精品解析：天津市部分区2025～2026学年高一上学期期末练习数学试题

天津市部分区2025～2026学年度第一学期期末练习 高一数学 第I卷（选择题共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】根据交集的定义可得，. 故选：D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的概念即可判断. 【详解】由，解得或， “”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知是第四象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义与同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】因为是第四象限角，，所以，所以. 故选：D. 4. 已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负，结合赋值法逐项分析判断即可. 【详解】由图象可知，该函数为奇函数，定义域为，当时，. 选项A：函数应满足，因为与的图象有交点，故定义域不为.A错误. 选项B：当时，，无意义B错误. 选项C：令，定义域为， 又，所以为偶函数. 当时，. 当时，，，所以. 当时，，，所以. 综上，函数的定义域为. 又，为奇函数.故函数图象可能为C. 选项D：因为，所以定义域为. 又，该函数为偶函数.D错误. 故选：C. 5. 已知函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据使式子有意义得到不等式组，求解即可. 【详解】要使函数有意义，则，解得且， 所以的定义域为， 故选：B 6. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性可判断，，结合的值即可作出判断. 【详解】因为函数在上单调递减，又，所以； 因为函数在上单调递增，又，所以； 因为； 所以； 故选：A. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】，利用两角和的正切公式求出，利用二倍角的正切公式求出. 【详解】， ， . 故选：A. 8. 函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用平移规则计算解析式，再应用诱导公式计算求解. 【详解】由函数的图象向左平移个单位长度得到， 则的解析式为. 故选：B. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是； B. 函数与是同一函数； C. 若，则； D. 已知命题“”，则该命题的否定为“.” 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质，求得的最小正周期，可判定A错误；根据函数和的定义域不同，可判定B错误；根据不等式的基本性质，可判定C正确；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定D错误. 【详解】对于A，根据正弦函数的性质，可得函数的最小正周期是，所以A错误； 对于B，函数，则满足，解得或， 所以函数的定义域为， 函数，则满足，解得，所以的定义域为， 所以函数和的定义域不同，所以不是同一函数，所以B错误； 对于C，由，可得，则，所以，所以C正确； 对于D，由全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”，则命题的否定为“”，所以D错误. 故选：C. 10. 已知、，定义运算“”：，设函数，，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简函数的解析式，分析可知直线与函数的图象有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】当时，即，即时，， 当时，即时，即或时，， 令可得， 因为函数恰有两个零点，则直线与函数的图象有两个交点，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点， 因此实数的取值范围是. 故选：C. 第II卷 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将正确答案填写在答题卡上． 11. ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的诱导公式，结合特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】由三角函数的诱导公式，可得. 故答案为： 12. ________． 【答案】3 【解析】 【分析】由对数的换底公式计算. 【详解】原式． 故答案为：3. 13. 已知，若，则实数___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用指数幂的运算法则，化简即可求得结果. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 14. 已知，若，则的最大值为___________． 【答案】##0.0625 【解析】 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立. 又，所以，当且仅当时，等号成立. 故的最大值为. 故答案为：. 15. 已知函数，则方程所有根的和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得的最小正周期，是奇函数，为的对称轴，的最大值为，函数关于对称，当时，为上的单调递增函数，且，利用单调性，周期性求出和的交点的横坐标的和就是方程所有根的和. 【详解】，的最小正周期为， ，是奇函数， 由，解得，的对称轴为， 当时，为的对称轴， 的最大值为， 是偶函数，关于对称， 的图像是由的图像向右平移个单位而得到， 关于对称， 的定义域为， 当时，， 为上的单调递增函数， ， 当时，区间长度为，又， 则恰有个最小正周期， 时，取最大值，时，取最大值， 为取最大值 ， ， 故当时，与有个交点， 当时，与有个交点， ， 当时，与有个交点， 当时，与有个交点， 当时，与有个交点， 故当时，与的交点个数为， 设这个交点的横坐标从小到大依次为， 故当时，与的交点个数为个， 设这个交点的横坐标从大到小依次为， 关于对称， 关于对称，， 关于对称，， 关于对称，， ， 关于对称，， ， 所有根的和就是函数与的交点的横坐标的和， 方程所有根的和. 故答案为：. 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 设集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）代入条件后用补集与并集的运算即可求解； （2）根据条件得，进而可求的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 或 或 所以或 【小问2详解】 因为，所以. ①当时，有， ②当时，有，即 综上可得， 故实数的取值范围 17. 已知幂函数在第一象限上增函数． （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据幂函数的定义及性质列方程求解即可； （2）利用幂函数的单调性，结合函数定义域列不等式求解即可. 【小问1详解】 因为是幂函数， 所以， 解得或， 又在第一象限上是增函数，故， 所以，则. 【小问2详解】 由（1）知在上是增函数， 又的定义域为， 所以解得， 所以的取值范围是. 18. 已知函数． （1）求的值； （2）求的最小正周期； （3）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式代入求值即可. （2）利用辅助角公式进行化简，结合周期公式计算即可 （3）求出角的范围，结合三角函数的性质计算即可. 【小问1详解】 当时，. 【小问2详解】 . 最小正周期为. 【小问3详解】 由（2）知，. 因为，所以. 令，则，令. 结合正弦函数的图象与性质可知，在上单调递增，在上单调递减. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，取得最大值，即， 当时，， 当时， 所以当时，取最小值，， 所以在区间上的最大值为，最小值为， 即， 19. 已知函数的图象过点． （1）当时，求的解集； （2）当时，若的定义域为，值域为，求的值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由可求得的值，当时，利用二次不等式的解法可得出不等式的解集； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，结合，可求得实数的值. 【小问1详解】 因为的图象过点， 所以，解得， 当时，， 令可得，或， 所以的解集为或. 【小问2详解】 当时，函数的对称轴， ①当时，函数在上单调递增， 当时，函数有最小值， 当时，函数有最大值，解得，符合题意； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数有最小值，即， 解得或，均不符合题意. 综上可得，. 20. 已知函数． （1）求的值； （2）判断并证明的奇偶性； （3）设函数．若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）偶函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入即可； （2）利用奇偶函数的定义判断即可； （3）先求的单调性并求出其最小值，再根据题意得到对于恒成立，利用换元结合均值不等式即可求出. 【小问1详解】 由题，将代入得. 【小问2详解】 为偶函数. 证明：由题可知，定义域为 ，， 所以． 所以，为偶函数. 【小问3详解】 由题，， 令，则在上单调递增，根据对数函数性质可知在上单调递增， 故单调递增， 又在上单调递增，在上单调递增， 所以，当时，， 因为对任意的，存在，使得， 所以对于恒成立，即恒成立. 设，则， ，当且仅当，即时，等号成立． 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市部分区2025～2026学年度第一学期期末练习 高一数学 第I卷（选择题共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上． 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知是第四象限角，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（ ） A B. C. D. 5. 已知函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 8. 函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期是； B. 函数与是同一函数； C. 若，则； D. 已知命题“”，则该命题的否定为“.” 10. 已知、，定义运算“”：，设函数，，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第II卷 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．请将正确答案填写在答题卡上． 11. ___________． 12. ________． 13. 已知，若，则实数___________． 14. 已知，若，则的最大值为___________． 15. 已知函数，则方程所有根的和为___________． 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 设集合． （1）当时，求； （2）若，求实数取值范围． 17. 已知幂函数在第一象限上是增函数． （1）求的解析式； （2）若，求实数取值范围． 18. 已知函数． （1）求的值； （2）求的最小正周期； （3）求在区间上的最大值和最小值． 19. 已知函数的图象过点． （1）当时，求的解集； （2）当时，若的定义域为，值域为，求的值． 20. 已知函数． （1）求值； （2）判断并证明的奇偶性； （3）设函数．若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $