7.1.1角的推广-2021-2022学年高一数学同步知识梳理+考点精讲精练(人教B版2019必修第三册)

第七章 三角函数 7.1任意角的概念与弧度制 7.1.1角的推广 知识梳理 一． 角的概念的推广 一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的终边和始边，按照逆时针方向旋转而成的角称为正角，按照顺时针方向旋转而成的角称为负角，当射线没有旋转时，也把它看成一个角，称为零角，这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也称为转角. 二．角的加减法运算 1.射线OA绕端点O旋转到OB位置所形成的角，记作，其中OA叫做始边，OB叫做终边； 2.引入了正负角的概念之后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即可以转化为，这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和. 三．象限角 角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角，如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限. 四． 终边相同的角 一般地，角α+k·360°(k∈Z)与角α的终边相同.任意两个终边相同的角，它们的差一定是360°的整数倍，因此，所有与α终边相同的角组成一个集合，记为 常见考点 考点一 任意角的概念 例1．若角α，β的终边相同，则α－β的终边落在（ ） A．x轴的非负半轴上 B．x轴的非正半轴上 C．x轴上 D．y轴的非负半轴上 【答案】A 【分析】 结合终边相同的角的知识确定正确选项. 【详解】 因为角α，β的终边相同，故α－β＝k·360°，k∈Z.所以α－β的终边落在x轴的非负半轴上. 故选：A 变式1-1．下列说法中，正确的是（ ） A．锐角是第一象限的角 B．终边相同的角必相等 C．小于的角一定为锐角 D．第二象限的角必大于第一象限的角 【答案】A 【分析】 根据锐角的定义，可判定A正确；利用反例可分别判定B、C、D错误，即可求解. 【详解】 对于A中，根据锐角的定义，可得锐角满足是第一象限角，所以A正确； 对于B中，例如：与的终边相同，但，所以B不正确； 对于C中，例如：满足，但不是锐角，所以C不正确； 对于D中，例如：为第一象限角，为第二象限角，此时，所以D不正确. 故选：A. 变式1-2．如图，圆的圆周上一点以为起点按逆时针方向旋转，转一圈，之后从起始位置转过的角是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 求出点逆时针方向旋转一分钟转的度数再乘以即可求解. 【详解】 因为点以为起点按逆时针方向旋转，转一圈， 所以点逆时针方向旋转一分钟转的度数为， 设之后从起始位置转过的角为， 故选：D． 变式1-3．钟表的分针在1.5小时内转了（ ） A．180° B．-180° C．540° D．-540° 【答案】D 【分析】 根据任意角的定义即可得出选项. 【详解】 根据顺时针为负角，则分针在1.5小时内转了 ， 故选：D 考点二 找出终边相同的角 典例2．下列选项中与角终边相同的角是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先表达出与角终边相同的角，从四个选项中挑选符合要求的角. 【详解】 与终边相同的角为，，当时，， C选项符合要求，经过检验，其他选项不符合要求. 故选：C 变式2-1．与角的终边相同的最小正角是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 写出与角终边相同的角的集合，即可得出结论. 【详解】 与角终边相同角的集合为， 当时，取得最小正角为. 故选：D. 变式2-2．将化为（，）的形式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据给定条件直接计算即可判断作答. 【详解】 . 故选：D 变式2-3．与1°角终边相同的角的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 角的表示方法不一致，排除A， D；选项B表示错误；根据终边相同的角的公式得选C． 【详解】 解：角的表示方法要保持一致，排除A， D； 选项B表示错误； 而180°角与角对应，于是1°角与角对应，根据终边相同的角的公式得选C． 故选：C 考点三 根据图形写出角（范围） 典例3．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________________. 【答案】{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z} 【分析】 写出终边在阴影部分的边缘的角即得解. 【详解】 解：终边落在阴影部分第二象限最左边的角为, 终边落在阴影部分第四象限最左边的角为. 所以终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}. 故答案为：{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z} 变式3-1．写出角的终边在图中阴影区域内的角的集合．（包括边界） 【答案】（1） （2） 【分析】 由题意直接利用终边相同的角的集合的表示方法表