专题09成都2026年中考题型专项复习-一次函数与反比例函数定值位似新定义问题A18

一次函数与反比例函数定值位似新定义问 题 月录 典例详解… .1 类型一、定值问题 1 类型二、位似问题 11 类型三、新定义问题 23 题型专练 23 典例详解 类型一、定值问题 例1如图，直线y=等+2与反比例函数y=k≠0的图象交于4Bm-2)两点， (1)求m的值和反比例函数的表达式； 2)点E(-?)在反比例函数图象上，F是第四象限反比例函数图象上一动点，连接AF分别 与x轴，y轴交于点M,P,连接EF分别与x轴，y轴交于点N,Q,判断MN·PQ的值是否 为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)m=3,反比例函数的表达式为y=-6 (2)MN·P9的值为定值，定值是8 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，设出直线的含参表达式，联立求出 交点的坐标是解题的关键。 （①将点，2刘代入y=-号x+2中可求出m的值，则可知点B的坐标，将点B代入 y=化≠0)中，即可求出反比例函数的表达式， 1 (2)由一次函数和反比例函数的表达式可得点A的坐标，由点2”在反比例函数图象 上，可得点E的坐标，设点F 6 f>0),直线AF的表达式为y=kx+b(k≠0)， 将点F了、9代入，可得直线F的表达式，分令x=0,0,可得点P, 点M的坐标，同理可得点N,点Q的坐标，进而可得PQ=8,MN=1,最后计算MW·PQ 即可 【】①解：将点8，-到代入y=42中，得-2=号m+2, 解得m=3, B(3,-2), 将点B3,-2)代入y=k≠0)中，得-2= 3 k=3×-2)=-6, 6 :反比例函数的表达式为y=-口； (2)解：MW·PQ的值是定值，理由如下： 直线yx+2与返比例函数y一交于A,B两 令号+2=解得= 3 2’3=3, 把x=代入得，y= 34 2 1 :点2"在反比例函数图象上， 6 n=- =12 设点一引/>0，宜线r的表达式为y=+长0， 将点F}入 4=-3k+b 2 得 6=k+b 4 k1= f 解得{ 6=4、6’ :直线F的表达式为y=-4x+4-6 f 令=0，得y=4即r04-》 令=0，得x=f,即Mf-0 .3 设直线EF的表达式为y=kx+d(k2≠0)， 将点(2F引代入上式 1 12=-k2+d 2 得 6 =fk2+d f 12 f 解得 d=12-6 :直线EF的表达式为y=-2 f +12-6 3 令r=0,得y=l12-各即Q012- 令0，得=f分，即Nf-0 0=1-4}8,w=f-引1 :MN.PO=8, MN·PQ的值为定值，定值是8. MN 【变式1-1】如图，直线y=2x+1与反比例函数y=《(k≠0)的图象交于A,B(m,-2)两点， 过点A作AC⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D. 备用图 (1)求m的值和反比例函数的表达式； (2)若在线段AB上存在点E,使得S,DE=2S。4CE,请求出点E的坐标； 3)若点F(-3,)在反比例函数图象上，G是第一象限反比例函数图象上一动点，连接AG分 别与x轴，y轴交于点M,P,连接FG分别与x轴，y轴交于点N,Q,判断MNPQ的 值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】= a 3)16. 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用、平面直角坐标系中两点之间的距离， 解决本题的关键是利用待定系数法求出函数的解析式，再根据解析式求出交点的坐标. )把点Bm,-2)代入直线y=2x+1中，求出点B的坐标，再把点B的坐标代入y=《(k≠0) 求出反比例函数的解析式即可； (2)根据一次函数的解析式与反比例函数的解析式求出点A的坐标，设点E的坐标是 (x,2x+I),则△BDE中BD边上的高是x+2,△ACE中AC边上的高是1-x,根据三角形的 面积公式可得：2×31-灯=x+ 解方程求出x的值，即可得到点￡的坐标 3 3 (3)设点G的坐标是a, 用待定系数法求出直线AG、FG的解析式，根据直线的解析式 a 分别求出点M、N、P、Q的坐标，根据坐标求出MN和PQ的长度，从而可得：MWPQ的 值 【详解】(1)解：把点B(m,-2)代入直线y=2x+1中， 可得：2m+1=-2, 解得：m= 3 3 :点B的坐标是 3 把点B的坐标 22代入反比例函数y=k≠0)中， 可得：k=-2× =3, :反比例函数的解析式是y= 3 (2)解：如下图所示，连接DE、CE, y=2x+1 解方程组 y=- X1= 可得： 2、 x2=1 出=-2 (=3’ :点B的坐标是 点A的坐标是1,3， BD=2,AC=3, 设点E的坐标是(x,2x+1, 5 3 则aBDE中BD边上的高是x+号，&ACE中AC边上的高是1-x, 5m2++分3x1-小--小， .3 S.BDE =2S.ACE, 2-=x 3 2 3 3 7 解得：x=8,2x+1=2 +1= 8 4 :点E的坐标是 37) 8’4 (3)解：MNPQ的值为定值16， :点F(-3,n)在反比例函数图象上， 可得：-3n=3, 解得：n=-1, :点F(-3,n)的坐标是(-3，-)， :G是第一象限反比例函数图象上一动点， 3 设点G的坐标是a, a 设直线AG的解析式为y=kx+b(k≠0)， [k+b=3 可得： 3, ak+b= a 3 k=- 解得： a 4=3+3 a 6 33 :直线AG的解析式为y=-x+2+3, aa 当x=0时，可得：y=-3x+3+3=3+3, 33 aa a :点P的坐标是0，°+3， a 当y=0时，可得：- 33 -x+ +3=0, aa 解得：x=+1, :点M的坐标是(a+1,0), 设直线FG的解析式是y=k,x+b,(k2≠0)， -3k2+b2=-1 可得： 3, ak,+b2= a 1 k2二 解得： a 31 b2= :直线FG的解析式是y=上x+3-1, 当x=0时，可得：y=x+3-1=3-1, 1 aaa 点0的学标0名小 当y=0时，可得：x+3-1=0, 1 a 解得：x=a-3, :点N的坐标是(a-3,0), MW=la-3-(a+1=4,Pg= .MNPQ=4×4=16. 7 【变式1-2】如图，一次函数y=kx+3的图象与坐标轴相交于点A(-2,0)和点B,与反比例 函数y=(x>0)相交于点C(2,m. B D 图1 图2 (1)求出一次函数与反比例函数的表达式； 2)若点D是反比例函数y=(x>0)图象上的一点，连接CD并延长，交x轴正半轴于点E ,若DE:CD=2:3时，求△COD的面积： 3)如图2，在(2)的条件下，F为反比例函数y=(x>0图象上一动点（不与点C、D重 合)，连接CF,DF分别于x轴、y轴交于点M、N、P、Q,试探究 PO 是否是定值？ MN 如果是定值，请求出定值；如果不是，请说明理由 12 答案】山)一次函数为yx+3,反比例函数为y、 63 (2)S.COD= 2是定值，其值为； 6 M 【分析】(1)由题意直接运用用待定系数法即可求解； (2)证明△EDH∽△ECG,则 DH ED GEC,而DE:EC=2:5,C点坐标为(2,6，利用 S.COD=S.COE-S.EOD 即可求解； (3)设F点的坐标为 12 t 分别求得直线CF和DF的解析式，再分别求得点P、M、 t Q、N的坐标，据此求解即可. 【详解】(1)解：：一次函数y=kx+3的图象与坐标轴相交于点A(-2,0), -2%+3=0,解得k=3 2 3 次函数为y=三x+3, 2 3 :一次函数y=。x+3的图象经过点C2,m. 2 ∴.m=。×2+3=6, 2 ∴C点坐标为2,6)， :反比例函数y=上(x>0)经过点C, k2=2×6=12, 反比例函数为：y=12 (2)解：作CG⊥x轴于G,DH⊥x轴于H, E .CG∥DH, .△EDHn△ECG, DH ED CGEC :DE:CD=2:3,C点坐标为2,6)， DE:EC=2:5,CG=6, DH 2 65’ 9 ÷DH=2 D点的纵坐标为】 把y=2代入为=吕 12 求得x=5, D点的坐标为5，； 设直线CD的解析式为y=ax+b, 2a+b=6 把2,6,55 2Y 代入得 /5a+b=12, 5 6 a=- 解得 5 42 b= 5 直线CD的解析式为y=-x+2 5+t 令y=0,则x=7, ·E点的坐标为(7,0)， .0E=7, S.COD=S.COE-S.EOD= x7x6-2x7× 12_63 55 (3)解：设F点的坐标为 D AO E六Nx 设直线CF的解析式为y=ax+b, 2a+b=6 把21，号代入得 a+=12 t 6 41= t 解得 b= 6t+12 t 10 一次函数与反比例函数定值位似新定义问题 目录 典例详解 1 类型一、定值问题 1 类型二、位似问题 11 类型三、新定义问题 23 题型专练 23 典例详解 类型一、定值问题 例1如图，直线与反比例函数的图象交于两点． (1)求的值和反比例函数的表达式； (2)点在反比例函数图象上，是第四象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，连接分别与轴，轴交于点，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式1-1】如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点． (1)求的值和反比例函数的表达式； (2)若在线段上存在点，使得，请求出点的坐标； (3)若点在反比例函数图象上，是第一象限反比例函数图象上一动点，连接分别与轴，轴交于点，，连接分别与轴，轴交于点，，判断的值是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式1-2】如图，一次函数的图象与坐标轴相交于点和点，与反比例函数相交于点． (1)求出一次函数与反比例函数的表达式； (2)若点是反比例函数图象上的一点，连接并延长，交轴正半轴于点，若时，求的面积； (3)如图2，在（2）的条件下，为反比例函数图象上一动点（不与点、重合），连接，分别于轴、轴交于点、、、，试探究是否是定值？如果是定值，请求出定值；如果不是，请说明理由． 类型二、位似问题 例2如图，直线交反比例函数的图象于点，两点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数表达式； (2)已知点是轴上的一点，且，请求出点坐标； (3)点，连接，在直线上取一点，连接，将以点为位似中心作位似图，位似比为，是否存在点，使恰好落在反比例函数图象上，若存在，请直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由． 【变式2-1】在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象如图所示，直线分别交x轴，y轴于A，B两点． (1)请直接写出A，B两点的坐标； (2)在该反比例函数的图象上取一点C，连接，，直线交射线于点D，若，且相似比为2，求a的值； (3)在直线的上方有一点P，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为k，且与在点P的同侧，若M，N两点恰好都落在（2）中所求出的反比例函数的图象上，当k取最小值时，求P的坐标． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与反比例函数的图象的一个交点为，另一个交点为点． (1)求点的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点在反比例函数第一象限的图像上，且的面积为，求点的坐标； (3)是第二象限内一点，连接，以为位似中心画，使它与位似，相似比为．若点恰好都落在反比例函数图象上，求出点的坐标． 类型三、新定义问题 例3如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，与坐标轴交于C、D两点，连接，的面积为1． (1)求反比例函数的解析式； (2)点P是线段的中点，直线向下平移个单位长度后，将的面积分成两部分，求b的值； (3)给出如下定义：只有一组邻边相等，且只有一组对角为直角的四边形，叫作“直角等补形”；设M为y轴负半轴上一点，N为平面内一点，当四边形是直角等补形时，求点M的坐标． 【变式3-1】如图1，已知点，，直线与反比例函数的图象与第一象限交于． (1)求k的值； (2)如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，，试问在轴上是否存在一点，使的面积与的面积相等，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)新定义：如图2，在平面内，若三角形的一边等于另一边的3倍，则两边较长的那一边叫做麒麟边，两边夹角叫做麒麟角，三角形叫做麒麟三角形，若为麒麟三角形，为麒麟边，为麒麟角，A，B在反比例函数上，且点A横坐标为，直线交y轴于C，与y轴的截距为2，求n的值． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点，与反比例函数的图象交于．    (1)求一次函数的解析式和反比例函数的解析式； (2)若点是第一象限内反比例函数图象上一点．过点作轴的平行线交一次函数图象于点，作直线交轴于点，若，求点的坐标； (3)定义：若矩形的周长是面积的倍，则称该矩形为“倍积矩形”．例如，若一个矩形周长为18，面积为，则称该矩形为“3倍积矩形”．若点是第一象限内反比例函数图象上一点．过作轴于点，作轴于点．若矩形是“倍积矩形”，最小可以取多少？当取最小值时，求出点的坐标． 题型专练 1. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，在第一象限内以为边作，点C在反比例函数的图象上，D是边的中点，点C的横坐标为2． (1)如图1，若点D的纵坐标为，求反比例函数的解析式； (2)如图2，若点D在反比例函数图象上且，求的面积． (3)如图3，在（1）的条件下，将直线：向上平移得到直线，直线与双曲线交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．试探究的值是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 2. 如图1，已知反比例函数与直线交于点，B两点（点A在点B的左侧），点P是双曲线上第一象限内一动点． (1)求反比例函数解析式及点B坐标； (2)当的面积为8时，求此时P点坐标； (3)如图2，当点P在点B左侧时，过点B作直线的垂线，交于点C，交x轴于点F，交y轴于点E，连接．试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 3. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l．    (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标； (3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值． 4. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作的垂线l． (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)直线和反比例函数的另一个交点为C，求的面积； (3)P是直线l上一点，连接，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $