专题08成都2026年中考题型专项复习-一次函数与反比例函数角度存在性问题

一次函数与反比例函数角度存在性问题 目录 典例详解 2 类型一、特殊角及角度正切值存在性问题 2 类型二、等角存在性问题 11 类型三、二倍角存在性问题 22 类型四、角度和差存在性问题 37 题型专练 55 典例详解 类型一、特殊角及角度正切值存在性问题 例1如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式和点的坐标； (2)连接，，求的面积； (3)反比例函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点C，与y轴交于点B． (1)求k与m的值； (2)连接，在线段上找一点D，使，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，在x轴上找一点P，使的面积等于的面积的一半，直接写出点P的坐标． 【变式1-2】如图，点为函数与函数图象的交点，点的纵坐标为4，轴，垂足为点． (1)求的值； (2)点是函数图象上一动点，过点作于点，若，求点的坐标． (3)点是轴上一动点，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 类型二、等角存在性问题 例2如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点是直线下方，反比例函数图象上一点，连接，当时，求点的坐标； (3)在（2）求出点的条件下，将点向左平移3个单位长度得到点，连接，点是轴上一点，且．请求出所有符合条件的点的坐标（选一种情况写出解答过程）． 【变式2-1】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)由图像可知，当x 时，； (2)求出a，k的值； (3)若为x轴上的一动点，当的面积为时，求m的值； (4)在轴上是否存在点，使得，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【变式2-2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点，与x轴交于点B，已知点B的横坐标为2． (1)求n的值和反比例函数的解析式； (2)点P是反比例函数图象第二象限分支上的一点，且点P在点A下方，当时，求点P的坐标． 类型三、二倍角存在性问题 例3如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求该一次函数的解析式； (2)在轴上有一点，直线与反比例函数图象交于点，连接．求的面积； (3)如图，以线段为对角线作正方形，点是线段上的一动点，点是线段上的一动点，连接、，使，当点运动到的三等分点时，求点的坐标． 【变式3-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与轴和轴分别交于点和点，其中点坐标为，点在反比例函数图象上． (1)求点的坐标及反比例函数的表达式； (2)若点在点的右侧，过点作轴，垂足为，若，求的长； (3)是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型四、角度和差存在性问题 例4如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数交于点． (1)求点和点的坐标； (2)点是轴正半轴上一点，连接交反比例函数于点，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．点是反比例函数的图象上一点，连接，若，求点的坐标． 【变式4-1】如图，一次函数的图象交轴，轴于，两点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点，在轴的正半轴上有一点，且，连接． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)点是线段上的一点，点是轴上的一动点，连接，，，其中．求出的周长最小值及此时点的坐标： (3)在直线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】平面直角坐标系中，点，点是反比例函数图象上两点，直线分别交轴，轴于点、点 (1)求直线的函数表达式； (2)点是反比例函数图象上的一点且位于直线下方，的面积为5，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如图2，为第一象限的点，轴上是否存在一点使得．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型专练 1. 直线与双曲线交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)如图，点是直线第一象限内的一点，过点作轴，垂足为点，交双曲线于点，当时，求的值； (3)如图，已知点是双曲线上一动点，连接，，若，直接写出所有满足条件的点的坐标，并选一种情况写出解答过程． 2. 如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于，B两点，与反比例函数交于点C，D，且点C的坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点M在y轴上，且使得，求点M的坐标； (3)点P在第二象限的反比例函数图象上，若，求点P的坐标． 3. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴相交于点，点在反比例函数图象上． (1)求的值及点的坐标； (2)若为等腰直角三角形，，求点的坐标； (3)过点，的直线与轴交于点，点与点关于点对称，若存在，使得，请直接写出的值． 4. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数关系式； (2)直线与反比例的图象交于点，与直线交于点，连接，点是直线上一动点，当时，求点的坐标： (3)在（2）条件下，过点作轴于点，点是轴上一点，且，请求出所有符合条件点的坐标（选一种情况写出解答过程）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $一次函数与反比例函数角度存在性问题 目录 供例详解.……2 类型一、特殊角及角度正切值存在性问题…2 类型二、等角存在性问题11 类型三、二倍角存在性问题…。 …22 类型四、角度和差存在性问题， .37 题型专练 .55 1 典例详解 类型一、特殊角及角度正切值存在性问题 例1如图，在平面直角坐标系中，一次函数x+3 的图象与反比例函数 的图象好m)B，两点，交于点· 0 B 备用图 备用图 (1)求反比例函数的表达式和点B的坐标： OAOB△OAB (2)连接 ,求 的面积： (3)反比例函数y=的图象上是否存在一点p,使得∠ABP=45,若存在，直接写出点p的 坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】y=8 ,B(8,-1 (2)15 8) (3)存在， 【分析】本题考查反比例函数和一次函数交点问题，函数与几何结合问题，待定系数法求 反比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析式. (1)先将A-2,m)代入y=2x+3中求出A-2,4),再将4-2,4代入y=x求出反比例 2 -8 y= 解析式，后将一次函数和反比例函数联立方程组 1 ,求出 = +3 B(8,-1) (2)先求出OD=6,再利 SA0B=S.4on+S.0, 代入数值即可求出本题答案： (3)先在图象上作出∠ABP=45°，有两种情况，第一种情况点P在第四象限：过点A作 MN∥x轴，TA⊥AB,再分别过点B和T作MN的垂线，垂足分别为N,M,继而得到 △MAT≌△ANB,继而求 T-7,-6,后求出BT直线解析式，再与反比例函数联立方程 组即可求出点P的坐标；第二种情况点在第二象限：过点A作MN∥y轴，QA⊥AB,再分 别过点B和”作N的垂线，垂足分别为，M,继而得到 N.M MAQ≌△ANB 继而求出 3,14),后求出B0直线解析式，再与反比例函数联立方程组即可求出点的坐标。 【详解】(1)解：：一次函数y=一2x+3的图象与反比例函数y=元的图象交于A-2,m, 1 将A-2,m代入y=- 2x+3中得：m=-2×-2到+3=4， :4-2,4 将42.4代入y中得：43 -8 反比例函数的表达式：y= x 1 :一次函数y=2x+3的图象与反比例函数y=的图象交于A-2,m),B两点， -8 y=- 1 ,解得：「x=-2, y=- 二x+3 x=8 B8,-1 (2)解：连接OA,OB,将一次函数AB与x轴交点命名为D, 3 D 令y=0,即0=- x+3,解得：x=6 .0D=6, Sou=00+5.0 Soae=S.0m+S.o-x6×14+1=15; (3)解：存在，理由如下： ①第一种情况点P在第四象限：过点A作MN∥x轴，TA⊥AB使得AB=AT,再分别过 点B和T作MW的垂线，垂足分别为N,M, VA ∠TAB=90° ∴.∠MAT+∠NAB=∠MAT+∠ATM=90°， .∠ATM=∠NAB, △MAT≌AANB, MT=AN,AM=NB A-2,4)B(8,-1 MT=AN=10,AM=NB=5 MN=15 4 :T-,-6j :设BT直线解析式为 y=kx+b 将-7-6，B8-1代入得： .1 k -6=-7k+b,解得： 11 -1=8k+b b=- 3 111 111 y=x- 33 x=3 联立 8，解得： 8或x=8(与重合舍去)， J=- y=- 3y=-1 B 》 @点P在第二象限：过点4作箱，011使得81=0，再分别过点和9作 MN的垂线，垂足分别为N,M, M:------ B MAQ≌AANB 同理可得 3,14 BO y=kx+b 设直线解析式为 5 将e3,14,B8- 代入得： 14=3k+b k=-3 -1=8k+b,解得：b=23, y=-3x+23 y=-3x+23 x= 3 联立 ,解得： v=241 综上所述： 3524 【变式1-】如图，一次函数，y=+5的图象与反比例函数y=(x>0的图象相交于点 A,6),与轴交于点C,与y轴交于点B. V B D (1)求k与m的值： (2)连接OA,在线段AC上找一点D,使∠AOD=45°，求点D的坐标： (3)在(2)的条件下，在x轴上找一点P,使△ODP的面积等于△AOC的面积的一半，直接 写出点P的坐标. 【答案】(1)k=1,m=6 6 (2535 D (2)(12'12 36,0 3点p的坐标为7成20 【分析】(1将41,6分别代入y=+5,y= x,求出k=m=6,即可作答 (2)先理解题意，得△BOC是等腰直角三角形，再证明△CAO∽aOAD,运用勾股定理算 AO CA AC=6N2,AC=62,代入ADAO,求AD=37VW CD=4C-AD=352 12, 12,再 根据tan∠4Co=DF CD,即可求出DF=35 一总.则把记代入直线4C的锅析式y=+5 即可作答： 15 (3)先根据AODP的面积等于△4OC的面积的一半，得出aODP的面积=2，又因为 ) 115 且点P在x轴上，则OPX%×22,再求 0P-36 7,即可作答. 【详解】1)解：依题意，把416)代入=+5，得6=k+5, 解得k=1: x，得6= 依题意，把4L,6)代入y= 1 解得m=6; (2)解：由(1)知直线4C的解析式为'=x+5 AC 0 y=5 ,则 .B0,5), y=0 =x+5=0 令 ,则 ∴.x=-5, 7 C(-5,0) .B0=OC=5, ,∠COB=90°， :△BOC是等腰直角三角形， .∠AC0=45°， ∠A0D=45°， .∠AOD=∠ACO, :∠CAO=∠OAD, ∴.△CAO∽△OAD, AO CA AD AO' 41,6).C(-5,0) AC=V-5-12+(0-62=6N2,40=V0-12+(0-62=37 √3762 则AD√37， AD= 3737W2 62=12, .CD=AC-AD=6N2-372_35V2 1212 过点D作DF⊥CO,如图所示； FO ∠AC0=45o,且tan∠AC0= DF CD 8 √2DF 235W2 12 解得DF=3 2, 35 即点D的纵坐标为12 3 35 把y= 2代入直线AC的解析式y=x+5,得出2x+5, 25 解得x= 12 “ (3)解：由(2)得C(-5,0), D 2535 1212 ÷41,6 a40c的面积7x6=15, :aODP的面积等于△AOC的面积的一半， %ODp的面积=15x)-15 2-2’ D2535 12’12, 且点P在x轴上， .OP×yD 115 22, 则 OP×yD=15 OP 3515, 12 0P=7, 36 9 36 36 0 ∴点P的坐标为7 7 0 或 【点晴】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性 质，相似三角形的判定和性质，反比例函数的几何综合，解直角三角形的相关运算等，解 题关键是数形结合思想的应用 【变式1-2】如图。点p为函数y+1与函数y=(0图象的交点，点p的纵坐标为 4,PB⊥x轴，垂足为点B, (1)求m的值： 2点y是函数-贺(x>0图象上一动点，过点M作MD L BP于点D若a∠PD- 1 1 21 求点M的坐标. (3)点N是x轴上一动点，当aOPN是等腰三角形时，直接写出点N的坐标. 【答案】(1)m=24 (8,3) (2) 13 e2iE.0叫或N-2.0或 ,0 、3 或N(12,0) 【分析】(1)根据交点坐标的意义，求得点P的横坐标，利用m=y计算m即可； PD=t(t>0) DM=2t (2)设 则 ,再分类讨论，结合正切的定义，建立方程求解即可. (3》设x0,可得0N2=,0P2=62+4=52 PN2=(x-62+(0-4=(x-6)+16,结合△0PN为等腰三角形，分类讨论即可. 10