专题10成都2026年中考题型专项复习-B卷填空题常考题型B19-B23

B卷常考填空题 典例详解 2 类型一、化简求值 2 类型二、一元二次方程根与系数关系 4 类型三、黄金分割比计算 5 类型四、概率计算－几何概型 8 类型五、一次函数规律探寻 12 类型六、反比较与几何综合 17 类型七、反比例函数中规律探寻 20 类型八、数字规律探寻 24 类型九、二次函数综合 28 类型十、几何综合 33 类型十一、几何最值 39 题型专练 44 典例详解 类型一、化简求值 例1已知，是方程的两个根，则代数式的值为 ． 【变式1-1】若，则代数式 的值为 ． 【变式1-2】已知，且，则代数式的值为 ． 类型二、一元二次方程根与系数关系 例2已知是一元二次方程的两根，则的值为 ． 【变式2-1】关于的方程的两根为、，则的值为 ． 【变式2-2】已知关于x的方程的两个根分别为，则的值为 . 类型三、黄金分割比计算 例3黄金分割比是让无数科学家、数学家、艺术家为之着迷的数字．黄金矩形的长宽之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的倍．黄金分割比能够给画面带来美感，令人愉悦，在很多艺术品以及大自然中都能找到它．比如蜗牛壳的螺旋中就隐藏了黄金分割比．如图，用黄金矩形框住整个蜗牛壳，之后作正方形，得到黄金矩形，再作正方形，得到黄金矩形……，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋．已知，则阴影部分的面积为 ． 【变式3-1】黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．如图所示的五角星中，，且、两点都是的黄金分割点，若，则的长是 ．（请写准确数） 【变式3-2】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为 ． 类型四、概率计算－几何概型 例4如图，中，点E，F是对角线的黄金分割点，现随机向该图形内掷一枚小针（每次均落在内且落在内任何一个区域内的概率与该区域的面积成正比），则针尖落在阴影区域的概率为 ． 【变式4-1】如图，在等边中，点是线段上一点，是边上的高，连接交于点，且，现随机在内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是 【变式4-2】在矩形中，以D为圆心，为半径画弧，交于点E，再以为直径作半圆交弧于点F，连接、，若，则随机往该区域丢飞镖，落在阴影部分的概率为 ． 类型五、一次函数规律探寻 例5如图，已知直线，直线和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为 ． 【变式5-1】如图，一次函数的图像分别与轴、轴交于，两点，过原点作垂直于直线交于点，过点作垂直于轴交轴于点，过点作垂直于直线交于点，过点作垂直于轴交轴于点，依此规律作下去，则点的坐标是 ． 【变式5-2】如图，，，，，…，，是直线上的点，分别过点，，，，…，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，…，，，已知，连接，，，，…，，，依次相交于点，，，…，，，，，…， 的面积依次为，，，…，，则等于 ． 类型六、反比较与几何综合 例6如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，的平分线与相交于点，反比例函数经过点，那么的值为 ． 【变式6-1】如图，点在反比例函数的图象上，连接交反比例函数的图象于点，轴于点，轴于点，则四边形的面积为 ． 【变式6-2】如图，的顶点在轴正半轴上，，，反比例函数的图象过点和的对称中心，则的值为 ． 类型七、反比例函数中规律探寻 例7如图，，，…，都是一边在轴上的等边三角形，顶点，，…，都在反比例函数的图象上，则（为正整数）的坐标是 ． 【变式7-1】如图，点，点，…，点在函数的图象上，，，，…，都是等腰直角三角形，斜边，、，…，都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点的坐标是 ． 【变式7-2】如图，点（为自然数）在反比例函数图象上，且横坐标分别为，分别以为斜边向下作直角三角形，使两条直角边平行于坐标轴，得到个直角三角形，则前个直角三角形的面积之和为 ． 类型八、数字规律探寻 例8一数学兴趣小组在进行综合实践中发现一个有趣的数学规律，在这个正整数中，任取两数之积为偶数的取法种数进行了探究，发现：当时，满足条件，；当时，有，两种取法，；当时，有，，，，五种取法，；当时，有七种取法，……以此类推，当时， ；对于任意的（，是偶数），所得两数之积为偶数的取法种数 ．（用含有的式子表示） 67．定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则 ． 【变式8-1】已知各位数字均不为零的四位自然数，若满足那么称这个四位数为“和九数”．例如：四位数，因为且，所以是“和九数”；按照这个规定，则最小的“和九数”是___________；若是“和九数”，记，且为整数，则满足条件的的最大值为___________． 【变式8-2】如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位自然数为“善美数”，例如，自然数3157，其中，，所以3157是“善美数”.则最小的“善美数”是 ；若“善美数”去掉千位数字组成一个新的三位自然数，且这个三位数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，则 ． 类型九、二次函数综合 例9函数的图象如图所示，则图象与轴交点的坐标为 ；若方程恰好有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ． 【变式9-1】定义：如果两条抛物线均经过线段两个端点，那么称这两条抛物线是“关于线段的相伴抛物线”．已知抛物线与抛物线是“关于线段的相伴抛物线，且点、点的坐标分别为，．若抛物线与抛物线在直线与直线之间的部分均是上升的，那么的取值范围为 ． 【变式9-2】在平面直角坐标系中，已知点，对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“拓广对称点”，已知点，点，则点关于点的“拓广对称点”的坐标为 ；若点是直线上的动点，定点在直线上，点关于点的“拓广对称点”为点，若线段长的最小值为，则点的坐标为 ． 类型十、几何综合 例10如图，在中，，，，是中线，点、同时从点出发，以相同的速度分别沿、方向移动，当点到达点时，运动停止，直线分别与、相交于、，则在点、移动过程中，点移动路线的长度为 ． 【变式10-1】在中，，为边上的高，点为上一点，交于，已知，，连接，若，则的长为 ． 【变式10-2】如图，在和中，，，，连接，，将绕点旋转，当最大时，的长为 ． 类型十一、几何最值 例11如图，在中，，，D是边中点，P是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值 ． 【变式11-1】如图，在菱形中，，点分别是上的动点（不与端点重合），且，连接交于点，则四边形的面积的最大值为 ． 【变式11-2】如图，在中，，，，点在边上（不与点，重合），过点作，垂足为点，则的最小值是 ． 题型专练 1. 若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 2. 若，则代数式的值为 ． 3. 若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 4. 若α 、β是方程的两个实数根，则的值为 ． 5. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数．把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，D是边的“黄金分割”点，若，且，则的长度是 ． 6. 对许多画家、艺术家来说“黄金分割”是他们在现实的创作中必须深入领会的一种指导方针，摄影师也不例外．摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点O，以O为圆心，线段为半径作圆，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则的长为 ．      7. 如图，在正方形中，是以为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率是 ． 8. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结交、于点、．若平分，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ． 9. 在平面直角坐标系中，正方形，按如图所示的方式放置、点和点分别在直线和轴上、已知，则点的坐标是 ． 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，以为边作正方形点在y轴上，延长交直线l于点，以为边作正方形，点在y轴上，以同样的方式依次作正方形，正方形，则点的横坐标是 ． 11. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的两个顶点，分别在反比例函数，的图象上，顶点在轴的正半轴上，已知的面积为．延长交反比例函数的图象于点，连接，则的面积 ． 12. 如图，A为反比例函数（其中）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，．连接，，且．过点B作，交反比例函数（其中）的图象于点C，连接交于点D，则的值为 ． 13. 如图，在反比例函数（）的图象上，有点，，，…，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则 ． 14. 如图，在轴的正半轴上依次截取，过分别作轴的垂线，与双曲线相交于，得，设它们的面积从左到右依次为，按此规律，则 ． 15. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“阶梯数”．例如：四位数是“阶梯数”；又如：四位数不是“阶梯数”．若一个“阶梯数”为，则这个数为 ；若一个“阶梯数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被5整除，则满足条件的的最大值和最小值的差为 ． 16. 如图有一对称轴为且经过点、的抛物线与一次函数相交于点、．抛物线上、第一、二象限中有一点．连接、．当时，点的坐标是 ．（公式参考：点到直线的距离，其中为直线方程，为点坐标） 17. 对于二次函数，若存在一次函数，满足以下两个条件：①其函数图象经过的图象的顶点和的图象与轴的交点；②若关于的函数的最小值为，则称函数为函数的“融洽函数”．已知二次函数的“融洽函数”存在，则的值为 ． 18. 如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将沿着翻折后得到，若与边分别交于点，且，则的长为 ． 19. 如图，在中，以点C为圆心，为半径作弧交于点D，点E在线段上，，，，若，则的长为 ． 20. 如图，正方形中，，M为对角线上一点，且，N是对角线上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 21. 如图，长方形中，，，E为上一点，且，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，则的最小值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ B卷常考填空题 典例详解 2 类型一、化简求值 2 类型二、一元二次方程根与系数关系 4 类型三、黄金分割比计算 5 类型四、概率计算－几何概型 8 类型五、一次函数规律探寻 12 类型六、反比较与几何综合 17 类型七、反比例函数中规律探寻 20 类型八、数字规律探寻 24 类型九、二次函数综合 28 类型十、几何综合 33 类型十一、几何最值 39 题型专练 44 典例详解 类型一、化简求值 例1已知，是方程的两个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，整式的混合运算，解题的关键是牢记两根之和等于、两根之积等于． 根据先将整式化简，，是方程的两个根，求得，，代入即可求解； 【详解】解： ，是方程的两个根， ，， 将，代入 可得： 故答案为： 【变式1-1】若，则代数式 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先得到，然后把括号内分式通分，除法化为乘法，然后因式分解约分，再整体代入计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式1-2】已知，且，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内分式的减法计算，再将除法化为乘法化为最简分式，再代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 类型二、一元二次方程根与系数关系 例2已知是一元二次方程的两根，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算即可． 【详解】解：由方程 ，得 ，， 则 ． 故答案为 6． 【变式2-1】关于的方程的两根为、，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握整体代入的思想解决问题．由方程的两根为、，可得，确定，即可求解． 【详解】解：∵的方程的两根为、， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 【变式2-2】已知关于x的方程的两个根分别为，则的值为 . 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方的根与系数的关系及代数式求值，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系为：，．根据一元二次方程根与系数的关系求出与的值，再将变形为，最后将与的值代入计算即可求出值． 【详解】解：方程的两个根分别为， ，． ． 故答案为：． 类型三、黄金分割比计算 例3黄金分割比是让无数科学家、数学家、艺术家为之着迷的数字．黄金矩形的长宽之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的倍．黄金分割比能够给画面带来美感，令人愉悦，在很多艺术品以及大自然中都能找到它．比如蜗牛壳的螺旋中就隐藏了黄金分割比．如图，用黄金矩形框住整个蜗牛壳，之后作正方形，得到黄金矩形，再作正方形，得到黄金矩形……，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋．已知，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，矩形的性质，正方形的性质，理解黄金矩形的定义是解题的关键．根据黄金矩形的定义可得的长，从而得到的长，再由阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：∵四边形是黄金矩形，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 【变式3-1】黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分割．如图所示的五角星中，，且、两点都是的黄金分割点，若，则的长是 ．（请写准确数） 【答案】 【分析】本题考查黄金分割的定义，线段的和差运算，掌握黄金分割的定义是解题关键． 依据黄金分割定义求出上的较长段长度，再算出较短线段、的长度，最后通过的线段和差关系求出的长． 【详解】解：、两点都是的黄金分割点，，， ， ，同理可得， ． 故答案为：． 【变式3-2】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查黄金分割，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的面积等知识，理解“黄金分割”点的定义是解题关键． 过点作于点，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据线段“黄金分割”点的定义得到，的长，求出的长，最后由三角形面积公式解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ， 在中，， ，是边的两个“黄金分割”点， ， ， ． 故答案为：． 类型四、概率计算－几何概型 例4如图，中，点E，F是对角线的黄金分割点，现随机向该图形内掷一枚小针（每次均落在内且落在内任何一个区域内的概率与该区域的面积成正比），则针尖落在阴影区域的概率为 ． 【答案】 【分析】先证明四边形是平行四边形，再利用黄金分割点的意义求得，从而可利用平行四边形的面积求出针尖落在阴影区域的概率为． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵中，点E，F是对角线的黄金分割点， ∴，， 在与中， ∴， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵现随机向该图形内掷一枚小针（每次均落在内且落在内任何一个区域内的概率与该区域的面积成正比）， ∴针尖落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），利用平行四边形的判定与性质求解，黄金分割，几何概率等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【变式4-1】如图，在等边中，点是线段上一点，是边上的高，连接交于点，且，现随机在内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，求概率，平行线分线段成比例， 作，连接，先根据等边三角形的性质及平行线的性质得进而说明，即可得，再设，可表示，， 然后说明，接下来可求出，即可求出阴影部分的面积，最后根据概率公式可得答案. 【详解】解：过点E作，交于点G，连接， ∵是等边三角形，且是高线， ∴. ∵， ∴， 则. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 设，则 ∴. 根据等边三角形的对称性可知， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是， 所以针尖落在阴影区域的概率是. 故答案为：. 【变式4-2】在矩形中，以D为圆心，为半径画弧，交于点E，再以为直径作半圆交弧于点F，连接、，若，则随机往该区域丢飞镖，落在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】连接，过点E作于点M，过点E作于点N，根据题意及矩形的性质可以推出是等边三角形，再根据等边三角形的性质和邻补角定义得出，然后解直角三角形求出，从而得出，根据勾股定理及三角形面积公式可得出，最后根据图形得出阴影部分的面积代入即可得出答案． 【详解】解∶如图， 连接，过点E作于点M，过点E作于点N， ， ． 四边形为矩形， ． 以D为圆心，为半径画弧，交于点E，再以为直径作半圆交弧于点F， ， ， ． 是等边三角形． ，． ． ， ， ，． ，， ． ． 在中， ，， ． ． 图中阴影部分的面积 ． ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积公式，矩形的性质，等边三角形的判定及性质，解直角三角形，概率计算，熟练掌握性质定理是解题的关键． 类型五、一次函数规律探寻 例5如图，已知直线，直线和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确找出规律是解题的关键． 依据题意，观察横坐标变化规律，即偶数下标点的横坐标为，根据规律求解即可． 【详解】解：，点在直线上，轴， ， 轴， 点的纵坐标为1， 点在直线， ． ， ，即点的横坐标为， 同理可得： 点的横坐标为，点的横坐标为， 点的横坐标为，点的横坐标为， 点的横坐标为，点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 偶数下标点的横坐标为， ， 点的横坐标为， 故答案为：． 【变式5-1】如图，一次函数的图像分别与轴、轴交于，两点，过原点作垂直于直线交于点，过点作垂直于轴交轴于点，过点作垂直于直线交于点，过点作垂直于轴交轴于点，依此规律作下去，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形、正方形的性质，点的坐标与线段长度之间的互相转化是解决问题的关键． 根据一次函数的图象分别与轴、轴交于，，可得是等腰直角三角形，可求出点的坐标，进而可以得出，也是等腰直角三角形，求出点的坐标，点的坐标，根据点，点，点的坐标呈现的规律，可以得出点的坐标． 【详解】解：在中， 令，则；令，则， ∴，． ． ∴是等腰直角三角形． ， ． ∴是等腰直角三角形． ， ． ∴是等腰直角三角形． ． ， ． ∴是等腰直角三角形． ． 由此可得，，，，，， 当时，， 解得 ． 故答案为：． 【变式5-2】如图，，，，，…，，是直线上的点，分别过点，，，，…，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，…，，，已知，连接，，，，…，，，依次相交于点，，，…，，，，，…， 的面积依次为，，，…，，则等于 ． 【答案】 【分析】由，把代入直线解析式中得出，，，，…，，的纵坐标，从而得出底边的长，再根据相似三角形的高的比等于它们的相似比得出高，从而求出三角形的面积，找出底边和高的变化规律． 【详解】解： ， 根据题意得，、、、…、， ， ， ， 与对应高之比为， ， 边上的高为， ， 同理可得，边上的高为，边上的高为， ，， ， 故答案为． 【点睛】本题考查了图象上点的坐标与距离的关系，相似三角形的性质和判定，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，学会利用规律解决问题． 类型六、反比较与几何综合 例6如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，的平分线与相交于点，反比例函数经过点，那么的值为 ． 【答案】 【分析】作，借助角平分线性质与全等三角形可得，根据可求出，设的坐标为，用表示、，根据勾股定理列方程求出，进而求出的坐标，将坐标代入反比例函数即可算出值． 【详解】解：如图，过点作， 由、坐标和勾股定理，可得，，，， 平分， ，， 在和中， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， 的坐标为， 点在反比例函数上， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，反比例函数的性质，结合线段关系和勾股定理列方程求的坐标是解题关键． 【变式6-1】如图，点在反比例函数的图象上，连接交反比例函数的图象于点，轴于点，轴于点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数中的几何意义，掌握反比例函数中与相关的面积是解题的关键． 根据反比例函数中的几何意义，可得出和的面积，即可计算出四边形的面积． 【详解】解：根据反比例函数中的几何意义，可得，， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 【变式6-2】如图，的顶点在轴正半轴上，，，反比例函数的图象过点和的对称中心，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．作轴，垂足为H，根据平行四边形的性质得到，，设，则，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为H， 四边形是平行四边形，， ，， 设，则， 根据反比例函数图象上点的坐标特征可得：， 解得：， 由勾股定理得， ， ， 故答案为：． 类型七、反比例函数中规律探寻 例7如图，，，…，都是一边在轴上的等边三角形，顶点，，…，都在反比例函数的图象上，则（为正整数）的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，反比例函数，二次根式，以及探索，归纳，总结，应用的能力，拥有良好的探索能力是解决本题的关键． 图中出现的都是等边三角形，通过计算找到边长与高之间，坐标与边长之间的规律，根据此规律推理即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， 为等边三角形， ，， ， 设的长度为，则的坐标为， 把代入得，解得或（舍去）， ，   ， 设的长度为，同理得到，则的坐标表示为， 把代入得 ， 解得或（舍去）， ，，， ， 设的长度为，同理，为，的坐标表示为， 把，代入得 ， 解得或（舍去） ，，， ， 综上可得：， 故答案为：． 【变式7-1】如图，点，点，…，点在函数的图象上，，，，…，都是等腰直角三角形，斜边，、，…，都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】过点作轴于点E，过点作轴于点F，过点作轴于点G，根据，，，都是等腰直角三角形，从而总结出规律即可求解． 【详解】解：过点作轴于点E，过点作轴于点F，过点作轴于点G， ∵是等腰直角三角形， 设点的坐标为 将点代入得 ∴ 则 设点的坐标为，将点代入得 ∴ 同理可得： …… 总结规律可得：坐标为 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合，一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是关键． 【变式7-2】如图，点（为自然数）在反比例函数图象上，且横坐标分别为，分别以为斜边向下作直角三角形，使两条直角边平行于坐标轴，得到个直角三角形，则前个直角三角形的面积之和为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征及数字类变化规律，正确得出是解题关键． 根据反比例函数图像上点的坐标特征可得，，，，即可得出，，，，进而可得，分别求出和的值即可得答案． 【详解】解：设前个直角三角形的面积分别为、、、、， ∵点、、、、在图象上，且横坐标分别为1、2、3、、n， ∴，，， ，，， ， ，，， ∴当时，， 当时，， ∴ ． 类型八、数字规律探寻 例8一数学兴趣小组在进行综合实践中发现一个有趣的数学规律，在这个正整数中，任取两数之积为偶数的取法种数进行了探究，发现：当时，满足条件，；当时，有，两种取法，；当时，有，，，，五种取法，；当时，有七种取法，……以此类推，当时， ；对于任意的（，是偶数），所得两数之积为偶数的取法种数 ．（用含有的式子表示） 【答案】 22 【分析】本题考查了数字规律，先列举出所有的结果即可求出k，然后根据、、、对应k的值，找出规律即可． 【详解】解：当时，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，满足条件，共22个， ∴； 当时，， 当时，， 当时，，，，，，，，，，，，满足条件，共12个， ∴， 当时，， …… ∴对于任意的（，是偶数），所得两数之积为偶数的取法种数， 故答案为22；． 67．定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，…，以此类推，则 ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类、新定义，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出相应项的值．根据题目中差倒数的定义，可以写出这列数的前几项，从而可以发现数字的变化特点，然后即可得到的值． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， … 由上可得，这列数依次以循环出现， 故答案为：． 【变式8-1】已知各位数字均不为零的四位自然数，若满足那么称这个四位数为“和九数”．例如：四位数，因为且，所以是“和九数”；按照这个规定，则最小的“和九数”是___________；若是“和九数”，记，且为整数，则满足条件的的最大值为___________． 【答案】； 【分析】本题考查新定义，理解阅读材料是解题的关键． 最小的“和九数”需满足千位数字最小，且各位数字非零，因此，得． 先求出和，根据为整数，推出，进而推出能被13整除．解得可能的值，即可求解． 【详解】最小的“和九数”需满足千位数字最小，且各位数字非零， ，得． 由“和九数”定义，，且， 故， ， ， 为整数， 能被13整除． 当时，能被13整除，． 当时，能被13整除，． 当时，能被13整除，． 的最大值为． 故填：和． 【变式8-2】如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位自然数为“善美数”，例如，自然数3157，其中，，所以3157是“善美数”.则最小的“善美数”是 ；若“善美数”去掉千位数字组成一个新的三位自然数，且这个三位数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，则 ． 【答案】 1022 2226 【分析】本题考查整式加减运算的应用．设千位数字为a，百位数字为b，则十位数字，个位数字，其中a为1至9的整数，b，c，d为0至9的整数，求最小的“善美数”时，a，b均取最小值；“善美数”m去掉千位后新三位数减去百位数字的3倍后为：，根据除以7余3，可得除以7余3，再列出a，b的值，逐个验证即可． 【详解】解：设千位数字为a，百位数字为b，则十位数字，个位数字，其中a为1至9的整数，b，c，d为0至9的整数， ，， 可以取1，2，3，4，b需要满足， 需要求最小的“善美数”， 取，， ，， 最小的“善美数”为1022； “善美数”m去掉千位后新三位数的数值为为，其中， 新三位数减去百位数字的3倍后为：， 除以7余3， ，21能够被7整除， 除以7余3， 当时，或2， ，，则，除以7余5，不合题意， ，，则，除以7余2，不合题意； 当时，或2，3，4， ，，则，除以7余6，不合题意， ，，则，除以7余3，符合题意； 此时，，个位数字，，新三位数是226； ，，则，除以7余0，不合题意， ，，则，除以7余4，不合题意； 当时，或2，3， ，，则，除以7余0，不合题意， ，，则，除以7余4，不合题意； ，，则，除以7余1，不合题意， 当时，， ，，则，除以7余1，不合题意， 综上可知，， 故答案为：1022；2226． 类型九、二次函数综合 例9函数的图象如图所示，则图象与轴交点的坐标为 ；若方程恰好有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二元一次方程组，画出函数的图象是解题的关键． 将代入中，即可图象与轴交点的坐标为；方程有两个不相等的实数根，可看成函数的图象与直线的图象有两个交点，令求解，可得函数与轴的交点坐标为，，当直线经过点时，；直线经过点时，，联立，令，求得，根据函数与直线的图象之间的位置关系即可求出的取值范围． 【详解】解：将代入，即， ∴图象与轴交点的坐标为， 依题意得：方程有两个不相等的实数根， 即函数的图象与直线的图象有两个交点， ∵ ∴直线的图象为下降的直线， 令，即， 解得：，， 函数与轴的交点坐标为，， 故函数的图象与直线的图象相交时，有如下图三种情况： 当直线经过点时与函数的图象只有一个交点， 将代入，得； 当直线经过点时与函数的图象有三个交点， 将代入，得； 联立， 消去后可得：， 令，可得， 解得：， 即时，直线与函数的图象只有个交点； 观察图象，当或时，直线与函数的图象有2个交点． 故答案为：；或． 【变式9-1】定义：如果两条抛物线均经过线段两个端点，那么称这两条抛物线是“关于线段的相伴抛物线”．已知抛物线与抛物线是“关于线段的相伴抛物线，且点、点的坐标分别为，．若抛物线与抛物线在直线与直线之间的部分均是上升的，那么的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键．把点、点的坐标分别代入得出，再分两种情况：当时，当时，分别列出不等式，求出c的取值范围即可． 【详解】解：把点、点的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，解得：，则， ∵抛物线与抛物线在直线与直线之间的部分均是上升的， ∴，则， 解得：， ∴此时； 当时，解得：，则， ∵抛物线与抛物线在直线与直线之间的部分均是上升的， ∴，则， 解得：， ∴此时； ∵， ∴且． 故答案为：且． 【变式9-2】在平面直角坐标系中，已知点，对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“拓广对称点”，已知点，点，则点关于点的“拓广对称点”的坐标为 ；若点是直线上的动点，定点在直线上，点关于点的“拓广对称点”为点，若线段长的最小值为，则点的坐标为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义运算，坐标的平移，对称点的性质，二次函数的图象与性质，理解新定义，表示出点的坐标是解题的关键．首先根据定义求点关于点的拓广对称点：点的横坐标，故点向右平移个单位得，再求点关于点的对称点，利用中点公式求解即可；设点在直线上，点在直线上，根据定义求点的坐标，再计算长度的表达式，通过二次函数最小值求解的值． 【详解】解：对于点和点， 由定义可知，，点向右平移个单位得点， 设点为对称点，点为与的中点， ，， 解得，， 点的坐标为． 设点，点． 由定义可知，点平移后得． 设点为对称点，点为与的中点， ，， 解得，， 点的坐标为． ， 关于的二次函数中，， 当时，取最小值，最小值为， 令，即， 整理得，解得或， 点的坐标为或． 故答案为：；或． 类型十、几何综合 例10如图，在中，，，，是中线，点、同时从点出发，以相同的速度分别沿、方向移动，当点到达点时，运动停止，直线分别与、相交于、，则在点、移动过程中，点移动路线的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、弧长公式、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，正确判断出点移动轨迹是解题关键．先求出，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，由此可判断出点四点共圆，在以为直径的圆上，取的中点为点，连接，则在点、移动过程中，点移动的轨迹是劣弧，然后利用弧长公式求解即可得． 【详解】解：在中，，，，是中线， ，， ， 由题意可知，， 在和中， ， ， ， 又， ， 点四点共圆，在以为直径的圆上， 如图，取的中点为点，连接， 则在点、移动过程中，点移动轨迹是劣弧， 点为的斜边的中点， ， ∴点移动路线的长度为， 故答案为：． 【变式10-1】在中，，为边上的高，点为上一点，交于，已知，，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】如图，过点作，交的延长线于点，过点作于，证明得，利用勾股定理得，设，则，，根据勾股定理列方程可得，证明得，设，则，证明即可解答． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，即平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 在中，， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，通过作辅助线构造全等三角形、相似三角形是解题的关键． 【变式10-2】如图，在和中，，，，连接，，将绕点旋转，当最大时，的长为 ． 【答案】 【分析】先确定点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，过作的垂线交延长线于，由分析出当最大时，最大，再由直角三角形斜边大于直角边得在旋转过程中，即时，取得最大值，再通过取中点，连接并延长至，使得，利用勾股定理可求出、的长度，再证明即可． 【详解】解：如图，将绕点旋转一周，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，过作的垂线交延长线于， ∵， ∴当最大时，最大， 在旋转过程中，， ∴， 即时，取得最大值， 此时在直角三角形中， ， ∴， 如图，取中点，连接并延长至，使得， ∴在直角三角形中， ，； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，难度较大，掌握相关知识是解题关键． 类型十一、几何最值 例11如图，在中，，，D是边中点，P是边上的一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值 ． 【答案】1 【分析】本题考查了垂线段最短，等边三角形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加正确的辅助线，构造全等三角形解决问题． 在的下方作等边，证明得，当时，的值最小，求值即可． 【详解】解：如图，在的下方作等边， ∵，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵T是定点，是定值， ∴点Q在射线上运动， 当时，的值最小， 最小值为， 故答案为：1． 【变式11-1】如图，在菱形中，，点分别是上的动点（不与端点重合），且，连接交于点，则四边形的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】由“”可证，可得，求得，连接，过G作于N，过作于，则，由，可证明当重合时，有最大值，此时四边形的面积最大，接着证明垂直平分，得到，求出，利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴和 都是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，连接，过G作于N，过作于， 则，其中，的长度都是不变的， 那么当最大时，四边形的面积最大， ∵ ∴当重合时，有最大值， ∵是等边三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形的面积的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式11-2】如图，在中，，，，点在边上（不与点，重合），过点作，垂足为点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，隐圆问题．作于点F，作于点K，利用计算出，证，推出，可得取最大值时，取最小值；点D运动过程中，始终保持，所以点E在以中点O为圆心，长为半径的圆上，当点E，K，O共线时，取最大值，由此可解． 【详解】解：作于点F，作于点K， 中，，，， ， ， ． ，， ， 又， ， ， 是定值， 取最大值时，取最小值； 点D运动过程中，始终保持， 点E在以中点O为圆心，长为半径的圆上， 当点E，K，O共线时，取最大值，如图， ，， ， ，即， ， ，即的最大值为， 此时， 的最小值是， 故答案为：． 题型专练 1. 若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用完全平方公式，提公因式进行因式分解，一元二次方程的根与系数的关系等知识．先通分计算括号里的，利用完全平方公式，提公因式进行因式分解，然后进行除法运算可得化简结果，根据一元二次方程的根与系数的关系可得，最后代值求解即可． 【详解】解： ∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴原式． 故答案为：3． 2. 若，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 先根据分式混合运算法则化简为，再根据变形，即可整体代入求出值． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为． 3. 若，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2019 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 结合根与系数的关系可得，即可解决问题． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2019 4. 若α 、β是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2021 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程得到，再根据根与系数关系得到，进而代值求解即可． 【详解】解：∵α 、β是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2021． 5. 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与较短的段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数．把点G称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，D是边的“黄金分割”点，若，且，则的长度是 ． 【答案】/ 【分析】如图，过作于 再根据黄金分割点的含义求解结合等腰三角形的性质求解再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图，过作于 ∵为的黄金分割点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 而 ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查的是黄金分割点的含义，等腰三角形的性质，勾股定理分应用，二次根式的混合运算，熟练的利用勾股定理进行计算是解本题的关键． 6. 对许多画家、艺术家来说“黄金分割”是他们在现实的创作中必须深入领会的一种指导方针，摄影师也不例外．摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点O，以O为圆心，线段为半径作圆，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则的长为 ．      【答案】 【分析】本题考查的知识点是正方形的性质、勾股定理的，解题关键是得到．正方形中，，，进而得，在中，，再根据即可求解． 【详解】解：依题得：， 则正方形中，，， ∵是的中点， ∴， ∴在中， ∴, 则． 故答案为：． 7. 如图，在正方形中，是以为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】取中点，设与以为直径的半圆的切点为，设正方形的边长为2，，结合题意易知切半圆于点，切半圆于点，切半圆于点，由切线长定理可知，，进而可得，，在中，利用勾股定理解得的值，再计算阴影部分的面积，然后结合简单概率计算公式求解即可． 【详解】解：如下图，取中点，设与以为直径的半圆的切点为， 设正方形的边长为2，， 则有，半圆的半径，， ∵为直径， ∴切半圆于点，切半圆于点， ∵切半圆于点， ∴，， ∴，， ∴在中，可有， 即，解得， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴正方形的面积， 阴影部分的面积， ∴在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求不规则图形面积、勾股定理、切线长定理、简单概率计算等知识，正确求得阴影部分面积是解题关键． 8. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结交、于点、．若平分，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ． 【答案】//0.25 【分析】求出阴影部分的面积与正方形面积的比值，即可得到针尖落在阴影区域的概率． 【详解】解：如图，连接EG交BD于点P， ∵平分， ∴ ∠ADE＝∠MDE ∵四边形EFGH是正方形 ∴∠MED＝90°， ∴∠AED＝180°－∠MED＝90° ∴∠MED＝∠AED ∵DE＝DE ∴△ADE≌△MDE（ASA） ∴AE＝ME 同理可证△BGC≌△BGN（ASA）， ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ADM＝45° ∴∠ADE＝∠MDE＝22.5° ∴∠EMD＝90°－∠ADE＝67.5° ∵∠MEG＝45° ∴∠MPE＝180°－∠EMD－∠MEG＝67.5° ∴∠EMD＝∠MPE ∴EM＝EP 设EM＝EP＝x，则EG＝2EP＝2x 在Rt△EFG中，∠EFG＝45°， ∴FG＝EG×sin45°＝ ∵△BFA≌△AED≌△CGB ∴BF＝AE＝CG＝x,BG＝BF＋FG＝，△BFA≌△AED≌△CGB≌△NBG≌△MED， 在Rt△BCG中， ∴＝ ∴ ∴针尖落在阴影区域的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的面积、直角三角形的面积等知识点，求出阴影面积与正方形的面积的比是解答此题的关键． 9. 在平面直角坐标系中，正方形，按如图所示的方式放置、点和点分别在直线和轴上、已知，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的性质，正方形的性质． 根据正方形的轴对称性，由、的坐标可求、的坐标，将、的坐标代入中，得到关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，从而求直线解析式，由正方形的性质求出，的长，设，表示出的坐标，代入直线方程中列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出的坐标，依此类推寻找规律，即可求出的坐标． 【详解】解：连接，，，分别交轴于点、、， 正方形、、， 与关于轴对称，与关于轴对称，与关于轴对称， ，， ，即，，即， ，， 将与的坐标代入中得： ， 解得：， 直线解析式为， 设，则有坐标为， 代入直线解析式得：， 解得：， 坐标为，即， 依此类推． 故答案为：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，以为边作正方形点在y轴上，延长交直线l于点，以为边作正方形，点在y轴上，以同样的方式依次作正方形，正方形，则点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数中点的规律探究，正方形的性质，分别求出点的横坐标是 1 ，点的横坐标是，点的横坐标是，找到规律，得到答案即可． 【详解】解：当，解得：， ∴点， ∵是正方形， ， ∴点， ∴点的横坐标是1， 当时，，解得， ∴点， ∵是正方形， ， ∴点， 即点的横坐标是， 当时，， 解得， ∴点 ∵是正方形， ， ∴点的横坐标是， …， 以此类推，则点的横坐标是， 故答案为：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的两个顶点，分别在反比例函数，的图象上，顶点在轴的正半轴上，已知的面积为．延长交反比例函数的图象于点，连接，则的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握反比例函数系数的几何意义，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质以及三角形、平行四边形的面积的计算方法是正确解答的关键．设点 则 ，根据平行四边形面积列出，求得的值，可得，，根据反比例函数系数的几何意义以及相似三角形的性质得出，再根据三角形、平行四边形的面积公式进行计算即可. 【详解】解：设点， 则， ， 的面积为， ， 解得， ， 如图，过点作 轴，垂足为，过点作轴，垂足为，交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 12. 如图，A为反比例函数（其中）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，．连接，，且．过点B作，交反比例函数（其中）的图象于点C，连接交于点D，则的值为 ． 【答案】 【分析】过点作轴，垂足为点，交于点，利用等腰三角形的性质可得出的长，利用勾股定理可得出的长，进而可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出值；由的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出的长，利用三角形中位线定理可求出的长，进而可得出的长，由可得出，利用相似三角形的性质即可求出的值． 【详解】解：过点作轴，垂足为点，交于点，如图所示： ， ， ， 点的坐标为， 为反比例函数（其中）图象上的一点， ， 轴，，点在反比例函数上， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是构建相似三角形． 13. 如图，在反比例函数（）的图象上，有点，，，…，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求出的纵坐标，从而可计算出的高，进而求出，从而得出的值． 【详解】解：当时，的纵坐标为2， 当时，的纵坐标为1， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， … 则； ； ； ； … ； ， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在轴的正半轴上依次截取，过分别作轴的垂线，与双曲线相交于，得，设它们的面积从左到右依次为，按此规律，则 ． 【答案】 【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键．过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得三角形面积为，结合图形找到规律进行解答即可． 【详解】解：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，， ，，， ， ， ∴， 同理可得 以此类推，． ， 故答案为：． 15. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“阶梯数”．例如：四位数是“阶梯数”；又如：四位数不是“阶梯数”．若一个“阶梯数”为，则这个数为 ；若一个“阶梯数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被5整除，则满足条件的的最大值和最小值的差为 ． 【答案】 6514 3027 【分析】本题考查新定义，整式加减的运算，二元一次方程的解，熟练掌握新定义，是解题的关键．根据新定义得到，求出的值即可，根据新定义得到，根据前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被5整除，推出，进而得到符合条件的的最大数和最小数，再进行计算即可． 【详解】解：∵是阶梯数， ∴，解得， 故这个数为6514； ∵是阶梯数， ∴， ∴， 又∵ ，能被5整除， ∴能被整除， ∵自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴， ∴当时，最大，此时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最小，此时， ∴， ∴ ∴最大数与最小数的差值为． 故答案为6514；3027． 16. 如图有一对称轴为且经过点、的抛物线与一次函数相交于点、．抛物线上、第一、二象限中有一点．连接、．当时，点的坐标是 ．（公式参考：点到直线的距离，其中为直线方程，为点坐标） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、两点间的距离公式和三角形面积的应用，掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键． 根据题意先求出二次函数的解析式，联立直线解析式可求出点A和点B的坐标，设点C坐标为，利用公式求出点到直线的距离、再求出的长，最后根据分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为， ∴设抛物线解析式为， 将点和代入， 得， 解得， ∴抛物线为， 联立抛物线和直线得 解得， 将其代入直线可得，交点为和， 由题意得，直线方程为， 设点C坐标为， ∴点到直线的距离为， ∴底边 ， ∴三角形面积为 ∵， ∴ ∴， ∴或， ∵点在抛物线上， ∴， 代入得， ， 解得或， 当时， ，舍去； 当时， ，符合条件； 代入得， ， 解得或， 当时， ，舍去； 当时， ，舍去； ∴点的坐标为， 故答案为：． 17. 对于二次函数，若存在一次函数，满足以下两个条件：①其函数图象经过的图象的顶点和的图象与轴的交点；②若关于的函数的最小值为，则称函数为函数的“融洽函数”．已知二次函数的“融洽函数”存在，则的值为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了新定义形式下二次函数的性质综合，读懂材料并应用题中方法求解，准确计算是正确解答此题的关键． 先求出二次函数的顶点坐标和与轴的交点坐标，再根据一次函数经过这两点求出其解析式，然后计算的表达式并化成顶点式求出最小值，最后令最小值等于解方程求出的值． 【详解】解：将二次函数化为顶点式为， 则二次函数的图像的顶点为， 的图像与轴的交点坐标为， 函数的图像经过这两点， ∴将，分别代入中， 得， ， 当时，， 则， ∴关于的函数 ， 当时，取得最小值，最小值为， 对于二次函数，， ， 解得，， ， ． 故答案为：24. 18. 如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将沿着翻折后得到，若与边分别交于点，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，证明得到， 则可证明， 设，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ∴，， 在中， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 19. 如图，在中，以点C为圆心，为半径作弧交于点D，点E在线段上，，，，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】延长至点，使得，证明，利用相似三角形的性质求出，进而得到，根据，推出，易证四点共圆，结合，根据圆周角定理推出，由三角形外角的性质结合已知得到，易证是等腰直角三角形，进而得到，再求出，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，延长至点，使得， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由作图知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，正确作出辅助线，构造三角形相似是解题的关键． 20. 如图，正方形中，，M为对角线上一点，且，N是对角线上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质及相似三角形的判定与性质．过点M作于点E，过点N作于点，利用正方形的性质及等腰直角三角形的性质得出，当M，N，三点共线且垂直于时，有最小值，最小值为的长，证明，利用相似三角形的性质得出，即可得解． 【详解】解：如图，过点M作于点E，过点N作于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴当M，N，三点共线且垂直于时，有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为3． 故答案为：3． 21. 如图，长方形中，，，E为上一点，且，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分析题意，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．结合矩形的性质以及旋转的性质得，则点G在射线上运动，当时，的值最小，再证明四边形是矩形，则，，运用勾股定理以及等腰三角形的性质得，再代入数值到进行计算，即可作答． 【详解】解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．与交于点， ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴点G在射线上运动， ∴当时，的值最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $