专题12成都2026年中考题型专项复习-二次函数函数三角形存在性问题B25

二次函数中三角形问题 目录 典例详解 1 类型一、三角形面积问题 1 类型二、等腰三角形存在性问题 9 类型三、直角三角形存在性问题 17 类型四、等腰直角三角形存在性问题 25 类型五、相似三角形存在性问题 32 题型专练 42 典例详解 类型一、三角形面积问题 例1如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点， 与轴交于点，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)是抛物线对称轴上一点，当时，求点的坐标； (3)将抛物线沿轴翻折得到抛物线，点的对应点分别为点．是直线上方抛物线 上的一点，求面积的最大值． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) (3)的面积最大值为12 【分析】本题考查了二次函数的性质，勾股定理． （1）将分别代入，求出，即可求出抛物线的表达式，进而根据对称轴公式计算即可； （2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线，设，根据勾股定理求出，根据列方程求解即可； （3）先求出，根据折叠的性质得到，且抛物线仍然经过，进而求出抛物线的表达式为，过点作轴于点，设点的坐标为，则，即，根据，得到，求出的表达式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴将分别代入， 得， 解得 ∴抛物线的表达式为， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线， ∵点在对称轴上， ∴设． ∵， ∴． 当时，即， 解得， ∴点的坐标为； （3）解：当时，解得， 即， ∵将抛物线沿轴翻折得到抛物线，点的对应点分别为点 ∴，且抛物线仍然经过， 设的表达式为， 则， 解得：， ∴抛物线的表达式为， 如图，过点作轴于点， 设点的坐标为， 则， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为12， ∵是直线上方抛物线上的一点， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为12． 【变式1-1】如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P为直线上方抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，的面积有最大值？并求的面积的最大值； (3)抛物线上是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式 (2)当时，的面积有最大值，最大值为 (3)点M的坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，解一元二次方程，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）把代入求出，再用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）作轴于点D，交于点E，根据列出二次函数解析式，并求出最值即可； （3）过点M作轴于点F，交直线于点K，作于点E，求出，设，则，可求出，，根据题意有，解出m的值可得答案． 【详解】（1）解：把代入，则， 解得：， ， 把代入， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式； （2）解：作轴于点D，交于点E， 设，则， ， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为， 当时，， ； 综上所述，当时，的面积有最大值，最大值为； （3）解：抛物线上存在点，使的面积等于面积的一半，理由如下： 过点M作轴于点F，交直线于点K，作于点E， 在中，当时，， 解得：， ， ， ， ， 设，则， ， ， ∵的面积等于面积的一半， ， ， 或， 解得：或， ∴点M的坐标为或或或． 【变式1-2】如图，抛物线经过点，点，与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)抛物线上是否存在点，使的面积是面积的2倍，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，， 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）将点，点，代入抛物线得，求出的值，进而可得抛物线的解析式． （2）将解析式化成顶点式得，可得点坐标，将代入得，，可得点坐标，求出； （3）根据可得，设，则，求出的值，进而可得点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：存在． ∵， ∴， 将代入得，， ∴， 又∵， ∴轴， ∴到线段的距离为，， ∴， （3）解：存在， 理由：∵，的面积是面积的2倍， ∴， 设，由题意可知点P在直线上方， 则， 整理得，， 解得或， 则 ∴，， ∴存在点P，使的面积是面积的2倍，点P的坐标为，． 类型二、等腰三角形存在性问题 例2如图①，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图②，点D是第二象限内抛物线上一点，且的面积为3时，求点D的坐标； (3)G是二次函数图象对称轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点G的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的坐标为或 (3)点G的坐标为或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据三角形面积公式列式计算即可求解； （3）先求得抛物线的对称轴为直线，设点G的坐标为，利用勾股定理求得，分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于，如图：    由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； （3）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点G是直线上的一点， ∴设点G的坐标为， 令，则， 解得或， ∴，∵， ∴，， ∴， 当即时， ∴， 解得， ∴点G的坐标为； 当即时， ∴， 解得或， ∴点G的坐标为或； 设直线解析式为， 将点C坐标代入直线解析式得：， 解得：， 直线解析式为， 令， 当时，点G在直线上，点B、C、G不能构成三角形，故舍去， 当即时， ∴，解得， ∴点G的坐标为或； 综上，点G的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、等腰三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 【变式2-1】抛物线交轴于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是线段上方抛物线上一动点，当的面积最大值时，求出此时点的坐标； (3)在抛物线对称轴上找一点，使以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【分析】本题考查了抛物线的解析式，根据动点求面积最值问题，坐标系中特殊三角形问题，把握二次函数相关的特征与性质，分析出面积与线段关系，并能够进行准确的计算是解题的关键． （1）将A、B两点的坐标代入解析式求解即可； （2）过点作轴交于点，先利用A、B两点的坐标求出直线的解析式，设，求得，列出与的函数关系式即可求解； （3）设点坐标为，根据两点距离公式可求得、、，再根据等腰三角形有两边相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图1，过点作轴交于点， 设直线的解析式为，将A、B两点的坐标代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， 当时，的面积有最大值，， 此时； （3）∵ 抛物线的解析式为， ∴对称轴为， 设点坐标为， 由点，，可得： ，，， 当时，，解得：，，即点，， 当时，，解得：，即点，， 当时，，解得：，即点， 综上所述：点坐标为或或或或． 【变式2-2】如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点D是抛物线的顶点，连接，． (1)求抛物线的解析式与直线的解析式； (2)若点P是直线上的一个动点，是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由 【答案】(1)抛物线解析式：；直线的解析式： (2)存在；或或或或 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）设，分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线的解析式为：， ∵抛物线与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：存在； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设， ∵， ∴， ， ， 当为等腰三角形时，分三种情况： 当时，， 则：， 解得：或， ∴或； 当时，， 则：， 解得：或， ∴或； 当时，， 则：， 解得：， ∴； 综上：或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，正确地求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 类型三、直角三角形存在性问题 例3如图，在平面直角坐标中，是直角三角形，，，，，抛物线经过、两点，抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是直角三角形斜边上一动点（点A、除外），过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一个点，使是以为直角边的直角三角形?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据，求出的长，进而得到A，的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，用含的式表示出、的坐标，求出的长度最大时的值，即可求得、的坐标； （3）分两种情况，和时，分别求得点的坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点的值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， 把A，代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）∵直线经过点， 设直线的解析式为： 把A，代入代入得： 解得：， ∴直线的解析式为： ∵过点作轴的垂线交抛物线于点， 设点横坐标为，点在线段上(点A，除外)， ∴点， ∴点横坐标为，点在抛物线上， ∴点， 据图知：点在点上方， ∴， ∵，开口向下，有最大值， 当时，的最大值为9． ∴，， ∴点，点； （3）存在 ①当时，点的纵坐标为3， 即， 解得：，， ∴，； ②当，点的纵坐标为， 即， 解得，（舍去） ∴点， 综上所述，存在点，使是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质和分类讨论思想． 【变式3-1】如图，已知抛物线与y轴正半轴交于点A，顶点为B，连接，其中 (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上一点，当是以为直角边的直角三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解答本题的关键是熟练运用分类讨论思想解决问题． 由为等腰直角三角形推导出，，进而得到抛物线解析式； 设，首先求得、、；当和时，分别由勾股定理解得p的值，即可得解． 【详解】（1）解：抛物线， ，， 为等腰直角三角形，， ， ， ， 抛物线的解析式为； （2）解：设， 由（1）知，， ， ； ； 分两种情况讨论： ①当为直角三角形，且时，则， ， 设，则方程可化为： ， 又， ， 代入可得： ， ， ， ， 将代入得： ， ，即， 解得或， 当时，点P与点B重合，不符合题意，舍去；当时，， ， ②当为直角三角形，且时，则， 即： 同样设，可得， 代入可得：， ， ， ， 将代入得： ， ，即， 解得或， 当时，点P与点A重合，不符合题意，舍去；当时，， 综上，点P的坐标为或． 【变式3-2】已知，如图所示，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)抛物线的对称轴是____________． (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)直线 (2)存在，点的坐标为 (3)点的坐标为或 【分析】考查知识点：二次函数的对称轴、轴对称的最短路径问题、直角三角形的分类讨论（勾股定理）．利用抛物线与x轴交点求对称轴；通过轴对称转化线段和，结合一次函数求最短路径点；对直角三角形分三种情况，用勾股定理列方程求解．解题关键：熟练掌握抛物线对称轴公式，灵活运用轴对称性质解决最短路径问题，准确分类直角三角形的直角顶点并应用勾股定理．易错点：求对称轴时忽略公式应用；最短路径问题中找不到对称点的转化关系；直角三角形分类讨论时漏解． （1）根据抛物线与x轴交点、，利用对称轴公式，直接计算得对称轴为直线． （2）因为A、B关于对称轴对称，所以，则．连接，其与对称轴的交点P即为使最小的点．先求，再求直线的解析式，将代入得． （3）设，分别表示出、、的长度．分、、三种情况，根据勾股定理列方程求解，得到点M的坐标． 【详解】（1），， ， ∴直线． （2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示． 当时，有， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将代入中，得：， 解得， 直线的解析式为． 抛物线的对称轴为直线． 当时，， 当的值最小时，点的坐标为． （3）解：设点的坐标为， 则， 分三种情况考虑： ①当时，有， 即， 解得：， 点的坐标为或； ②当时，有， 即， 解得：， 点的坐标为； ③当时，有， 即， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：当是直角三角形时， 点的坐标为或． 类型四、等腰直角三角形存在性问题 例4如图，抛物线与轴相交于点和点． (1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标； (2)在抛物线上有一点，过点作轴的垂线交轴于点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)，抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为； (2)点的坐标为或． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）利用待定系数法求出解析式，然后配成顶点式即可； （）由是等腰直角三角形，则有，设点的坐标为，则点，则，，得出，然后解方程即可． 【详解】（1）∵抛物线与轴相交于点和点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵； ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为； （2）解：如图，∵轴于点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点在抛物线上， ∴设点的坐标为，则点， ∴，， ∴， ∴或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点的坐标为或． 【变式4-1】如图：已知抛物线与直线相交于点和点，点坐标为，点横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式和点坐标； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)求直线函数解析式； (4)若点是轴上方抛物线上的一个动点，轴交于点，若是等腰直角三角形，直接写出点坐标． 【答案】(1)抛物线的函数解析式为，点坐标为； (2)抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； (3)直线函数解析式为； (4)点坐标为或． 【分析】此题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，平面直角坐标系中两点间的距离，等腰直角三角形的性质，正确理解待定系数法和熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先把二次函数配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解； （）利用待定系数法即可求解； （）设，则，然后分为当，，当，两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴，解得：， ∴抛物线的函数解析式为， ∵点横坐标为，且在抛物线上， ∴， ∴点坐标为； （2）解：由（）得，抛物线的函数解析式为， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （3）解：由（）得点坐标为， ∵点坐标为， 设直线函数解析式为， ∴，解得：， ∴直线函数解析式为； （4）解：设，则， 如图，当，， ∴， 解得：（舍去）或， 此时点坐标为； 如图，当，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点坐标为； 综上可得：点坐标为或． 【变式4-2】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点、的坐标； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标______． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，， (2)①的最大值为，此时；②，． 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线解析式，然后将代入，即可求得、的坐标； （2）①设点，其中，先利用待定系数法求得直线的表达式为，设，那么，然后利用二次函数的性质求解即可；②先求得其对称轴为，设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，先证明，得到，那么有，从而解得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：， 当时，，解得或， ∵抛物线与轴交于、两点， ∴，； 综上，抛物线的表达式为：，，； （2）解：设点，其中，连接，过点作轴的垂线交于点，连接，如图所示： 设直线为，代入，， ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∴，     ∵，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 当时，， ∴； ∴的最大值为，此时； ②∵抛物线的表达式为：， ∴其对称轴为， 设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，如图所示： ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，其中，在对称轴上， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∴，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 类型五、相似三角形存在性问题 例5如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点(A在B的左边)，交y轴于点C，D是线段上一动点． (1)直接写出点A，B，C的坐标和直线的解析式； (2)如图1，过动点D作，交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积之和为S．求S的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)如图2，过动点D作轴于点E，交抛物线于点F，连接．试探究：点D在运动过程中与能否相似？若能相似，直接写出点D的横坐标t的取值；若不能相似，请说明理由． 【答案】(1)点，点，点，直线 (2)最大值为8； (3)2或 【分析】（1）对于，当时，，令，则或，故点、点、点，进而求解； （2）由，即可求解； （3）当为直角时，则点和点关于抛物线的对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线，则；当为直角时，证明，则，得到点的坐标为：，即可求解． 【详解】（1）解：对于，当时，， 令，则或， 故点、点、点， 设直线的表达式为：， 则将点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为：； （2）过点P作轴交于点G， ∵， ∴， ∴， 设点，则点， ， ， 当时，，此时点； （3）能相似，理由： ①当为直角时， 则点和点关于抛物线的对称轴对称， 而抛物线的对称轴为直线， 则； ②当为直角时， 过点作轴于点，则， ， ， ， ， ， 则， 即， 则， 则点的坐标为：， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：(舍去)或； 综上，或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的负半轴上，抛物线经过A，C两点，连接． (1)请直接写出b，c的值； (2)若动点在边（不与O，A两点重合）上，过点E作x轴的垂线l交于点F，交于点M，交抛物线于点P，连接． ①设线段的长为h，求h与m的函数关系式； ②当点P在下方的抛物线上时，以P，C，F为顶点的三角形与是否相似？若相似，请求出此时点E的坐标；若不相似，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①，②相似，或 【分析】（1）根据矩形的性质求出，再代入，即可求解； （2）①先求出直线的表达式为，可得点M的坐标为，点P的坐标为，从而得到的长，即可求解；②由题意，得：，，，从而得到的长，再结合相似三角形的性质分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形的边，， ∴， ∴， 把点代入得： ，解得：； （2）解：①设直线的表达式为， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 又抛物线的表达式为， ∴由题意得：点M的坐标为，点P的坐标为， ∴， ∴h与m的函数关系式为，其中． ②由题意，得：，，， ， ∵， ∴若以P，C，F为顶点的三角形与相似，需分两种情况： 如图1，若，则， ∴， ∵，， ∴， 此时点E的坐标为； 如图2，若，则， ∴， ∵，， ∴， 此时点E的坐标为． 综上所述：当以P，C，F为顶点的三角形与相似时，点E的坐标为或 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，坐标与图形，相似三角形的性质，利用分类讨论思想和数形结合思想解答是解题的关键． 【变式5-2】如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且，． (1)求抛物线的表达式； (2)动点D在直线上方的二次函数图像上，连接，相交于E点，的面积为，的面积为，求的最大值及此时点D的坐标； (3)当点F为抛物线的顶点时，在坐标轴上是否存在一点M，使得以A，C，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或或 【分析】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握二次函数的图象及性质，待定系数法和相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）利用待定系数法解题即可； （2）过点D作轴交于点P，过点A作轴交于点Q，然后证明，表示出，求出直线的解析式为，点A的坐标为，点Q的坐标为，得到，设，则，，则，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）首先根据二次函数的解析式求出顶点坐标，然后证明，最后分情况利用相似三角形的判定及性质求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得： 解得，． 抛物线的表达式为； （2）过点D作轴交于点P，过点A作轴交于点Q， ∴， ∴， ∴ ∵的面积为，的面积为， ∴ 设直线的解析式为，将，代入得到， ， 解得 ∴直线的解析式为， 当时，，解得，或， ∴点A的坐标为， 当时，， ∴Q的坐标为， ∴， 设，则，， ∴， 当时，的最大值为， 当时，， ∴ （3）∵， ． 又，， ，，． ， ． 如图所示：连接． ，， ，． ， 又， ∽． 当Q的坐标为时，∽． 过点C作，交x轴与点． 为直角三角形，， ∽． 又∽， ∽． ， 即， 解得：． ． 过点A作，交y轴与点． 为直角三角形，， ∽． 又∽， ∽． ，即， 解得：． ， 综上所述：当M的坐标为或或时，以A，C，M为顶点的三角形与相似． 题型专练 1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，，连接，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为该抛物线对称轴上一点，求周长的最小值； (3)连接，，求的面积； 在该抛物线上是否存在点，使得的面积等于的面积？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)；点的坐标为或，理由见解析． 【分析】先由题意得出，的坐标，再用待定系数法求出解析式即可； 交直线于点，利用两点之间线段最短可得出此时的周长最小，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，求出的长则可得出答案； 根据可得出答案； 过点作交抛物线于点，设直线的解析式为，得出，联立直线和抛物线的解析式得，可求出点的坐标；同理求出，即可得出答案， 【详解】（1）解：， 点的坐标是， 又对称轴为直线， 设点的坐标是， 则有， 解得：， 点的坐标是， 将点、的坐标代入解析式， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如下图所示，当交直线于点P时，的周长最小， 由知，抛物线的对称轴直线是， 当时，， 点的坐标为， ， 又点的坐标是， ， 在中，， 在中，， 周长； （3）解：如下图所示，连接、、， 当时，， 点的坐标是， 点的坐标是，点的坐标是， ，， ， ； 设直线的解析式为， 把点，代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 如下图所示，过点作交抛物线于点， 设直线的解析式为， 把点代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 联立直线和抛物线的解析式可得：， 解得：(与点重合，舍去)或， 点的坐标是 ， ； 如下图所示，过点作直线交抛物线于点， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入解析式，可得：， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组， 解得：(与点重合，舍去)或， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，三角形的面积，勾股定理，坐标与图形等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键． 2. 如图，二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，连接，点P是抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式． (2)当点P不与点A、B重合时． ①当点P在直线的上方时，求的面积最大值． ②作直线，交直线于点Q，若的面积是面积的4倍，求点P的横坐标． 【答案】(1)； (2)①；②点的横坐标为或或． 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①过点作轴交于点，利用待定系数法求出直线的解析式为，设点，则，从而得出，利用二次函数的性质求最值即可； ②当在轴上方时，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，证明，得到，结合已知条件，得出，设点，则点的坐标可表示为，再结合在上，求出的值，得到点P的坐标；当在轴下方时，同理①可求出点的横坐标为或，即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：二次函数经过、， 代入得，解得， 二次函数的表达式为． （2）解：①如图，过点作轴交于点， 令，则， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， 设点，则， ， ， 当时， ②解：如图所示，当在轴上方时，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点， ∴ ∴， ， ， ， ， 设点， ，， ，， ， ， 点的坐标可表示为， 由①可知，直线的解析式为， 在上， ， 解得或． 即此时点P的坐标为或； 如图所示，当在轴下方时， 同理①可求出点的横坐标为或， ， 当点横坐标为时，在抛物线的段，不合题意，舍去， 综上所述，点的横坐标为或或． 3. 如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，在直线上方的抛物线上有一点M，使得的面积最大，求出M点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在以为腰的点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)共存在3个点，，，使是以为腰的等腰三角形 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，三角形面积的求法等； （1）利用待定系数法即可求得解析式； （2）设M的坐标为，根据即可得出的面积S关于n的函数关系式，进而求得M的坐标． （3）根据点P在抛物线对称轴上，可设点P的坐标为，分两种情况讨论，①，②，求出m的值后即可得出答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为. （2）解：如图，设M的坐标为， ∵． ∴， ∴，， ， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值是， ∴， ∴. （3）解：存在，理由如下： ∵抛物线与x轴交于、两点， ∴抛物线的对称轴为：，假设存在满足题意： ①当时， ， 解得：， ∴， ②当时，， 解得：，， ∴，， 综上，共存在3个点，，，使是以为腰的等腰三角形． 4. 如图1，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，计算出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)存在，点M的坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理等知识与方法，在解第（2）题时，应注意分类讨论，此题难度较大，属于压轴题． （1）先由直线与轴、轴分别交于点、点，求出点和点的坐标，再将点、点的坐标代入列方程组求出、的值即可； （2）存在以，，为顶点的等腰三角形，先由抛物线的解析式求出其顶点坐标和对称轴，再按或或为底边进行分类讨论，根据勾股定理或等腰三角形的性质分别求出的长即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于点、点， 当时，由得；当时，， ，， 把、代入，得，解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：存在． 理由如下： ， 该抛物线的顶点为，对称轴为直线， 设， ①等腰三角形以为底边，如图1所示： ， 由得，或， 或； ②等腰三角形以为底边，作于点，如图2所示： ， ， ， ， ； ③等腰三角形以为底边，作，交直线于点，如图3所示： ， ， ， ， ，， ，解得， ， ， 综上所述，点的坐标为或或或． 5. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是直角△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标； （3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）点E（，），F（，）；（3）存在，P1（，），P2（，），P3（，）． 【分析】（1）根据AC=BC，求出BC的长，进而得到点A，B的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）利用待定系数法求出直线AB的解析式，用含m的式表示出E，F的坐标，求出EF的长度最大时m的值，即可求得E，F的坐标； （3）分两种情况：∠E-90°和∠F=90°，分别得到点P的纵坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点P的值． 【详解】解：（1）∵OA=1，OC=4，AC=BC， ∴BC=5， ∴A（﹣1，0），B（4，5）， 抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点， ∴，解得：， ∴y=x2﹣2x﹣3； （2）设直线AB解析式为：y=kx+b， 直线经过点A，B两点， ∴，解得：， ∴直线AB的解析式为：y=x+1， 设点E的坐标为（m，m+1），则点F（m，m2﹣2m﹣3）， ∴EF=m+1﹣m2+2m+3=﹣m2+3m+4=﹣（m﹣）2+， ∴当EF最大时，m=， ∴点E（，），F（，）； （3）存在． ①当∠FEP=90°时，点P的纵坐标为， 即x2﹣2x﹣3=，解得：x1=，x2=， ∴点P1（，），P2（，）， ②当∠EFP=90°时，点P的纵坐标为， 即x2﹣2x﹣3=，解得：x1=，x2=（舍去）， ∴点P3（，）， 综上所述，P1（，），P2（，），P3（，）． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合题，掌握二次函数的性质和分类讨论思想是解题的关键． 6. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)写出点A，B，C的坐标； (2)点P为第一象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)若M为抛物线的对称轴上的一个动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)点、、的坐标分别为：、、； (2) (3)点的坐标为：或或或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性、图形的面积计算等，解题的关键是要注意分类求解，避免遗漏； （1）令，则或5，令，则，即可求解； （2）过点作轴交于，交直线于点，将问题转为，再利用二次函数的性质求解； （3）分为斜边、为斜边、为斜边三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：令，则或5，令，则， 故点、、的坐标分别为：、、； （2）解：设点，其中，过点作轴交于，交直线于点， 设直线：，将、代入其中， ，解得：， ， ， ， ， ，抛物线开口向下，其最大值在顶点处取得， ，代入上式得：最大值为， 面积的最大值；； （3）解：设点，而点、的坐标分别为：、， 则，，， ①当为斜边时，则，解得：； ②当为斜边时，同理可得：； ③当为斜边时，同理可得：或； 综上点的坐标为：或或或． 7. 综合与实践 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标________． 【答案】(1) (2)①四边形的面积最大为，点M的坐标为；②， 【分析】（1）将代入抛物线的解析式求得k的值，从而得到抛物线的解析式； （2）①连接，过点M作轴，交于点D．先求得点A、B的坐标，然后再求得直线的解析式，设，则，则，然后依据四边形的面积面积面积列出S与x的函数关系式，然后依据配方法求得二次函数的最大值，从而可求得点M的坐标； ②先求得抛物线的对称轴方程为，然后过点M作直线，垂足为D，设直线与x轴交于点E，先证明，从而得到，．设点，点．将点M的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而得到点M与点P的坐标． 【详解】（1）解：∵与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为，即； （2）①解：如图1所示：连接，过点M作轴，交于点D． 令得：， 解得：，， ∴、， 设直线的解析式为， ∵将、代入得：， 解得：，， ∴直线解析式为， 设，则，则， ∵四边形的面积面积面积， ∴四边形的面积 ， ∴当时，四边形的面积最大为，点M的坐标为． ②∵， ∴抛物线的对称轴为：直线， 如图2所示：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵点M在第三象限， ∴点在的下方， ∴，即， ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∴一定在下方，即点P在x轴下方， 过点M作直线，垂足为D，设直线与x轴交于点E， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中, ， ∴， ∴，， 设点，点， 将M点代入中得： ， 整理得：， 解得或， ∵点P在x轴的下方， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、全等三角形的性质和判断、求二次函数的最大值，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 8. 如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点A，B，C三点，点，点，点P是线段上方抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求面积的最大值； (3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合题、等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作x轴的垂线，交于点D，求得直线的解析式为，设，，则，进而得到，当时，有最大值，最大值为； （3）延长交x轴于点H，若为等腰直角三角形，则，由（2）知，根据抛物线的对称轴为得到或，据此列方程解答即可． 【详解】（1）解：将点，点代入得： 解得 因此，抛物线的解析式为； （2）解：过点P作x轴的垂线，交于点D， 将代入得， 则点， 设直线的解析式为， 将、代入得 ， 解得， 则直线的解析式为， 设，， 则， 因此， 当时，有最大值，最大值为； （3）解：存在点P使为等腰直角三角形，理由如下： 延长交x轴于点H，如图： ， ， ， ， ， 轴、轴， ， 若为等腰直角三角形，则， 由（2）知，设，，且，则， 抛物线的对称轴为直线， 或， 或， 解得或（不合题意舍去）或或（不合题意舍去）， 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 9. 如图1，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A(−3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接AD、CD、AC、BC． (1)请直接写出抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)求证：△ACD是直角三角形； (3)判断∠ACB和∠OAD的数量关系，并说明理由； (4)如图2，点F是线段AD上一个动点，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，请直接写出点F的坐标；若不相似，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为y=-x2-2x+3；顶点D的坐标为（-1，4）； (2)见解析 (3)∠OAD=∠ACB，理由见解析 (4)相似，F点的坐标为（-，）或（-2，2）． 【分析】（1）将A、B两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点D（-1，4）； （2）由A、C、D三点的坐标求出AC2=18，CD2=2，AD2=20，可得△ACD为直角三角形； （3）利用正切函数求得tan∠CAD和tan∠OCB的值，即可证明∠OAD=∠ACB； （4）分两种情况考虑：当∠AOF=∠ABC或∠AOF=∠CAB=45°时，可分别求出点F的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+3过点A（-3，0），B（1，0）， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3； ∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4， ∴顶点D的坐标为（-1，4）； （2）证明：∵y=-x2-2x+3， ∴C（0，3）， 在Rt△AOC中，OA=3，OC=3， ∴AC2=OA2+OC2=18， ∵D（-1，4），C（0，3），A（-3，0）， ∴CD2=12+12=2， ∴AD2=22+42=20， ∴AC2+CD2=AD2， ∴△ACD为直角三角形； （3）解：∠OAD=∠ACB，理由如下： 在Rt△ACD中，tan∠CAD=， 在Rt△OBC中，tan∠OCB=， ∴∠CAD=∠OCB， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA=45°， ∴∠OAD=∠ACB； （4）解：若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑： 当∠AOF=∠ABC时，△AOF∽△CBA， ∴OF∥BC， 设直线BC的解析式为y=kx+b， ∴，解得：， ∴直线BC的解析式为y=-3x+3， ∴直线OF的解析式为y=-3x， 设直线AD的解析式为y=mx+n， ∴，解得：， ∴直线AD的解析式为y=2x+6， ∴，解得：， ∴F（-，）； 当∠AOF=∠CAB=45°时，△AOF∽△CAB， ∴射线OF是第二象限的角平分线， ∴直线OF的解析式为y=-x， ∴，解得：， ∴F（-2，2）． 综上可得,F点的坐标为（-，）或（-2，2）． 【点睛】本题是二次函数的综合题：考查了二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、解直角三角形；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题是解题的关键． 10. 如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)点在轴上，直线将的面积分成两部分，请求出点的坐标； (3)如图，作轴于点，点是上方的抛物线上一点，是上一点，是否存在点使得与相似？若存在，请直接写出坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为； (2)或； (3)N；N 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式是，把二次函数整理成顶点坐标式，可得：，根据解析式可得点的坐标； （2）作点、三等分线段，根据平行线分线段成比例定理可知点、的横坐标是、，用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式可得点、的坐标，用待定系数法求出、的解析式，根据解析式求出点的坐标； （3）设点的坐标是，作，延长交于点，过点作，利用相似三角形的性质可知，点的坐标是，点的坐标是，利用待定系数法求出的解析式，根据点在直线上，即可求出点的坐标；作，作，可证，利用勾股定理求出的长度，根据全等三角形的性质可知的长度，利用相似三角形的性质即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式是； 把二次函数的解析整理，可得：， 抛物线的顶点的坐标为； （2）解：如下图所示，点、是线段的三等分点， 过点作，， 则， ， ， ， 点、的横坐标分别是、， 设直线的解析式是， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时，可得：， 当时，可得：， 点的坐标是，点的坐标是， 点和点在直线上， 直线与轴的交点坐标是， 即点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 当时，可得：， 解得：， 直线与轴的交点坐标是， 即点的坐标是， 综上所述，点的坐标是或； （3）解：点的坐标或， 设点的坐标是， 如下图所示，作，延长交于点，过点作， 点的坐标是，点的坐标是， ，，， ， ，， ， ， ， ， 点的坐标是， ， ， 在和中，， ， ， 点的坐标是， 即点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点，的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 整理得：， 解得：，(与点重合，舍去)， 当时，， 则， 点的坐标是； 如下图所示，作，作， 则， 当时，， 点的坐标是， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， 解得：， 点的横坐标是， 把代入， 可得：， 点的坐标是， 综上所述，点的坐标或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数中三角形问题 目录 典例详解 1 类型一、三角形面积问题 1 类型二、等腰三角形存在性问题 9 类型三、直角三角形存在性问题 17 类型四、等腰直角三角形存在性问题 25 类型五、相似三角形存在性问题 32 题型专练 42 典例详解 类型一、三角形面积问题 例1如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点， 与轴交于点，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式及对称轴； (2)是抛物线对称轴上一点，当时，求点的坐标； (3)将抛物线沿轴翻折得到抛物线，点的对应点分别为点．是直线上方抛物线 上的一点，求面积的最大值． 【变式1-1】如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P为直线上方抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，的面积有最大值？并求的面积的最大值； (3)抛物线上是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-2】如图，抛物线经过点，点，与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积； (3)抛物线上是否存在点，使的面积是面积的2倍，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二、等腰三角形存在性问题 例2如图①，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图②，点D是第二象限内抛物线上一点，且的面积为3时，求点D的坐标； (3)G是二次函数图象对称轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点G的坐标． 【变式2-1】抛物线交轴于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是线段上方抛物线上一动点，当的面积最大值时，求出此时点的坐标； (3)在抛物线对称轴上找一点，使以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出点的坐标． 【变式2-2】如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点D是抛物线的顶点，连接，． (1)求抛物线的解析式与直线的解析式； (2)若点P是直线上的一个动点，是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由 类型三、直角三角形存在性问题 例3如图，在平面直角坐标中，是直角三角形，，，，，抛物线经过、两点，抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是直角三角形斜边上一动点（点A、除外），过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一个点，使是以为直角边的直角三角形?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式3-1】如图，已知抛物线与y轴正半轴交于点A，顶点为B，连接，其中 (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上一点，当是以为直角边的直角三角形时，求点P的坐标． 【变式3-2】已知，如图所示，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)抛物线的对称轴是____________． (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 类型四、等腰直角三角形存在性问题 例4如图，抛物线与轴相交于点和点． (1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标； (2)在抛物线上有一点，过点作轴的垂线交轴于点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 【变式4-1】如图：已知抛物线与直线相交于点和点，点坐标为，点横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式和点坐标； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)求直线函数解析式； (4)若点是轴上方抛物线上的一个动点，轴交于点，若是等腰直角三角形，直接写出点坐标． 【变式4-2】如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点、的坐标； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标______． 类型五、相似三角形存在性问题 例5如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点(A在B的左边)，交y轴于点C，D是线段上一动点． (1)直接写出点A，B，C的坐标和直线的解析式； (2)如图1，过动点D作，交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积之和为S．求S的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)如图2，过动点D作轴于点E，交抛物线于点F，连接．试探究：点D在运动过程中与能否相似？若能相似，直接写出点D的横坐标t的取值；若不能相似，请说明理由． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的负半轴上，抛物线经过A，C两点，连接． (1)请直接写出b，c的值； (2)若动点在边（不与O，A两点重合）上，过点E作x轴的垂线l交于点F，交于点M，交抛物线于点P，连接． ①设线段的长为h，求h与m的函数关系式； ②当点P在下方的抛物线上时，以P，C，F为顶点的三角形与是否相似？若相似，请求出此时点E的坐标；若不相似，请说明理由． 【变式5-2】如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且，． (1)求抛物线的表达式； (2)动点D在直线上方的二次函数图像上，连接，相交于E点，的面积为，的面积为，求的最大值及此时点D的坐标； (3)当点F为抛物线的顶点时，在坐标轴上是否存在一点M，使得以A，C，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型专练 1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，，连接，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点为该抛物线对称轴上一点，求周长的最小值； (3)连接，，求的面积； 在该抛物线上是否存在点，使得的面积等于的面积？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标，说明理由． 2. 如图，二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，连接，点P是抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式． (2)当点P不与点A、B重合时． ①当点P在直线的上方时，求的面积最大值． ②作直线，交直线于点Q，若的面积是面积的4倍，求点P的横坐标． 3. 如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，在直线上方的抛物线上有一点M，使得的面积最大，求出M点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在以为腰的点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标． 4. 如图1，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，计算出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是直角△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标； （3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)写出点A，B，C的坐标； (2)点P为第一象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)若M为抛物线的对称轴上的一个动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 7. 综合与实践 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，四边形的面积最大？求出四边形的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标________． 8. 如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点A，B，C三点，点，点，点P是线段上方抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求面积的最大值； (3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 9. 如图1，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A(−3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接AD、CD、AC、BC． (1)请直接写出抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)求证：△ACD是直角三角形； (3)判断∠ACB和∠OAD的数量关系，并说明理由； (4)如图2，点F是线段AD上一个动点，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，请直接写出点F的坐标；若不相似，请说明理由． 10. 如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)点在轴上，直线将的面积分成两部分，请求出点的坐标； (3)如图，作轴于点，点是上方的抛物线上一点，是上一点，是否存在点使得与相似？若存在，请直接写出坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $