精品解析：湖北省部分省级示范高中2023-2024学年高一上学期期末测试数学试卷

湖北省部分省级示范高中2023~2024学年上学期 高一期末测试数学试卷 考试时间：2024年1月31日试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知一扇形的圆心角是30°，半径为2，则该扇形的面积为（ ） A 30 B. 60 C. D. 4. 若，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是第四象限点，则角的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 已知函数的零点分别为，则大小顺序是（ ） A. B. C. D. 7. 若且，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若函数恰有3个零点，则实数取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列运算结果正确的有（ ） A. B. C. 设，则 D. 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期是 B. 的单调递减区间为 C. 为奇函数 D. 不等式的解集为 11. 下列说法正确的是（ ） A. 函数在是增函数 B. 函数的单调递减区间为 C. 函数在是增函数 D. 已知函数对任意的都有，且的图像关于对称，则 12. 已知函数，则以下结论正确的有（ ） A. 在区间上，函数与的图象有奇数个交点 B. 当时， C. 函数的值域是 D. 函数的图象关于点成中心对称 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 计算：______． 14. 函数且，则函数值域是______．（用区间表示） 15. 已知函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，现发现可推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心是______，图象的对称中心是______． 16. 已知有限集，如果A中元素满足：，就称A为n元“均衡集”．若是二元“均衡集”，则的取值范围是__． 四、解答题：本题共6小题，17题10分，其他每题12分.共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （1）已知的终边位于第二象限，求的值； （2）已知，求的值． 18. 已知函数． （1）求函数的定义域及图象的对称中心； （2）求函数的单调区间． 19. 已知函数，． （1）当时，求不等式的解集； （2）若方程在时有解，求实数a的取值范围． 20. 已知函数为指数函数，函数为定义在上的奇函数． （1）求的解析式； （2）证明函数在上的单调性，若，求的取值范围． 21. 塑料袋给我们生活带来了方便，但对环境造成了巨大危害．某品牌塑料袋自然降解后残留量与时间年之间关系为，为初始量，为光解系数（与光照强度、湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数．（参考数据：） （1）已知塑料分子聚态结构系数是光解系数的45倍，若该品牌塑料袋自然降解到残留量为初始量的20%时，大约需要多少年? （2）为了缩短降解时间，该品牌塑料袋生产商改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变，已知2年就可降解初始量的20%．则要使残留量不超过初始量的5%，至少需要多少年? 22. 已知函数，当时，函数的值域是． （1）求实数的值； （2）设且.若关于的方程有四个不同的实数解，求变数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省部分省级示范高中2023~2024学年上学期 高一期末测试数学试卷 考试时间：2024年1月31日试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解． 【详解】因为集合， 所以， 故选：A． 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题：的否定是特称量词命题：，即可判断. 【详解】根据全称量词命题：的否定是特称量词命题：， 可知命题“”的否定为“”， 故选：B. 3. 已知一扇形的圆心角是30°，半径为2，则该扇形的面积为（ ） A. 30 B. 60 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积. 【详解】因为扇形的圆心角是，半径为， 则该扇形的面积为. 故选：C. 4. 若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】讨论和两种情况，利用对数函数单调性解不等式得到答案. 【详解】由， 当时，函数在定义域内为减函数， 则，即； 当时，函数在定义域内为增函数， 则，与矛盾. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C 5. 已知是第四象限的点，则角的终边位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】因为是第四象限的点，所以，，所以角的终边位于第二象限. 【详解】因为是第四象限的点， 所以，， 所以角的终边位于第二象限. 故选：B 6. 已知函数的零点分别为，则大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合零点定义可得函数的零点即函数与函数的交点的横坐标，函数的零点即函数与函数的交点的横坐标，函数的零点即函数与函数的交点的横坐标，画函数图象，结合图象判断结论. 【详解】由， 得， 所以函数的零点即函数与函数的交点的横坐标， 函数的零点即函数与函数的交点的横坐标， 函数的零点即函数与函数的交点的横坐标， 画函数与函数图象， 如图所示： 结合图象，得， 故选：D 7. 若且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系求解. 【详解】， 因为，所以，，得， 则原式， 故选：B 8. 设函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，设函数，把函数的零点问题转化为两个函数有3个交点，作出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】由题意，设函数， 令，即，所以问题转化为函数与的图象有3个交点． 在平面直角坐标系内，作出函数的图象，如图所示，结合图象可知， 当时，，且， 当时，函数与图象有3个交点， 故实数的取值范围为． 故选：D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列运算结果正确的有（ ） A. B. C. 设，则 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据指数幂和对数运算法则即可判断． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因，所以，故C正确； 对于D，，， 所以，故D 错误； 故选：BC 10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期是 B. 的单调递减区间为 C. 为奇函数 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由周期公式可判断A，由及可判断B，由诱导公式及正弦函数奇偶性可判断C，令，求解，可判断D. 【详解】对于A，由周期公式可得最小正周期是，故A错误； 对于B， 由， 得， 故的单调递减区间为，B正确； 对于C，，奇函数，C正确， 对于D，由， 可得：， 令，即， 可得： 即， 故， 故不等式的解集为，D正确， 故选：BCD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 函数在是增函数 B. 函数的单调递减区间为 C. 函数在是增函数 D. 已知函数对任意的都有，且的图像关于对称，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据指数函数单调性及复合函数单调性即可判断A；根据单调区间的定义即可判断B；根据幂函数的图象和性质即可判断C；根据函数单调性的定义及函数对称性即可判断D． 【详解】对于A，因为在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增，故A正确； 对于B，函数的单调递减区间为和，故B错误； 对于C，函数，定义域为， 因为幂函数的指数，所以在单调递减， 又因为，所以为偶函数， 所以在是增函数，故C正确； 对于D，因为函数对任意的都有， 所以在上单调递减，又的图像关于对称， 所以在上单调递增， 因为， 所以，故D正确； 故选：ACD． 12. 已知函数，则以下结论正确的有（ ） A. 在区间上，函数与的图象有奇数个交点 B. 当时， C. 函数的值域是 D. 函数的图象关于点成中心对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】先判断的定义域及单调性，的定义域.对于B，当时，根据的范围可得到的范围，由的单调性可得到的范围，进而可比较的大小关系；对于C，根据，可得的值域；对于D，验证是否成立即可判断；对于A，判断图象的对称中心也为，根据对称性可得图象交点个数的奇偶. 【详解】因为，所以的定义域为， 又是增函数，所以是减函数. 因为，所以的定义域为. 对于B，当时，，则，，，； 因为是减函数，所以当时，，而. 所以当时，，故B错误. 对于C，因为，所以，，，即的值域是，故C正确. 对于D，因为的定义域为，且， 所以函数的图象关于点成中心对称，故D正确. 对于A，因为的定义域为，且， 所以图象的对称中心也为， 所以函数与的图象若在轴两侧存在交点，则成对出现； 又，所以是函数与图象的一个交点， 所以在区间上，函数与的图象有奇数个交点，故A正确. 故选:ACD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 计算：______． 【答案】7 【解析】 【分析】由指数和对数的运算性质即可求解. 【详解】， 故答案为：7 14. 函数且，则函数值域是______．（用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质求解即可. 【详解】当时，，则， 所以函数值域是. 故答案为：. 15. 已知函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，现发现可推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心是______，图象的对称中心是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据对称关系以及奇函数的概念求解. 【详解】若,则为奇函数，所以关于对称； 若，则 化简得：， 因为为奇函数，所以，所以. 所以图象的对称中心是 故答案为：； 16. 已知有限集，如果A中元素满足：，就称A为n元“均衡集”．若是二元“均衡集”，则的取值范围是__． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义可得，再根据，利用换元法，借助基本不等式即可求出． 【详解】由题意知是二元“均衡集”，所以，即， 当时，显然不成立，所以， 所以， 设，所以， 当时，，当且仅当时等号成立，此时,违反集合的互异性，故不合题意； 当时，， 当且仅当时等号成立， 所以的取值范围. 故答案为：. 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”： （1）“一正”：就是各项必须为正数； （2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 四、解答题：本题共6小题，17题10分，其他每题12分.共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （1）已知的终边位于第二象限，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的基本关系式即可得解； （2）先利用诱导公式化简，再利用正余弦的齐次式法即可得解. 【详解】（1）的终边在第二象限， ； （2）因为 又， 所以． 18. 已知函数． （1）求函数的定义域及图象的对称中心； （2）求函数单调区间． 【答案】（1）定义域是，对称中心是； （2）单调递增区间是，无单调递减区间． 【解析】 【分析】（1）根据正切函数的定义域与对称中心，整体法列不等式或方程即可求解；（2）整体法求单调区间. 【小问1详解】 由得， 函数的定义域是， 令，解得， 函数图象的对称中心是； 【小问2详解】 令， 得， 函数的单调递增区间是，无单调递减区间． 19. 已知函数，． （1）当时，求不等式的解集； （2）若方程在时有解，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，不等式，转化为，结合不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，当时，方程显然不成立；当时，转化为在时有解，结合二次函数性质，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，函数， 不等式，即为， 可得，即为，即， 解得，故不等式的解集为. 【小问2详解】 解：由在时有解， ①当时，方程显然不成立； ②当时，即在时有解， 设，可得，即，所以， 所以，实数a的取值范围为. 20. 已知函数为指数函数，函数为定义在上的奇函数． （1）求的解析式； （2）证明函数在上的单调性，若，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的定义，求得，得到，进而得到，再由，求得，得到，即可求解； （2）利用函数单调性的定义和判定方法，证得函数在上单调递增，再由为奇函数，把不等式转化为，得到，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数指数函数， 则，解得或（舍去），所以， 又由 因为为定义在上奇函数，所以，解得，所以， 经验证：当时，满足， 所以函数为上的奇函数，所以的解析式为. 【小问2详解】 证明：由（1）知 任取，且， 则 因为，可得，所以， 所以，即，所以函数在上的单调递增； 由函数在定义域上单调递增，且为奇函数， 不等式，即为， 则满足，解得，所以的取值范围为． 21. 塑料袋给我们生活带来了方便，但对环境造成了巨大危害．某品牌塑料袋自然降解后残留量与时间年之间的关系为，为初始量，为光解系数（与光照强度、湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数．（参考数据：） （1）已知塑料分子聚态结构系数是光解系数的45倍，若该品牌塑料袋自然降解到残留量为初始量的20%时，大约需要多少年? （2）为了缩短降解时间，该品牌塑料袋生产商改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变，已知2年就可降解初始量的20%．则要使残留量不超过初始量的5%，至少需要多少年? 【答案】（1）72年 （2）26年 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，即，结合对数的运算法则，即可求解； （2）当时，得到，求得，根据题意，得出，结合对数的运算法则，即可求解. 【小问1详解】 解：由塑料分子聚态结构系数是光解系数的45倍，且塑料降解到残留量为初始量的20%， 可得，所以，可得，解得． 所以该品牌塑料袋自然降解到残留量为初始量的20%时，大约需要年. 【小问2详解】 解：根据题意，当时，可得，即， 可得，解得，所以， 若残留量不超过初始量的5%，则，可得 两边取常用对数，可得，解得， 所以至少需要26年． 22. 已知函数，当时，函数的值域是． （1）求实数的值； （2）设且.若关于的方程有四个不同的实数解，求变数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）求出对称轴，判断出该函数在区间上的单调性即可求解； （2）通过换元，化简，将问题转化为一元二次方程有两个不等的正根的问题，利用韦达定理及判别式，列出约束条件即可求解. 【小问1详解】 （1）由可知函数关于对称，又，所以函数在单调递增， 可得，即，解得． 【小问2详解】 易知， 所以即为 可化为， 令，即； 则关于的方程有四个不同的实数解等价为关于 的一元二次方程有两个不相等的正实数根， 则，解得，所以实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $