专题11成都2026年中考题型专项复习-方程不等式应用B24

方程不等式应用 目录 典例详解 1 类型一、一元一次方程应用 1 类型二、二元一次方程组应用 5 类型三、一元二次方程应用 9 类型四、分式方程应用 13 类型五、一元一次不等式应用 17 类型六、一元一次不等式组的应用 20 题型专练 24 典例详解 类型一、一元一次方程应用 例1十一过后随着天气逐渐变冷．空气净化器使用率增高．已知某超市经销A，B两种品牌的空气净化器，每个进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，10月份A，B两种品牌的空气净化器共售出20个，且销售A，B两种品牌的空气净化器的利润相同．该店10月份A，B两种品牌的空气净化器各售出多少个？ (2)根据实际需求，超市11月份计划购进这两种空气净化器共80个，其中B品牌m个．“双十一”超市为了促销，决定A品牌九五折销售，B品牌降价元销售，若全部售出所获得的利润与m无关，则a的值应该为多少？总利润为多少？ 【变式1-1】西双版纳的蜂蜜具有独特的风味．为了将新鲜蜂蜜运送到市场销售，需要使用专门的冷藏货车进行运输．现有两种型号的冷藏车，A型和B型，用于运输蜂蜜到甲市．请根据以下材料完成学习任务： 材料一：A型车的平均速度为80千米/小时，B型车的平均速度为100千米/小时．从西双版纳到甲市，B型车比A型车少用小时． 材料二：已知A型车每辆可装载6吨蜂蜜，B型车每辆可装载5吨蜂蜜．如果单独租用B型车，则恰好装完所有蜂蜜；若单独租用相同数量的A型车，则差8吨蜂蜜才能装载满． 材料三：在材料一与材料二的条件下，冷藏车运完蜂蜜从西双版纳到甲市的相关数据如表所示： 路费单价 冷柜使用单价 5元/（千米∙辆） A型冷柜车 B型冷柜车 16元/（小时∙辆） 18元/（小时∙辆） (1)求A型车从西双版纳到甲市用了多少小时？ (2)求这批蜂蜜共有多少吨？ (3)本次蜂蜜从西双版纳到甲市的运输，选择A、B型车共7辆，且恰好装完所有蜂蜜，求总费用是多少元？ 【变式1-2】甲、乙两人从A，B两地同时出发，甲前往B地，乙前往A地，途经休息区时甲休息1小时后加速行驶，而乙没有休息继续原速行驶，结果甲比乙早到达目的地0.5小时，甲、乙两人离各自出发地的路程y（千米）与乙出发的时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)求甲休息前的速度和乙的速度； (2)求加速后甲离出发地的路程y与乙出发的时间x之间的函数关系式； (3)请直接写出乙出发多少小时两人相距30千米． 类型二、二元一次方程组应用 例2石西经贸兴趣小组同学计划在春节前购进对联和灯笼两种商品进行销售，据了解得知，若购进40副对联和25对灯笼需要310元，若购进50副对联和50对灯笼需要500元． (1)求每副对联和每对灯笼的进价各是多少； (2)经贸兴趣小组同学们计划将一天中灯笼销售的全部利润捐给儿童福利院．经调研发现当灯笼每对售价为10元时，每天可以销售灯笼50对，且灯笼售价每升高0.5元/对，日销量减少3对，若经贸兴趣小组希望向儿童福利院捐款228元，且尽量优惠顾客，求此时每对灯笼的售价应为多少元． 【变式2-1】将吨物资从地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共辆，恰好一次性运完这批物资，已知这两种货车的载重量分别为吨辆和吨辆，运往甲、乙两地的运费如下表： 甲地（元辆） 乙地（元辆） 大货车 小货车 (1)这两种货车各需多少辆？ (2)如果安排辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为辆，请写出运费（元）与的函数关系式．若运往甲地的物资不少于吨，请设计出货车调配方案，并求出最少运费． 【变式2-2】某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元.某商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． (1)求毛巾和扫把簸箕套装的单价； (2)如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 答：学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾． 类型三、一元二次方程应用 例3某科技公司研发出了一款电子产品，成本为30元／件．试营销阶段发现：当售价为35元／件时，每天的销量为250件；当每件售价每上涨1元时，每天的销量就减少10件．设每件售价为元（为正整数）． (1)当每天的利润为2000元时，为了拓展市场，每件产品的售价应定为多少元？ (2)若要求每天的销量不少于100件，且每件产品的利润至少为18元．当每件售价定为多少时，每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ 【变式3-1】商场购进某种新商品每件进价为元，在试销期间发现，当每件商品的售价为元时，每天可销售件．当每件商品的售价高于元时，每涨价元，日销售量就减少件，在涨价的情况下，设每件商品的售价为元，商场每天销售这种商品获得的利润为元．请回答下列问题． (1)当每件商品的售价为元时，该商场日销售量为______件； (2)商场销售该商品每天盈利能否达到元？若能，求出每件该商品的售价；若不能，请说明理由． (3)当每件商品售价定为多少元时，该商场每天销售这种商品所获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【变式3-2】今年橙子丰收的季节到了，我市的橙子开始上市，嗅到商机的水果批发商用3500元向果农王大爷购进3000千克A、B两个不同的品种的橙子来销售，单价分别为每千克1元和1.5元 (1)问批发商分别购进两个品种的橙子各多少千克？ (2)批发商在销售完后获得了的利润，因为有了销售经验，在购进第二批时根据第一次的销售情况做了如下调整：将B品种的进价降低了，A品种的购进数量增加的百分数和B品种的数量减少的百分数相同，这样刚好又用完3500元 ①第二次购进A、B两个品种的橙子各多少千克？ ②销售第二批橙子时，品种A先在进价的基础上提价后销售，在销售了1600千克的时候又根据销售情况作出调整再次提价，且两次提价的百分数相等，这样A类销售完获得的利润比第一次总利润少50元，求A类第一次的标价是多少？ 类型四、分式方程应用 例4重庆正全力打造集成电路产业集群，奥松半导体作为本地智能传感器领域龙头企业，计划生产甲、乙两款车载智能传感器，核心构成零件为车规级主控芯片和传感器模块（简称传感器模块）．研发团队发现用54个主控芯片、68个传感器模块，每天恰好能制作10个甲款传感器和8个乙款传感器．其中制作1个甲款传感器所需主控芯片与传感器模块的数量之比是，制作1个乙款传感器所需主控芯片与传感器模块的数量之比是． (1)求制作一个甲款传感器和一个乙款传感器分别需要主控芯片、传感器模块多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产甲款传感器增加的数量是乙款传感器每天增加数量的倍．若生产甲、乙两款传感器各320个，乙比甲多用4天，求每天生产的乙款传感器增加的数量． 【变式4-1】本学期，我们学习了很多尺规作图的相关知识，数学老师为了激励学生规范作图，决定购买圆规和铅笔奖励给作图优秀的学生．若购买3个圆规和4支铅笔共花费38元；若购买5个圆规和2支铅笔共花费54元． (1)请问圆规和铅笔的单价分别为多少元？ (2)老师的奖励起到了非常好的效果，越来越多的学生作图规范，老师决定再购买一批圆规和铅笔奖励给学生，并且商家降价优惠卖给老师，其中铅笔的售价降低a元，圆规的售价降低元．老师花30元购买2B铅笔，花180元购买圆规，此次购买圆规和2B铅笔的数量相同，求的值． 【变式4-2】某球迷协会为助威川超球队，计划采购两款球队周边商品：主场纪念球衣和助威围巾．已知采购主场纪念球衣的费用为18000元，采购助威围巾的费用为7000元，且采购的主场纪念球衣数量比助威围巾多100件，主场纪念球衣的单价是助威围巾单价的2倍． (1)求该球迷协会采购的主场纪念球衣和助威围巾的单价各是多少元？ (2)为满足球迷观赛需求，该协会计划再次采购这两款商品共1500件，其中主场纪念球衣的数量不少于助威围巾数量的．若再次采购总费用不超过42000元，问该协会怎样采购总费用最少？最少为多少钱？ 类型五、一元一次不等式应用 例5某学校计划订购数独棋个，魔方若干（多于个），且单独在商店或者商店购买．经调查发现，同一款的魔方和数独棋在、两家商店标价均相同，其中数独棋每个标价元，魔方每个标价元，但两家商店都开展了不同的促销活动．优惠方式如下： 商店：魔方和数独棋都按九折出售；商店：买两个数独棋送一个魔方． (1)若订购魔方的数量是个，如果只在商店订购，购买魔方和数独棋的总费用为________元． (2)当订购魔方的数量是多少个时，在、两家商店订购魔方和数独棋的总费用相同． (3)根据魔方的购买数量，设计一种省钱的订购方案． 【变式5-1】2025年5月24日至26日，第四届湖南旅游发展大会在岳阳市举行，此次大会的吉祥物为“岳小楼”和“江小豚”．某玩具店看准商机，购进了一批“岳小楼”和“江小豚”的玩偶．已知购进2个“岳小楼”玩偶和3个“江小豚”玩偶共需85元，购进1个“岳小楼”玩偶和2个“江小豚”玩偶共需50元． (1)每个“岳小楼”和“江小豚”玩偶的进价分别是多少元？ (2)该玩具店计划购进两种玩偶共100个，且每个“岳小楼”玩偶的售价为40元，每个“江小豚”玩偶的售价为30元．若将所有玩偶全部售出，且利润不得低于1600元，则至少需要购进多少个“岳小楼”玩偶？ 【变式5-2】某校计划购买一批航空、航海模型．已知航空模型的单价比航海模型的单价多元，用元购买航空模型的数量是用元购买航海模型数量的． (1)求航空模型和航海模型的单价； (2)学校购买时恰逢促销活动：航空模型八折优惠．若购买航空模型、航海模型共个，且航空模型数量不少于航海模型数量的一半，学校购买两种模型的花费不超过元，请问购买航空模型的个数最少是多少，最多是多少？ 类型六、一元一次不等式组的应用 例6海南自贸港某跨境物流企业，为拓展农产品冷链运输业务分两批次采购新能源冷链运输车．第一批购进1辆型冷链车、4辆型冷链车，共花费68万元；第二批购进2辆型冷链车、3辆型冷链车，共花费76万元（同类型车辆进价不变）．该企业采购经理估计：每辆A型冷链车进价约万元，每辆B型冷链车进价约万元． (1)求、两种型号冷链车的进价，并判断采购经理的估计是否正确； (2)该企业计划再次采购、两种型号冷链车共10辆，用于自贸港热带农产品运输，且采购总费用不超过180万元，其中型冷链车至少采购3辆，求该企业有几种可行的采购方案． 【变式6-1】文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍的进货单价比A类书籍进货单价多20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元． (1)求A、B这两种书籍的进货单价． (2)若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店老板决定仍购进A、B两类书籍共240本，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部售出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案． (3)哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？ 【变式6-2】随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中，某公司研发出型和型两款扫地机器人，已知台型机器人和台型机器人每小时刚好可以清洁平方米，台型机器人和台型机器人每小时刚好可以清洁平方米． (1)一台型机器人和一台型机器人每小时各清洁多少平方米？（列方程组解应用题） (2)某家居店计划向机器人公司购进一批型和型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁平方米，若设型机器人有台，型机器人有台，请用含的代数式表示，并直接写出的最小值． 题型专练 1. 通过与机器人技术的结合，快递分拣实现了从“人工识别粗放操作”到“智能识别精准作业”的升级，大幅提升了效率和准确性．某快递公司研发了两款智能分拣机器人甲和乙．现对一批包裹进行分拣，已知甲、乙两机器人分拣总数均为3000个，其分拣包裹数量y（单位：个）与工作时间x（单位：分钟）的关系如图所示． (1)乙机器人分拣包裹的速度是______个/分，12分钟时，甲和乙机器人分拣的包裹数量相差______个． (2)由于包裹条码破损，甲机器人视觉系统识别异常，降低了分拣速度，降速后甲机器人的分拣速度是最初分拣速度的，求甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间． (3)求整个分拣过程中两机器人分拣数量差不超过200个的总持续时间． 2. 某商场将某种服装按照成本价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍然获利15元． (1)这种服装每件的成本是多少元？ (2)本商场为了在新年前吸引更多的顾客，进一步推出如下优惠活动：一、本商场所有商品一律按照标价进行八折优惠；二、打八折以后，每满1000再减100元，即若打八折后售价不足1000元就不再减价，打八折后大于等于1000元且小于2000就再减100元，打八折后大于等于2000且小于3000就再减200元，以此类推．小聪、小慧两位的妈妈，分别选中了标价1200和1500元的两件商品． ①若两人一起参加优惠活动并一起支付，比两人分开支付的总和便宜多少元？ ②请问小智的妈妈再选一件标价至少为多少元的商品和她们两人一起参加优惠活动并一起支付，能比三人分别支付的总和便宜200元． 3. 绿动未来—追踪碳排放 【素材呈现】 素材一：在对A城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车与10辆电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里的总排放量则为1374克． 素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收111千克的二氧化碳． 【问题解决】 (1)问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是多少克？ 问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克．求w与a的函数关系式； (2)杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过30棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 4. 山西运城被誉为“北方水果之乡”，近年来通过品种改良与科学种植，苹果产业快速发展．2023年某果园种植“万荣”苹果平均亩产量约为，为了提高“万荣”苹果产量，该果园大力推广“大苗建园，宽行密植”种植模式及智能化管理技术，到2025年平均亩产量达到． (1)若该果园2023年到2025年种植“万荣”苹果平均亩产量的年增长率相同，求该果园种植“万荣”苹果平均亩产量的年平均增长率； (2)2025年该果园苹果大丰收，老板在销售苹果时发现若以每箱75元出售时，每天可卖400箱．若每箱涨价0.5元时，日销售量就减少5箱．已知每箱苹果的成本为45元．求每箱苹果涨价多少元时，日销售总利润最大？最大利润是多少元？ 5. 某商店经销一种成本为每千克元的水产品，据市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出，销售单价每千克每涨元，月销售量就减少，解答以下问题． (1)当销售单价定为每千克元时，计算销售量和月销售利润； (2)设销售单价为每千克元，月销售利润为元，请求出与之间的函数关系式； (3)若商店想减少库存，并使得月销售利润达到元，则销售单价应为每千克多少元？ 6. 为庆祝伟大祖国建国76周年，某文创店近期推出一款进价为30元的纪念品，若按每个40元的售价销售，平均每天可售出600个，经市场调研发现，该纪念品售价每上涨1元，平均每天的销量就会减少10个，请根据以上信息回答下列问题： (1)若文创店为了尽快减少库存，想实现每天获得10000元的利润，求此时每个纪念品涨价多少元？ (2)该文创店每天销售这款纪念品的最大利润是多少？此时对应的售价为多少元？ 7. 禹迹岛公园运用森城景观设计手法，借助城市山水、文化资源的联动，构建了景城一体的生态人居环境．建成后的公园成为市民休闲健身好去处．为保护好公园绿化，公园管理方准备购买、两种树苗，购买种树苗花了13500元，购买种树苗花了14400元，种树苗的单价比种树苗的单价高了，购买种树苗的数量比购买种树苗的数量少100棵． (1)求、两种树苗的单价分别是多少元？ (2)为扩大公园绿化面积，管理方准备再次购进、两种树苗共200棵，且总金额不超过7900元，则最多可以购进多少棵种树苗? 8. “你好！我是豆包，很高兴见到你！我能为你提供多种服务，比如解答各类知识疑问、陪你聊天解闷、协助进行内容创作等”．人工智能从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”．某设计工作室自使用豆包后，每名设计员每天比原来多设计件作品，且每名设计员使用豆包设计件作品所用时间与原来设计件作品所用时间相等． (1)问该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计多少件作品？ (2)该工作室共有设计员人，由于工作需要，该设计工作室只有一部分成员使用豆包设计作品，要使每天设计作品总数不少于件，则该工作室至少有多少人使用豆包设计作品？ 9. “兴华”商店欲购进A、B两种商品，已知每件A种商品比每件B种商品多6元，且用320元购进的A种商品是用150元购进的B种商品的倍． (1)求每件A种商品与每件B种商品进价各是多少元？ (2)商店购进这两种商品恰好用880元，且A种商品以每件20元出售，B种商品提价出售，若两种商品全部售出后，所获利润不少于320元，求至少购进B种商品多少件？ 10. 为了响应“绿色出行”的号召，尉氏县推出了共享单车服务，某公司准备在尉氏县投放共享单车，前期投入了固定成本20000元，每投放一辆共享单车，还需要额外投入100元．预计每辆共享单车每月可产生收益300元（不考虑共享单车的损耗）． (1)设投放x辆共享单车，前期总投入为元，每月总收益为元，分别写出，与x的函数关系式； (2)若该公司希望第一个月就能收回前期总投入，求至少需要投放多少辆共享单车？ (3)实际投放时，由于市场需求，该公司投放了200辆共享单车，求投放后第几个月开始盈利？ 11. 某商店决定购进A，B两种纪念品．已知每件A种纪念品的价格比每件B种纪念品的价格多5元，用800元购进A种纪念品的数量与用400元购进B种纪念品的数量相同． (1)求购进A，B两种纪念品每件各需多少元； (2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于800元，且不超过850元，则该商店共有几种进货方案？ 12. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买两种型号的充电桩，已知型充电桩比型充电桩的单价少万元，且用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等． (1)两种型号充电桩的单价各是多少万元？ (2)该停车场计划购买型充电桩共个，购买总费用不超过万元，且购买型充电桩的数量不少于型充电桩数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？最少费用是多少万元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 方程不等式应用 目录 典例详解 1 类型一、一元一次方程应用 1 类型二、二元一次方程组应用 5 类型三、一元二次方程应用 9 类型四、分式方程应用 13 类型五、一元一次不等式应用 17 类型六、一元一次不等式组的应用 20 题型专练 24 典例详解 类型一、一元一次方程应用 例1十一过后随着天气逐渐变冷．空气净化器使用率增高．已知某超市经销A，B两种品牌的空气净化器，每个进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，10月份A，B两种品牌的空气净化器共售出20个，且销售A，B两种品牌的空气净化器的利润相同．该店10月份A，B两种品牌的空气净化器各售出多少个？ (2)根据实际需求，超市11月份计划购进这两种空气净化器共80个，其中B品牌m个．“双十一”超市为了促销，决定A品牌九五折销售，B品牌降价元销售，若全部售出所获得的利润与m无关，则a的值应该为多少？总利润为多少？ 【答案】(1)A品牌售出12个，B品牌售出8个 (2)a的值为560，总利润为39200元 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用（利润问题）、代数式的无关性问题： （1）先计算A和B的单个商品的利润，再设A品牌销售量为个，B品牌为个，根据等量关系是“A的总利润的总利润”列方程求解即可； （2）计算折扣后A和B的单个利润，列出总利润表达式，化简并分析无关性：由于利润与无关，故的系数需为0，求出a的值和总利润即可． 【详解】（1）解：A品牌单个利润：（元）； B品牌单个利润：（元）． 设A品牌售出个，则B品牌售出个，由它们的利润相同列方程： 化简得：，解得， ∴A品牌售出12个，B品牌售出（个）． （2）解：A品牌售价：（元），单个利润：（元）； B品牌单个利润：元． 设B品牌购进个，则A品牌购进个，设总利润为， 则， 由“利润与无关”，的系数需为0，即，解得， 此时总利润元． 【变式1-1】西双版纳的蜂蜜具有独特的风味．为了将新鲜蜂蜜运送到市场销售，需要使用专门的冷藏货车进行运输．现有两种型号的冷藏车，A型和B型，用于运输蜂蜜到甲市．请根据以下材料完成学习任务： 材料一：A型车的平均速度为80千米/小时，B型车的平均速度为100千米/小时．从西双版纳到甲市，B型车比A型车少用小时． 材料二：已知A型车每辆可装载6吨蜂蜜，B型车每辆可装载5吨蜂蜜．如果单独租用B型车，则恰好装完所有蜂蜜；若单独租用相同数量的A型车，则差8吨蜂蜜才能装载满． 材料三：在材料一与材料二的条件下，冷藏车运完蜂蜜从西双版纳到甲市的相关数据如表所示： 路费单价 冷柜使用单价 5元/（千米∙辆） A型冷柜车 B型冷柜车 16元/（小时∙辆） 18元/（小时∙辆） (1)求A型车从西双版纳到甲市用了多少小时？ (2)求这批蜂蜜共有多少吨？ (3)本次蜂蜜从西双版纳到甲市的运输，选择A、B型车共7辆，且恰好装完所有蜂蜜，求总费用是多少元？ 【答案】(1)A型车从西双版纳到甲市用了小时 (2)这批蜂蜜共有40吨 (3)总费用为21816元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． （1）设A型车从西双版纳到甲市用了x小时，则B型车从西双版纳到甲市用了小时，根据路程等于速度乘以时间，且A型车和B型车的路程相等建立方程求解即可； （2）设这批蜂蜜共有y吨，根据A型车和B型车的数量相同建立方程求解即可； （3）设租用A型车m辆，则租用B型车辆，根据蜂蜜共有40吨建立方程求出m的值，再分别计算出A型车和B型车的费用，二者求和即可得到答案． 【详解】（1）解：设A型车从西双版纳到甲市用了x小时，则B型车从西双版纳到甲市用了小时， 由题意得，， 解得， 答：A型车从西双版纳到甲市用了小时； （2）解：设这批蜂蜜共有y吨， 由题意得，， 解得， 答：这批蜂蜜共有40吨； （3）解：设租用A型车m辆，则租用B型车辆， 由题意得，， 解得， ∴， ∴租用A型车5辆，租用B型车2辆， 由（1）可知西双版纳到甲市的距离为千米， B型车从西双版纳到甲市用了小时， 元， 答：总费用为21816元． 【变式1-2】甲、乙两人从A，B两地同时出发，甲前往B地，乙前往A地，途经休息区时甲休息1小时后加速行驶，而乙没有休息继续原速行驶，结果甲比乙早到达目的地0.5小时，甲、乙两人离各自出发地的路程y（千米）与乙出发的时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)求甲休息前的速度和乙的速度； (2)求加速后甲离出发地的路程y与乙出发的时间x之间的函数关系式； (3)请直接写出乙出发多少小时两人相距30千米． 【答案】(1)甲休息前的速度为75千米/时，乙的速度为60千米/时 (2) (3)乙车出发2小时或3小时，相距30千米 【分析】本题考查函数图象，一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，是解题的关键． （1）根据甲车出发2小时，甲车的路程为150千米，乙车出发2.5小时，乙车的路程为150千米，利用路程除以时间，即可得解； （2）先求出C、E的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （3）设乙车出发x小时后两车相距30千米，由两车相向而行，故分相遇之前和相遇之后，两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：根据题意，得：甲休息前的速度为千米/时；乙的速度为千米/时； （2）解：乙车从B地到A地所用的时间为小时， ∵甲比乙早到达目的地0.5小时， ∴， 又， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴； （3）解：两车相遇前， 根据题意，得， 解得； 两车相遇后， 根据题意，得， 解得， 答：乙车出发2小时或3小时，相距30千米 类型二、二元一次方程组应用 例2石西经贸兴趣小组同学计划在春节前购进对联和灯笼两种商品进行销售，据了解得知，若购进40副对联和25对灯笼需要310元，若购进50副对联和50对灯笼需要500元． (1)求每副对联和每对灯笼的进价各是多少； (2)经贸兴趣小组同学们计划将一天中灯笼销售的全部利润捐给儿童福利院．经调研发现当灯笼每对售价为10元时，每天可以销售灯笼50对，且灯笼售价每升高0.5元/对，日销量减少3对，若经贸兴趣小组希望向儿童福利院捐款228元，且尽量优惠顾客，求此时每对灯笼的售价应为多少元． 【答案】(1)每副对联进价4元，每对灯笼进价6元 (2)此时每对灯笼的售价为12元 【分析】本题考查运用二元一次方程组和一元二次方程解决实际问题，理解题意找出等量关系是解题的关键； （1）设每副对联进价a元，每对灯笼进价b元．根据题意列方程组解答即可； （2）设每对灯笼在10元的基础上涨价x元，根据题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：设每副对联进价a元，每对灯笼进价b元． 由题得 解得 答：每副对联进价4元，每对灯笼进价6元． （2）解：设每对灯笼在10元的基础上涨价x元． 由题得 解得， ∵要尽量优惠顾客 ∴ ∴（元） 答：此时每对灯笼的售价为12元． 【变式2-1】将吨物资从地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共辆，恰好一次性运完这批物资，已知这两种货车的载重量分别为吨辆和吨辆，运往甲、乙两地的运费如下表： 甲地（元辆） 乙地（元辆） 大货车 小货车 (1)这两种货车各需多少辆？ (2)如果安排辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为辆，请写出运费（元）与的函数关系式．若运往甲地的物资不少于吨，请设计出货车调配方案，并求出最少运费． 【答案】(1)需要大货车辆，需要小货车辆； (2)运往甲地的大货车辆，小货车辆，运往乙地的大货车辆，小货车辆，最少运费为元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的运用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设需要大货车辆，需要小货车辆，根据题意得，然后解方程组即可； （）由题意可得，然后求出，又，则随的增大而增大，则当时，最小，最小值为，从而求解． 【详解】（1）解：设需要大货车辆，需要小货车辆，根据题意得： ， 解得， 答：需要大货车辆，需要小货车辆； （2）解：根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∴时，最小，最小值， 答：运往甲地的大货车辆，小货车辆，运往乙地的大货车辆，小货车辆．最少运费为元． 【变式2-2】某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元.某商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． (1)求毛巾和扫把簸箕套装的单价； (2)如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 【答案】(1)毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元 (2)学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设毛巾的单价是元，扫把簸箕套装的单价是元，根据“买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设学校应购进套扫把簸箕套装，则购进条毛巾，分别按两种优惠方案购买，根据“总费用不超过480元，且购进扫把簸箕套装不少于50套”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的值（即购进扫把簸箕套装的数量），再将其代入中，即可求出购进毛巾的数量． 【详解】（1）解：设毛巾的单价是元，扫把簸箕套装的单价是元， 根据题意得：， 解得． 答：毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元． （2）解：设学校应购进套扫把簸箕套装，则购进条毛巾， 按方案1购买时， ，解得， ∴（条）． 按方案2购买时， ， ∵该不等式组无解，∴不能按方案2购买． 答：学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾． 类型三、一元二次方程应用 例3某科技公司研发出了一款电子产品，成本为30元／件．试营销阶段发现：当售价为35元／件时，每天的销量为250件；当每件售价每上涨1元时，每天的销量就减少10件．设每件售价为元（为正整数）． (1)当每天的利润为2000元时，为了拓展市场，每件产品的售价应定为多少元？ (2)若要求每天的销量不少于100件，且每件产品的利润至少为18元．当每件售价定为多少时，每天的销售利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】(1)每件产品的售价应定为元； (2)当每件售价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润为元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，二次函数的应用． （1）根据题意求出每天的利润为元，根据利润为2000元列方程求解，根据“拓展市场”取合适的值作答即可； （2）根据题意求出x的取值范围，设每天的销售利润为y，由（1）知，进而根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：∵每件售价为元， ∴售价上涨元，每天的销量减少件，每件利润为元， 则每天的销量为件， 则每天的利润为元， ∵每天的利润为2000元， ∴， 即 解得：， ∵拓展市场， ∴， 即每件产品的售价应定为元； （2）解：∵要求每天的销量不少于100件，且每件产品的利润至少为18元 ∴且， 解得：且， 即， 设每天的销售利润为y， 由（1）知 ， 可知对称轴为直线 ∵， ∴在对称轴右侧，y随x增大而减小， ∵， ∴当时，每天的销售利润最大，最大利润元， 即当每件售价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润为元． 【变式3-1】商场购进某种新商品每件进价为元，在试销期间发现，当每件商品的售价为元时，每天可销售件．当每件商品的售价高于元时，每涨价元，日销售量就减少件，在涨价的情况下，设每件商品的售价为元，商场每天销售这种商品获得的利润为元．请回答下列问题． (1)当每件商品的售价为元时，该商场日销售量为______件； (2)商场销售该商品每天盈利能否达到元？若能，求出每件该商品的售价；若不能，请说明理由． (3)当每件商品售价定为多少元时，该商场每天销售这种商品所获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)； (2)不能，见解析； (3)商场销售该商品销售单价为元时，该商场每天销售利润最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和函数解析式． （1）每件商品的售价为元时，日销售量减少件，即可得解； （2）根据题意列出方程，根据根的判别式可知方程没有实数根，则商场每天盈利不能达到元； （3）设商场销售该商品每天盈利元，根据商场每天获得利润每件商品的利润日销售量列出函数解析式，再根据函数的性质求最值． 【详解】（1）解：由题意可得， 当每件商品的售价为元时，（件）， （2）假设商场销售该商品每天盈利能达到元， 则根据题意得： ， 整理得：， ∵， ∴方程没有实数根， ∴商场销售该商品每天盈利不能达到元； （3）设商场销售该商品每天盈利元， 根据题意得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：商场销售该商品销售单价为元时每天销售利润最大，最大利润是元． 【变式3-2】今年橙子丰收的季节到了，我市的橙子开始上市，嗅到商机的水果批发商用3500元向果农王大爷购进3000千克A、B两个不同的品种的橙子来销售，单价分别为每千克1元和1.5元 (1)问批发商分别购进两个品种的橙子各多少千克？ (2)批发商在销售完后获得了的利润，因为有了销售经验，在购进第二批时根据第一次的销售情况做了如下调整：将B品种的进价降低了，A品种的购进数量增加的百分数和B品种的数量减少的百分数相同，这样刚好又用完3500元 ①第二次购进A、B两个品种的橙子各多少千克？ ②销售第二批橙子时，品种A先在进价的基础上提价后销售，在销售了1600千克的时候又根据销售情况作出调整再次提价，且两次提价的百分数相等，这样A类销售完获得的利润比第一次总利润少50元，求A类第一次的标价是多少？ 【答案】(1)批发商购进橙子A为2000千克，B为1000千克 (2)①2600千克，700千克；②1.5元/千克 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设A为x千克，则B为千克，利用购进两种水果一共用3500元列方程求解即可； （2）①设A第二次购进数量增加的百分数为a，利用“将B品种的进价降低了，A品种的购进数量增加的百分数和B品种的数量减少的百分数相同，这样刚好又用完3500元”列方程求解即可； ②A每次提价的百分数为m，利用“这样A类销售完获得的利润比第一次总利润少50元”，列方程求解即可. 【详解】（1）解：设A为x千克，则B为千克 解得： 答：批发商购进橙子A为2000千克，B为1000千克. （2）解：①设A第二次购进数量增加的百分数为a，则可以列方程 ∴千克 千克 ②设A每次提价的百分数为m 第一次总利润为：元 可列方程 解得：或（舍去） 元/千克 答：A第一次标价为元/千克. 类型四、分式方程应用 例4重庆正全力打造集成电路产业集群，奥松半导体作为本地智能传感器领域龙头企业，计划生产甲、乙两款车载智能传感器，核心构成零件为车规级主控芯片和传感器模块（简称传感器模块）．研发团队发现用54个主控芯片、68个传感器模块，每天恰好能制作10个甲款传感器和8个乙款传感器．其中制作1个甲款传感器所需主控芯片与传感器模块的数量之比是，制作1个乙款传感器所需主控芯片与传感器模块的数量之比是． (1)求制作一个甲款传感器和一个乙款传感器分别需要主控芯片、传感器模块多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产甲款传感器增加的数量是乙款传感器每天增加数量的倍．若生产甲、乙两款传感器各320个，乙比甲多用4天，求每天生产的乙款传感器增加的数量． 【答案】(1)制作一个甲款传感器分别需要主控芯片和传感器模块分别为3个，2个，制作一个乙款传感器，分别需要主控芯片和传感器模块3个，6个 (2)8个 【分析】此题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）制作一个甲款传感器分别需要主控芯片和传感器模块分别为3x个，2x个，制作一个乙款传感器，分别需要主控芯片和传感器模块y个，2y个，根据题意列出方程组并解方程组即可； （2）设乙款传感器每天增加4m个，甲款传感器每天增加5m个，乙比甲多用4天，据此列方程，解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解：设制作一个甲款传感器分别需要主控芯片和传感器模块分别为3x个，2x个，制作一个乙款传感器，分别需要主控芯片和传感器模块y个，2y个，依题意得： 解得 制作一个甲款传感器分别需要主控芯片：个，需要传感器模块为个 制作一个乙款传感器分别需要主控芯片：个，需要传感器模块为个 答：制作一个甲款传感器分别需要主控芯片和传感器模块分别为3个，2个，制作一个乙款传感器，分别需要主控芯片和传感器模块3个，6个． （2）设乙款传感器每天增加4m个，甲款传感器每天增加5m个，依题意得： 解得： 检验：当时是原方程的解． 乙每天增加个 答：每天生产的乙款传感器的增加的数量为8个． 【变式4-1】本学期，我们学习了很多尺规作图的相关知识，数学老师为了激励学生规范作图，决定购买圆规和铅笔奖励给作图优秀的学生．若购买3个圆规和4支铅笔共花费38元；若购买5个圆规和2支铅笔共花费54元． (1)请问圆规和铅笔的单价分别为多少元？ (2)老师的奖励起到了非常好的效果，越来越多的学生作图规范，老师决定再购买一批圆规和铅笔奖励给学生，并且商家降价优惠卖给老师，其中铅笔的售价降低a元，圆规的售价降低元．老师花30元购买2B铅笔，花180元购买圆规，此次购买圆规和2B铅笔的数量相同，求的值． 【答案】(1)圆规的单价为10元，2B铅笔的单价为2元 (2)a的值为 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． （1）设圆规的单价为x元，铅笔的单价为y元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）根据“花30元购买铅笔，花180元购买圆规，此次购买圆规和铅笔的数量相同”列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设圆规的单价为x元，2B 铅笔的单价为y元， 依题意得：，      解得，            答：圆规的单价为10元，铅笔的单价为2元； （2）解：依题意得：， 解得， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：a的值为． 【变式4-2】某球迷协会为助威川超球队，计划采购两款球队周边商品：主场纪念球衣和助威围巾．已知采购主场纪念球衣的费用为18000元，采购助威围巾的费用为7000元，且采购的主场纪念球衣数量比助威围巾多100件，主场纪念球衣的单价是助威围巾单价的2倍． (1)求该球迷协会采购的主场纪念球衣和助威围巾的单价各是多少元？ (2)为满足球迷观赛需求，该协会计划再次采购这两款商品共1500件，其中主场纪念球衣的数量不少于助威围巾数量的．若再次采购总费用不超过42000元，问该协会怎样采购总费用最少？最少为多少钱？ 【答案】(1)主场纪念球衣的单价为40元，助威围巾的单价为20元 (2)采购主场纪念球衣300件和助威围巾1200件时，总费用最少，最少为36000元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设该球迷协会采购的助威围巾的单价是x元，则采购的主场纪念球衣的单价为元，根据采购的主场纪念球衣数量比助威围巾多100件，列出方程，解方程即可； （2）设采购主场纪念球衣m件，则购买助威围巾件，根据主场纪念球衣的数量不少于助威围巾数量的．若再次采购总费用不超过42000元，列出不等式组，解不等式组，得出m的取值范围，设采购总费用为w元，求出w关于m的函数关系，根据一次函数解析式，求出结果即可． 【详解】（1）解：设该球迷协会采购的助威围巾的单价是x元，则采购的主场纪念球衣的单价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， （元）， 答：主场纪念球衣的单价为40元，助威围巾的单价为20元； （2）解：设采购主场纪念球衣m件，则购买助威围巾件，根据题意得： ， 解得：， 设采购总费用为w元，根据题意得： ， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∵， ∴当时，w最小，最小费用为：（元）， （件）， 答：采购主场纪念球衣300件和助威围巾1200件时，总费用最少，最少为36000元． 类型五、一元一次不等式应用 例5某学校计划订购数独棋个，魔方若干（多于个），且单独在商店或者商店购买．经调查发现，同一款的魔方和数独棋在、两家商店标价均相同，其中数独棋每个标价元，魔方每个标价元，但两家商店都开展了不同的促销活动．优惠方式如下： 商店：魔方和数独棋都按九折出售；商店：买两个数独棋送一个魔方． (1)若订购魔方的数量是个，如果只在商店订购，购买魔方和数独棋的总费用为________元． (2)当订购魔方的数量是多少个时，在、两家商店订购魔方和数独棋的总费用相同． (3)根据魔方的购买数量，设计一种省钱的订购方案． 【答案】(1)； (2)订购魔方的数量是个时，在、两家商店订购魔方和数独棋的总费用相同； (3)当订购魔方数大于个时，在商店订购省钱；当订购魔方数等于个时，在、商店订购费用一样；当订购魔方数大于个小于个时，在商店订购省钱． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，熟练掌握根据促销规则列出费用表达式并进行比较与求解是解题的关键． （1）根据店“买两个数独棋送一个魔方”的规则，先算出个数独棋能赠送的魔方数，再求出需要付费购买的魔方数，最后用综合算式求出总费用． （2）魔方数量为个，分别列出、两店的总费用表达式，令两式相等，解方程求出的值并作答． （3）通过比较、两店总费用的大小，分不同区间讨论，得出最省钱的订购方案并作答． 【详解】（1）解： ， ∴购买魔方和数独棋的总费用为元， 故答案为：1450． （2）解：设订购魔方的数量为个（）．由题意可得 ， ， ， ， ， 答：当订购魔方的数量是个时，在、两家商店订购的总费用相同． （3）解：设订购魔方的数量为个（）． 由（）得当时，在、两家商店订购的总费用相同； 当店比店更省钱时，， ， ； 当店比店更省钱时，， ， ， ∴当订购魔方数大于个时，在商店订购省钱；当订购魔方数等于个时，在、商店订购费用一样；当订购魔方数大于个小于个时，在商店订购省钱． 【变式5-1】2025年5月24日至26日，第四届湖南旅游发展大会在岳阳市举行，此次大会的吉祥物为“岳小楼”和“江小豚”．某玩具店看准商机，购进了一批“岳小楼”和“江小豚”的玩偶．已知购进2个“岳小楼”玩偶和3个“江小豚”玩偶共需85元，购进1个“岳小楼”玩偶和2个“江小豚”玩偶共需50元． (1)每个“岳小楼”和“江小豚”玩偶的进价分别是多少元？ (2)该玩具店计划购进两种玩偶共100个，且每个“岳小楼”玩偶的售价为40元，每个“江小豚”玩偶的售价为30元．若将所有玩偶全部售出，且利润不得低于1600元，则至少需要购进多少个“岳小楼”玩偶？ 【答案】(1)每个“岳小楼”玩偶的进价是20元，每个“江小豚”玩偶的进价是15元 (2)20个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）设每个“岳小楼”玩偶的进价是元，每个“江小豚”玩偶的进价是元，根据题意列方程即可求解； （2）设需要购进个“岳小楼”玩偶，根据单个利润售价进价，总利润单个利润销售量，将所有玩偶全部售出，且利润不得低于元，列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设每个“岳小楼”玩偶的进价是元，每个“江小豚”玩偶的进价是元． 根据题意可得 解得 答：每个“岳小楼”玩偶的进价是元，每个“江小豚”玩偶的进价是元． （2）解：设购进个“岳小楼”玩偶，则， 解得． 答：至少需要购进个“岳小楼”玩偶． 【变式5-2】某校计划购买一批航空、航海模型．已知航空模型的单价比航海模型的单价多元，用元购买航空模型的数量是用元购买航海模型数量的． (1)求航空模型和航海模型的单价； (2)学校购买时恰逢促销活动：航空模型八折优惠．若购买航空模型、航海模型共个，且航空模型数量不少于航海模型数量的一半，学校购买两种模型的花费不超过元，请问购买航空模型的个数最少是多少，最多是多少？ 【答案】(1)航空模型的单价为元，航海模型的单价为元 (2)购买航空模型最少是个，最多是个 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程、不等式、函数关系式是解题的关键． ()设航空模型的单价为元，则航海模型的单价为元．根据题意列出方程，解出的值即可解答； ()设学校购买航空模型个，则购买航海模型个，根据题意列出关于的一元一次不等式组，解不等式组求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：设航空模型的单价为元，则航海模型的单价为元． 根据题意，得． 解得． 经检验是原分式方程的解． 又， 航空模型的单价为元，航海模型的单价为元. （2）解;设学校购买航空模型个，则购买航海模型个． 根据题意，得， 解得． 购买航空模型最少是个，最多是个． 类型六、一元一次不等式组的应用 例6海南自贸港某跨境物流企业，为拓展农产品冷链运输业务分两批次采购新能源冷链运输车．第一批购进1辆型冷链车、4辆型冷链车，共花费68万元；第二批购进2辆型冷链车、3辆型冷链车，共花费76万元（同类型车辆进价不变）．该企业采购经理估计：每辆A型冷链车进价约万元，每辆B型冷链车进价约万元． (1)求、两种型号冷链车的进价，并判断采购经理的估计是否正确； (2)该企业计划再次采购、两种型号冷链车共10辆，用于自贸港热带农产品运输，且采购总费用不超过180万元，其中型冷链车至少采购3辆，求该企业有几种可行的采购方案． 【答案】(1)A型冷链车进价20万元，B型冷链车进价12万元，采购经理的估计正确 (2)5种 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）设A型冷链车进价为x万元，B型冷链车进价为y万元，根据两次采购的车辆数和花费列出二元一次方程组，即可解答； （2）设采购A型冷链车a辆，则采购B型冷链车辆，根据采购总费用不超过180万元，其中型冷链车至少采购3辆，列出不等式组，结合a为整数，即可解答． 【详解】（1）解：设A型冷链车进价为x万元，B型冷链车进价为y万元， 依题意得， 解得， ∵，， ∴采购经理的估计正确， 答：A型冷链车进价20万元，B型冷链车进价12万元，采购经理的估计正确． （2）解：设采购A型冷链车a辆，则采购B型冷链车辆， 依题意得， 解得， ∵a为整数， ∴，4，5，6，7， 答：该企业有5种可行的采购方案． 【变式6-1】文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍的进货单价比A类书籍进货单价多20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元． (1)求A、B这两种书籍的进货单价． (2)若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店老板决定仍购进A、B两类书籍共240本，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部售出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案． (3)哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？ 【答案】(1)A类书籍进货单价为25元，B为45元 (2)有三种方案：A进110本，B进130本；A进111本，B进129本；A进112本, B进128本 (3)A进110本，B进130本能使获利最大，最大获利为2350元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用， （1）设A类书籍进货单价为 x元，B类书籍进货单价为 y元，利用两类书籍的本数和花费费用列方程组求解； （2）设进A 类书籍m本，B类书箱为本，利用金额范围及利润列不等式组求解； （3）列出一次函数关系式，再根据（2）可知结果． 【详解】（1）解：设A 类书籍进货单价为x元，B类书籍进货单价为y元，根据题意，得 ， 解得， 答：A类书籍进货单价为25元，B类书籍进货单价为45元； （2）解：设购进A类书籍m本，B类书箱为本， ， 解：①得，， 解：②得，， ∴， ∴有三种方案： 1．A进110本，B进130本． 2．A进111本，B进129本． 3. A进112本, B进128本； （3）解：设获利为w元，根据题意，得 ， ∵， ∴获利w随着m的增大而减小， 当时，获利w最大， 当时，即， 选第一种方案： 获利（元）， 所以最大获利为2350元． 【变式6-2】随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中，某公司研发出型和型两款扫地机器人，已知台型机器人和台型机器人每小时刚好可以清洁平方米，台型机器人和台型机器人每小时刚好可以清洁平方米． (1)一台型机器人和一台型机器人每小时各清洁多少平方米？（列方程组解应用题） (2)某家居店计划向机器人公司购进一批型和型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁平方米，若设型机器人有台，型机器人有台，请用含的代数式表示，并直接写出的最小值． 【答案】(1)型机器人每小时清洁平方米，型机器人每小时清洁平方米 (2)，的最小值为 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用等知识点，解题的关键是正确找出题中的等量关系． （1）设型机器人每小时清洁平方米，型机器人每小时清洁平方米，根据“台型机器人和台型机器人每小时刚好可以清洁平方米，台型机器人和台型机器人每小时刚好可以清洁平方米”列出方程组即可求出答案； （2）根据“这批机器人每小时刚好可以清洁平方米”列出等式，再确定的值，然后结合一次函数的性质分析最值即可求解． 【详解】（1）解：设型机器人每小时清洁平方米，型机器人每小时清洁平方米， 依题意，得：， 解得：， 答：型机器人每小时清洁平方米，型机器人每小时清洁平方米； （2）解：根据题意得：， 整理得：， ∴， 又∵，，且、为整数， ∴， 解得：， ∵、为整数， ∴为的倍数， ∴可取，，， ∵中的一次项系数， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为， ∴用含的代数式表示为，的最小值为． 题型专练 1. 通过与机器人技术的结合，快递分拣实现了从“人工识别粗放操作”到“智能识别精准作业”的升级，大幅提升了效率和准确性．某快递公司研发了两款智能分拣机器人甲和乙．现对一批包裹进行分拣，已知甲、乙两机器人分拣总数均为3000个，其分拣包裹数量y（单位：个）与工作时间x（单位：分钟）的关系如图所示． (1)乙机器人分拣包裹的速度是______个/分，12分钟时，甲和乙机器人分拣的包裹数量相差______个． (2)由于包裹条码破损，甲机器人视觉系统识别异常，降低了分拣速度，降速后甲机器人的分拣速度是最初分拣速度的，求甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间． (3)求整个分拣过程中两机器人分拣数量差不超过200个的总持续时间． 【答案】(1)60；600 (2)42分钟 (3)分钟 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）乙机器人50分钟分拣3000个包裹，据此可求出乙机器人的分拣速度，进而求出12分钟时乙机器人分拣的包裹数，据此可得答案； （2）先求出异常前甲的分拣速度，进而求出异常后甲的分拣速度，再根据甲和乙机器人分拣的包裹数量相同建立方程求解即可； （3）分，，， 和四种情况，分别求出两个机器人分拣的包裹数相差不超过200时x的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解；由函数图象可得乙机器人分拣包裹的速度是（个/分）， ∴12分钟时，乙机器人分拣的包裹数量为（个）， ∴12分钟时，甲和乙机器人分拣的包裹数量相差（个）； （2）解：（个/分）， ∴甲机器人视觉系统识别异常前，分拣包裹的速度是80个/分， ∴甲机器人视觉系统识别异常后，分拣包裹的速度是（个/分）， 设甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间为x分， 则， 解得， ∴甲和乙机器人分拣的包裹数量相同时的时间为42分钟． （3）解：当时，由题意得，，解得； 当时，由于甲的分拣速度大于乙，故此过程两机器人分拣数量差一定超过200； 当时，由题意得，， 解得； 当时，由题意得， ， 解得； 当时，由题意得，， ∴， ∴整个分拣过程中两机器人分拣数量差不超过200个的总持续时间为分钟． 2. 某商场将某种服装按照成本价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍然获利15元． (1)这种服装每件的成本是多少元？ (2)本商场为了在新年前吸引更多的顾客，进一步推出如下优惠活动：一、本商场所有商品一律按照标价进行八折优惠；二、打八折以后，每满1000再减100元，即若打八折后售价不足1000元就不再减价，打八折后大于等于1000元且小于2000就再减100元，打八折后大于等于2000且小于3000就再减200元，以此类推．小聪、小慧两位的妈妈，分别选中了标价1200和1500元的两件商品． ①若两人一起参加优惠活动并一起支付，比两人分开支付的总和便宜多少元？ ②请问小智的妈妈再选一件标价至少为多少元的商品和她们两人一起参加优惠活动并一起支付，能比三人分别支付的总和便宜200元． 【答案】(1)这种服装每件的成本是125元 (2)①若两人一起参加优惠活动并一起支付，比两人分开支付的总和便宜100元；②小智的妈妈再选一件标价至少为1050元的商品和她们两人一起参加优惠活动并一起支付，能比三人分别支付的总和便宜200元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设这种服装每件的成本是x元，利用利润=售价﹣进价，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）①根据给出的优惠方案，可求出两人分开支付时两位妈妈分别支付的钱数及两人一起参加优惠活动并一起支付时支付的钱数，再利用节省的钱数=两人分开支付时两位妈妈分别支付的钱数之和﹣两人一起参加优惠活动并一起支付时支付的钱数，即可求出结论； ②设小智的妈妈再选一件标价至少为y元的商品，根据一起参加优惠活动并一起支付比三人分别支付的总和便宜200元（即三人分开支付时支付的费用之和为3000元），可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设这种服装每件的成本是x元， 根据题意得：， 解得：． 答：这种服装每件的成本是125元； （2）解：①∵（元），（元），（元）， ∴两人分开支付时，小聪的妈妈需支付960元，小慧的妈妈需支付1100元， ∵（元），（元）， ∴两人一起参加优惠活动并一起支付时共需支付1960元， ∴（元）． 答：若两人一起参加优惠活动并一起支付，比两人分开支付的总和便宜100元； ②设小智的妈妈再选一件标价至少为y元的商品， 根据题意得：， 解得：． 答：小智的妈妈再选一件标价至少为1050元的商品和她们两人一起参加优惠活动并一起支付，能比三人分别支付的总和便宜200元． 3. 绿动未来—追踪碳排放 【素材呈现】 素材一：在对A城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车与10辆电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里的总排放量则为1374克． 素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收111千克的二氧化碳． 【问题解决】 (1)问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是多少克？ 问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克．求w与a的函数关系式； (2)杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过30棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【答案】(1)问题一：一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是186克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是74克；问题二：； (2)最优采购方案是购买30棵杨树和70棵冷杉 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式和一次函数的应用，解决本题的关键是利用一次函数的性质确定购买方案． （1）问题一设一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是x克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是y克，列二元一次方程组求解即可； 问题二：设购买了a棵杨树，则购买的冷杉树为棵，根据两种树吸收二氧化碳的数量列出w与a的函数关系式即可； （2）根据“采购杨树不超过30棵”列出不等式求出a的范围，根据一次函数的性质可知w随a的增大而增大，从而确定采购方案． 【详解】（1）解：问题一：设一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是x克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是y克． 根据题意，得， 解得， 答：一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是186克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是74克． 问题二：设购买了a棵杨树，则购买的冷杉树为棵， 根据题意，得， 与a的函数关系式为； （2）解：， 随a的增大而增大， ， 当时，w的值最大， 棵 ∴购买30棵杨树、70棵冷杉在一年内吸收的二氧化碳总量最大， 即最优采购方案是购买30棵杨树和70棵冷杉． 4. 山西运城被誉为“北方水果之乡”，近年来通过品种改良与科学种植，苹果产业快速发展．2023年某果园种植“万荣”苹果平均亩产量约为，为了提高“万荣”苹果产量，该果园大力推广“大苗建园，宽行密植”种植模式及智能化管理技术，到2025年平均亩产量达到． (1)若该果园2023年到2025年种植“万荣”苹果平均亩产量的年增长率相同，求该果园种植“万荣”苹果平均亩产量的年平均增长率； (2)2025年该果园苹果大丰收，老板在销售苹果时发现若以每箱75元出售时，每天可卖400箱．若每箱涨价0.5元时，日销售量就减少5箱．已知每箱苹果的成本为45元．求每箱苹果涨价多少元时，日销售总利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)该果园种植“万荣”苹果平均亩产量的年平均增长率是； (2)每箱苹果涨价5元，日销售总利润最大，最大利润为元． 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程和二次函数表达式是解题的关键． （1）设年平均增长率是，利用2025年平均亩产量年的平均亩产量年平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每箱苹果涨价元，利润为，根据题意列出函数关系式，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设年平均增长率是， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去），， 故该果园种植“万荣”苹果平均亩产量的年平均增长率是； （2）解：设每箱苹果涨价元，利润为， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：每箱苹果涨价5元，日销售总利润最大，最大利润为元． 5. 某商店经销一种成本为每千克元的水产品，据市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出，销售单价每千克每涨元，月销售量就减少，解答以下问题． (1)当销售单价定为每千克元时，计算销售量和月销售利润； (2)设销售单价为每千克元，月销售利润为元，请求出与之间的函数关系式； (3)若商店想减少库存，并使得月销售利润达到元，则销售单价应为每千克多少元？ 【答案】(1)销售量：；月销售利润：元 (2)； (3)销售单价应为每千克元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）利用月销售量（销售单价-30），即可求出月销售量，利用月销售利润=销售每千克的利润×月销售量，即可求出月销售利润； （2）根据月销售利润=销售每千克的利润×月销售量，即可得出与之间的函数关系式； （3）根据题意得出关于的一元二次方程，解之，根据题意为减少库存（即增大销量），应选取较小的销售单价，即可得出结论． 【详解】（1）解：销售量：． 月销售利润：（元）； （2）解：． 与之间的函数关系式为； （3）解：设销售单价为每千克元， 则， 整理，得， 解得，， 要减少库存， ∴， 答：销售单价应为每千克元． 6. 为庆祝伟大祖国建国76周年，某文创店近期推出一款进价为30元的纪念品，若按每个40元的售价销售，平均每天可售出600个，经市场调研发现，该纪念品售价每上涨1元，平均每天的销量就会减少10个，请根据以上信息回答下列问题： (1)若文创店为了尽快减少库存，想实现每天获得10000元的利润，求此时每个纪念品涨价多少元？ (2)该文创店每天销售这款纪念品的最大利润是多少？此时对应的售价为多少元？ 【答案】(1)10元 (2)该文创店每天销售这款纪念品的最大利润是12250元，此时对应的售价为65元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的方程和函数关系式是解题的关键． （1）设此时每个纪念品涨价x元，则每个纪念品的利润为元，销售量为个，根据总利润等于每个纪念品的利润乘以销售量建立方程求解即可； （2）设每个纪念品涨价m元，每天的利润为w元，根据总利润等于每个纪念品的利润乘以销售量列出w关于m的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设此时每个纪念品涨价x元， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∵文创店为了尽快减少库存， ∴， 答：此时每个纪念品涨价10元； （2）解：设每个纪念品涨价m元，每天的利润为w元， 由题意得， ， ∵， ∴当，即时，w有最大值，最大值为12250， 此时售价为元， 答：该文创店每天销售这款纪念品的最大利润是12250元，此时对应的售价为65元． 7. 禹迹岛公园运用森城景观设计手法，借助城市山水、文化资源的联动，构建了景城一体的生态人居环境．建成后的公园成为市民休闲健身好去处．为保护好公园绿化，公园管理方准备购买、两种树苗，购买种树苗花了13500元，购买种树苗花了14400元，种树苗的单价比种树苗的单价高了，购买种树苗的数量比购买种树苗的数量少100棵． (1)求、两种树苗的单价分别是多少元？ (2)为扩大公园绿化面积，管理方准备再次购进、两种树苗共200棵，且总金额不超过7900元，则最多可以购进多少棵种树苗? 