】(1)①；②(2)，理由见解析(3). 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角性质，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识是正确解答的关键．（1）①根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可；②根据①的结论即可解答；（2）由（1）的结论以及三角形内角和定理即可解答； （3）由（2）的结论可得，再根据三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】（1）解：①如图1， ∵，∴， ∵，∴； ②由①方法可得：． （2）解：，理由如下：由（1）可得． ∵，分别平分和，∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下：由图2可得，， ∵，分别平分和，∴， ∴， ∴． 题型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 模型总结： 1）8字模型（基础型） 条件：如图，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 5．（25-26八年级上·吉林·月考）如图，和相交于点，连接和，若，，，则 ． 【答案】/73度 【分析】本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和是解题的关键；因此此题可根据三角形内角和进行求解即可． 【详解】解：在中，，在中，， ∵， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为． 6．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）如图，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的内角和定理，垂线，先根据垂直的定义得，由三角形内角和定理求出，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）“8”字的性质及应用： (1)如图①，相交于点O，得到1个“8”字．求证：． (2)如图②，以图中已有字母的顶点组成的“8”字有多少个？请分别写出来． (3)如图②，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论说明：． 【答案】(1)见解析 (2)有3个，分别是 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质和对顶角相等的综合运用，解题的关键是掌握三角形的内角和定理,外角的性质. （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可解决. （2）根据题中的“8”字的概念解答即可. （3）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质解答即可. 【详解】（1）证明：， ，， ． （2）解：有3个，分别是． （3）平分，平分， ． 由（1），同理可证得， ， ， ． 8．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）如图1，线段，相交于点O，连接，，我们把形如图1的图形称为“8字形”． (1)求证：； (2)如图2，点M是线段上一点，连接，求 的度数； (3)如图3，点E是延长线上一点，与的平分线交于点P，试猜想，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)，理由见详解 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义及角平分线的性质． （1）在和中，分别利用三角形内角和定理，再结合对顶角相等来推导； （2）先在中得到与的关系，再在中利用三角形内角和定理来求解； （3）利用角平分线的性质和“8字形”的结论，通过等量代换和化简来找出，与之间的关系． 【详解】（1）证明：∵和的内角和都为， ∴， ∵， ∴． （2）解：在中，， 在中，， ∴． （3）解：， 理由：由（1）知，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在中，， ∴， ∴． 题型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 模型总结：条件：如图，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 9．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）一个零件的形状如图，按规定．已知，要判断这个零件是否合格，只要检验的度数就可以了．量得，这个零件 （填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【分析】本题考查了三角形的外角知识，熟练掌握三角形的外角性质，连接并延长是解题的关键； 连接并延长，根据三角形的外角的性质得到，，因此，即可作出判断． 【详解】解：连接并延长，如图： 由三角形的外角性质可得，，， ∴，， ∴ ， ∴这个零件符合规定，是合格的． 故答案为：合格． 10．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）如图，平分，交于点，若，，，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查三角形外角的性质和角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形外角的性质和角平分线的定义． 作射线，根据三角形外角的性质和角平分线的定义，再结合题意，即可得到答案． 【详解】解：作射线，如图， 由三角形外角的性质得到：， 又，，， 则， 平分， ， ， 即． 故答案为：． 11．（23-24七年级下·江苏南京·月考）凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解决下列问题： (1)用图①证明：； (2)在图①中，若平分，平分，与交于E点，运用（1）的结论写出、和之间的关系，并说明理由； (3)如图②，若，，试探索，和三个角之间的关系为______（直接写出结果即可）． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的定义，解答的关键是熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． （1）根据三角形内角和定理得，，即，即可求得，则容易得到； （2）用题中给出的结论表示出与，再把两式相减即可得出结论； （3）利用题中给出的结论解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 在中，， ； 在中， ， 即， 而， ， 即． （2），理由如下： 由题意得，①， ②， 平分，平分， ，， ①②得，， ； （3），理由： ，， ，， ①， ②， ②①得， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）【模型建立】（1）如图①，凹四边形．因为酷似燕尾，所以称之为“燕尾型”求证：； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； 【模型迁移】（3）如图③，，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的外角性质及三角形内角和定理， （1）连接，并延长，如图①所示：根据三角形外角的性质即可得到结论； （2）根据三角形内角和定理即可得到结论； （3）连接，如图③所示：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理即可得到结论． 掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接，并延长，如图①所示： ∵是的外角， ∴①， ∵是的外角， ∴②， ①②，得：， 即； （2）解：如图，设交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， 由（1）知：， ∴椅面和椅背的夹角的度数为； （3）连接，如图③所示： ∵，， 由（1）知： ③， ④， ③+④，得：， ∴， 即的度数为． 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，对顶角相等，角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据直角三角形两锐角互余得出，再根据，进而求解即可． 【详解】解：设交于点O，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级上·贵州黔南·期中）在如图所示的三角形纸片中剪去，得到四边形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角性质，三角形内角和定理；由三角形外角性质及三角形内角和定理得，，，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 3．（25-26八年级上·广西玉林·期中）利用身边的各种生活废品来满足我们的日常需要，这种“低碳”的生活方式逐渐影响居民的生活习惯．周末，小颖准备用家里废弃的布料手工缝制玩偶，找到了如图所示的一块四边形的余料，经过测量，，，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质定理，解题的关键是掌握三角形外角的性质定理．延长交于点E，利用三角形外角的性质定理求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点E． ∵，． ∴． ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，，，则的度数为 ． 【答案】/63度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等，由，，，得，然后代入即可求解，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·福建龙岩·月考）小聪一笔画成了如图所示的图形，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，连接，由三角形外角的性质可推出，则可证明，据此由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·江西南昌·期中）一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．若，，则 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，解决此题的关键是作出合理的辅助线；先作出辅助线，运用两次三角形的外角性质即可得到答案； 【详解】解：如图，延长至点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：30． 三、解答题 7．（25-26八年级上·广东肇庆·月考）【问题背景】 （1）如图①的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】 （2）如图②，、分别平分、，若，求的度数； 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求解即可； （2）结合（1）的结论得到，由角平分线的定义得到，再根据（1）的结论列式求解即可 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）根据（1）可知，， ∵， ∴， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 8．（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图①，有一块直角三角尺放置在上（点在内），三角尺的两条直角边，恰好分别经过点和点． (1)请猜想与的关系，并证明； (2)如图②，使点在外，其两条直角边，分别经过点和点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出新的结论． 【答案】(1)，证明见解析 (2)不成立， 【分析】（1）利用三角形的内角和定理即可得出结论； （2）利用三角形的内角和定理即可得出结论． 本题考查三角形内角和定理的应用． 【详解】（1）解：猜想：． 证明：在中，， 即， 在中，， ， ； （2）解：不成立．结论：． 在中，， 即 ． 在中，， ， ． 9．（25-26八年级上·云南红河·期中）【问题呈现】 小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题： 如图①，与分别为的两个外角，求证：． 【推理证明】 (1)补全证明过程． 证明：与分别为的两个外角， _____，_____ _____ ， ． (2)如图②，在纸片中剪去，得到四边形．若，则的大小为_____度． (3)如图③，在中，分别为外角，的平分线，写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，． (2)50 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解答的关键． （1）由三角形外角性质得，，再求与的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证； （2）由进行变形为即可解答； （3）由角平分线的定义得、，再由三角形内角和定理得出，然后把代入求解即可． 【详解】（1）证明：与分别为的两个外角， ，， ， ． 故答案为：，，． （2）解：∵，， ∴． 故答案为：50． （3）解：，理由如下： ∵分别为外角，的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴． 10．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“字型”． (1)求证：； (2)如图，若和的平分线和相交于点，与分别相交于点． 以线段为边的“字型”有______个，以点为交点的“字型”有______个； 若，，求的度数； 若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)，；；，理由见解析． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （）①根据“字型”的定义判断即可； 由（）结论可得和中，，和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； 根据，，得，，，，然后可得，，最后进行等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：中，，中，， ∵， ∴； （2）解：以线段为边的“字型”有：和，和，和，共个； 以点为交点的“字型”有：和，和，和，和，共个； 故答案为：，； 和中，，和中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； ，理由如下： ∵，， ∴，，，， 在和中，，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．（25-26八年级上·广东阳江·月考）[问题背景]学习三角形内角和定理后，我们认识到：任何一个三角形的三个内角之和都等于．现在请同学们通过探索归纳，解答下列问题： 【问题引入】 （1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中的虚线剪去，则________度． 【类比探究】 （2）如图2，在中，，剪去后得到一个四边形，则______度． 【归纳总结】 （3）根据（1）与（2）的思考和解答过程，请你猜想与的数量关系，并证明你的结论． 【知识拓展】 （4）如图3，如果沿着剩下的四边形再剪一刀，得到与，那么和的数量关系为___________． 【答案】（1）270；（2）220；（3），证明见解析；（4） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和定理是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，由平角的定义可推出，据此可得答案； （2）同（1）求解即可； （3）同（1）求解即可； （4）由（3）的结论可得答案． 【详解】解：（1）如图所示，在中，， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）如图所示，在中，， ∴； ∵， ∴， ∴； （3），证明如下： 如图所示，在中，， ∴； ∵， ∴， ∴； （4）由（3）可得， ∴． 12．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）【问题背景】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； 【简单应用】 （2）如图2，分别平分，若，求的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线平分的外角平分的外角，若，请猜想的度数，并说明理由． 【拓展延伸】 （4）在图4中，若设，平分平分的外角，猜想与的关系，直接写出结论（用表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析；（4） 【分析】本题主要考查了三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考几何问题，属于中考常考题型． （1）利用三角形内角和求解即可． （2）利用（1）中结论可得出，两式相加，然后再根据角平分线的定义得出进而可得出，即可求出． （3）由角平分线的定义得出由补角的定义和性质得出由（1）中结论得出，，代入可进一步得出答案． （4）由角平分线的定义设，则，由（1）中结论得出，，整理即可得出． 【详解】解：（1）在中，． 在中，． （2）由（1）得：， ∵分别平分， ∴ ， ． （3），理由是：如图3： 平分的外角平分的外角， ， ， ∴， 即 即， ， （4）∵平分平分的外角， ∴设，则． ∵， ∴， ∴， ∴ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $