第09讲 正比例函数（4知识点+12考点+过关检测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪教版五四制

寒假预习第09讲 正比例函数 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：函数的概念 1.常量和变量 在考察某个问题的过程中，保持数值不变的量称为常量;可以取不同数值的量称为变量.在很多问题中，一个变量往往依赖于另外一个变量. 2.函数的定义 （1）一般地，若在某个变化过程中有两个变量，设为x和y. 当x在取值范围内变化时，y随着x的变化而变化;当x的值确定时，y的值也随之唯一确定。变量y关于变量x的这种依赖关系叫作函数，或者说变量y是变量x的函数，x称为自变量. （2）对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 3.函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 4.函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 5.函数的图象 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． 圆的周长公式，其中常量是 ，变量是 ． 一个玩具组装车间要完成一项任务，每天组装玩具的数量与需要的天数如下表： 每天组装数量（个） 50 60 80 100 120 时间（天） 24 20 15 12 10 用式子表示，和组装的玩具总数之间的关系为： ． 秋季黄山上的温度从山脚起每升高降低，已知山脚的温度是，上升高度时温度为，则与之间的函数解析式为 ，其中自变量为 ， 是 的函数． 已知等腰三角形的周长为10，设底边长为x，腰长为y，则y关于x的函数表达式为 ，自变量x的取值范围是 ． 知识点2：正比例函数的概念 1.成正比例关系： 如果变量与变量的比值是一个不等于 0 的常数，那么就说变量与变量成正比例．用数学式子表示为或，其中是一个不等于0的常数． 2.正比例函数： 形如是常数，的函数叫作正比例函数，其中非零常数称为比例系数，自变量的取值范围是一切实数．确定了比例系数，就可以给出正比例函数的表达式：． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． 当 时，函数是正比例函数． 在中，若是的正比例函数，则值为 ． 知识点3：正比例函数的图像和性质 1.画函数图像的一般步骤 (1)列表:取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y. (2)描点:分别以所取x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，不难发现上述所有点均落在同一条过原点的直线上. (3)连线:按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用直线连接起来. 2.正比例函数的图像 正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是一条经过原点的直线，这条直线称为直线y＝kx. 【拓展】直线y＝kx的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0． 3.正比例函数的性质 （1）增减性： 当k＞0时，正比例函数的图像经过第一、三象限，函数值y随着自变量x的增大而增大; 当k＜0时，正比例函数的图像经过第二、四象限，函数值y随着自变量x的增大而减小． 【特别提醒】这两个性质的逆命题也是成立的. （2）对称性： ①对称点：关于原点成中心对称． ②对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 图中直线对应的函数表达式为 ． 正比例函数的图象从左向右呈 趋势． 知识点4：待定系数法求正比例函数解析式 步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 题型一．常量与变量 例1．下列说法中，正确的是（　　） A．一年中，时间是气温的函数 B．正方形面积公式中，不是变量 C．公共汽车全线有15个站，其中乘坐站票价为5角，乘坐站票价为1元，乘坐站票价为1.5元，则票价是乘车站数的函数 D．圆的周长与半径之间无函数关系 【变式1-1】行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表： 刹车时的速度 0 10 20 30 40 50 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 下列说法中，错误的是（　　） A．自变量是刹车时的速度 B．刹车时的速度每小时增加，刹车距离就增加 C．当刹车距离为时，刹车时的速度为 D．当刹车时的速度为时，与其前方距离的车辆不会追尾 【变式1-2】如图所示是关于变量，的程序计算，若开始输入的值为4，则最后输出因变量的值为 　 　． 题型二．函数的概念 例2.下列所述不属于函数关系的是（　　） A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．与的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 【变式2-1】下列各图象中，不是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】下列各图象中，不能表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】下列图象中表示是的函数的有几个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三．函数关系式 例3.据测试，拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小明洗手后没有把水龙头拧紧，水龙头以测试速度滴水，当小明离开分钟后，水龙头滴水毫升水，则与之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】上海与杭州两地之间的距离是，若汽车以每小时的速度匀速从杭州开往上海，则汽车距杭州的路程与行驶的时间之间的函数关系式为　 　． 【变式3-2】已知一个梯形的面积为60，上底长是高的2倍，设高为，下底为，则关于的函数解析式为 　 　． 题型四．函数自变量的取值范围 例4.函数中自变量的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 【变式4-1】函数的自变量的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】函数中，自变量的取值范围是且 ． 题型五．函数值 例5.变量与的关系式为，当时，的值为（　　） A．6 B．2 C． D． 【变式5-1】根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是（　　） A．9 B．7 C． D． 【变式5-2】已知函数，当时，的值为______ ． 【变式5-3】在一次函数中，若，则函数值　 　 ． 题型六．函数的图象 例6.下列图象不能表示为的函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】已知点、、在同一个函数的图象上，这个函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】爷爷散步时，先走了一会，到公园休息了一下，然后继续往前走了一段路就转身回家．下面各图中，正确表示爷爷出去散步时情境的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】某人驾车从甲地驶往乙地，他以的速度行驶一段时间后休息，又继续行驶到达乙地，他在整个行驶过程中距乙地的路程与时间之间的函数关系如图所示．则休息后他驾车行驶的速度是（　　） A． B． C． D． 题型七．动点问题的函数图象 例7. 如图1，在△中，，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间的函数关系如图2所示，则的值为 ． 【变式7-1】如图1，在△中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图2是点运动时，的长度（单位：随时间（单位：变化而变化的函数图象，则的值为　 　 ，△的面积为　　． 【变式7-2】已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的△的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示，若，则　 　 ，　　 秒，当点在上运动时，与的函数关系式是　　 ． 题型八．函数的表示方法 例8. 表示函数的方法一般有　 　、　 　、　 　． 【变式8-1】近年来，电动汽车作为绿色交通工具越来越受到人们的青睐，电动汽车的电池容量与续航里程也成为人们最为关心的问题之一．现对某型号电动汽车充满电后进行测试，其电池剩余电量（千瓦时）与行驶里程（千米）之间的关系如下表所示： 行驶里程（千米） 10 20 30 40 50 剩余电量（千瓦时） 78 76 74 72 70 （1）在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？ （2）求该型号电动汽车的电池容量； （3）求该型号电动汽车的剩余电量（千瓦时）与行驶里程（千米）之间的关系式． 【变式8-2】某商场叠放的购物车如图所示，小亮尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系．如表是小亮测得的一些数据： 购物车数量辆 1 2 3 4 5 车身总长 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 根据上表回答下列问题： （1）随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加　 　 ． （2）若某商场采购了辆购物车，求整齐叠放时车身总长与购物车辆数的表达式． 题型九．正比例函数的定义 例9. 下列各函数中，是的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】下列说法中正确的有（　　） ①是正比例函数； ②如果是正比例函数，那么； ③如果与成正比例，那么是的正比例函数； ④如果，那么与成正比例． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式9-2】已知函数是正比例函数，则　 　 ． 【变式9-3】已知函数是正比例函数，则　 　． 题型十．正比例函数的图象 例10.下列各点中，在正比例函数的图象上的是（　　） A． B． C． D． 【变式10-1】下列各图象中，表示函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①，②，③，下列用“”表示，，的不等关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式10-3】如果正比例函数的图象在二、四象限，那么的值是 　 　． 题型十一．正比例函数的性质 例11. 若正比例函数的图象经过第二、四象限，则（　　） A． B． C． D． 【变式11-1】已知，，在函数的图象上，如果，那么 （填“”或“”或“” ． 【变式11-2】已知正比例函数是常数，，如果的值随的值增大而减小，那么该正比例函数的图象经过第 　 　象限． 【变式11-3】函数的图象经过第 　 　象限（请全部写出）． 【变式11-4】如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么的取值范围是　 　 ． 题型十二．待定系数法求正比例函数解析式 例12.已知点在正比例函数的图象上，那么这个函数的解析式为_______ ． 【变式12-1】已知正比例函数，当自变量的取值范围，相应的函数值的范围，则这个正比例函数的解析式为_______ ． 【变式12-2】已知与成正比例关系，当时，，求：当时的值． 【变式12-3】已知正比例函数经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为点，点的横坐标为3，且△的面积为3． （1）求正比例函数的解析式； （2）在轴上能否找到一点，使△的面积为5．若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由 （3）在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点，使得．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由 1．要画一个面积为的长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别是（   ） A．常量为；变量为x，y B．常量为，y；变量为x C．常量为，x；变量为y D．常量为x，y；变量为 2．下列关系中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 3．若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其表达式可以是（　　） A． B． C． D． 4．在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如果与成正比例关系，且当时，，那么关于的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 6．已知，是正比例函数的图象上的两点，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．已知正比例函数（k为常数，且），y随x的增大而减小．当时，函数有最大值5，则k的值是 ． 8．如图，三个函数图象分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是 ．（用“”号连接） 9．关于的正比例函数，若随的增大而减小，则的值为 ． 10．已知点，均在正比例函数的图象上，则a b．（填“>”“<”或“=”） 11．已知正比例函数． (1)画出此函数的图象． (2)已知点A在此函数图象上，其横坐标为2，求出点A的坐标，并在图象上标出点A． (3)在x轴上是否存在一点P，使是等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．已知如下三个正比例函数：，，． (1)对于函数，当时，．请求出k的值并写出时的值； (2)写出这三个正比例函数的图象都具有的一条性质． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $常量：在问题过程中保持数值不变的量（如固定数值） 常量与变量 变量：可以取不同数值的量（如依赖其他量变化的量） 函数的定义 一般形式：变化过程中有两个变量x和y,当x确定时，y值唯一确定 分母不含自变量时，x取全体实数（如y=2x十13） 分母含自变量时，x取值使分母不为零（如y=) 自变量的取值范围 函数的概念 偶次根式时，被开方数20 实际问题中，需保证实际意义 定义：自变量取某值时，函数唯一确定的值 函数值 求函数值即求代数式的值；求自变量值即解方程 注意： 函数值唯一，但自变量可能对应多个值 函数的图像 定义：以自变量和函数值为坐标的点组成的图形 成正比例关系 定义：变量y与x的比值是非零常数，即弘=k或y=kx(k0) 正比例函数的概念 形式：y=kx(k是常数，k0) 正比例函数定义 比例系数：非零常数k,决定函数表达式 自变量范围：一切实数 正比例函数 列表：取x值，计算对应y值 画函数图像一般步骤 描点：以(x,y)为坐标描点（所有点落在过原点的直线上） 连线：按x顺序用直线连接点 特征：一条经过原点的直线，称为直线y=kx 正比例函数的图像和性质 正比例函数的图像 当k>0时：图像过第一、三象限，y随x增大而增大 增减性 当k<O时：图像过第二、四象限，y随x增大而减小 正比例函数的性质 逆命题也，成立 关于原点成中心对称 对称性 自身所在直线及其平分线为对称轴 设解析式：y=kx(k为待定系数) 待定系数法 代入已知条件：得到关于k的方程 步骤 解方程：求出k值 代回解析式：得到函数表达式 寒假预习第09讲 正比例函数 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：函数的概念 1.常量和变量 在考察某个问题的过程中，保持数值不变的量称为常量;可以取不同数值的量称为变量.在很多问题中，一个变量往往依赖于另外一个变量. 2.函数的定义 （1）一般地，若在某个变化过程中有两个变量，设为x和y. 当x在取值范围内变化时，y随着x的变化而变化;当x的值确定时，y的值也随之唯一确定。变量y关于变量x的这种依赖关系叫作函数，或者说变量y是变量x的函数，x称为自变量. （2）对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应． 3.函数自变量的取值范围 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． ①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13中的x． ②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．例如y＝x+2x﹣1． ③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． ④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 4.函数值 函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值． 注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程； ②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个． 5.函数的图象 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象． 注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． 圆的周长公式，其中常量是 ，变量是 ． 【答案】 和 【分析】本题主要考查了常量与变量的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据常量与变量的定义，常量是公式中数值不变的量，变量是数值变化的量． 【详解】解：在圆的周长公式中，圆周率是一个常数， ∴是常量， ∵圆的周长随半径的变化而变化， ∴和是变量． 故答案为：；和． 一个玩具组装车间要完成一项任务，每天组装玩具的数量与需要的天数如下表： 每天组装数量（个） 50 60 80 100 120 时间（天） 24 20 15 12 10 用式子表示，和组装的玩具总数之间的关系为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，通过计算每组每天组装数量与时间的乘积，发现乘积均为，表明与的乘积等于组装的玩具总数，因此关系式为． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∴与的乘积恒为， ∴，和组装的玩具总数之间的关系为． 故答案为：． 秋季黄山上的温度从山脚起每升高降低，已知山脚的温度是，上升高度时温度为，则与之间的函数解析式为 ，其中自变量为 ， 是 的函数． 【答案】 y 【分析】本题考查了函数的概念及列函数解析式，理解每升高米降低是解题的关键．根据每升高降低，则上升的高度，下降，据此即可求得函数解析式，再根据函数的概念即可解答． 【详解】解：由题意，山脚温度为，每升高降低，上升高度为，温度为， 则y与x的函数解析式为，其中x是自变量，y是x的函数． 故答案为：，x，y，x． 已知等腰三角形的周长为10，设底边长为x，腰长为y，则y关于x的函数表达式为 ，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，求函数解析式．根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确定自变量x的取值范围即可． 【详解】解：①∵， ∴； ②由三角形三边关系，两边之和大于第三边，得， 即， 整理得，所以． 同时，边长大于零，故且， 由得， 但结合，故取值范围为． 故答案为：①；②． 知识点2：正比例函数的概念 1.成正比例关系： 如果变量与变量的比值是一个不等于 0 的常数，那么就说变量与变量成正比例．用数学式子表示为或，其中是一个不等于0的常数． 2.正比例函数： 形如是常数，的函数叫作正比例函数，其中非零常数称为比例系数，自变量的取值范围是一切实数．确定了比例系数，就可以给出正比例函数的表达式：． 注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是正数也可以是负数． 当 时，函数是正比例函数． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义，是解题的关键．根据正比例函数的定义，函数需满足指数为1且系数不为零． 【详解】解：由正比例函数的定义得：且， 由得， 解得：或， 当时，，不符合系数不为零的条件； 当时，，符合条件； 故． 故答案为：． 在中，若是的正比例函数，则值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，函数表达式中的常数项必须为零，且比例系数不为零即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：因为是的正比例函数， 所以， 由得或， 又因为， 所以， 因此， 故答案为：． 知识点3：正比例函数的图像和性质 1.画函数图像的一般步骤 (1)列表:取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y. (2)描点:分别以所取x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的各点，不难发现上述所有点均落在同一条过原点的直线上. (3)连线:按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用直线连接起来. 2.正比例函数的图像 正比例函数y＝kx（k≠0）的图像是一条经过原点的直线，这条直线称为直线y＝kx. 【拓展】直线y＝kx的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0． 3.正比例函数的性质 （1）增减性： 当k＞0时，正比例函数的图像经过第一、三象限，函数值y随着自变量x的增大而增大; 当k＜0时，正比例函数的图像经过第二、四象限，函数值y随着自变量x的增大而减小． 【特别提醒】这两个性质的逆命题也是成立的. （2）对称性： ①对称点：关于原点成中心对称． ②对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 图中直线对应的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例图象和性质，采用待定系数法即可求得答案． 【详解】因为直线经过原点，所以设直线对应的函数表达式为． 因为直线经过点，将其代入，得 ， 解得 ． 所以直线对应的函数表达式为． 故答案为： 正比例函数的图象从左向右呈 趋势． 【答案】 下降 【分析】本题考查了正比例函数的增减性，根据正比例函数的性质，当时，y随x增大而减小，图象从左向右下降． 【详解】解：正比例函数的图象趋势由系数k的符号决定． 本题中， 故函数随x增大而减小， 图象从左向右呈下降趋势． 故答案为：下降． 知识点4：待定系数法求正比例函数解析式 步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式． 题型一．常量与变量 例1．下列说法中，正确的是（　　） A．一年中，时间是气温的函数 B．正方形面积公式中，不是变量 C．公共汽车全线有15个站，其中乘坐站票价为5角，乘坐站票价为1元，乘坐站票价为1.5元，则票价是乘车站数的函数 D．圆的周长与半径之间无函数关系 【答案】 【分析】一个函数关系式有两个变量，其中一个是自变量，另一个是自变量的函数，根据函数的定义进行判断即可． 【解答】解：根据一个函数关系式有两个变量，其中一个是自变量，另一个是自变量的函数进行判断如下： ．一年中，同一个气温可以对应很多个时间，则时间不一定是气温的函数，原说法错误，故该选项不符合题意； ．正方形的面积公式中，和都是变量，原说法错误，故该选项不符合题意； ．公共汽车全线有15个站．其中站票价5角，站票价1元，站票价1.5元，则票价是乘车站数的函数，原说法正确，故该选项符合题意； ．圆的周长与半径之间有函数关系为，原说法错误，故该选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查的是函数的定义，结合函数的概念可知，正确记忆相关知识点是解题关键． 【变式1-1】行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表： 刹车时的速度 0 10 20 30 40 50 刹车距离 0 2.5 5 7.5 10 12.5 下列说法中，错误的是（　　） A．自变量是刹车时的速度 B．刹车时的速度每小时增加，刹车距离就增加 C．当刹车距离为时，刹车时的速度为 D．当刹车时的速度为时，与其前方距离的车辆不会追尾 【答案】 【分析】根据常量和变量的定义以及表格中对应值的变化规律进行判断即可． 【解答】解：．刹车距离随着刹车时的速度的变化而变化，所以刹车时的速度是自变量，刹车距离是因变量，因此选项不符合题意； ．由表格中刹车距离与刹车时的速度对应值的变化规律可知，刹车时的速度每小时增加，刹车距离就增加，因此选项不符合题意； ．表格中刹车距离与刹车时的速度对应值的变化规律可知，当刹车距离为时，刹车时的速度为，因此选项符合题意； ．当刹车时的速度为时，刹车距离为，而，所以与其前方距离的车辆不会追尾，因此选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查常量和变量，理解常量和变量的定义以及表格中对应值的变化规律是正确解答的关键． 【变式1-2】如图所示是关于变量，的程序计算，若开始输入的值为4，则最后输出因变量的值为 　 　． 【答案】20． 【分析】将代入关系式，进而解决此题． 【解答】解：当，则． 输出因变量． 故答案为：20． 【点评】本题主要考查求因变量的值，熟练掌握自变量对应的因变量的值的求法是解决本题的关键． 题型二．函数的概念 例2.下列所述不属于函数关系的是（　　） A．长方形的面积一定，它的长和宽的关系 B．与的关系 C．匀速运动的火车，时间与路程的关系 D．某人的身高和体重的关系 【答案】 【分析】根据函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：、，矩形的长和宽成反比例，故本选项正确，不符合题意； 、中随的变化而变化是函数，故本选项正确，不符合题意； 、，速度固定时，路程和时间是正比例关系，故本选项正确，不符合题意； 、身高和体重不是函数，故本选项错误，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查函数的定义，掌握函数的定义是解题的关键． 【变式2-1】下列各图象中，不是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据函数的定义，每一个的值，只能有一个的值与之对应，反映在函数图象上，就是任何一条与轴垂直的竖线，与函数图象最多只有一个交点．根据这个条件逐一判断． 【解答】解：选项，根据图象，当时，有两个值与之对应，因此不是函数，符合题目要求． 选项、、，根据图象，每一个的值，都有唯一的值与之对应，因此是函数，不符合题目要求． 故选：． 【点评】本题考查函数的定义．理解函数图象的特点是解题关键． 【变式2-2】下列各图象中，不能表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据函数的概念：对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【解答】解：、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以能表示是的函数，故不符合题意； 、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以能表示是的函数，故不符合题意； 、对于自变量的每一个值，因变量不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示是的函数，故符合题意； 、对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以能表示是的函数，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键． 【变式2-3】下列图象中表示是的函数的有几个（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据函数的概念，对应的每一个值，都有唯一的值与它对应判断即可． 【解答】解：根据函数的概念，可知： 图1和图4不能表示是的函数，图2和图3能表示是的函数， 上列图象中表示是的函数的有2个， 故选：． 【点评】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念，对应的每一个值，都有唯一的值与它对应是解题的关键． 题型三．函数关系式 例3.据测试，拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小明洗手后没有把水龙头拧紧，水龙头以测试速度滴水，当小明离开分钟后，水龙头滴水毫升水，则与之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升，则一分钟滴水毫升，则分钟可滴毫升，据此即可求解． 【解答】解：根据题意可得：， 即． 故选：． 【点评】本题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，正确表示出一分钟滴的水的体积是解题的关键． 【变式3-1】上海与杭州两地之间的距离是，若汽车以每小时的速度匀速从杭州开往上海，则汽车距杭州的路程与行驶的时间之间的函数关系式为　　． 【答案】． 【分析】根据题意得到时间的取值范围，再结合路程、时间、速度之间的关系列出函数关系式即可． 【解答】解：由条件可知． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了根据实际问题列一次函数关系，正确掌握路程、时间、速度之间的关系是解题关键． 【变式3-2】已知一个梯形的面积为60，上底长是高的2倍，设高为，下底为，则关于的函数解析式为 　　． 【答案】． 【分析】根据梯形的面积可得，进一步可得关于的函数解析式． 【解答】解：设高为， 上底长是高的2倍， 上底长为， 一个梯形的面积为60， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了函数关系式，熟练掌握函数关系式的定义是解题的关键． 题型四．函数自变量的取值范围 例4.函数中自变量的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】 【分析】根据二次根式，以及分母不为0，可得且，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 且， 且， 故选：． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式，以及分母不为0是解题的关键． 【变式4-1】函数的自变量的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据分母不为零列出不等式求解即可． 【解答】解：由得， 函数的自变量的取值范围为， 故选：． 【点评】本题考查函数自变量的取值范围，正确计算相关知识点是解题关键． 【变式4-2】函数中，自变量的取值范围是且 ． 【分析】根据分式的意义和二次根式的意义综合求解． 【解答】解：根据题意得， 解得且． 【点评】函数自变量的范围一般从几个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负； （4）当函数表达式是0指数或负整数指数时，底数不能为0． 题型五．函数值 例5.变量与的关系式为，当时，的值为（　　） A．6 B．2 C． D． 【答案】 【分析】将代入关系式直接计算即可． 【解答】解：变量与的关系式为， 当时， ． 故选：． 【点评】本题考查了函数值，函数关系式，掌握相关知识是关键． 【变式5-1】根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是（　　） A．9 B．7 C． D． 【答案】 【分析】依据题意，输入的值是时，输出的值即可． 【解答】解：依据题意，输入的值是时，， 故选：． 【点评】本题主要考查了求函数值，当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程． 【变式5-2】已知函数，当时，的值为 ． 【答案】 【分析】把自变量的值代入解析式就能求出函数值． 【解答】解：把代入， 故答案为：． 【点评】本题考查了求函数值，能够正确计算是解题的关键． 【变式5-3】在一次函数中，若，则函数值　 　 ． 【答案】4． 【分析】把代入即可． 【解答】解：当时 ， 故答案为：4． 【点评】本题考查了一次函数函数值的求解，掌握正确的代入法是解决问题的关键． 题型六．函数的图象 例6.下列图象不能表示为的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据函数的概念即可得出答案． 【解答】解：由函数的概念可知，一个自变量的值只能对应一个因变量的值，均符合函数的概念． 选项中，一个自变量的值可以对应两个因变量的值，不符合函数的概念． 故选：． 【点评】本题考查函数图象，函数的概念，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【变式6-1】已知点、、在同一个函数的图象上，这个函数图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】由点、、在同一个函数图象上，可得与关于轴对称，当时，随的增大而增大，继而求得答案． 【解答】解：点、， 与关于轴对称，故，不符合题意； 、， 当时，随的增大而增大，故符合题意，不符合题意． 故选：． 【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键． 【变式6-2】爷爷散步时，先走了一会，到公园休息了一下，然后继续往前走了一段路就转身回家．下面各图中，正确表示爷爷出去散步时情境的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据爷爷从家到公园时离家的距离越来越远；在公园休息时，离家的距离不变；继续往前走一段然后转身回家，此时离家的距离先变大后减小求解即可． 【解答】解：爷爷从家到公园时离家的距离越来越远，在公园休息时，离家的距离不变， 继续往前走一段然后转身回家，此时离家的距离先变大后减小，选项图象不符合题意，只有选项图象符合题意， 故选：． 【点评】本题主要考查函数的图象，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【变式6-3】某人驾车从甲地驶往乙地，他以的速度行驶一段时间后休息，又继续行驶到达乙地，他在整个行驶过程中距乙地的路程与时间之间的函数关系如图所示．则休息后他驾车行驶的速度是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据所给函数图象，先求出前2个小时所走的路程，进一步得出后面4个小时所走的路程，据此取出休息后他驾车行驶的速度即可． 【解答】解：由题知， 此人前两个小时所行驶的路程为：， 则，， 所以休息后他驾车行驶的速度是：． 故选：． 【点评】本题主要考查了函数的图象，能根据所给函数图象得出此人休息后行驶的时间和路程是解题的关键． 题型七．动点问题的函数图象 例7. 如图1，在△中，，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间的函数关系如图2所示，则的值为 ． 【答案】． 【分析】依据题意，由图2可得，当时，最小，最小值为，从而此时，且，故，进而可得，进而得解． 【解答】解：由题意，由图2可得， 当时，最小，最小值为， 此时，且． ． ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题时要熟练掌握并能灵活运用数形结合是关键． 【变式7-1】如图1，在△中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图2是点运动时，的长度（单位：随时间（单位：变化而变化的函数图象，则的值为　4　 ，△的面积为　　． 【答案】4，． 【分析】依据题意，根据图2，当与当时相同，由对称性可得，然后结合图2，设，时，，求出，，最后由，，可得，进而由△，即可得解． 【解答】解：由题意，根据图2，当与当时相同， 对称轴是直线． ． 结合图1、2，设，时，， ． ． ． 又， ． 又，， ． ． △． 故答案为：4，． 【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题时要能根据题意结合所给图象列出关系式是关键． 【变式7-2】已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的△的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示，若，则　6　 ，　　 秒，当点在上运动时，与的函数关系式是　　 ． 【答案】6，17，． 【分析】根据题意，当时，点从，，此时，故；再分析得出点从需要用时，点从需要用时，故；当点在上运动时，点到的距离可表示为，故． 【解答】解：根据题意，当时，点从， 故，此时， 故， 当时，点从，故， 当时，点从，故， ， 故， 即点从需要用时，点从需要用时， 故， 当点在上运动时，点到的距离可表示为， 故， 故答案为：6，17，． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，从图象中读懂题意，找出关键数据分析是解题的关键． 题型八．函数的表示方法 例8. 表示函数的方法一般有　 　、　 　、　 　． 【分析】根据函数的定义，可得答案． 【解答】解：表示函数的方法一般有列表法、关系式法、图象法． 可得答案：列表法、关系式法、图象法． 【点评】本题考查了函数的表示方法，设和是两个变量，是实数集的某个子集，若对于中的每个值，变量按照一定的法则有一个确定的值与之对应，称变量为变量的函数，记作． 【变式8-1】近年来，电动汽车作为绿色交通工具越来越受到人们的青睐，电动汽车的电池容量与续航里程也成为人们最为关心的问题之一．现对某型号电动汽车充满电后进行测试，其电池剩余电量（千瓦时）与行驶里程（千米）之间的关系如下表所示： 行驶里程（千米） 10 20 30 40 50 剩余电量（千瓦时） 78 76 74 72 70 （1）在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？ （2）求该型号电动汽车的电池容量； （3）求该型号电动汽车的剩余电量（千瓦时）与行驶里程（千米）之间的关系式． 【答案】（1）自变量是行驶里程；因变量是剩余电量；（2）80千瓦时；（3）． 【分析】（1）根据自变量和因变量的定义即可解答； （2）根据表格可得行驶里程每增加10千米，剩余电量减少2千瓦时，即可解答； （3）根据表格计算出行驶1公里，消耗电量为0.2度，可得出函数关系． 【解答】解：（1）根据电池剩余电量（千瓦时）与行驶里程（千米）之间的关系可知，自变量是行驶里程，因变量是剩余电量； （2）根据表格可知，行驶里程每增加10千米，剩余电量减少2千瓦时， 当时，， 该型号电动汽车的电池容量是80千瓦时； （3）（千瓦时千米）， 该型号电动汽车剩余电量（千瓦时）与行驶里程（千米）之间的关系式为：． 【点评】本题考查了函数的表示方法，称量与变量，函数关系式，掌握相应的定义是关键． 【变式8-2】某商场叠放的购物车如图所示，小亮尝试探究整齐叠放的购物车车身总长与购物车数量的关系．如表是小亮测得的一些数据： 购物车数量辆 1 2 3 4 5 车身总长 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 根据上表回答下列问题： （1）随着购物车数量每增加1辆，车身总长增加　0.2　 ． （2）若某商场采购了辆购物车，求整齐叠放时车身总长与购物车辆数的表达式． 【答案】（1）0.2； （2）． 【分析】（1）直接观察表格，即可求解； （2）根据（1）中的结论求解即可． 【解答】解：（1）观察表格可得：购物车数量每增加1辆，车身总长增加． 故答案为：0.2； （2）， 车身总长与购物车辆数的表达式为． 【点评】本题主要考查了列出函数关系式，正确分析表格数据是解题的关键． 题型九．正比例函数的定义 例9. 下列各函数中，是的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义：形如为常数且的函数是正比例函数，逐一判断即可解答． 【解答】解：、，是正比例函数，故符合题意； 、，是二次函数，故不符合题意； 、，是一次函数但不是正比例函数，故不符合题意； 、，是反比例函数，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 【变式9-1】下列说法中正确的有（　　） ①是正比例函数； ②如果是正比例函数，那么； ③如果与成正比例，那么是的正比例函数； ④如果，那么与成正比例． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】 【分析】一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数，由此即可判断． 【解答】解：①当时，是正比例函数，原说法错误，不符合题意； ②如果是正比例函数，那么，原说法错误，不符合题意； ③如果与成正比例，那么不是的正比例函数，原说法错误，不符合题意； ④如果，那么与成正比例，说法正确，符合题意； 正确的只有1个， 故选：． 【点评】本题考查正比例函数的定义，熟练掌握定义是关键． 【变式9-2】已知函数是正比例函数，则　　 ． 【分析】由正比例函数的定义可得，且． 【解答】解：由正比例函数的定义可得：，且， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为1． 【变式9-3】已知函数是正比例函数，则　　． 【答案】． 【分析】根据正比例函数比例系数和指数的知识列出方程与不等式，即可求出的值． 【解答】解：根据题意可得：， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，难度不大，根据正比例函数系数不为零，自变量指数为1列出方程组是解答的关键． 题型十．正比例函数的图象 例10.下列各点中，在正比例函数的图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】将点横坐标代入，求函数值，然后判断作答即可． 【解答】解：当时，，不在正比例函数的图象上，故不符合要求； 当时，，在正比例函数的图象上，故符合要求； 当时，，不在正比例函数的图象上，故不符合要求； 当时，，不在正比例函数的图象上，故不符合要求； 故选：． 【点评】本题考查了正比例函数的图象．熟练掌握正比例函数的图象是解题的关键． 【变式10-1】下列各图象中，表示函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】由于正比例函数的图象是一条经过原点的直线，由此即可确定选择项． 【解答】解：， 函数的值随自变量的增大而增大，且函数为正比例函数， 故选：． 【点评】本题考查了正比例函数的图象，正确地理解题意是解题的关键． 【变式10-2】如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①，②，③，下列用“”表示，，的不等关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】在图中画出直线，得出此直线与三个正比例函数图象的交点，再根据它们的位置关系即可解决问题． 【解答】解：作直线如图所示， 则点坐标为，点坐标为，点坐标为， 结合，，三个点的位置可知， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了正比例函数的图象，熟知正比例函数的图象与性质是解题的关键． 【变式10-3】如果正比例函数的图象在二、四象限，那么的值是 　 　． 【答案】． 【分析】首先根据正比例函数的定义可得，且，解出的值，再根据图象经过第二、四象限，可得，进而确定． 【解答】解：由题意得：，且，． 解得：． 图象经过第二、四象限， ， 解得， ， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握正比例函数的定义条件：为常数且，自变量次数为1． 题型十一．正比例函数的性质 例11. 若正比例函数的图象经过第二、四象限，则（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】对于正比例函数，当时，函数图象经过第一、三象限，当时，函数图象经过第二、四象限，据此可得答案． 【解答】解：由条件可知， 故选：． 【点评】本题主要考查了正比例函数图象的性质，熟练掌握该知识点是关键． 【变式11-1】已知，，在函数的图象上，如果，那么 （填“”或“”或“” ． 【答案】． 【分析】根据正比例函数的性质即可解答． 【解答】解：函数，，随的增大而减小， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是根据函数值的增减性来解答． 【变式11-2】已知正比例函数是常数，，如果的值随的值增大而减小，那么该正比例函数的图象经过第 　 　象限． 【答案】二、四． 【分析】根据正比例函数的性质可得，进而得出该正比例函数的图象经过第二、四象限． 【解答】解：正比例函数是常数，，的值随的值增大而减小， ， 该正比例函数的图象经过第二、四象限． 故答案为：二、四． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“当时，图象经过第一、三象限，从左往右上升，随的增大而增大（单调递增），为增函数；当时，图象经过第二、四象限，从左往右下降，随的增大而减小（单调递减），为减函数．”是解题的关键． 【变式11-3】函数的图象经过第 　 　象限（请全部写出）． 【答案】一、三． 【分析】利用一次函数图象与系数的关系即可得出结论． 【解答】解：正比例函数中， 该正比例函数过第一、三象限， 故答案为：一、三． 【点评】此题主要考查了正比例函数的性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键． 【变式11-4】如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么的取值范围是　 　 ． 【分析】根据正比例函数的性质（正比例函数，当时，该函数的图象经过第二、四象限）解答． 【解答】解：正比例函数的图象经过第二、四象限， ， 解得，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正比例函数的性质．正比例函数，当时，该函数的图象经过第二、四象限；当时，该函数的图象经过第一、三象限． 题型十二．待定系数法求正比例函数解析式 例12.已知点在正比例函数的图象上，那么这个函数的解析式为 ． 【答案】． 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值，进而可得出这个函数的解析式． 【解答】解：正比例函数图象经过点， ， 解得：， 这个函数的解析式为， 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，解题的关键是：（1）牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”． 【变式12-1】已知正比例函数，当自变量的取值范围，相应的函数值的范围，则这个正比例函数的解析式为 ． 【答案】． 【分析】根据正比例函数的性质，分和两种情况讨论，通过代入自变量取值范围的端点值，计算的值并验证是否一致． 【解答】解：当时，随的增大而减小， 自变量取最小值时函数值取最大值，自变量取最大值时函数值取最小值． 由题意，当时，；当时，． 代入，得，解得； ，解得． 值一致，符合题意． 当时，代入端点值时值不一致，故舍去． 因此正比例函数解析式为， 故答案为：． 【点评】本题考查了正比例函数的性质以及求解析式问题，熟知正比例函数的性质是解题的关键． 【变式12-2】已知与成正比例关系，当时，，求：当时的值． 【分析】设，将，代入可求得的值，继而可得出函数解析式，再将代入可求出的值． 【解答】解：，将，代入得：， 解得：， 函数解析式为：， 当时，． 【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，属于基础题，注意掌握待定系数法的运用． 【变式12-3】已知正比例函数经过点，点在第四象限，过点作轴，垂足为点，点的横坐标为3，且△的面积为3． （1）求正比例函数的解析式； （2）在轴上能否找到一点，使△的面积为5．若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由 （3）在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点，使得．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）正比例函数的解析式是；（2）点坐标为或；（3）点的坐标为或． 【分析】（1）根据题意求得点的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式； （2）利用三角形的面积公式求得，然后根据坐标与图形的性质求得点的坐标． （3）设点，当或时，分点在线段上与在线段延长线两种情况，由列方程，从而可得点的坐标． 【解答】解：（1）点的横坐标为3，且△的面积为3 ， 解得，， 点的坐标为， 正比例函数经过点， ， 解得， 正比例函数的解析式是； （2）存在． 设， △的面积为5，点的坐标为， ， 或， 点坐标为或． （3）设，如图， ①点在上时， 当时，， 又， 若时，， ， 解得，， ， 点的坐标为； 当点时，， 若时，， ， 解得，， ， 点的坐标为； ②点在的延长线上时， 当时，， 若时，， ， 解得，， ， 点的坐标为； 当点时，， 若时，同理可得，点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【点评】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式，熟练掌握以上知识点是关键． 1．要画一个面积为的长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别是（   ） A．常量为；变量为x，y B．常量为，y；变量为x C．常量为，x；变量为y D．常量为x，y；变量为 【答案】A 【分析】本题主要考查了常量与变量的概念，熟练掌握在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量是解题的关键．先根据长方形面积公式确定等式，再依据常量与变量的定义，判断在变化过程中数值不变的量和数值变化的量． 【详解】解：∵长方形面积为， ∴是固定不变的量， ∵长为，宽为， ∴，是可以变化的量， ∴常量为；变量为，， 故选：A． 2．下列关系中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的定义，对应两个变量x、y，若对于变量x的每一个确定值，变量y都有唯一的值与之对应，那么y是x的函数，据此可得答案． 【详解】解：由函数的定义可知，只有C选项不能表示是的函数， 故选：C． 3．若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其表达式可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数关系式，熟练运用性质是解题的关键； 自变量每增加1，将代入函数，即可求得变化了多少． 【详解】解：A、将代入函数得，，即函数值减少2，符合题意； B、将代入函数得，，即函数值增加2，不符合题意； C、将代入函数得，，即函数值减少1，不符合题意； D、将代入函数得，，即函数值的变化量为，不符合题意； 故选：A． 4．在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查函数自变量的取值范围．根据二次根式有意义以及分母不为0的条件即可求解． 【详解】解：依题意得， ∴， 故选：A． 5．如果与成正比例关系，且当时，，那么关于的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据“与成正比例”设出函数关系式，再代入已知条件求出比例系数，进而得到关于的函数解析式． 【详解】解：∵与成正比例， ∴设． 当时，，代入得：，解得． 因此，整理得． 逐一分析选项： A、，整理得，与推导结果不符，不符合题意； B、，与推导结果不符，不符合题意； C、，与推导结果一致，符合题意； D、，整理得，与推导结果不符，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义及待定系数法求函数解析式，解题关键是根据“与成正比例”正确设出函数关系式，再代入已知条件求解． 6．已知，是正比例函数的图象上的两点，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的性质（增减性）及函数值的计算，解题关键是利用函数增减性或直接计算函数值来比较大小． 先根据正比例函数的性质判断函数的增减性，再代入点的横坐标求出、的值，进而比较大小． 【详解】解：正比例函数中，， ∴随的增大而增大． 将、代入函数： ，， 比较大小即：． A、，与计算结果不符，不符合题意； B、，与计算结果一致，符合题意； C、，与计算结果不符，不符合题意； D、，与计算结果不符，不符合题意． 故选：B． 7．已知正比例函数（k为常数，且），y随x的增大而减小．当时，函数有最大值5，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，掌握当时正比例函数单调递减，区间内最大值出现在的最小值处是解题的关键． 根据正比例函数的性质，随的增大而减小，当时，取最小值时取得最大值，代入函数解析式求解． 【详解】解：∵ 中随的增大而减小， ∴当时，时最大，最大值为． 将,代入， 得， 解得． 故答案为：． 8．如图，三个函数图象分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是 ．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题考查的知识点是正比例函数图象与性质，解题关键是熟练掌握正比例函数的图象特征． 正比例函数图象过第一、三象限时，过第二、四象限时；直线越靠近轴，越大，先判断，，的正负，再比较绝对值大小，最终确定三者的大小关系． 【详解】解：正比例函数的图象特征为： 图象过第一、三象限时，过第二、四象限时；直线越靠近轴，越大， 由图象可知：①②过第一、三象限，故，， ③过第二、四象限，故， ②比①更靠近轴，故， 综上，． 故答案为：． 9．关于的正比例函数，若随的增大而减小，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据正比例函数的定义确定的取值范围，再结合函数的增减性确定的具体值． 【详解】解：正比例函数的定义对于： 指数需满足，解得，即或； 系数需满足，即． ∵随的增大而减小， ∴正比例函数的系数． 当时，，不符合； 当时，，符合条件． 因此，的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义及性质，解题关键是结合正比例函数的定义（指数、系数的要求）和增减性（系数的符号）来确定参数的值． 10．已知点，均在正比例函数的图象上，则a b．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义． 根据正比例函数的定义，常数项为零，求出m的值，得到函数表达式，再根据一次函数的性质比较a和b的大小． 【详解】解：因为函数是正比例函数， 所以， 解得， 则函数为． 因为， 所以y随x的增大而减小， 又因为，所以． 故答案为：． 11．已知正比例函数． (1)画出此函数的图象． (2)已知点A在此函数图象上，其横坐标为2，求出点A的坐标，并在图象上标出点A． (3)在x轴上是否存在一点P，使是等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)  见解析 (3)存在  或 【分析】本题考查了正比例函数，熟练掌握正比例函数的图像是解题的关键； （1）在正比例函数上找一特殊点比如与原点相连即可得到图像； （2）将代入解析式即可得到点A的坐标，在图像中标出即可； （3）使点P在x轴上移动，分别考虑为等腰直角三角形的腰或者等腰直角三角形的底两种情况即可求解． 【详解】（1）解：过点，作直线即得函数的图象，如图所示． （2）解：当时，，所以点A的坐标为，如图所示． （3）解：存在．当OA为底时，． ， ∴； 当OA为腰时，作，垂足为A，交x轴于点，此时点的坐标为． ∴存在点P使为等腰直角三角形，此时点P的坐标为或． 12．已知如下三个正比例函数：，，． (1)对于函数，当时，．请求出k的值并写出时的值； (2)写出这三个正比例函数的图象都具有的一条性质． 【答案】(1)的值为，的值为6 (2)三个函数的图象都是过原点的直线 【分析】本题主要考查的是正比例函数的性质，解答本题主要根据正比例函数的性质解答． （1）把时，代入可求出k的值，把代入可得结论； （2）根据正比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）在函数中，当时，， ． 解得， 在函数中，当时． 答：的值为，当时，的值为6 （2）三个函数的图象都是过原点的直线 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数的 正比例 正比例函数 正比例 待定系 常量：在问题过程中保持数值不变的量（如固定数值） 常量与变量 变量：可以取不同数值的量（如依赖其他量变化的量） 函数的定义 一般形式：变化过程中有两个变量x和y,当x确定时，y值唯一确定 分母不含自变量时，x取全体实数（如y=2x十13） 自变量的取值范围 分母含自变量时，×取值使分母不为零（如y=) 概念 偶次根式时，被开方数20 实际问题中，需保证实际意义 定义：自变量取某值时，函数唯一确定的值 函数值 求函数值即求代数式的值；求自变量值即解方程 注意： 函数值唯一，但自变量可能对应多个值 函数的图像 定义：以自变量和函数值为坐标的点组成的图形 成正比例关系 定义：变量y与x的比值是非零常数，即弘=k或y=kc(k0) 函数的概念 形式：y=kx(k是常数，k0) 正比例函数定义 比例系数：非零常数k,决定函数表达式 自变量范围：一切实数 列表：取x值，计算对应y值 画函数图像一般步骤 描点：以(x,y)为坐标描点（所有点落在过原点的直线上） 连线：按x顺序用直线连接点 正比例函数的图像 特征：一条经过原点的直线，称为直线y=kx 函数的图像和性质 当k>0时：图像过第一、三象限，y随x增大而增大 增减性 当k<0时：图像过第二、四象限，y随x增大而减小 正比例函数的性质 逆命题也成立 关于原点成中心对称 对称性 自身所在直线及其平分线为对称轴 设解析式：y=kc(k为待定系数) 数法 代入已知条件：得到关于k的方程 步骤 解方程：求出k值 代回解析式：得到函数表达式