【答案】(1) A种树苗的单价为45元，B种树苗的单价为36元 (2) 最多可以购进77棵A种树苗 【分析】本题主要考查了分式方程，不等式的运用，理解数量关系，正确列式是关键． （1）设B种树苗的单价为元，则A种树苗的单价为元，由此列分式方程求解即可； （2）设购进A种树苗a棵，则购进B种树苗棵，根据数量关系列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设B种树苗的单价为元，则A种树苗的单价为元， ∴， 解得，， 经检验，当，原方程有意义， ∴， ∴A种树苗的单价为45元，B种树苗的单价为36元； （2）解：设购进A种树苗a棵，则购进B种树苗棵， ∴， 整理得，， 解得，因为为整数，所以的最大值为77， ∴最多可以购进77棵A种树苗． 8. “你好！我是豆包，很高兴见到你！我能为你提供多种服务，比如解答各类知识疑问、陪你聊天解闷、协助进行内容创作等”．人工智能从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”．某设计工作室自使用豆包后，每名设计员每天比原来多设计件作品，且每名设计员使用豆包设计件作品所用时间与原来设计件作品所用时间相等． (1)问该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计多少件作品？ (2)该工作室共有设计员人，由于工作需要，该设计工作室只有一部分成员使用豆包设计作品，要使每天设计作品总数不少于件，则该工作室至少有多少人使用豆包设计作品？ 【答案】(1)该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计件作品 (2)该工作室至少有人使用豆包设计作品 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用和一元一次不等式的实际应用．根据题目问题设恰当的未知数，并根据已知条件列出方程和不等式是解题的关键． （1）通过“工作时间＝工作总量÷工作效率”，结合“使用豆包设计件的时间＝原来设计件的时间”这一等量关系，设未知数列分式方程求解． （2）根据“使用豆包的人数×使用后的效率＋未使用的人数×原来的效率”这一不等关系，列一元一次不等式求解最小值． 【详解】（1）解：设该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计件作品， 根据题意得：， 解得：， 经检验：当时，， ∴原分式方程的解为； ∴该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计件作品； （2）解：∵该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计件作品， ∴该工作室使用豆包前每名设计员每天能设计件作品， ∴设该工作室有人使用豆包设计作品， 根据题意得：， 解得：． ∴该工作室至少有人使用豆包设计作品． 9. “兴华”商店欲购进A、B两种商品，已知每件A种商品比每件B种商品多6元，且用320元购进的A种商品是用150元购进的B种商品的倍． (1)求每件A种商品与每件B种商品进价各是多少元？ (2)商店购进这两种商品恰好用880元，且A种商品以每件20元出售，B种商品提价出售，若两种商品全部售出后，所获利润不少于320元，求至少购进B种商品多少件？ 【答案】(1)每件A种商品的进价为16元，每件B种商品的进价为10元 (2)至少购进B种商品40件 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设每件B种商品进价为x元，则每件A种商品进价为元，根据题意，列出方程即可求解； （2）设购进B种商品m件，根据题意，列出不等式，即可求解。 【详解】（1）解：设每件B种商品进价为x元，则每件A种商品进价为元，由题意得： ， 解得， 经检验是分式方程的解且符合题意． ∴． 答：每件A种商品的进价为16元，每件B种商品的进价为10元． （2）解：设购进B种商品m件，由题意得： ． 解得． 答：至少购进B种商品40件． 10. 为了响应“绿色出行”的号召，尉氏县推出了共享单车服务，某公司准备在尉氏县投放共享单车，前期投入了固定成本20000元，每投放一辆共享单车，还需要额外投入100元．预计每辆共享单车每月可产生收益300元（不考虑共享单车的损耗）． (1)设投放x辆共享单车，前期总投入为元，每月总收益为元，分别写出，与x的函数关系式； (2)若该公司希望第一个月就能收回前期总投入，求至少需要投放多少辆共享单车？ (3)实际投放时，由于市场需求，该公司投放了200辆共享单车，求投放后第几个月开始盈利？ 【答案】(1)， (2)100辆 (3)第1个月开始盈利 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用与一元一次不等式的求解，熟练掌握根据实际问题中的等量或不等关系建立数学模型并准确计算是解题的关键． （1）根据总投入=固定成本+每辆车额外投入×数量，总收益=每辆车月收益×数量，列函数关系式； （2）根据“收回前期总投入”即第一个月总收益≥前期总投入，列不等式求解； （3）设第个月开始盈利，根据个月总收益>前期总投入，列不等式求解． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得：， ， ， ， ∴至少需要投放100辆共享单车； （3）解：前期总投入：， 设第个月开始盈利，得：， ， ， ∵为正整数， ∴， ∴投放后第1个月开始盈利． 11. 某商店决定购进A，B两种纪念品．已知每件A种纪念品的价格比每件B种纪念品的价格多5元，用800元购进A种纪念品的数量与用400元购进B种纪念品的数量相同． (1)求购进A，B两种纪念品每件各需多少元； (2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于800元，且不超过850元，则该商店共有几种进货方案？ 【答案】(1)购进A种纪念品每件需要10元，B种纪念品每件需要5元； (2)共有11种进货方案． 【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式组的应用， （1）设购进A种纪念品每件价格为m元，B种纪念品每件价格为元，再根据“用800元购进A种纪念品的数量与用400元购进B种纪念品的数量相同”列分式方程求解即可； （2）设购进A种纪念品x件，则购进B种纪念品件，再根据“用于购买这100件纪念品的资金不少于800元，且不超过850元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购进A种纪念品每件价格为m元，B种纪念品每件价格为元， 根据题意，得 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：购进A种纪念品每件需要10元，B种纪念品每件需要5元； （2）解：设购进A种纪念品x件，则购进B种纪念品件． 根据题意，得， 解得． ∵x只能取整数， ∴，61，…，70，共有11种情况，故该商店共有11种进货方案． 12. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买两种型号的充电桩，已知型充电桩比型充电桩的单价少万元，且用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等． (1)两种型号充电桩的单价各是多少万元？ (2)该停车场计划购买型充电桩共个，购买总费用不超过万元，且购买型充电桩的数量不少于型充电桩数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？最少费用是多少万元？ 【答案】(1)型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元 (2)该停车场有4种购买方案． 方案一：购买型充电桩个、型充电桩个； 方案二：购买型充电桩个、型充电桩个 ； 方案三：购买型充电桩个、型充电桩个； 方案四：购买型充电桩个、型充电桩个． 方案四所需购买总费用最少，最少费用为万元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，找准等量关系列出分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键． （1）根据“用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等”列分式方程求解； （2）根据“购买总费用不超过万元， 且购买型充电桩的数量不少于型充电桩数量的”列不等式组确定取值范围从而分析计算求解． 【详解】（1）解：设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价为万元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是所列分式方程的解且符合题意． 则． 答：型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元． （2）解：设购买型充电桩个，则购买型充电桩个． 根据题意，得 解得． 为整数， ，，或． 该停车场有4种购买方案． 方案一：购买型充电桩个、型充电桩（个）； 方案二：购买型充电桩个、型充电桩（个）； 方案三：购买型充电桩个、型充电桩（个）； 方案四：购买型充电桩个、型充电桩（个）． 型充电桩的单价低于型充电桩的单价， 购买型充电桩越多，总费用越少． ， 方案四所需购买总费用最少，最少费用为（万元）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $