7.3.3余弦函数的性质与图像（教学课件，含交互动画）高一数学人教B版必修第三册

7.3.3 余弦函数的性质与图像 第七章 三角函数 学 习 目 标 1 2 3 掌握余弦函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等核心性质，明确各性质的表达形式. 理解余弦函数图像与正弦函数图像的内在联系，能说明余弦曲线由正弦曲线平移得到的过程 类比正弦函数的研究思路，经历 “观察 — 猜想 — 推导 — 验证” 的探究过程，体会类比思想在数学研究中的应用 新课导入 在前面的课程中，我们学习了正弦函数的性质与图像，你还记得我们是如何研究正弦函数的性质与图像的吗？ ①三角函数线 ②诱导公式 ③列表描点 ④性质推导 研究步骤： 对于余弦函数，它是如何定义的？我们可以用哪些方案研究它的性质与图像？ 新知探究 我们有两种方式研究余弦函数： (1) 类比正弦函数，使用单位圆中的余弦线； (2) 利用诱导公式 ，将其转化为正弦型函数。 第二种方式建立在已学习的正弦函数的基础上，更有利于理解： 由可知 的性质与图像和正弦型函数 的相同. 下面我们将研究的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性，以此得到余弦函数的性质与图像. 探究一：余弦函数 的性质 新知探究 定义域为：R 定义域为：R 值域为： 值域为： 周期为： 周期为： 单调递增区间： 单调递增区间： 5 新知探究 单调递减区间： 单调递减区间： 零点： . 零点： . 除了以上性质以外，由诱导公式可知： 是一个偶函数. 知识小结 余弦函数 的性质 ①定义域为：R ②值域为： ③周期为： ④单调递增区间： ⑤单调递减区间： ⑥零点： . ⑦奇偶性：偶函数. 即时训练 1.求满足的的取值范围． 【分析】根据余弦函数的性质，结合题意，即可求解. 解：由，根据余弦函数的性质可得： 即角的取值范围为. 新知探究 探究二：余弦函数 的图像 由于，因此此余弦曲线可由正弦曲线向左平移个单位得到. 图像特征：①余弦曲线的对称轴为 ②对称中心为，其中 知识小结 余弦函数 的图像 如右图，为余弦函数的函数图像 图像特征： ①对称轴： ②对称中心为，其中 即时训练 2.函数的图象的一条对称轴方程是（    ） A． B． C． D． 【分析】利用整体思想直接代入余弦函数对称轴的性质即可求解. 【详解】由，，得 ，． 当时，得. A 典例分析 例1 求下列函数的值域. （1）;. 【分析】将 cos 视为一个整体变量，其变化范围是受限的. 解：（1）因为 , 所以 , 且 , 即 . 当 时, ; 当 时, . 因此 的值域为 . 12 典例分析 （2） . 【分析】通过换元，将与三角函数相关的复杂问题，转化为已熟练掌握的二次函数在闭区间上的最值问题. （2）令 , 则 因为 时, , 所以 , 因此 当 时, ; 当 时, . 因此 的值域为 . 例2 典例分析 判断下列函数的奇偶性. （1）; 【分析】偶函数：若对于定义域内任意，都有 奇函数：若对于定义域内任意，都有 解 ：(1) 把函数 记作 因为定义域为 , 且 所以 是偶函数. 典例分析 （2）. （2）把函数 记作 , 因为定义域为 且 所以 是 奇函数 典例分析 例3 【分析】转化为正弦型函数 y = Asin()，利用正弦型函数的性质解答. 求函数 的周期和其图像的对称轴方程. 解：因为 所以 . 令 (), 解得 (). 故 的周期为 , 其图像的对称轴方程为 (). 典例分析 例4 求函数 的最大值和最小值。 【分析】方法一：研究函数的单调性变化.通过分析函数在给定区间内的增减情况，找出所有区间端点和单调性改变的点 解：（方法一）由余弦函数的性质可知 在 递增，在 递减 所以函数的最大值为 1，最小值为 又因为，， 17 典例分析 【分析】方法二：借助函数的图像或几何表示解答. 如图 ，作出示意图，其中 OP 为角 的终边， 为角 的终边. 区间 内的角的终边只能在直线 的右上方，因此当角的余弦线为 时， 取得最大值. ； 当角的余弦线为时，取得最小值 新知探究 探究三：余弦型函数的性质 类比正弦型函数的研究，可得余弦型函数的相关性质. 向左 或向右 平移 个单位 横坐标变为原来的 倍 纵坐标变为原来的 倍 对称轴： （） 对称中心： （） 定义域： 值域： 周期： 19 知识小结 余弦型函数的性质 定义域： 值域： 周期： 对称轴： （） 对称中心： （） 点击下列图标，观看不同参数下余弦型函数的图像变化 巩固提升 重点题型一：余弦函数与不等式 1.说明函数的奇偶性. 【分析】先根据诱导公式对函数进行化简，最后利用余弦函数的奇偶性判断即可. 解：由已知条件得，且函数定义域为R，关于原点对称 则 故函数为偶函数. 巩固提升 重点题型二：余弦函数的对称轴与对称中心问题 2.求函数的对称中心. 【分析】利用整体代换法求解对称中心. 解：令， 解得 故函数的对称中心为，. 巩固提升 重点题型三：根据奇偶性对称性求参数 3.的图像关于直线对称，则可以为（    ） A． B． C． D．1 【分析】的对称轴为化简即可. 【详解】 对称轴为： 当时，取值为. C 巩固提升 重点题型四：利用单调性比较大小 4.比较大小：，. 【分析】利用诱导公式得，，由函数在上的单调性，比较余弦值的大小； 解：， 因为，而在上单调递减 所以，即. 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 余弦函数 y = A cos(ωx + φ) + k 人教B版 必修三 · 三角函数 参数设置 振幅 (A) 1.0 角频率 (ω) 1.0 初相 (φ) 0.0π 偏置 (k) 0.0 暂停演示 重置 💡 观察重点： 单位圆上的红色水平线代表余弦值 注意观察余弦值如何随角度变化 A 改变波峰波谷的高度 ω 改变波动的疏密程度 课堂小结 余弦函数的图像与性质 📚 知识点回顾 ⚠️ 易错点警示 💡 解题技巧 人教B版 · 必修三 核心知识梳理 点击下划线区域查看关键术语 1. 余弦函数 y = cos x 的性质 定义域 实数集 R 值域 [-1, 1]。当 x = 2kπ (k∈Z) 时，ymax = 1；当 x = 2kπ + π (k∈Z) 时，ymin = -1。 周期性 最小正周期 T = 2π。 奇偶性 偶函数，图像关于 y 轴对称。 2. 单调性与对称性 单调递增 区间：[2kπ - π, 2kπ] (k∈Z) 单调递减 区间：[2kπ, 2kπ + π] (k∈Z) 对称中心 (kπ + π2, 0) (k∈Z) 对称轴 直线 x = kπ (k∈Z) 易错点警示 避开这些常见的逻辑陷阱 🚫 忽视周期性 在求单调区间或解不等式时，常忘记加上周期 2kπ。 错误示例： 由 cos x > 0 得 -π2 < x < π2 正确写法： 2kπ - π2 < x < 2kπ + π2 (k∈Z) 🚫 混淆单调区间 余弦函数与正弦函数的单调区间不同，容易混淆。 正弦 sin x：增区间在 [-π2, π2] 附近 余弦 cos x：增区间在 [-π, 0] 附近 🚫 复合函数的单调性 对于 y = cos(ωx + φ)，当 ω < 0 时，必须先利用诱导公式将 ω 化为正数，或者使用“同增异减”原则。 例如：求 y = cos(-2x) 的单调递增区间。 应先化为 y = cos(2x)，再令 2kπ - π ≤ 2x ≤ 2kπ 求解。 解题技巧与模型 掌握高效解题方法 1. 五点法作图 画余弦函数简图时，抓住一个周期内的五个关键点： 最高点 (0, 1) → 零点 (π2, 0) → 最低点 (π, -1) → 零点 (3π2, 0) → 最高点 (2π, 1) 2. 整体代换法求性质 处理 y = Acos(ωx + φ) 型函数时，将 (ωx + φ) 看作一个整体 t。 求单调递增区间 令 2kπ - π ≤ ωx + φ ≤ 2kπ 解出 x 的范围即可 求对称轴 令 ωx + φ = kπ 解出 x 即可得到对称轴方程 3. 数形结合思想 解决方程根的个数问题（如 cos x = x10）时，转化为两个函数图像的交点个数问题。 [此处建议结合黑板手绘图像演示] $