专题7.1 任意角的概念与弧度制（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第三册

专题7.1 任意角的概念与弧度制 教学目标 1．掌握任意角的定义、分类及表示方法，理解相等角与相反角的含义 2．理解象限角、终边相同角的概念，会用集合表示不同象限的角 3．掌握角度与弧度的换算，熟记扇形的弧长及面积计算公式 教学重难点 重点：任意角的概念及终边相同角的集合表示；角度与弧度的换算及扇形公式的应用 难点：终边相同角的集合表示及象限角的判断；弧度制的理解及扇形公式的灵活运用 知识点1：任意角 1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．角的表示 如图，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线分别是角的始边和终边． “角”或“”可以简记成“”． （3）角的分类 正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 负角：一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 零角：如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角 （4）相等角与相反角 ①设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称． ②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的相反角记为． ③设是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是． ④角的减法可以转化为角的加法． 【即学即练】 1．若角α＝30°，把角α逆时针旋转20°得到角β，则β＝ . 【答案】50° 【详解】因为由逆时针旋转得到，所以. 故答案为： 2．将一条射线绕着其端点逆时针旋转，再顺时针旋转，则形成的角的度数为 . 【答案】 【详解】由题知所形成的角的度数为. 故答案为： 知识点2：象限角和终边相同的角 1．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 温馨提示：（1）为任意角，“”这一条件不能漏； （2） 与中间用“”连接，如可理解成． （3）象限角的表示： 是第一象限角，所以 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以 是第四象限角，所以 【即学即练】 1．666°是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【详解】因为，属于第四象限， 所以 是第四象限角. 故选：D. 2．与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以与角终边相同的角是. 故选：D 知识点3：弧度制 1．角的单位制 （1）角度制：规定1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． （2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 2．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 度数弧度数 弧度数度数 【即学即练】 1．体操中有“前空翻转体390度”这样的动作名称，则化成弧度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因. 故选：D. 2．与角终边相同的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于AB，弧度和角度属于不同度量单位，不能混用，A错误，B错误； 对于CD，换算成弧度制为，与角终边相同的角的集合为或，C错误，D正确. 故选：D. 知识点4：扇形的弧长公式及面积公式 弧长公式：（角度制）、（弧度制） 面积公式：（角度制）、（弧度制） 【即学即练】 1．一家披萨店的某圆形披萨的半径为15厘米，以圆心为顶点，将该披萨切出一个扇形块，其弧长为10厘米，则这个扇形披萨所对的圆心角是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【详解】已知半径，弧长， 则圆心角． 故选：D． 2．已知扇形的弧长是2，圆心角是2弧度，则扇形的面积是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】根据弧度制下的扇形弧长公式， 已知弧长，圆心角弧度，代入得： ，解得半径． 扇形面积， 故选：A． 题型01 角的概念 【例1】给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③若，则是第一象限的角；④小于的角是锐角．其中错误的序号是 ． 【答案】②④ 【详解】①终边相同的角不一定相等，比如终边相同，①正确； ②第二象限的角可能小于第一象限的角，比如，，②错误； ③若，则是第一象限的角，③正确； ④不妨考虑，小于，但不是锐角，④错误. 故选：②④ 【例2】已知O为坐标原点，且射线OA的始边与x轴的非负半轴重合，若射线OA绕端点O逆时针旋转到达OB位置，由OB位置顺时针旋转到达OC位置，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】各角和的旋转量等于各角旋转量的和，所以. 故选：B 【变式1-1】时针走了1h 20min，则分针转过的角是 ． 【答案】 【详解】因为时针走了1h 20min，所以分针也走了， 注意到分针每分钟转的角度为（因为分针是顺时针旋转，所以对应的是负角）， 所以时针走了1h 20min，则分针转过的角是. 故答案为：. 【变式1-2】下列所示图形中，的是 ；的是 ．    【答案】 ①④ ②③ 【详解】在①中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以； 在②中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以； 在③中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以； 在④中，与的始边相同，的终边为的始边，与的终边相同，所以. 的是①④；的是②③. 故答案为：①④；②③. 【变式1-3】如图所示,已知角的终边为射线OA,分别作出角,,的终边. 【答案】见解析 【详解】由角的定义可知,把角的终边OA逆时针方向旋转可得角的终边OB, 把角的终边OA顺时针方向旋转可得角的终边OC, 把角的终边OA逆时针方向旋转可得角的终边OD, 如图所示： 【点睛】本题主要考查了角的概念，及角的终边的旋转，属于容易题. 关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小． 题型02 弧度制与角度制的互化 【例3】将弧度化为角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C 【例4】（多选）下列说法正确的是（ ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．与的终边相同 【答案】ABD 【详解】对于A，对应的弧度为，所以对应的弧度为，故A正确； 对于B，对应的角度为，所以对应的角度为，故B正确； 对于C，对应的弧度为，故C错误； 对于D，，，所以这两个角的终边相同，故D正确； 故选：ABD． 【变式2-1】（多选）下列转化结果正确的是（    ） A．60°化成弧度是 B．化成度是－600° C．－150°化成弧度是 D．化成度是15° 【答案】ABD 【详解】对选项A：60°化成弧度是，正确； 对选项B：化成度是－600°，正确； 对选项C：－150°化成弧度是，错误； 对选项D：化成度是15°，正确. 故选：ABD 【变式2-2】（多选）将下列角度与弧度进行互化正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，因，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 【变式2-3】将下列各弧度化成角度． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)135°； (3)210°． 【详解】（1） （2） （3） 角度制与弧度制互化的原则 牢记,充分利用和进行换算. 题型03 终边相同的角的表示 【例5】（多选）与终边相同的角有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由，显然与、、的终边相同. 故选：BCD 【例6】在平面直角坐标系中，以O为坐标原点，为始边，终边在直线上的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为角的终边在直线上， 所以角的终边在一、三象限的角平分线上， 故终边在直线上的所有角组成的集合为 . 故选：C 【变式3-1】用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为 . 【答案】. 【详解】因为， 所以与150°角终边相同的角的集合为 . 【变式3-2】已知，若与的终边相同，且，则 . 【答案】 【详解】由题意， 又与的终边相同，且， 所以， 故答案为：. 【变式3-3】已知，若将角的终边顺时针旋转所得的角的终边与角的倍角的终边重合，求角． 【答案】或 【详解】角的终边顺时针旋转所得的角为， 由题意，，则， 注意到，则只有符合题意， 故或 求适合某种条件且与已知角终边相同的角的方法：先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出的值． 题型04 象限角的判定 【例7】若角与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】， 与终边相同，位于第三象限， 又角与的终边相同， 角的终边位于第三象限． 故选：C． 【例8】（多选）若角是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为角是第二象限角，所以，， 对于A ，，，故是第三象限角，故A正确； 对于B，，，故是第一象限角，故B不正确； 对于C ，，，故是第三象限角，故C正确； 对于D，,,故是第三象限角或轴负半轴上的角或第四象限角，故D不正确. 故选：AC 【变式4-1】若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【详解】因为是第二象限角， 所以， 所以 从而， 所以是第四象限角． 故选：D. 【变式4-2】已知，则角的终边所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一或第二象限 D．第三或第四象限 【答案】C 【详解】由已知，， 当时，，即角的终边在第一象限； 当时，，即角的终边在第二象限． 所以角的终边在第一或第二象限． 故选：C 【变式4-3】如图，点在半径为且圆心在原点的圆上，且，点从点处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点在秒内转过的角度为，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点，求，并判断所在的象限． 【答案】θ的值为或，θ在第一象限或第二象限． 【解析】根据题意可知，,且 即可解得的值，确定所在的象限. 【详解】根据题意知， 秒钟后，点在角的终边上，所以， 又， 即， 所以. 又，所以或， ∴所求的的值为或. ∵0°<<90°，90°<<180°， ∴在第一象限或第二象限． 【点睛】本题主要考查终边相同的角，以及角的象限的确定，属于基础题. 判断一个角在第几象限或哪条坐标轴上的一般方法 （1）若的绝对值比较大，可通过加上或减去360°的整数倍得到内或内的一个角β； （2）判断所在象限，则在第几象限，就在第几象限． 题型05 区域角的表示 【例9】如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图，阴影部分终边在第二象限角的集合为， 阴影部分终边在第四象限角的集合为， 故终边在阴影部分的角的集合为， 故选：B. 【例10】如图，终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是    【答案】 【详解】由图可知，终边为的角的集合为，终边为的角的集合为， 故终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是. 故答案为：. 【变式5-1】集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】当时，，， 此时表示的范围与表示的范围一样， 当时，，， 此时表示的范围与表示的范围一样. 故选：C. 【变式5-2】集合中角的终边在单位圆中的位置（阴影部分）是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当，时，，.此时角的终边位于第一象限靠近轴的区域； 当，时，，.此时角的终边位于第三象限靠近轴的区域. 故选：C 【变式5-3】如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合． 【答案】答案见解析 【详解】① ② 区域角的写法步骤： （1）按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； （2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，，写出所有与，终边相同的角； （3）用不等式表示区域内的角，组成集合． 题型06 n倍角和n分角的所在象限 【例11】若（），则的终边在 ． 【答案】轴上 【详解】因为， 所以， 所以， 即的终边在轴上. 故答案为：轴上. 【例12】已知是第三象限角，那么是（        ） A．第二象限角 B．第四象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】D 【详解】由，，则，， 为奇数时，在第四象限， 为偶数时，在第二象限， 所以在第二或第四象限. 故选：D 【变式6-1】若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】因为，所以因此与终边相同，都位于第三象限； 由题意得，因此， 即，因此与终边相同都在第二象限. 故选：B 【变式6-2】（多选）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴非正半轴上 【答案】BD 【详解】因为是第二象限角，所以可得． 对于A，，则是第三象限角，所以A错误; 对于B，可得，当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．所以B正确; 对于C，，即，所以是第一象限角，所以C错误; 对于D，，所以的终边位于第三象限或第四象限或y轴非正半轴上，所以D正确． 故选：BD． 【变式6-3】（多选）已知，，那么的终边可能位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ABC 【详解】由题意可得，，则，， 当时，此时的终边落在第一象限，故A正确； 当时，此时的终边落在第二象限，故B正确； 当时，此时的终边落在第三象限，故C正确． 故选：ABC 分角、倍角所在象限的判定思路 （1）已知角终边所在的象限,确定终边所在的象限用分类讨论法,要对的取值分以下几种情况进行讨论:被整除; 被除余1;被除余被除余.然后方可下结论； （2）已知角终边所在的象限,确定终边所在的象限,可依据角的范围求出的范围,再直接转化为终边相同的角即可.注意不要漏掉的终边在坐标轴上的情况. 题型07 扇形的弧长及面积公式的应用 【例13】一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为（   ） A． B．5 C．2 D． 【答案】A 【详解】设扇形中心角的弧度数为，半径为， 所以，，解得，. 故选：A. 【例14】“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”别号．如图是折扇的示意图，其中，，为中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（    ）．    A． B．18000 C．36000 D． 【答案】A 【详解】    设线段的中点是，由题可知，， 则. 故选：A. 【变式7-1】如图，从半径为的圆中剪下圆心角为弧度，半径为的扇形，此扇形的周长为，剩余部分扇形的周长为，若，则 .    【答案】 【详解】由题可得，，， 所以，解得. 故答案为：. 【变式7-2】如图所示，这是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转.已知主动轮的半径为2，被动轮的半径为3，若主动轮旋转一周，则被动轮旋转的弧度数为 .    【答案】 【详解】根据题意可设被动轮旋转的弧度数为， 由于主动轮和被动轮转过的弧长相等，即，即， 故答案为：. 【变式7-3】如图，已知矩形截圆所得的弧的长为，，则矩形在圆外部分的面积为 ．    【答案】 【详解】设圆的半径为，由题有，解得， 又，所以，又点在圆上，，则 所以矩形的面积为， 又扇形的面积为，所以矩形在圆外部分的面积为， 故答案为：. （1）明确弧度制下扇形的面积公式是(其中是扇形的弧长,是扇形的半径, 是扇形的圆心角). （2）涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解. 题型08 扇形中的最值问题 【例15】（多选）已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（    ） A．若该扇形的半径为1，则其面积为2 B．该扇形面积的最大值为1 C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2 D．的最大值为 【答案】BC 【详解】由题意可知，，， 对于A：当时，，可得，故A错误； 对于B，C：，当时，，此时，，故B，C正确； 对于D：，当且仅当，结合，即 时等号成立，所以的最小值为，故D错误. 故选：BC 【例16】如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为 . 【答案】 【分析】 【详解】 ， 所以在扇形中，弓形面积为， 在等腰直角中，，到最大距离为半径加上等腰直角底边上的高，即为， 所以 所以阴影面积. 故答案为：. 【变式8-1】已知扇形的周长为10，当扇形面积取得最大值时，圆心角的大小是 . 【答案】弧度 【详解】设扇形的半径为，弧长为，圆心角的弧度数为，则，即， 所以扇形面积， 所以当时，取得最大值为，此时， 所以圆心角为（弧度）. 故答案为：弧度 【变式8-2】某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知，，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为弧度. (1)求关于x的函数表达式； (2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】 【详解】（1）解：根据题意，可算得，． 因为，所以， 所以，. （2）解：根据题意，可知 ， 当时，. 综上所述，当时铭牌的面积最大，且最大面积为. 【变式8-3】《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. （1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积； （2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？ 【答案】（1）；（2）. 【分析】 【详解】（1）由题意，如下图示，令圆弧的半径为，， ∴，即，得， ∴弧田面积，而， ∴. （2）由题意知：弧长为，即该扇形周长，而扇形面积， ∴当且仅当时等号成立. ∴当时，该扇形面积最大. 【点睛】关键点点睛： （1）根据“矢”的定义，结合扇形中弦、半径、圆心角的关系求其半径，进而由面积关系求弧田面积即可； （2）由扇形周长、面积公式列出扇形面积关于圆心角的函数，应用基本不等式求最值并确定等号成立的条件. 一、单选题 1．已知角的大小为，则角为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【详解】已知角的大小为，所以， 故角为第二象限角. 故选：B. 2．与终边相同的一个角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 与终边相同的角，即， 题中满足的只有， 所以与终边相同的一个角为. 故选：D. 3．把化成角度是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以, 故选：C 4．已知角的终边经过点，则是（    ） A．第一或第三象限角 B．第二或第四象限角 C．第一或第二象限角 D．第三或第四象限角 【答案】A 【详解】由题意可知是第二象限角，， 则,则是第一或第三象限角． 故选：A 5．若角的终边在直线上，则角的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知角的终边在直线上， 故或， 即或， 故角的取值集合为. 故选：C. 6．已知为第二象限角，那么是（    ） A．第一或第二象限角 B．第一或第四象限角 C．第二或第四象限角 D．第一、二或第四象限角 【答案】D 【详解】∵为第二象限角， ∴， ∴, 当时，，属于第一象限， 当时，，属于第二象限， 当时，,属于第四象限， ∴是第一、二或第四象限角． 故选：D 7．圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环.如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题得在扇形中，，解得，所以有扇形的面积为； 在扇形中，有，解得，所以有扇形的面积为， 所以该扇环的面积为， 故选：A. 二、多选题 8．下列四个结论正确的是（    ） A．角是第四象限角 B．角是第三象限角 C．角是第三象限角 D．角是第一象限角 【答案】ABD 【详解】终边位于第四象限 ，为第四象限角，故A正确； 终边位于第三象限 ，为第三象限角，B正确； ，终边位于第二象限，为第二象限角，C错误； ，终边位于第一象限， 为第一象限角，D正确 故选：ABD 9．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，，正确； 对于B，，正确； 对于C，，错误； 对于D，，正确； 故选：ABD． 三、填空题 10．的终边与的终边关于直线对称，则的取值集合为 ． 【答案】 【详解】解：的终边与的终边关于直线对称， 所以的终边与角的终边相同， 所以的取值集合为 故答案为： 11．已知点P位于x轴正半轴上,射线OP在1秒内转过的角为,经过2秒到达第三象限,若经过14秒后又恰好回到出发点,则 . 【答案】或 【解析】根据2秒到达第三象限，可确定， 结合得范围，经过14秒后又恰好回到出发点可得，联立条件即可求出. 【详解】且, 必有,. 又, , , 即, 或5. 故或. 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了角的旋转，象限角，终边相同的角，属于中档题. 四、解答题 12．已知角． (1)将角改写成的形式，并指出角是第几象限的角； (2)在区间上找出与角终边相同的角． 【答案】(1)，角是第二象限角． (2)，，. 【分析】 【详解】（1）因为， 所以角与的终边相同， 又，所以角α是第二象限角． （2）因为与角终边相同的角（含角在内）为， 所以由，得． 因为， 所以． 当时，； 当时，； 当时，； 故在区间上与角终边相同的角是，，. 13．已知相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮顺时针转动一周时，小轮转动的角是多少度？多少弧度？如果大轮的转速是150r/min，小轮的半径为10cm，那么小轮圆周上的点每秒转过的弧长是多少？ 【答案】小轮转动的角是，弧度，小轮圆周上的点每秒转过的弧长为 cm 【详解】由题意得，相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿， 所以当大轮旋转一周时，大轮转了48个齿，小轮转了20齿， 所以小轮转动了周，即，， 所以当大轮的转速为150r/min时，小轮的转速为r/min， 所以小轮圆周上的点每秒转过的弧度数为 ， 因为小轮的半径为10cm， 所以小轮圆周上的点每秒转过的弧长 cm 14．如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角为． (1)当时，求弧的中点E到弦BC的距离， (2)当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积． 【答案】(1) (2)， 【分析】 【详解】（1）设内圆弧半径为，则， 所以， 所以，则， 设交于， 则由垂径定理得，， 当时，，所以， 所以， 即点E到弦BC的距离为． （2）由（1）得， 则， ， 当且仅当，即，取得最大值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.1 任意角的概念与弧度制 教学目标 1．掌握任意角的定义、分类及表示方法，理解相等角与相反角的含义 2．理解象限角、终边相同角的概念，会用集合表示不同象限的角 3．掌握角度与弧度的换算，熟记扇形的弧长及面积计算公式 教学重难点 重点：任意角的概念及终边相同角的集合表示；角度与弧度的换算及扇形公式的应用 难点：终边相同角的集合表示及象限角的判断；弧度制的理解及扇形公式的灵活运用 知识点1：任意角 1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置_______到另一个位置所成的图形． 2．角的表示 如图，射线的端点是圆心，它从起始位置按_______方向旋转到终止位置，形成一个角，射线分别是角的_______和_______． “角”或“”可以简记成“_______”． （3）角的分类 正角：一条射线绕其端点按_______方向旋转形成的角 负角：一条射线绕其端点按_______方向旋转形成的角 零角：如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角 （4）相等角与相反角 ①设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向_______且旋转量_______，那么就称． ②我们把射线OA绕端点O按_______方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为_______．角的相反角记为． ③设是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是_______． ④角的减法可以转化为角的_______． 【即学即练】 1．若角α＝30°，把角α逆时针旋转20°得到角β，则β＝ . 2．将一条射线绕着其端点逆时针旋转，再顺时针旋转，则形成的角的度数为 . 知识点2：象限角和终边相同的角 1．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与_______重合，角的始边与_______重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是_______；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合_______，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与_______的和． 温馨提示：（1）为任意角，“”这一条件不能漏； （2） 与中间用“”连接，如可理解成． （3）象限角的表示： 是第一象限角，所以_______ 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以_______ 是第四象限角，所以 【即学即练】 1．666°是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．与角终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 知识点3：弧度制 1．角的单位制 （1）角度制：规定1度的角等于周角的_______，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． （2）弧度制：长度等于_______的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号_______表示，读作弧度． 2．角度与弧度的换算 角度化弧度 弧度化角度 度数弧度数 弧度数度数 【即学即练】 1．体操中有“前空翻转体390度”这样的动作名称，则化成弧度是（   ） A． B． C． D． 2．与角终边相同的角的集合是（    ） A． B． C． D． 知识点4：扇形的弧长公式及面积公式 弧长公式：_______（角度制）、（弧度制） 面积公式：（角度制）、_______（弧度制） 【即学即练】 1．一家披萨店的某圆形披萨的半径为15厘米，以圆心为顶点，将该披萨切出一个扇形块，其弧长为10厘米，则这个扇形披萨所对的圆心角是（   ） A． B．3 C． D． 2．已知扇形的弧长是2，圆心角是2弧度，则扇形的面积是（    ） A．1 B．2 C． D． 题型01 角的概念 【例1】给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③若，则是第一象限的角；④小于的角是锐角．其中错误的序号是 ． 【例2】已知O为坐标原点，且射线OA的始边与x轴的非负半轴重合，若射线OA绕端点O逆时针旋转到达OB位置，由OB位置顺时针旋转到达OC位置，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】时针走了1h 20min，则分针转过的角是 ． 【变式1-2】下列所示图形中，的是 ；的是 ．    【变式1-3】如图所示,已知角的终边为射线OA,分别作出角,,的终边. 关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小． 题型02 弧度制与角度制的互化 【例3】将弧度化为角度为（    ） A． B． C． D． 【例4】（多选）下列说法正确的是（ ） A．化成弧度是 B．化成角度是 C．化成弧度是 D．与的终边相同 【变式2-1】（多选）下列转化结果正确的是（    ） A．60°化成弧度是 B．化成度是－600° C．－150°化成弧度是 D．化成度是15° 【变式2-2】（多选）将下列角度与弧度进行互化正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】将下列各弧度化成角度． (1)； (2)； (3)． 角度制与弧度制互化的原则 牢记,充分利用和进行换算. 题型03 终边相同的角的表示 【例5】（多选）与终边相同的角有（   ） A． B． C． D． 【例6】在平面直角坐标系中，以O为坐标原点，为始边，终边在直线上的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为 . 【变式3-2】已知，若与的终边相同，且，则 . 【变式3-3】已知，若将角的终边顺时针旋转所得的角的终边与角的倍角的终边重合，求角． 求适合某种条件且与已知角终边相同的角的方法：先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出的值． 题型04 象限角的判定 【例7】若角与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例8】（多选）若角是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】若是第二象限角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式4-2】已知，则角的终边所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一或第二象限 D．第三或第四象限 【变式4-3】如图，点在半径为且圆心在原点的圆上，且，点从点处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点在秒内转过的角度为，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点，求，并判断所在的象限． 判断一个角在第几象限或哪条坐标轴上的一般方法 （1）若的绝对值比较大，可通过加上或减去360°的整数倍得到内或内的一个角β； （2）判断所在象限，则在第几象限，就在第几象限． 题型05 区域角的表示 【例9】如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ） A． B． C． D． 【例10】如图，终边落在阴影部分（含边界） 的角的集合是    【变式5-1】集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式5-2】集合中角的终边在单位圆中的位置（阴影部分）是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合． 区域角的写法步骤： （1）按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； （2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，，写出所有与，终边相同的角； （3）用不等式表示区域内的角，组成集合． 题型06 n倍角和n分角的所在象限 【例11】若（），则的终边在 ． 【例12】已知是第三象限角，那么是（        ） A．第二象限角 B．第四象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【变式6-1】若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式6-2】（多选）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴非正半轴上 【变式6-3】（多选）已知，，那么的终边可能位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 分角、倍角所在象限的判定思路 （1）已知角终边所在的象限,确定终边所在的象限用分类讨论法,要对的取值分以下几种情况进行讨论:被整除; 被除余1;被除余被除余.然后方可下结论； （2）已知角终边所在的象限,确定终边所在的象限,可依据角的范围求出的范围,再直接转化为终边相同的角即可.注意不要漏掉的终边在坐标轴上的情况. 题型07 扇形的弧长及面积公式的应用 【例13】一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为（   ） A． B．5 C．2 D． 【例14】“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”别号．如图是折扇的示意图，其中，，为中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（    ）．    A． B．18000 C．36000 D． 【变式7-1】如图，从半径为的圆中剪下圆心角为弧度，半径为的扇形，此扇形的周长为，剩余部分扇形的周长为，若，则 .    【变式7-2】如图所示，这是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转.已知主动轮的半径为2，被动轮的半径为3，若主动轮旋转一周，则被动轮旋转的弧度数为 .    【变式7-3】如图，已知矩形截圆所得的弧的长为，，则矩形在圆外部分的面积为 ．    （1）明确弧度制下扇形的面积公式是(其中是扇形的弧长,是扇形的半径, 是扇形的圆心角). （2）涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解. 题型08 扇形中的最值问题 【例15】（多选）已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（    ） A．若该扇形的半径为1，则其面积为2 B．该扇形面积的最大值为1 C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2 D．的最大值为 【例16】如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为 . 【变式8-1】已知扇形的周长为10，当扇形面积取得最大值时，圆心角的大小是 . 【变式8-2】某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的）.已知，，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为弧度. (1)求关于x的函数表达式； (2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值. 【变式8-3】《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. （1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积； （2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？ 一、单选题 1．已知角的大小为，则角为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．与终边相同的一个角为（    ） A． B． C． D． 3．把化成角度是（ ） A． B． C． D． 4．已知角的终边经过点，则是（    ） A．第一或第三象限角 B．第二或第四象限角 C．第一或第二象限角 D．第三或第四象限角 5．若角的终边在直线上，则角的取值集合为（    ） A． B． C． D． 6．已知为第二象限角，那么是（    ） A．第一或第二象限角 B．第一或第四象限角 C．第二或第四象限角 D．第一、二或第四象限角 7．圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环.如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 8．下列四个结论正确的是（    ） A．角是第四象限角 B．角是第三象限角 C．角是第三象限角 D．角是第一象限角 9．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 10．的终边与的终边关于直线对称，则的取值集合为 ． 11．已知点P位于x轴正半轴上,射线OP在1秒内转过的角为,经过2秒到达第三象限,若经过14秒后又恰好回到出发点,则 . 四、解答题 12．已知角． (1)将角改写成的形式，并指出角是第几象限的角； (2)在区间上找出与角终边相同的角． 13．已知相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮顺时针转动一周时，小轮转动的角是多少度？多少弧度？如果大轮的转速是150r/min，小轮的半径为10cm，那么小轮圆周上的点每秒转过的弧长是多少？ 14．如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角为． (1)当时，求弧的中点E到弦BC的距离， (2)当为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $