专题07成都2026年中考题型专项复习-一次函数与反比例函数四边形存在性问题A18

一次函数与反比例函数四边形存在性问题 目录 典例详解 1 类型一、平行四边形存在性问题 1 类型二、菱形存在性问题 8 类型三、矩形存在性问题 16 类型四、正方形存在性问题 24 题型专练 39 典例详解 类型一、平行四边形存在性问题 例1如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（，，为常数） (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)连接，求面积； (3)点是平面内任意一点，若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出时，的取值范围； (3)若在第一象限内存在一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若是轴上一点，且满足的面积是12，请求出点的坐标； (3)若点在反比例函数图象上，且点的横坐标为，在坐标平面内是否存在一点，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标． 类型二、菱形存在性问题 例2如图，直线与反比例函数的图象相交于点A，B，已知点A的坐标为，点B的横坐标为． (1)求该反比例函数的解析式； (2)请直接写出当时，不等式的解集； (3)D是y轴上一点，E是坐标平面内一点，若以A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，求满足条件的点E的坐标． 【变式2-1】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数（为常数，）的图象交于点．过点作轴于点，且． (1)求点的坐标及反比例函数关系式； (2)在反比例函数图象上，是否存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三、矩形存在性问题 例3如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，，分别过点，作轴，轴平行线，交于点，的面积为16． (1)求正比例函数和反比例函数的解析式； (2)点是轴上一点，点是坐标平面内一点，当以，，，为顶点的四边形是矩形时，直接写出点，的坐标． 【变式3-1】如图1，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，已知 (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)一次函数的图象与x轴交于点C，点未在图中画出是反比例函数图象上的一个动点，若，求点D的坐标； (3)若点M是坐标轴上一点，点N是平面内一点，当四边形为矩形时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标______． 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，点的纵坐标为． (1)求点的坐标和的值； (2)如图，点在反比例函数（）的图象上，且在点的左侧，连接并延长交轴于点，连接，，若，求的面积； (3)若点是坐标轴上的点，点是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型四、正方形存在性问题 例4如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标． 【变式4-1】如图1，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象经过矩形的顶点，顶点分别在轴，轴的正半轴上，点为线段上的一个动点，点在直线上一点，点在反比例图象上． (1)求反比例函数表达式． (2)如图1，若点为对角线的中点时，且四边形是平行四边形，求长． (3)在坐标平面内，是否存在点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式4-2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点．    (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)①直接写出当时，的取值范围； ②连接和，求的面积； (3)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标． 题型专练 1. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交点于点与轴交于点，轴交于点． (1)求的值； (2)连接，求的面积； (3)在反比例函数图象上存在一点，若点为坐标轴上的一动点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 2. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点，直线与轴交于点，点是轴负半轴上的一点，，的面积为24． (1)的面积为__________； (2)若点是线段的中点，求反比例函数的解析式； (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点为轴上的一点，点为直线上的一点，是否存在点和点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3. 如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为；点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交x轴于点D，且 (1)求k的值并直接写出点B的坐标； (2)点G是y轴上的动点，连接，求的最小值； (3)点P是x轴上的一点，点Q是平面内一点，是否存在点P、Q，使得四边形是菱形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 4. 如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式及一次函数的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，当MA+MB最小时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点在直线上，其中，点为坐标系内一点，当四边形为菱形时，求点的坐标． 5. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的纵坐标为3 (1)求点A的坐标和k的值； (2)如图2，点C在反比例函数的图象上，且在点B的左侧，连接并延长交x轴于点D，连接，，若，求的面积； (3)若点P是坐标轴上的点，点Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形是矩形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6. 如图，直线分别与反比例函数和的图像交于A，B两点，点B横坐标为2．    (1)求n的值． (2)若点C为图像上一点，过点C作直线轴，交反比例函数于点D，当时，求C点横坐标． (3)若点E在直线AB上，请在坐标平面内找一点F，使得以C，D，E，F四点为顶点的四边形是正方形，并求出点F的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 一次函数与反比例函数四边形存在性问题 目录 典例详解 1 类型一、平行四边形存在性问题 1 类型二、菱形存在性问题 8 类型三、矩形存在性问题 16 类型四、正方形存在性问题 24 题型专练 39 典例详解 类型一、平行四边形存在性问题 例1如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．（，，为常数） (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)连接，求面积； (3)点是平面内任意一点，若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为； (2) (3)，，． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求一次函数、反比例函数的解析式，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把代入，求出，再求出，然后把和都代入，求出，即可作答． （2）设一次函数与x轴交点为点，根据一次函数解析式得出点C，再利用，即可求解． （3）根据平行四边形的对角线互相平分，则进行分类讨论，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，将点的坐标代入， 得：， 反比例函数的解析式为； ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ∴把代入反比例函数， 得：， ∴， 则将和分别代入， 得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：如图，连接，设一次函数与x轴交点为点， 把代入，得， ， ， ． （3）解：①以为对角线时：， ∴中点的坐标为． 平行四边形对角线互相平分， ，即为的中点． ∵， 点坐标为． ②当为对角线时， ∴中点的坐标为． 平行四边形对角线互相平分， ，即为的中点． ∵， 点坐标为， ③以为对角线时， ∴中点的坐标为． 平行四边形对角线互相平分， ，即为的中点． ∵， ∴点坐标为． 满足条件的点有三个，坐标分别是，，． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)直接写出时，的取值范围； (3)若在第一象限内存在一点，使得以为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法求函数解析式，根据图象写出不等式的解集，求出两个函数解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法，可得反比例函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得A点坐标，再根据待定系数法，可得一次函数的解析式； （2）由（1）可得，，再结合函数图象即可得解； （3）连接，交于点M，首先利用平行四边形的性质求得中点M的坐标为，进而推导出P点坐标． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为， ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）， ∴点A的坐标为， ∵点A，B在一次函数的图象上， 把点，分别代入，得： ， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由（1）可得，， 根据图象可知，时，的取值范围为或； （3）解：如图，连接，交于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴点是线段、的中点， ∵，， ∴， ∴点P的坐标为． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若是轴上一点，且满足的面积是12，请求出点的坐标； (3)若点在反比例函数图象上，且点的横坐标为，在坐标平面内是否存在一点，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为或或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合、三角形面积公式、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法计算即可得解； （2）设，求出直线与轴交点，利用面积为与面积和，结合面积公式列方程求解，确定坐标 ； （3）先求出点的坐标，设点，再根据平行四边形的性质，分三种情况，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； 将代入反比例函数解析式可得， ∴， 将，代入一次函数解析式可得， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2） 对于一次函数， 令得， 即直线与轴交点， 根据题意： 解得：， 坐标为或 （3）解：∵点P在反比例函数图象上，且点P的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴， 设点， ∵以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴当为对角线时，与互相平分， ∴， ∴， ∴； 当为对角线时，与互相平分， ∴， 解得：， ∴； 当为对角线时，与互相平分， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 类型二、菱形存在性问题 例2如图，直线与反比例函数的图象相交于点A，B，已知点A的坐标为，点B的横坐标为． (1)求该反比例函数的解析式； (2)请直接写出当时，不等式的解集； (3)D是y轴上一点，E是坐标平面内一点，若以A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，求满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求得点坐标，观察图象，一次函数图象在反比例函数图象上方的部分即为符合题意部分，对照图象直接写出即可； （3）利用分类讨论的方法分当以为一边时和当以为一条对角线时两种情况，分别画出图形，依据菱形的性质和对称性直接写出即可． 【详解】（1）解：将点A的坐标代入反比例函数中得： ， 反比例函数的关系式为； （2）解：∵点的横坐标为， ， ， 由图象可知，不等式的解集为； （3）解：当以为一边时，如图所示： 把，分别代入得： ，解得：， ∴， 把代入得：，∴， 且直线与y轴交点坐标为：， 设点， 则， ， ∵， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴点， ∴轴， ∵菱形的对角线相互垂直平分， ∴， ∴轴， ∴； 当以为一条对角线时，如图， 设点， 则，， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， 菱形的对角线与互相平分， ∴根据中点坐标公式可得，与交点的坐标为：， ∴点的坐标为：； 综上，以点，，，为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法，数形结合法，双曲线上点的坐标的特征，菱形的性质，利用数形结合法解答是解题的关键． 【变式2-1】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数（为常数，）的图象交于点．过点作轴于点，且． (1)求点的坐标及反比例函数关系式； (2)在反比例函数图象上，是否存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形是菱形，理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，菱形的性质，两点间的距离公式，熟知待定系数法求函数解析式和菱形的性质是解题的关键． （1）先求出点A的坐标，根据三线合一定理可得点B的坐标，进而可得点P的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点C的坐标，可证明，则一定是以、、、四点为顶点的菱形的两条边，据此根据菱形对角线互相垂直且平分求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，解得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴点P的横坐标为4， 在中，当时，， ∴， 把点P的坐标代入反比例函数解析式得，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形是菱形，理由如下： 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴一定是以、、、四点为顶点的菱形的两条边， ∴与互相垂直平分，即点C到的距离等于点D到的距离， ∵轴， ∴轴， ∵， ∴点C到的距离为4， ∴点D到的距离为4， ∴点D的坐标为，即， ∴存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形是菱形． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，反比例函数解析式为 (2)点坐标为或或或 【分析】本题主要考查了反比例函数的表达式、反比例函数与一次函数交点问题、菱形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出点值，可得点坐标，进而可得反比例函数解析式，进而可得坐标； （2）先求出点坐标，进而分类讨论很容易求出点坐标． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， ∴正比例函数表达式为， ， ∴反比例函数解析式为， ∵点关于原点对称， ， 综上，，反比例函数解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 设，则， ， ， 解得：或（舍去）， ， 则， 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，如下有一种情况： 过作轴于点， 设，则， 在中，， 解得， ， ， 综上，点坐标为或或或． 类型三、矩形存在性问题 例3如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，，分别过点，作轴，轴平行线，交于点，的面积为16． (1)求正比例函数和反比例函数的解析式； (2)点是轴上一点，点是坐标平面内一点，当以，，，为顶点的四边形是矩形时，直接写出点，的坐标． 【答案】(1)，； (2)点，的坐标分别为：，或，或，或，． 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题、矩形的性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据的面积为16求出，进一步利用待定系数法即可求出答案； （2）分四种情况画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，则， ， 解得： 把代入，得， ． 正比例函数解析式为： 在反比例函数的图象上， ． 反比例函数解析式为：． （2）设， 由（1）可知，，， 由矩形的性质和中点坐标公式得到， ①如图，当为边，点在轴正半轴时，四边形为矩形， 则 解得， ∴， ②如图，当为边，四边形为矩形，点在轴负半轴时， 则 解得， ∴， ③如图，当为对角线时，则， ∴ ∴ ∴， ∴，或， 综上可知，当以，，，为顶点的四边形是矩形时，点，的坐标分别为：，或，或，或， 【变式3-1】如图1，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，已知 (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)一次函数的图象与x轴交于点C，点未在图中画出是反比例函数图象上的一个动点，若，求点D的坐标； (3)若点M是坐标轴上一点，点N是平面内一点，当四边形为矩形时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标______． 【答案】(1)反比例函数和一次函数的表达式分别为：； (2)或； (3)或 【分析】把点B的坐标代入反比例函数表达式，得出反比例函数解析式；把点B的坐标代入，求出b的值，得到一次函数的解析式； 求出点，设，根据可得，由点D是反比例函数图象上的一个动点，即可得点D的坐标； 分两种情况：①当点M在x轴上时，②当点M在y轴上时，根据矩形的性质分别求解即可． 本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，会利用待定系数法确定函数解析式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 【详解】（1）解：点是反比例函数与一次函数的交点， ，， 反比例函数和一次函数的表达式分别为：； （2）解：一次函数中，当时，， ， 设， ， ， ， 点在上， 或1， 故点或 （3）解：存在点M，N，使得四边形是矩形，理由如下： ①当点M在x轴上时，如图，设点M的坐标为， 过点B作轴于点G， ， ， ：CB， ， ， ， ， ， 点M的坐标为； ②当点M在y轴上时，过点B作轴于点H，如图， 设点M的坐标为， ， ， ， ， ， ， ：BQ， ， ， 点M的坐标为， 存在点M，N，使得四边形ABMN是矩形，点M的坐标分别为或， 故答案为：或 【变式3-2】如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，点的纵坐标为． (1)求点的坐标和的值； (2)如图，点在反比例函数（）的图象上，且在点的左侧，连接并延长交轴于点，连接，，若，求的面积； (3)若点是坐标轴上的点，点是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)的面积是； (3)存在，，． 【分析】（1）先求出点的坐标，再根据点的坐标即可求得；由与的图象的交点关于原点对称可得点的坐标； （2）由推得，设，则，再由点在的图象上可求得点坐标，从而可由得解； （3）由直线的解析式求出过点且与垂直的直线的解析式，可得直线与轴的交点及直线与轴的交点坐标，这两点即为点，再结合矩形性质、两点间距离、一次函数求出对应的点坐标即可． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象相交于，两点，点的纵坐标为， 点的坐标为， ， ， 与的图象的交点关于原点对称， 点与点关于原点对称， ； （2）解：，， ， 又， ， ， 设，则， 又在的图象上， ， ， ， ； （3）解：存在点，，使得四边形是矩形，，，理由如下： 设直线的解析式为，把代入， 则， 直线的解析式为， 设过点且与垂直的直线交y轴于点E，作轴于点N，作于点M， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，即 设过点且与垂直的直线的解析式为， 将代入可得， 直线的解析式为， 当时，， 直线与轴的交点为，直线与轴的交点为（与点E重合）， 四边形是矩形， ，且，， 设的解析式为，的解析式为， 当时，， 即的解析式为， 此时， 设， 则， 解得，即， 当时，同理可得． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数综合、反比例函数图象与性质、求一次函数表达式、两点间距离、矩形的性质，解题关键是分类讨论找出对应点，坐标． 类型四、正方形存在性问题 例4如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为，或 【分析】（1）利用待定系数可得答案； （2）将正方形问题转化为等腰直角三角形，再分为斜边和直角边两种情形，分别画图，利用全等三角形来解决问题． 【详解】（1）解：将代入，得， 反比例函数的表达式为，     将代入， 得解得， 一次函数的表达式为，     联立方程组消得， 即， 解得：，， 由可知点的横坐标为，代入得点的纵坐标为3， 点的坐标为 （2）分两种情况讨论： ①当时，如图，过作于，    ∵轴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，而， 同理可得：直线的解析式为， ∵，点在直线上， ∴点的横坐标为2， 当时，， ∴； ②当时，如图，过作交于点H，交轴于，交反比例函数图象于，过作轴于，    则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， 同理可得：， ∴， 由①知直线的解析式为，与轴交于点，与轴的交点为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 设，， ∴， ∴（舍去）或， ∴， ∴， 当时，若点E在左侧时，记与轴的交点为，    同理可得：，， 设，则， ∵直线为， ∴，， ∴， 解得， ∴， 当点E在右侧时，同理可得，    设，则， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，而在直线上， ∴， 解得，且满足分式方程， ∵， ∴， ∴， 综上，点的坐标为，或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数图象交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论． 【变式4-1】如图1，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象经过矩形的顶点，顶点分别在轴，轴的正半轴上，点为线段上的一个动点，点在直线上一点，点在反比例图象上． (1)求反比例函数表达式． (2)如图1，若点为对角线的中点时，且四边形是平行四边形，求长． (3)在坐标平面内，是否存在点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，正方形的性质与平行四边形的性质； （1）把代入，即可求解； （2）设，，根据，，为对角线，利用中点坐标公式，即可求解； （3）根据矩形的性质可得，，得出直线的解析式为，分两种情况讨论，当在点右侧时，当在点左侧时，设，根据正方形的性质，全等三角形的性质，得出的坐标，进而代入解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵在的图象上， ∴， ∴ （2）解：∵矩形的顶点，点为对角线的中点时， ∴为的中点，则， ∵点在直线上一点，点在反比例图象上，四边形是平行四边形， ∴， 设， ∵，，为对角线 ∴ 解得： ∴ ∴ （3）解：∵矩形的顶点， ∴， 直线的解析式为， 将，代入得 解得： ∴直线的解析式为， 如图所示，当在点右侧时，过点作，于点，过点作于点， ∴ ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∵点为线段上的一个动点， 设，则,， ∴， ∴ ∵在上， ∴ 解得： ∴ 如图所示，当在点左侧时， 同理可得， ∴ 设， ∴ ∴ ∵在上， ∴ 解得：（舍去）或 ∴ 综上所述， 【变式4-2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点，直线与轴交于点．    (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)①直接写出当时，的取值范围； ②连接和，求的面积； (3)点为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，写出点的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②4 (3)点的坐标为，或 【分析】（1）利用待定系数可得答案； （2）①根据的横坐标，结合函数图象，即可求解； ②根据一次函数求得的坐标，进而根据，即可求解； （3）将正方形问题转化为等腰直角三角形，再分为斜边和直角边两种情形，分别画图，利用全等三角形来解决问题． 【详解】（1）解：将代入，得， 反比例函数的表达式为，     将代入， 得解得， 一次函数的表达式为，     联立方程组消得， 即， 解得：，， 由可知点的横坐标为，代入得点的纵坐标为3， 点的坐标为 （2）①∵，， 根据函数图象可得当时，或；     ②由得点为， 即的面积为4； （3）分两种情况讨论： ①当时，如图，过作于，    ∵轴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，而， 同理可得：直线的解析式为， ∵，点在直线上， ∴点的横坐标为2， 当时，， ∴； ②当时，如图，过作交于点H，交轴于，交反比例函数图象于，过作轴于，    则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， 同理可得：， ∴， 由①知直线的解析式为，与轴交于点，与轴的交点为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 设，， ∴， ∴（舍去）或， ∴， ∴， 当时，若点E在左侧时，记与轴的交点为，    同理可得：，， 设，则， ∵直线为， ∴，， ∴， 解得， ∴， 当点E在右侧时，同理可得，    设，则， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，而在直线上， ∴， 解得，且满足分式方程， ∵， ∴， ∴， 综上，点的坐标为，或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数图象交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论． 题型专练 1. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交点于点与轴交于点，轴交于点． (1)求的值； (2)连接，求的面积； (3)在反比例函数图象上存在一点，若点为坐标轴上的一动点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，； (2)的面积为； (3)点或或． 【分析】（）由直线图象过点，与轴交于点，可求出，，则有点，然后代入即可求解； （）由（）得一次函数解析式为，则点，然后用三角形面积公式即可求解； （）分当点在轴上时和当点在轴上时，两种情况讨论，由平行四边形的对角线互相平分列出等式可求解； 【详解】（1）解：∵直线图象过点，与轴交于点， ∴，， ∴，， ∴点， ∵反比例函数的图象过点， ∴； （2）解：如图， 由（）得， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴点， ∴， ∴的面积为； （3）解：当点在轴上时，设点，点， ∵以为顶点的四边形为平行四边形， ∴和是对角线，且互相平分， ∴， ∴， ∴点， ∴， ∴， ∴点， 当点在轴上时，设点，点， 若为对角线， 则，， ∴，， ∴点， 若为对角线， 则，， ∴，， ∴点， 此时点在的延长线上，不合题意舍去， 当为对角线时，同理可求点，点， 综上所述：点或或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法，平行四边形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键. 2. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，点，直线与轴交于点，点是轴负半轴上的一点，，的面积为24． (1)的面积为__________； (2)若点是线段的中点，求反比例函数的解析式； (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点为轴上的一点，点为直线上的一点，是否存在点和点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)18 (2) (3)存在，点坐标为或或 【分析】（1）利用三角形面积公式求解即可； （2）设，，，由的面积为18，求得，根据题意求得，，解得，据此求解即可； （3）求得点的坐标为，，，，利用待定系数法求得直线的解析式为，设，，再根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，的面积为24， ∴的面积为， 故答案为：18； （2）解：设，， ∵点是线段的中点， ∴， ∵的面积为18， ∴，即， ∵反比例函数的图象经过点，点， ∴，， 解得， ∴反比例函数的解析式为； （3）解：∵点的坐标为，， ∴，即， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点为轴上的一点，点为直线上的一点， ∴设，， 当和是对角线时， ∴，， 解得， ∴点坐标为； 当和是对角线时， ∴，， 解得， ∴点坐标为； 当和是对角线时， ∴，， 解得， ∴点坐标为； 综上，点坐标为或或 ． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，平面直角坐标系内三角形面积问题以及平行四边形的存在性问题，解题的关键是掌握数形结合思想，第三问注意分情况讨论． 3. 如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为；点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交x轴于点D，且 (1)求k的值并直接写出点B的坐标； (2)点G是y轴上的动点，连接，求的最小值； (3)点P是x轴上的一点，点Q是平面内一点，是否存在点P、Q，使得四边形是菱形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点A的坐标代入一次函数解析式中求出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再求出两函数的交点坐标即可得到答案； （2）如图1，作轴于点E，轴于点F，则，利用相似三角形性质即可求得，作点B关于y轴的对称点，连接，则即为的最小值，运用勾股定理即可求得答案； （3）由题易知，设参建立方程求解点P坐标，进而再利用对角线互相平分建立方程求出Q坐标即可． 本题属于反比例函数与一次函数综合题，主要考查了待定系数法，轴对称性质，最短问题，菱形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题． 【详解】（1）解：在直线上， ， 解得， ， 在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得或， ； （2）解：如图，作轴于点E，轴于点F， ， ， ， ， ， ， ， 在中，当时，， ； 作点B关于y轴的对称点，连接，则，， ，当且仅当、G、C三点共线时取等， ， ， ∴的最小值为； （3）解：由题可知当四边形是菱形，则BC是对角线，， 设， ， ， ， ， 解得， ， ∵菱形对角线中点坐标相同， ∴， ，解得， 4. 如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的两个交点，点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式及一次函数的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，当最小时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，点在直线上，其中，点为坐标系内一点，当四边形为菱形时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，轴对称最短路径问题： （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，设点关于轴的对称点为，连接交轴于点，则最小，此时，据此求出直线的解析式，进而求出点M的坐标即可． （3）由菱形的性质可得．轴，则设， 利用两点坐标公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， ∴一次函数解析式为； 把代入中得：，解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：将代入，得， ． 设点关于轴的对称点为， 连接交轴于点，则最小，此时． 设过点和的直线为， 将，代入，得 解得 ， 点的坐标为． （3）解：设直线的表达式为， 将，代入，得，， ． 如图，当四边形为菱形时，．轴， 设， ∴， 解得， ∴或 点的坐标为，点的坐标为． 综上，点的坐标为或． 5. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的纵坐标为3 (1)求点A的坐标和k的值； (2)如图2，点C在反比例函数的图象上，且在点B的左侧，连接并延长交x轴于点D，连接，，若，求的面积； (3)若点P是坐标轴上的点，点Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形是矩形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)9 (3)存在，或 【分析】（1）先求出点的坐标，再根据点的坐标即可求得；由与的图象的交点关于原点对称可得点的坐标； （2）由推得，设，则，再由点在的图象上可求得点坐标，从而可由得解； （3）由直线的解析式求出过点且与垂直的直线的解析式，可得直线与轴的交点及直线与轴的交点坐标，这两点即为点，再结合矩形性质、利用点的平移即可求解对应的点坐标． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象相交于，两点，点的纵坐标为， ∴， ∴， 点的坐标为， ， ， 与的图象的交点关于原点对称， 点与点关于原点对称， ； （2）解：，， ， 又， ， ， 设，则， 又在的图象上， ， ， ， ； （3）解：存在点，，使得四边形是矩形，理由如下： 设直线的解析式为，把代入， 则， 直线的解析式为， 设过点且与垂直的直线交y轴于点E，作轴于点N，作于点M， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，即 设过点且与垂直的直线的解析式为， 将代入可得 ∴， 直线的解析式为， 当时，， 直线与轴的交点为，直线与轴的交点为（与点E重合）， 四边形是矩形， ，且， ∴点向点的平移方式与点向点的平移方式与距离一样， ∵，，， ∴； 当时，同理可得． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数综合、相似三角形的判定与性质，平移的性质、矩形的性质，解题关键是分类讨论找出对应点，坐标． 6. 如图，直线分别与反比例函数和的图像交于A，B两点，点B横坐标为2．    (1)求n的值． (2)若点C为图像上一点，过点C作直线轴，交反比例函数于点D，当时，求C点横坐标． (3)若点E在直线AB上，请在坐标平面内找一点F，使得以C，D，E，F四点为顶点的四边形是正方形，并求出点F的坐标． 【答案】(1)8 (2)或 (3)或或或 【分析】（1）先求出B的坐标，然后把B的坐标代入求解即可； （2）设，则可求，然后根据三角形面积公式列出方程求解即可； （3）分以为边，为对角线讨论即可． 【详解】（1）解：∵点B横坐标为2，且B在直线上， ∴， ∴， 把代入，得， 解得； （2）解：由（1）知， 设， ∵轴， ∴D的横坐标为c， 又D在的图像上， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或； （3）解：设，则 一、以为边时， ①如图，四边形为正方形，    则，C和E的纵坐标相同， 把代入，得，解得， ∴， ∴， 解得，（舍去），（舍去）， ∴，， ∴； ②如图，四边形为正方形，    则，D和E的纵坐标相同， 把代入，得，解得， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴，， ∴； 二、以为对角线时， 如图，四边形为正方形，    则是中点，，M和E的纵坐标相同 ∴， 把代入，得，解得， ∴， ∴， 解得，（舍去），，（舍去） ∴，，或， ∴或 综上，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了反比例函数，正方形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $