专题25.1 变量与函数 （5大知识点+6大题型+强化训练） 2025-2026学年沪教版（五四制）八年级寒假班预修提升讲义

2025-2026年八年级寒假班预修提升讲义 专题25.1 变量与函数 知识点1．常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值始终不变的量称为常量．数值发生变化的量称为变量； （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 知识点2．函数的概念 函数的定义：在某个变化过程中有两个变量，设为x和y.当x在取值范围内变化时，y随着x的变化而变化；当x的值确定时，y的值也随之唯一确定.变量y关于变量x的这种依赖关系叫作函数，或者说变量y是变量x的函数，x称为自变量. 对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即一一对应． 知识点3．函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数表达式，也称为函数关系式． 注意： ①函数表达式是等式． ②函数表达式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 知识点4．函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 知识点5．函数值 如果当x=a时y=b，那么称b为函数在x=a时相应的函数值。 注意：①当已知函数表达式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数表达式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 题型1：常量与变量 【名师点拨】①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 【例1】圆周长公式中，下列说法正确的是　　 A．、是变量，2为常量 B．、为变量，2、为常量 C．为变量，2、、为常量 D．为变量，2、、为常量 【跟踪训练】 1.半圆的面积公式中，常量是 ． 2.球的体积是，球的半径为，则，其中变量是（   ） A．变量是 B．变量是 C．变量是 D．变量是 3.某水果店卖出的香蕉数量（千克）与售价（元）之间的关系如表：   数量（千克） 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … 售价（元） 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5 … 上表反映了 个变量之间的关系，其中，自变量是 ；因变量是 ． 题型2：函数的概念辨析 【名师点拨】函数的特征：（1）一个变化过程；（2）两个变量；（3）唯一性. 【例2】下列各曲线中表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【例3】下列所述不属于函数关系的是　　 A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．与的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 【跟踪训练】 1．下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的选项是(　　) A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长 B．y：某班学生的身高，x：这个班学生的学号 C．y：圆的面积，x：这个圆的直径 D．y：一个正数的平方根，x：这个正数 2.下列图象中，y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 3.下列解析式中，y不是x的函数的是（  ） A． B． C． D． 3.有下列6个等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中表示“是的函数有（      ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型3：函数值 【名师点拨】对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2 【例4】某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是表中的数据： 鸭的质量/千克 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 烤制时间/分钟 40 60 80 100 120 140 160 180 设鸭的质量为千克，烤制时间为．当千克时，的值约为（    ） A．168 B．170 C．172 D．174 【跟踪训练】 1.物体的位置s（米）与时间t（秒）的关系式为，则当秒时，该物体的位置s为 米． 2.自变量x与函数y的关系如图所示，当x增加1时，y增加 ． 题型4：求自变量的取值范围 【名师点拨】自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 【例5】函数的自变量x的取值范围是 ． 【例6】函数中自变量的取值范围是 　　． 【跟踪训练】 1.函数 的自变量x的取值范围是 ． 2.函数的自变量x的取值范围是 ． 3.函数的自变量x的取值范围是 ． 4.函数的自变量x的取值范围是 题型5：求函数关系式 【例7】汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油7升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为 ． 【例8】等腰三角形的周长为36，腰长为x，则底边y与腰长x的函数关系式是 ． 【跟踪训练】 1.“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则距离地面高千米处的温度为（   ） A． B． C． D． 2.一棵树现在高，每个月长高，个月后这棵树的高度为()，与之间的关系式为(    ) A． B． C． D． 3.某水果批发市场规定，批发水果不少于时，批发价是每千克元，小王携带现金元到市场采购苹果，并以批发价买进，如果购买的苹果为，小王付款后的剩余现金为y元，那么y与x之间的函数关系式为 ． 4.小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的左边靠墙（墙的长度为），另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是 （写出自变量的取值范围） 题型6：从函数的图表获取信息 【例9】在弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得弹簧的长度与所挂物体的质量之间有如下表关系： 0 1 2 3 4 … 10 10.5 11 11.5 12 … 下列说法不正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．所挂物体质量每增加弹簧长度增加 C．所挂物体为时，弹簧长度为 D．不挂重物时弹簧的长度为 【例10】如图是泰安市某一天内的气温变化图，下列结论中错误的是（   ） A．这一天中最高气温是 B．这一天中最高气温与最低气温的差为 C．这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高 D．这一天中气温在逐渐降低的只有14时至24时 【跟踪训练】 1.一艘轮船从甲地驶往乙地，轮船的速度与航行时间之间的关系如下表： 速度 20 50 75 … 航行时间 7.5 3 2 … (1)甲、乙两地相距______km？ (2)航行时间是怎样随轮船的速度的变化而变化的？ (3)轮船的速度与航行时间之间成什么比例关系？ 2.乐乐家与学校相距1000米，某天乐乐上学时忘了带了一本书，走了一段时间才想起，于是返回家拿书，然后加快速度赶到学校，图中是乐乐与家的距离y（米）关于时间x（分钟）的函数图像，下列说法错误的是（    ）    A．乐乐走了200米后返回家拿书 B．乐乐在家停留了3分钟 C．乐乐以每分钟200米的速度加速赶到学校 D．乐乐在第10分钟的时候赶到学校 3.下图是某地区一天的气温随时间变化的图象： (1)图中的变量是什么？ (2)气温在哪段时间是下降的？ (3)最高气温和最低气温分别是多少摄氏度？ 4.某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为吨，加油飞机的加油箱余油量为吨，加油时间为（分，、与之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题： （1）加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了 　30　吨油；运输飞机的油箱有余油量 　　吨油； （2）这些油全部加给运输飞机需 　　分钟； （3）运输飞机的飞行油耗为每分钟 　　吨油； （4）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行 　　小时． 一、选择题 1.下列所述不属于函数关系的是（    ） A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．与x的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 2.下列解析式中，y不是x的函数的是（  ） A． B． C． D． 3.如图所示的图象分别给出了与的对应关系，其中表示不是的函数的是（    ） A．  B．  C．   D．   4.小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图，若返回时上、下坡速度仍保持不变，则小明从学校骑车回家的时间是（　　）分钟．    A．30 B．31 C．32 D．33 5.食用油的沸点一般都在以上，下表所示的是在加热食用油的过程中，五次测量食用油温度的情况： 时间 油温 则下列说法不正确的是（    ） A．时间与油温是变量 B．没有加热时，油的温度是 C．持续加热到时，预计油的温度是 D．随着加热时间的增加，油温会持续升高 二、填空题 6.一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的．例如：，速度是常量，时间和路程为变量，是因变量，是 ． 7.函数的自变量x的取值范围为 ． 8.已知等腰三角形的周长为80，腰长为，底边长为．请写出关于的函数表达式 ，并求出自变量x的取值范围 ． 9．某商店购进了甲乙两种新款电动自行车共50辆，其中甲款车的利润为500元/辆，乙款车的利润为550元/辆，若设甲种车购入x辆，销售完这批车的总利润为y元，则y关于x的函数表达式为 ． 10．要把储水量为600立方米的一段河道的水抽干，现用每小时出水量30立方米的水泵抽水，则河道剩水量Q（立方米）和水泵抽水时间t（小时）的函数关系式为 ，其时间t的取值范围为 ． 11.某商店购进了甲乙两种新款电动自行车共50辆，其中甲款车的利润为500元/辆，乙款车的利润为550元/辆，若设甲种车购入x辆，销售完这批车的总利润为y元，则y关于x的函数表达式为 ． 3、 解答题 12.如图，要围建一个长方形的养鸡场，其中一边靠墙，墙长为，另外三边用的竹篱笆围成，求养鸡场平行于墙的一边长与垂直于墙的一边长之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 13．收割机的油箱里盛油，使用时，平均每小时耗油 (1)如果收割机工作了4小时，那么油箱还剩多少千克的油？ (2)如果油箱里用掉36千克油，那么使用收割机工作的时间为多少小时？ (3)写出油箱里剩下的油与使用收割机时间之间的函数关系式？ (4)在此函数关系式中，求函数自变量x的取值范围． 14．某天小明骑自行车上学，学校离家3000千米，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．如图描述的是他离家的距离和离家的时间之间的函数图象，根据图象解决下列问题： (1)自行车发生故障时离家距离为 ______ 米； (2)到达学校时共用时间 ______ 分钟； (3)自行车故障排除后他的速度是每分钟 ______ 米． 15.如图，正方形分割成两个小正方形和两个长方形． (1)若正方形边长为，正方形的面积是正方形的一半，求正方形的边的长． (2)若正方形面积为，设，四边形的面积为，求y关于的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (3)四边形的面积是否能够等于正方形面积的一半，如果能，请求出长，如果不能请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年八年级寒假班预修提升讲义 专题25.1 变量与函数 知识点1．常量与变量 （1）变量和常量的定义： 在一个变化的过程中，数值始终不变的量称为常量．数值发生变化的量称为变量； （2）方法： ①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 知识点2．函数的概念 函数的定义：在某个变化过程中有两个变量，设为x和y.当x在取值范围内变化时，y随着x的变化而变化；当x的值确定时，y的值也随之唯一确定.变量y关于变量x的这种依赖关系叫作函数，或者说变量y是变量x的函数，x称为自变量. 对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即一一对应． 知识点3．函数关系式 用来表示函数关系的等式叫做函数表达式，也称为函数关系式． 注意： ①函数表达式是等式． ②函数表达式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数． ③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数． 知识点4．函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 知识点5．函数值 如果当x=a时y=b，那么称b为函数在x=a时相应的函数值。 注意：①当已知函数表达式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数表达式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 题型1：常量与变量 【名师点拨】①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化； ②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 【例1】圆周长公式中，下列说法正确的是　　 A．、是变量，2为常量 B．、为变量，2、为常量 C．为变量，2、、为常量 D．为变量，2、、为常量 【分析】根据变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量，常量是指在程序的运行过程不发生变化的量，可得答案． 【解答】解：在圆周长公式中，2、是常量，，是变量． 故选：． 【点评】本题考查了常量与变量，变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量，常量是指在程序的运行过程不发生变化的量，注意是常量． 【跟踪训练】 1.半圆的面积公式中，常量是 ． 【答案】 【详解】解；半圆的面积公式中，常量是，故答案为：． 2.球的体积是，球的半径为，则，其中变量是（   ） A．变量是 B．变量是 C．变量是 D．变量是 【答案】A 【分析】本题考查了常量和变量，根据常量和变量的概念解答即可． 【详解】解：球的体积是V，球的半径为R，则， 其中变量是V，R； 故选：A． 3.某水果店卖出的香蕉数量（千克）与售价（元）之间的关系如表：   数量（千克） 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … 售价（元） 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5 … 上表反映了 个变量之间的关系，其中，自变量是 ；因变量是 ． 【答案】 两 香蕉数量 售价 【分析】本题主要考查了用表格函数关系，自变量和因变量的定义． 首先根据表格，可得上表反映了两个变量（香蕉数量和售价）之间的关系，然后根据自变量、因变量的含义，判断出自变量、因变量各是哪个即可． 解：∵香蕉的售价随着香蕉数量的变化而变化， ∴上表反映了两个变量之间的关系，其中，自变量是香蕉数量；因变量是售价． 故答案为：两，香蕉数量，售价． 题型2：函数的概念辨析 【名师点拨】函数的特征：（1）一个变化过程；（2）两个变量；（3）唯一性. 【例2】下列各曲线中表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图像的读图能力和函数的概念．解题的关键是理解和掌握函数的概念．函数的意义反映在图像上简单的判断方法是：作垂直于x轴的直线在左右平移的过程中，与函数图像只会有一个交点．根据函数的定义：一般在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数；据此即可求出答案． 【详解】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以D正确． 故选：D． 【例3】下列所述不属于函数关系的是　　 A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．与的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 【分析】根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：、，矩形的长和宽成反比例，故本选项正确，不符合题意； 、中随的变化而变化是函数，故本选项正确，不符合题意； 、，速度固定时，路程和时间是正比例关系，故本选项正确，不符合题意； 、身高和体重不是函数，故本选项错误，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查函数的定义，掌握函数的定义是解题的关键． 【跟踪训练】 1．下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的选项是(　　) A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长 B．y：某班学生的身高，x：这个班学生的学号 C．y：圆的面积，x：这个圆的直径 D．y：一个正数的平方根，x：这个正数 【答案】D 【解析】 A. y=(x)2=x2，y是x的函数，故A选项错误； B. 每一个学生对应一个身高，y是x的函数，故B选项错误； C. y=π(x)2=πx2，y是x的函数，故C选项错误； D. y=±，每一个x的值对应两个y值，y不是x的函数，故D选项正确. 故答案选：D. 2.下列图象中，y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键． 根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，即可解答． 【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，得出y不是x的函数，故A不符合题意； B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，得出y是x的函数，故B符合题意； C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，得出y不是x的函数，故C不符合题意； D、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，得出y不是x的函数，故D不符合题意； 故选：B． 3.下列解析式中，y不是x的函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的定义．根据函数的定义，对于每一个自变量 x 的值，只能有唯一的因变量 y 的值与之对应，即可求解． 【详解】解：A、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； B、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； C、，当时，，不满足对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，不符合函数的定义，y不是x的函数，故本选项符合题意； D、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 3.有下列6个等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中表示“是的函数有（      ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查函数的概念，根据函数的概念，对于自变量的每一个值，都有唯一的值与它对应，据此判断即可． 解：在下列6个等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中表示“是的函数有①；③；⑥，共3个． 故选：B． 题型3：函数值 【名师点拨】对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2 【例4】某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是表中的数据： 鸭的质量/千克 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 烤制时间/分钟 40 60 80 100 120 140 160 180 设鸭的质量为千克，烤制时间为．当千克时，的值约为（    ） A．168 B．170 C．172 D．174 【答案】C 【分析】本题考查了的是函数关系式，解题的关键是根据题目的已知及图表条件得到相关的信息．观察表格数据可知，鸭的质量每增加0.5千克，烤制时间增加20分钟，即可得到烤制时间与质量的关系式，再代入计算即可． 【详解】解：由表格数据可知，质量每增加0.5千克，烤制时间增加20分钟， 则烤制时间与质量的关系式为， 当时， （分钟）． 故选：C． 【跟踪训练】 1.物体的位置s（米）与时间t（秒）的关系式为，则当秒时，该物体的位置s为 米． 【答案】86 【分析】本题考查了函数值，此题是通过代入法求得s的值，属于基础题．把代入关系式求得相应的s的值即可． 解：把代入关系式，得 ， 故答案为：86 ． 2.自变量x与函数y的关系如图所示，当x增加1时，y增加 ． 【答案】 【详解】解：依题意，，则当x增加1时，，此时， 即当x增加1时，y增加，故答案为：2 题型4：求自变量的取值范围 【名师点拨】自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 【例5】函数的自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数的自变量的取值范围， 根据代数式的分母不等于0，可知，即可得出答案. 【详解】解：函数中，， 解得. 所以函数的自变量的取值范围是. 故答案为：. 【例6】函数中自变量的取值范围是 　　． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式，得到答案． 【解答】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 【跟踪训练】 1.函数 的自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式，可得然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式是解题的关键． 2.函数的自变量x的取值范围是 ． 【答案】任意实数 【分析】根据立方根有意义的条件，即可解答． 【详解】解：∵有意义， ∴为任意实数， ∴x为任意实数， 故答案为：任意实数． 【点睛】本题主要考查了立方根有意义的条件，解题的关键是掌握三次根号下可为任意实数． 3.函数的自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，列出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键． 4.函数的自变量x的取值范围是 【答案】 【分析】根据分母不为0及二次根式被开方数非负求解即可 【详解】由题意得，， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数的自变量x的取值范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 题型5：求函数关系式 【例7】汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油7升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为 ． 【答案】（） 【分析】根据余油量的构成，即初始油量减去消耗的油量，来确定余油量与行驶时间的关系式．本题主要考查根据实际问题列代数式，熟练掌握“余油量、初始油量、消耗油量”之间的数量关系是解题的关键． 【详解】解：∵每小时耗油升，行驶时间为小时， 小时的耗油量为升． ∵油箱初始有油升， 余油量（升）与行驶时间（小时）的关系式为（）． 故答案为： （）． 【例8】等腰三角形的周长为36，腰长为x，则底边y与腰长x的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一次函数关系式，弄清量之间的关系是解题的关键． 根据等腰三角形的周长公式求出底边长，再根据三角形三边关系求出的取值范围即可． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为36，腰长为x， ∴底边长为， ∵， ∴ ∴底边y与腰长x的函数关系式是． 故答案为: 【跟踪训练】 1.“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则距离地面高千米处的温度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵某地面温度为，且每升高1千米温度下降， ∴距离地面h千米处的温度t为．故选：C． 2.一棵树现在高，每个月长高，个月后这棵树的高度为()，与之间的关系式为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列函数关系式，根据树的高度随时间的增长而增长，初始高度为，每月增长，即可列出关系式求解． 【详解】解：∵树现在高，每月长高， ∴经过个月，树的高度为初始高度加上增长的高度， 即：。 故选：A． 3.某水果批发市场规定，批发水果不少于时，批发价是每千克元，小王携带现金元到市场采购苹果，并以批发价买进，如果购买的苹果为，小王付款后的剩余现金为y元，那么y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了列函数表达式．利用已知批发价为每千克元，小王携带现金3000元到这个市场采购苹果，求得解析式，根据批发苹果不少于100千克时，批发价为每千克元，至多可以买，求出自变量的取值范围． 【详解】解：由已知批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到这个市场采购苹果得y与x的函数关系式：， ∵批发苹果不少于100千克时，批发价为每千克元， ∴， ∴至多可以买． 故自变量x的取值范围：． 故答案为： 4.小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的左边靠墙（墙的长度为），另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是 （写出自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则矩形平行于墙的一边长为，根据矩形的面积公式可求出与的函数关系式，再根据题意求出自变量的取值范围即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则矩形平行于墙的一边长为， ∴， 又由题意得，， 解得， ∴与的函数关系式为， 故答案为：． 题型6：从函数的图表获取信息 【例9】在弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得弹簧的长度与所挂物体的质量之间有如下表关系： 0 1 2 3 4 … 10 10.5 11 11.5 12 … 下列说法不正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．所挂物体质量每增加弹簧长度增加 C．所挂物体为时，弹簧长度为 D．不挂重物时弹簧的长度为 【答案】D 【详解】解：由表格可得：A．y随x的增大而增大，x是自变量，y是因变量，正确； B．物体质量每增加，弹簧长度y增加0.5cm，故正确； C．由B知，，则当时，，即所挂物体质量为时，弹簧长度为，故正确； D．弹簧不挂重物时的长度为，故错误，本选项符合题意；故选：D． 【例10】如图是泰安市某一天内的气温变化图，下列结论中错误的是（   ） A．这一天中最高气温是 B．这一天中最高气温与最低气温的差为 C．这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高 D．这一天中气温在逐渐降低的只有14时至24时 【答案】D 【分析】此题考查了函数图象，由纵坐标看出气温，横坐标看出时间是解题关键． 根据函数图象的纵坐标，可得气温，根据函数图象的增减性，可得答案． 【详解】A、由纵坐标看出，最高气温是，正确，不符合题意； B、由纵坐标看出，最低气温是，温差是，正确，不符合题意； C、由函数图象看出，这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高，正确，不符合题意； D、由函数图象看出，这一天中0时至2时，14时至24时气温在逐渐降低，原说法错误，符合题意． 故选：D． 【跟踪训练】 1.一艘轮船从甲地驶往乙地，轮船的速度与航行时间之间的关系如下表： 速度 20 50 75 … 航行时间 7.5 3 2 … (1)甲、乙两地相距______km？ (2)航行时间是怎样随轮船的速度的变化而变化的？ (3)轮船的速度与航行时间之间成什么比例关系？ 【答案】(1)150(2)航行时间t随速度v的增加而减小，随速度v的减小而增大(3)反比例关系 【详解】（1）解：甲、乙两地相距，故答案为：150； （2）解：由所给数据可得：航行时间t随速度v的增加而减小，随速度v的减小而增大． （3）解：∵甲、乙两地距离固定为，∴v与t满足， ∴轮船的速度v与航行时间t之间成反比例关系． 2.乐乐家与学校相距1000米，某天乐乐上学时忘了带了一本书，走了一段时间才想起，于是返回家拿书，然后加快速度赶到学校，图中是乐乐与家的距离y（米）关于时间x（分钟）的函数图像，下列说法错误的是（    ）    A．乐乐走了200米后返回家拿书 B．乐乐在家停留了3分钟 C．乐乐以每分钟200米的速度加速赶到学校 D．乐乐在第10分钟的时候赶到学校 【答案】B 【分析】从图像可以知道，2分钟时乐乐返回家，在家一段时间后，5分钟又开始回学校，10分钟到达学校． 【详解】解：A、乐乐走了200米后返回家拿书，正确，不合题意； B、乐乐在家停留了3分钟，错误，从回家到拿到书，一共用3分钟，故符合题意； C、乐乐以每分钟：米的速度加速赶到学校，正确，不合题意； D、乐乐在第10分钟的时候赶到学校，正确，不合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了函数图像，正确认识图像是解答本题的关键． 3.下图是某地区一天的气温随时间变化的图象： (1)图中的变量是什么？ (2)气温在哪段时间是下降的？ (3)最高气温和最低气温分别是多少摄氏度？ 【答案】(1)时间t小时与温度T°C； (2)0≤t≤4或14≤t≤22时间内 (3)最高温度8°C，最低温度为-2°C 【分析】（1）根据横轴与纵轴得出变量； （2）根据图像从左上到右下变化为下降，找出图像上起点与终点即可； （3）从函数图像找出最高点的纵坐标，与最低点的纵坐标即可 【详解】（1）解：图中的变量是时间t小时与温度T°C； （2）解：在0≤t≤4或14≤t≤22时间内温度下降； （3）最高温度8°C，最低温度为-2°C 【点睛】本题考查函数图像获取信息与处理信息，变量与常量，图像的下降变化范围，最值，掌握从函数图像获取信息与处理信息方法是解题关键， 4.某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油．在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为吨，加油飞机的加油箱余油量为吨，加油时间为（分，、与之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题： （1）加油之前，加油飞机的加油油箱中装载了 　30　吨油；运输飞机的油箱有余油量 　　吨油； （2）这些油全部加给运输飞机需 　　分钟； （3）运输飞机的飞行油耗为每分钟 　　吨油； （4）运输飞机加完油后，以原速继续飞行，如果每分钟油耗相同，最多能飞行 　　小时． 【分析】（1）通过观察线段，段图象，不难得到加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，运输飞机的油箱有余油量为40吨油． （2）将这些油全部加给运输飞机中需10分钟． （3）首先根据运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨，求出每小时耗油量． （4）根据（3）中的耗油量，可直接得出最多飞行时间． 【解答】解：（1）由题意及图象得 加油飞机的加油油箱中装载了30吨油，运输飞机的油箱有余油量为40吨油． 故答案为：30；40． （2）将这些油全部加给运输飞机中需10分钟； 故答案为：10； （3）运输飞机在10分钟时间内，加油29吨，但加油飞机消耗了30吨， 所以说10分钟内运输飞机耗油量为1吨， 运输飞机每分钟耗油量为0.1吨； 故答案为：0.1； （4）由（3）知运输飞机每小时耗油量为（吨， （小时）， 故答案为：11.5． 【点评】本题考查函数图象．解决本题的关键是读懂图象，其中尤其注意运输飞机每小时耗油量这个隐含条件的确定． 一、选择题 1.下列所述不属于函数关系的是（    ） A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．与x的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 【答案】D 【分析】根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、长方形的面积一定，它的长和宽成反比例，是函数关系，故本选项正确，不符合题意； B、随x的变化而变化，是函数关系，故本选项正确，不符合题意； C、匀速运动的火车，时间与路程成正比例，是函数关系，故本选项正确，不符合题意； D、某人的身高和体重不是函数关系，故本选项错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查函数的定义，理解函数定义是解答的关键． 2.下列解析式中，y不是x的函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； B、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意； C、，当时，，不满足对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，不符合函数的定义，y不是x的函数，故本选项符合题意； D、，对于任意一个x的值，都有唯一一个y的值与之对应，符合函数的定义，y是x的函数，故本选项不符合题意；故选：C． 3.如图所示的图象分别给出了与的对应关系，其中表示不是的函数的是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】A 【分析】利用函数的定义，对于给定的的值，都有唯一的值与其对应，进而判断得出结论． 【详解】解：A、由图象可知，对于给定的的值，都有2个值与其对应，故此选项能表示不是的函数，符合题意； B、由图象可知，对于给定的的值，都有唯一的值与其对应，故此选项能表示是的函数，不符合题意； C、由图象可知，对于给定的的值，都有唯一的值与其对应，故此选项能表示是的函数，不符合题意； D、由图象可知，对于给定的的值，都有唯一的值与其对应，故此选项能表示是的函数，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了函数的定义，在一个变化过程中有两个变量和，对于给定的的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量，熟练掌握此定义是解题的关键． 4.小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图，若返回时上、下坡速度仍保持不变，则小明从学校骑车回家的时间是（　　）分钟．    A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】D 【分析】根据函数图象结合速度路程时间求出小明上坡和下坡的速度，然后根据时间路程速度求出小明从学校骑车回家的时间即可． 【详解】解：由函数图象可知上坡的速度为，下坡的速度为， ∴小明从学校骑车回家的时间， 故选D． 【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，正确读懂函数图象求出上坡和下坡的速度是解题的关键． 5.食用油的沸点一般都在以上，下表所示的是在加热食用油的过程中，五次测量食用油温度的情况： 时间 油温 则下列说法不正确的是（    ） A．时间与油温是变量 B．没有加热时，油的温度是 C．持续加热到时，预计油的温度是 D．随着加热时间的增加，油温会持续升高 【答案】D 【详解】解：、由从表格数据可知，时间和油温都在变化，原选项正确，不符合题意； 、当时，，原选项正确，不符合题意； 、∵温度变化率恒定，每秒升高，即每秒升高， ∴当时，，原选项正确，不符合题意； 、由与食用油的沸点一般都在以上，温度达到沸点后不再升高，原选项错误，符合题意；故选：． 二、填空题 6.一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的．例如：，速度是常量，时间和路程为变量，是因变量，是 ． 【答案】自变量 【分析】本题考查函数的定义，根据函数的定义即可解答． 解：根据函数的定义，中，是的函数，是自变量，是因变量， 故答案为：自变量． 7.函数的自变量x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】的自变量x的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数的自变量x的取值范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 8.已知等腰三角形的周长为80，腰长为，底边长为．请写出关于的函数表达式 ，并求出自变量x的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的周长=两腰之和+底边的长建立等式就可以求出其解析式，根据三角形的三边关系建立不等式就可以求出自变量的取值范围． 【详解】解：底边长y关于腰长x的函数表达式为y=-2x+80， 由， 得， 解得20＜x＜40． ∴自变量取值范围为20＜x＜40． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的周长的运用，三角形三条边的关系，自变量取值范围确定的方法，熟练掌握等腰三角形的定义是解答本题的关键． 9．某商店购进了甲乙两种新款电动自行车共50辆，其中甲款车的利润为500元/辆，乙款车的利润为550元/辆，若设甲种车购入x辆，销售完这批车的总利润为y元，则y关于x的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】根据总利润等于两款自行车的利润的和，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：设甲种车购入x辆，销售完这批车的总利润为y元，根据题意得： ， 即y关于x的函数表达式为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 10．要把储水量为600立方米的一段河道的水抽干，现用每小时出水量30立方米的水泵抽水，则河道剩水量Q（立方米）和水泵抽水时间t（小时）的函数关系式为 ，其时间t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数据，可以直接写出河道剩水量（立方米）和水泵抽水时间（小时）的函数关系式，然后再令求出的值，即可写出的取值范围．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数表达式． 【详解】解：由题意可得， ， 当时，，可得， 的取值范围为， 故答案为：，． 11.某商店购进了甲乙两种新款电动自行车共50辆，其中甲款车的利润为500元/辆，乙款车的利润为550元/辆，若设甲种车购入x辆，销售完这批车的总利润为y元，则y关于x的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】根据总利润等于两款自行车的利润的和，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：设甲种车购入x辆，销售完这批车的总利润为y元，根据题意得： ， 即y关于x的函数表达式为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 3、 解答题 12.如图，要围建一个长方形的养鸡场，其中一边靠墙，墙长为，另外三边用的竹篱笆围成，求养鸡场平行于墙的一边长与垂直于墙的一边长之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列一次函数关系式，审清题意、准确列出关系式或通过计算得到关系式，关注自变量的取值范围是解题关键． 根据篱笆围成的长方形仅有三边，找到函数关系解答即可． 【详解】解：根据题意，得：，即， 由题意，得：， ，解得：． 养鸡场平行于墙的一边长与垂直于墙的一边长之间的函数表达式为 ． 13．收割机的油箱里盛油，使用时，平均每小时耗油 (1)如果收割机工作了4小时，那么油箱还剩多少千克的油？ (2)如果油箱里用掉36千克油，那么使用收割机工作的时间为多少小时？ (3)写出油箱里剩下的油与使用收割机时间之间的函数关系式？ (4)在此函数关系式中，求函数自变量x的取值范围． 【答案】(1)油箱还剩41千克的油 (2)使用收割机工作的时间为6小时 (3) (4)函数自变量x的取值范围为 【分析】（1）用所盛油量减去4小时消耗的油量即可； （2）用所盛油量减去用掉的油量，再除以耗油速度即可； （3）根据剩下的油=总油量每小时耗油量×工作时间即可列出关系式； （4）求出用所盛油量可供使用的时间即可得到自变量x的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即收割机工作了4小时，油箱还剩油； （2）（小时）， 即如果油箱里用掉油，那么使用收割机工作的时间为6小时； （3）由题意可得， ， 即油箱里剩下的油与使用收割机时间之间的函数关系式是； （4）当时，，得， 即函数自变量x的取值范围是． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 14．某天小明骑自行车上学，学校离家3000千米，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．如图描述的是他离家的距离和离家的时间之间的函数图象，根据图象解决下列问题： (1)自行车发生故障时离家距离为 ______ 米； (2)到达学校时共用时间 ______ 分钟； (3)自行车故障排除后他的速度是每分钟 ______ 米． 【答案】(1)1500 (2)20 (3)300 【分析】（1）观察图象，获取有关信息：线段表示故障前行使情况：10分钟行使了1500米； （2）根据点横坐标为20，得出到达学校时共用时间， （3）根据线段表示修车后行使情况：5分钟行使了1500米，即可求出行驶速度． 此题考查函数图象的应用，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势，能够从图象中获取相关信息是关键． 【详解】（1）解：由图知，线段表示故障前行使情况：10分钟行使了1500米， 故自行车发生故障时离家距离为1500米； 故答案为：1500； （2）解：利用点横坐标为20，得出从家到学校用时20分钟， 故答案为： 20； （3）解：线段表示修车后行使情况：5分钟行使了1500米， 故速度为（米秒）； 故答案为300． 15.如图，正方形分割成两个小正方形和两个长方形． (1)若正方形边长为，正方形的面积是正方形的一半，求正方形的边的长． (2)若正方形面积为，设，四边形的面积为，求y关于的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． (3)四边形的面积是否能够等于正方形面积的一半，如果能，请求出长，如果不能请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能， 【分析】（1）设，可得，根据：正方形的面积是正方形的一半，可列出关于的一元二次方程，求解并根据题意可得答案； （2）设，可得，，然后根据代入化简即可； （3）根据题意可知，得到方程，求解并根据题意可得答案． 【详解】（1）解：设， ∵正方形边长为，正方形分割成两个小正方形、和两个长方形、， ∴， 根据题意列方程得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴的长是． （2）∵正方形面积为， ∴， 设，则， ∴， 整理得：， ∴y关于的函数表达式为． （3）根据题意可知：， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴当的长为时，四边形的面积能够等于正方形面积的一半．    【点睛】本题考查列一元二次方程解决简单的实际问题，列函数的解析式并根据函数表达式和实际意义求自变量x的取值范围．根据题意列出一元二次方程和函数表达式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $