专题24.1.2 简单图形的坐标表达 （4大知识点+8大题型+强化训练） 2025-2026学年沪教版（五四制）八年级寒假班预修提升讲义

2025-2026年八年级寒假班预修提升讲义 专题24.1.2 简单图形的坐标表达 知识点一、坐标轴上的点的坐标特征 在x轴正半轴上，M(+，0)即x>0，y=0 在x轴负半轴上，M(-，0)即x<0，y=0 在y轴正半轴上，M(0，+) 即x=0，y>0 在y轴负半轴上，M(0，-)即x=0，y<0 点M 在原点处，M(0，0) 知识点二、平行于坐标轴的直线 1、平行于坐标轴的直线上的点 平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；MN//x 轴(MN ⊥ y 轴)，M()，N( ) 两点纵坐标相等，即 平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.MN//y 轴(MN ⊥ x 轴)，M()，N( ) 两点横坐标相等，即 2、平行于坐标轴的直线表示 纵坐标等于b的点的全体是经过点A(0,b）且平行于x轴的直线，它可记为直线y=b； 横坐标等于a的点的全体是经过点A(a,0）且平行于y轴的直线，它可记为直线x=a. 知识点3 简单图形的坐标表达 在平面直角坐标系中，图形上的点都有相应的坐标，我们可以用坐标表示简单图形的顶点位置，进而确定该图形的形状和大小，用坐标来表达图形. 知识点4建立平面直角坐标系 1. 建立平面直角坐标系的基本思路 2. 建立平面直角坐标系的基本方法： 内容 图示 (1) 使图形中尽量多的点在坐标轴上 (2) 以某些特殊线段所在的直线为 x 轴或 y 轴，如三角形的高、中线等 目的：使运算简单，所求的点的坐标易表示 (3) 以对称图形的对称轴为 x 轴或 y 轴 (4) 以某已知点为原点，使它的坐标为(0, 0) 题型01：坐标轴上点的坐标特征 【名师点拨】平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标符号特征：在x轴上的点纵坐标为零，在y轴上的点横坐标为零. 【例1】在平面直角坐标系中，若点在轴上，则在第 象限． 【跟踪训练】 1.若点在平面直角坐标系的轴上，则点的坐标为 ． 2.已知点，分别根据下列条件求出点M的坐标． （1）点M在x轴上； （2）点M在一、三象限角平分线上． 题型02：点在坐标轴上求参数值 【例2】平面直角坐标系中，点在轴上，则的值为 ． 【例3】已知点在y轴上，则的值为　　 A．1 B． C．2 D． 【跟踪训练】 1.已知点在y轴上，则 ． 2.若点在轴上，则点在第 　二　象限． 题型03：平行于坐标轴的直线表示 【名师点拨】平行于x轴直线上的点的坐标纵坐标相等；平行于y轴直线上的点的横坐标相等横坐标等于a的点的全体是经过点A(a,0）且平行于y轴的直线，它可记为直线x=a. 【例4】（1）经过点P(0,1)且平行于x 轴的直线可记为直线________ （2）经过点Q(1，一5)且平行于y轴的直线可记为直线_____ （3）在平面直角坐标系中，已知点A(一1,3)、B(2,3)，如果M 为直线AB上任意给定的一点，那么点M的纵坐标为________ （4）在平面直角坐标系中，已知点C(一4,1）、D（一4,一2)，如果N为直线CD上任意给定的一点，那么点N的横坐标为________。 【例5】在平面直角坐标系中，已知点，．若直线与轴平行，则的值为 ． 【跟踪训练】 1． 直线x=表示___________ 2． 已知平面直角坐标系中有两点、，且轴时，则 ． 3.过点和作直线，则直线（   ） A．与轴平行 B．与轴平行 C．与轴相交 D．与轴、轴相交 题型04：用坐标表示简单图形 【名师点拨】在平面直角坐标系中，图形上的点都有相应的坐标，我们可以用坐标表示简单图形的顶点位置，进而确定该图形的形状和大小，用坐标来表达图形. 【跟踪训练】 1. 请在图中建立一个平面直角坐标系，使得点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，分别写出图中五角星形五个顶点的坐标，并指出它们所在的象限或坐标轴。 2.如图，四边形在平面直角坐标系中，根据要求回答下列问题：(1)点A的坐标为________，点B的横坐标为________，纵坐标为________； (2)坐标为的是点________，在第________象限；(3)横、纵坐标互为相反数的是点________． 3.如图，含角的的斜边在y轴上， ，顶点O与原点重合，则点B的坐标是 ． 4.如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5.如图,的顶点分别为，且与全等，则点D坐标可以是 ． 6.如图，已知在平面直角坐标系中，，且的面积为，点、的坐标分别是、，则点的坐标是 ． 7.已知点和点两点，且直线与坐标轴围成的三角形的面积等于12，则点A的坐标为 ． 题型05：建立合适的平面直角坐标系 【名师点拨】建立合适的平面直角坐标系：核心体现在“合适”上，即通过合理的选择原点、坐标轴方向和单位长度，使图形的坐标表示或问题求解更简便。建立平面直角坐标系时，选择的原点不同，图形上表示的同一点坐标也不相同，对于几何图形来，往往选择顶点作为原点，对于轴对称图形，往往选择坐标轴与对称轴重合。 【例7】建立适当的直角坐标系，表示边长为3的正方形各顶点的坐标． 【例8】数学课上，王老师让同学们对给定的正方形，建立合适的平面直角坐标系，并表示出各顶点的坐标．下面是4名同学表示各顶点坐标的结果： 甲同学：； 乙同学：； 丙同学：； 丁同学：； 上述四名同学表示的结果中，四个点的坐标都表示正确的同学有 ． 【跟踪训练】 1．矩形ABCD中，AB=5，BC=2，以矩形的左下角顶点A为原点，两边AB、AD为坐标轴建立直角坐标系，用坐标表示各顶点的坐标为　　． 2．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．若，，则点P的坐标为（    ）． A． B． C． D． 3.如图，以正方形的两条边为底边，向外作两个等腰直角三角形，已知正方形的边长为4，请在图中建立合适的平面直角坐标系，并求出各顶点的坐标． 4.如图，网格中每个小正方形的边长都是1，请以点B为原点建立平面直角坐标系，并写出A，C，D三点的坐标． 5.三角形在网格中的位置如下图所示（每个小正方形的边长都是1）．请建立适当的平面直角坐标系，并写出三角形的顶点A，B，C的坐标． 题型06：平面直角坐标系与面积问题 【例9】如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A．19 B．20 C．21 D．21.5 【例10】在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，则这个长方形的面积是（   ） A．24 B．25 C．30 D．28 【例11】在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为，则四边形的面积为 ． 【跟踪训练】 1.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．则四边形的面积 （用含有k的式子表示） 2.如图，四边形各个顶点的坐标分别为，． (1)求这个四边形的面积； (2)如果把原来四边形各个顶点的横坐标都乘，纵坐标都乘，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 3.已知点，，点在轴上，且三角形的面积是，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 题型07：点的坐标与变化规律 【例12】在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示． （1）填写下列各点的坐标A4　 　，A8　 　，A12　 　． （2）写出点A4n的坐标（n为正整数） 　 　． （3）蚂蚁从点A2020到点A2021的移动方向是 　 　（填“向上”、“向右”或“向下”）． 【跟踪训练】 1.如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按…的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2.将一组正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示的数为8，则正整数2025用有序实数对表示为 ． 题型08：综合提升 【例13】如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，的三个顶点都在格点上． （1）点A的坐标为________，点B的坐标为________； （2）的面积为________； （3）点P在y轴上，且的面积等于的面积，求点P的坐标． 【例14】平面直角坐标系中，A点为，D 点为，将线段平移至线段，连，． (1)如图1，若B 点为． ①直接写出图中相等和平行的线段和C点坐标；       ②求四边形的面积； (2)如图2，若平分，求证：平分． 一、选择题 1．下列各点中在y轴负半轴上的是（    ） A． B． C． D． 2.如图，点A的坐标为，点C的坐标为，以点A为圆心、长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 3.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，过点向第一象限作且，则点的坐标是 ． 4.在如图所示的象棋盘上，建立适当的平面直角坐标系，使“炮”位于点上，“相”位于点上，则“帅”位于点（   ） A． B． C． D． 5.如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 6.已知点在轴上，则 ． 7.在平面直角坐标系中，已知点在轴上，那么　　． 8.在平面直角坐标系中，已知点，若点M在x轴上，则点M坐标 ． 9.如图，三个顶点的坐标分别为，则的面积为 ． 10．在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为 ． 11．在平面直角坐标系中，已知，，如果的面积为，那么点的坐标可以是 ．（只需写出一个即可） 12.在如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，，则这个四边形的面积是 ． 13.如图，已知在平面直角坐标系中，，且的面积为，点、的坐标分别是、，则点的坐标是 ． 14.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点C在x轴上，点A在第一象限，且，连接，若，则点C的坐标为 ． 15.如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，点D是x轴上一个动点，当的面积等于的面积时，点D的坐标为 ． 16.在平面直角坐标系中，有点A（2，4），点B（0，2），若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形AOC和三角形AOB面积相等，则点C的坐标为 ． 3、 解答题 17.在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）若点的纵坐标比横坐标大8，试判断点在第几象限，并说明理由． 18.已知的三个顶点的坐标分别为，求的面积． 19.已知点，试分别根据下列条件，求出点P的坐标． （1）点P在x轴上； （2）点P的纵坐标比横坐标大5； （3）点P在过点，且与x轴平行的直线上． 20.完成下列各题： (1)写出图中各点的坐标．(2)描出点． (3)顺次连接各点，围成的封闭图形是什么图形，并计算它的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年八年级寒假班预修提升讲义 专题24.1.2 简单图形的坐标表达 知识点一、坐标轴上的点的坐标特征 在x轴正半轴上，M(+，0)即x>0，y=0 在x轴负半轴上，M(-，0)即x<0，y=0 在y轴正半轴上，M(0，+) 即x=0，y>0 在y轴负半轴上，M(0，-)即x=0，y<0 点M 在原点处，M(0，0) 知识点二、平行于坐标轴的直线 1、平行于坐标轴的直线上的点 平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；MN//x 轴(MN ⊥ y 轴)，M()，N( ) 两点纵坐标相等，即 平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.MN//y 轴(MN ⊥ x 轴)，M()，N( ) 两点横坐标相等，即 2、平行于坐标轴的直线表示 纵坐标等于b的点的全体是经过点A(0,b）且平行于x轴的直线，它可记为直线y=b； 横坐标等于a的点的全体是经过点A(a,0）且平行于y轴的直线，它可记为直线x=a. 知识点3 简单图形的坐标表达 在平面直角坐标系中，图形上的点都有相应的坐标，我们可以用坐标表示简单图形的顶点位置，进而确定该图形的形状和大小，用坐标来表达图形. 知识点4建立平面直角坐标系 1. 建立平面直角坐标系的基本思路 2. 建立平面直角坐标系的基本方法： 内容 图示 (1) 使图形中尽量多的点在坐标轴上 (2) 以某些特殊线段所在的直线为 x 轴或 y 轴，如三角形的高、中线等 目的：使运算简单，所求的点的坐标易表示 (3) 以对称图形的对称轴为 x 轴或 y 轴 (4) 以某已知点为原点，使它的坐标为(0, 0) 题型01：坐标轴上点的坐标特征 【名师点拨】平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标符号特征：在x轴上的点纵坐标为零，在y轴上的点横坐标为零. 【例1】在平面直角坐标系中，若点在轴上，则在第 象限． 【答案】二 【分析】此题主要考查根据点坐标判定其所在象限，熟练掌握各象限的点的坐标特征是解题关键．根据点在轴上，可得横坐标为，即可得出，进而得出点的坐标，即可判定其在第二象限． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴在第二象限． 故答案为：二 【跟踪训练】 1.若点在平面直角坐标系的轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中y轴上点的坐标特征，掌握这一特征是解题的关键． 根据平面直角坐标系中y轴上点的坐标特征为：横坐标为0，即可得出关于m的方程，从而求得m的值，进而求得点P的坐标． 解：∵点在y轴上 ∴ ∴ ∴点P的坐标为 故答案为：． 2.已知点，分别根据下列条件求出点M的坐标． （1）点M在x轴上； （2）点M在一、三象限角平分线上． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是平面直角坐标系内x轴上的点以及一、三象限角平分线上的点的坐标特点，熟练掌握其特点并代入计算是解题的关键． （1）根据x轴上的点的坐标特点为纵坐标都为0，求出a的值，再代入计算即可； （2）根据一、三象限的角平分线上的点的横纵坐标相等，进行列式计算即可． 解：（1）解：∵点在x轴上， ∴， 解得． ∴． ∴点M的坐标为； （2）解：∵点M在一、三象限角平分线上时， ∴． 解得． ∴， ∴点M的坐标为． 题型02：点在坐标轴上求参数值 【例2】平面直角坐标系中，点在轴上，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵点在轴上，∴，解得，故答案为：． 【例3】已知点在y轴上，则的值为　　 A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：∵点在y轴上，∴∴ 故选：B ． 【跟踪训练】 1.已知点在y轴上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握y轴上的点横坐标为0是解题的关键．根据y轴上的点横坐标为0可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：点在y轴上， ， 解得：， 故答案为：． 2.若点在轴上，则点在第 　二　象限． 【答案】二． 【考点】点的坐标 【分析】根据轴上的点的纵坐标为0，列出方程求出的值，即可确定点所在象限． 【解答】解：由题意，得， ． ，， 点在二象限， 故答案为：二． 【点评】本题考查了点的坐标．明确各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 题型03：平行于坐标轴的直线表示 【名师点拨】平行于x轴直线上的点的坐标纵坐标相等；平行于y轴直线上的点的横坐标相等横坐标等于a的点的全体是经过点A(a,0）且平行于y轴的直线，它可记为直线x=a. 【例4】（1）经过点P(0,1)且平行于x 轴的直线可记为直线________ （2）经过点Q(1，一5)且平行于y轴的直线可记为直线_____ （3）在平面直角坐标系中，已知点A(一1,3)、B(2,3)，如果M 为直线AB上任意给定的一点，那么点M的纵坐标为________ （4）在平面直角坐标系中，已知点C(一4,1）、D（一4,一2)，如果N为直线CD上任意给定的一点，那么点N的横坐标为________。 【答案】(1)y=1;(2)x=1; (3)3 (4)-4 【例5】在平面直角坐标系中，已知点，．若直线与轴平行，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查坐标与图形，根据平行x轴 的点的纵坐标相等，构建方程求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， 故答案为：1． 【跟踪训练】 1． 直线x=表示___________ 【答案】平行于y轴的直线 2． 已知平面直角坐标系中有两点、，且轴时，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．根据平行于轴的直线上点的坐标特征进行计算即可． 【详解】解：由题知，因为点、，且轴， 所以， 解得． 故答案为：． 3.过点和作直线，则直线（   ） A．与轴平行 B．与轴平行 C．与轴相交 D．与轴、轴相交 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，熟记平行坐标轴的直线的特征是解本题的关键． 根据两点的横坐标相等，得出直线平行于轴． 【详解】解：∵点，点， ∴点横坐标相同， ∴直线轴， 故选：B． 题型04：用坐标表示简单图形 【名师点拨】在平面直角坐标系中，图形上的点都有相应的坐标，我们可以用坐标表示简单图形的顶点位置，进而确定该图形的形状和大小，用坐标来表达图形. 【详解】（1）△ABC 顶点的坐标分别是A（一2,一2)、B（1,3）、C(1,一2），因为点A与点C的纵坐标都是一2，所以ACx轴.因为点B与点C的横坐标都是1，所以BCy轴. 于是AC上BC.从而△ABC是直角三角形，它的 面积是 （2）四边形ABCD 顶点的坐标分别是A（一1,1）、B（一3,一2）、C(2,一2)、D(4,1），因为点A与点D的纵坐标都是1，所以ADx 轴.因为点B与点C的纵坐标都是一2，所以BCx轴. 于是ADBC.又AD=BC=5，所以四边形ABCD是平行四边形，它的面积是5X3=15. 【跟踪训练】 1. 请在图中建立一个平面直角坐标系，使得点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，分别写出图中五角星形五个顶点的坐标，并指出它们所在的象限或坐标轴。 解：如图，点 在第三象限，点 在第四象限，点 在第一象限，点 在 轴正半轴上，点 在第二象限。 2.如图，四边形在平面直角坐标系中，根据要求回答下列问题：(1)点A的坐标为________，点B的横坐标为________，纵坐标为________； (2)坐标为的是点________，在第________象限；(3)横、纵坐标互为相反数的是点________． 【答案】(1)，，3；(2)C，三；(3)D． 【详解】（1）由图可知，点A的坐标为，点B的横坐标为，纵坐标为3；故答案：，，3； （2）解：由图可知，坐标为的是点C，在第三象限；故答案为：C，三； （3）解：由图可知，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为， 只有点D的横、纵坐标互为相反数，故答案为：D． 3.如图，含角的的斜边在y轴上， ，顶点O与原点重合，则点B的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：在中，，∴， ∵，∴，∵点B在y轴上，∴B点坐标为，故答案为：． 4.如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，分别过点作轴的垂线，交轴于点， 所以，所以． 因为为等腰直角三角形，所以， 所以，所以． 在和中，，所以，所以． 因为点的坐标为，所以． 因为点在第一象限，所以点的坐标为．故选：A 5.如图,的顶点分别为，且与全等，则点D坐标可以是 ． 【答案】或或 【详解】如图所示，与全等，点D的坐标可以是或或． 故答案为： 或或 6.如图，已知在平面直角坐标系中，，且的面积为，点、的坐标分别是、，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，轴于点， 点、的坐标分别是、，，， ∵的面积为，，∴， 点的横坐标为，纵坐标为，点坐标为，故答案为：． 7.已知点和点两点，且直线与坐标轴围成的三角形的面积等于12，则点A的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形．先求出、的长度，再利用三角形的面积列方程求出的值，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：点和点两点， ，， 直线与坐标轴围成的三角形的面积等于12， ， 解得， 所以，点的坐标为或． 故答案为：或． 题型05：建立合适的平面直角坐标系 【名师点拨】建立合适的平面直角坐标系：核心体现在“合适”上，即通过合理的选择原点、坐标轴方向和单位长度，使图形的坐标表示或问题求解更简便。建立平面直角坐标系时，选择的原点不同，图形上表示的同一点坐标也不相同，对于几何图形来，往往选择顶点作为原点，对于轴对称图形，往往选择坐标轴与对称轴重合。 【例7】建立适当的直角坐标系，表示边长为3的正方形各顶点的坐标． 【分析】根据正方形的性质，在x轴以1.5和﹣1.5处作垂线，在y轴处1.5，﹣1.5作垂线，较为简单． 【解答】解：故正方形各点的坐标为：A（1.5，1.5）；B（﹣1.5，1.5）；C（﹣1.5，﹣1.5）；D（1.5，﹣1.5）． 【点评】本题考查了点的坐标的确定，直角坐标系的建立及正方形的性质． 【例8】数学课上，王老师让同学们对给定的正方形，建立合适的平面直角坐标系，并表示出各顶点的坐标．下面是4名同学表示各顶点坐标的结果： 甲同学：； 乙同学：； 丙同学：； 丁同学：； 上述四名同学表示的结果中，四个点的坐标都表示正确的同学有 ． 【答案】甲丙 【分析】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键是在坐标系中正确的描点；在坐标系中描出A，B，C，D四个点，再观察四边形的形状即可得解． 【详解】解：甲同学：画坐标系并描点得， 由图可知，四边形是正方形，故符合题意， 乙同学：画坐标系并描点得， 由图可知，四边形不是正方形，故不符合题意， 丙同学：画坐标系并描点得，； 由图可知，四边形是正方形，故符合题意， 丁同学：画坐标系并描点得， 由图可知，四边形不是正方形，故不符合题意， 综上所述，四个点的坐标都表示正确的同学有甲丙， 故答案为：甲丙． 【跟踪训练】 1．矩形ABCD中，AB=5，BC=2，以矩形的左下角顶点A为原点，两边AB、AD为坐标轴建立直角坐标系，用坐标表示各顶点的坐标为　　． 【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示， A（0，0），B（5，0），C（5，2），D（0，2）． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平面直角坐标系中点的位置的确定方法，是基础题． 2．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．若，，则点P的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系，掌握知识点是解题的关键． 根据题意建立直角坐标系，即可得到点P的坐标． 【详解】解：根据题意，建立直角坐标系，如图， ∴点P的坐标为． 故选D． 3.如图，以正方形的两条边为底边，向外作两个等腰直角三角形，已知正方形的边长为4，请在图中建立合适的平面直角坐标系，并求出各顶点的坐标． 【答案】见分析；，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查坐标与图形，正方形的性质，先建立适当的平面直角坐标系，再写出各点坐标即可． 解：建立平面直角坐标系如图： 则有：，． 4.如图，网格中每个小正方形的边长都是1，请以点B为原点建立平面直角坐标系，并写出A，C，D三点的坐标． 【答案】见分析， 【分析】本题主要考查了写出坐标系中点的坐标，正确建立坐标系是解题的关键． 根据题意建立适当的平面直角坐标系，再写出点A，C，D的坐标，即可求解． 解：如图，平面直角坐标系即为所求． A，C，D三点的坐标分别为． 5.三角形在网格中的位置如下图所示（每个小正方形的边长都是1）．请建立适当的平面直角坐标系，并写出三角形的顶点A，B，C的坐标． 【答案】建立平面直角坐标系见详解；点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为 【分析】本题考查了平面直角坐标系、点的坐标；以边所在的直线为轴，过点垂直的直线为轴，即可建立平面直角坐标系，写出坐标即可求解． 解：建立平面直角坐标系如下： 点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为． 题型06：平面直角坐标系与面积问题 【例9】如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A．19 B．20 C．21 D．21.5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质．过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴， ∵点，点，点， ∴， ∴三角形的面积是：． 故选：B 【例10】在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，则这个长方形的面积是（   ） A．24 B．25 C．30 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和图形面积，是解题的关键． 先在坐标系描出点，然后根据长方形的性质画出长方形，求出相邻两边，再求出面积． 【详解】解：如图，设， 在坐标系中描出各点，画出长方形， ∴． ∴， 故选：C． 【例11】在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别为，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，作，垂足分别为，利用分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：作，垂足分别为，如图， ∵， ∴， ∴四边形的面积为； 故答案为：． 【跟踪训练】 1.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．则四边形的面积 （用含有k的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查了坐标与图形，延长交轴于点E，过点C作轴于点F，延长交于点H，过点C作于点G，根据，，，，得出，，，，利用割补法求出四边形的面积即可． 【详解】解：延长交轴于点E，过点C作轴于点F，延长交于点H，过点C作于点G， ∵，，，， ∴轴，轴， ∴，， ∴，， ， ， ∴四边形的面积为： ． 故答案为：． 2.如图，四边形各个顶点的坐标分别为，． (1)求这个四边形的面积； (2)如果把原来四边形各个顶点的横坐标都乘，纵坐标都乘，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 【答案】(1) (2)面积不发生变化，其面积是 【分析】本题考查图形与坐标，数形结合是解决问题的关键． （1）作轴于点轴于点，如图所示，数形结合得到，代值求解即可得到答案； （2）由题意可知，所得的四边形和原四边形关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，即可得到答案． 【详解】（1）解：作轴于点轴于点，如图所示： ； （2）解：由题意可知，所得的四边形和原四边形关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，其面积是． 3.已知点，，点在轴上，且三角形的面积是，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了图形与坐标，先设点的坐标为，结合点，，列式三角形的面积是，因为三角形的面积是，得出，再解方程，即可作答． 【详解】解：∵点在轴上 ∴设点的坐标为 依题意， 解得 ∴点的坐标是或 故选：C 题型07：点的坐标与变化规律 【例12】在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示． （1）填写下列各点的坐标A4　 　，A8　 　，A12　 　． （2）写出点A4n的坐标（n为正整数） 　 　． （3）蚂蚁从点A2020到点A2021的移动方向是 　 　（填“向上”、“向右”或“向下”）． 【答案】（1）（2，0）；（4，0）；（6，0）；（2）（2n，0）；（3）向上 【知识点】点坐标规律探索 【分析】（1）观察图形可知，A4，A8，A12都在x轴上，求出OA4、OA8的长度，然后写出坐标即可； （2）根据蚂蚁“每移动四次”在x轴上的坐标加2这一规律，写出点A4n的坐标即可； （3）根据2020÷4=505，可知从点A2020到点A2021的移动方向与从点A4到A5的方向一致． 【详解】解：（1）由图可知，A4，A8，A12都在x轴上， ∵蚂蚁每次移动1个单位， ∴OA4=2，OA8=4，OA12=6， ∴A4（2，0），A8（4，0）；A12（6，0）； 故答案为：（2，0）；（4，0）；（6，0）； （2）根据蚂蚁“每移动四次”在x轴上的坐标加2，这一规律写出， ∴点A4n的坐标（2n，0）； 故答案为：（2n，0）； （3）∵2020÷4=505，即：点A2020与点A4的位置保持一致， ∴从点A2020到点A2021的移动方向与从点A4到A5的方向一致，为向上， 故答案为：向上． 【点睛】此题主要考查了点的变化规律，比较简单，仔细观察图形，确定出A4n都在x轴上是解题的关键． 【跟踪训练】 1.如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2023个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按…的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出四边形的周长为10，得到的余数为3，由此即可解决问题． 解：∵，，，， ∴， ∴绕四边形一周的细线长度为， …3， ∴细线另一端在绕四边形第203圈的第3个单位长度的位置，即点的位置，即坐标为 ． 故选：A． 【点拨】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形一周的长度，从而确定2023个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键． 2.将一组正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示的数为8，则正整数2025用有序实数对表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的变化的规律，有理数的混合运算，正确找出数字变化的规律是解题的关键．如图所示的规律为：第行的最后一个数为，依此规律可以确定答案． 解：第一行的最后一个数是1， 第二行最后一个数是， 第三行最后一个数是， 第四行最后一个数是， 第五行最后一个数是． 第行最后一个数是． ， 第63行的最后一个数是2016． 2025在第64行从左到右第9个数的位置． 正整数2025可以用有序数对来表示． 故答案为： 题型08：综合提升 【例13】如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，的三个顶点都在格点上． （1）点A的坐标为________，点B的坐标为________； （2）的面积为________； （3）点P在y轴上，且的面积等于的面积，求点P的坐标． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标、三角形面积的计算，解题的关键是利用割补法求三角形面积，并根据面积关系列方程求解． （1）根据点的位置直接写出坐标； （2）利用割补法计算即可； （3）根据△ABC的面积得到△ABP的面积，再设，根据三角形面积公式列出方程， 解：（1）点A的坐标为，点B的坐标为； 故答案为：，； （2）； 故答案为：， （3）解：设， 的面积等于的面积， ， 解得：或， 点的坐标为或． 【例14】平面直角坐标系中，A点为，D 点为，将线段平移至线段，连，． (1)如图1，若B 点为． ①直接写出图中相等和平行的线段和C点坐标；       ②求四边形的面积； (2)如图2，若平分，求证：平分． 【答案】(1)①，；②10 (2)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，平移的性质，坐标与图形，平行线的性质，角平分线的定义等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）①由平移的性质可得；根据点A和点B的坐标可得平移方式为向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，再由点D的坐标结合平移方式可得点C的坐标；②过点A，C分别作y轴的平行线，过点B、D分别作x轴的平行线，根据列式求解即可； （2）由角平分线的定义得到；由平行线的性质得到，则可得到，由三角形内角和定理可得，则，即可证明平分． 【详解】（1）解：①由平移的性质可得； ∵A点为，D 点为，将线段平移至线段，B 点为， ∴平移方式为向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度， ∴点C的坐标为，即； ②如图所示，过点A，C分别作y轴的平行线，过点B、D分别作x轴的平行线， ∴， ∴ ； （2）证明：∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． 一、选择题 1．下列各点中在y轴负半轴上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标，根据轴上的点的坐标特点选择即可，熟记坐标轴上的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在轴的负半轴上， ∴这个点的横坐标为零，纵坐标为负的， ∴符合题意， 故选：B． 2.如图，点A的坐标为，点C的坐标为，以点A为圆心、长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为，∴， ∵以点A为圆心、长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，∴， 在中，，∴点B的坐标为，故选：D 3.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，过点向第一象限作且，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：过点作轴于点，如图所示：， 点的坐标是，点的坐标是，，， 在中，，，且， ，， 在和中，， ，，， 点的坐标是．故答案为：． 4.在如图所示的象棋盘上，建立适当的平面直角坐标系，使“炮”位于点上，“相”位于点上，则“帅”位于点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标确定位置，先根据“炮”和“相”的坐标建立平面直角坐标系，从而得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 解：由题意可建立如图所示的平面直角坐标系： ∴“帅”位于点， 故选：A． 5.如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．点M的坐标，在y轴的正半轴上有一点P，使得的面积与的面积相等，则点P的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，先根据绝对值和平方的非负性求出的值，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点，则，设，求出，根据题意得到，建立方程求解即可． 【详解】解：∵a，b满足， ∴， ∴， ∴，， 如图，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点， 则， 设， ∵， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 6.已知点在轴上，则 ． 【答案】2 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了点在坐标轴上的特点，根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：点在轴上， ∴， 解得，， 故答案为：2 ． 7.在平面直角坐标系中，已知点在轴上，那么　　． 【答案】． 【考点】点的坐标 【分析】根据轴上点的横坐标为0，有计算即可． 【解答】解：轴上点的横坐标为0， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了坐标轴上点的坐标特征，轴上点的纵坐标为0，轴上的点的横坐标为0． 8.在平面直角坐标系中，已知点，若点M在x轴上，则点M坐标 ． 【答案】 【详解】解：点在x轴上，，， ，点M坐标为．故答案为：． 9.如图，三个顶点的坐标分别为，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键． 根据求出，利用三角形面积公式进行求解即可． 解：∵， ∴， ∴ 故答案为：3． 10．在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，根据求解即可． 【详解】解：如图，过点C作x轴的垂线，垂足为点D， ∵ ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 11．在平面直角坐标系中，已知，，如果的面积为，那么点的坐标可以是 ．（只需写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，纵坐标绝对值为即可） 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的位置，三角形面积公式，由，，得，又的面积为，可得，所以，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标可以是， 故答案为：．（答案不唯一，纵坐标绝对值为即可） 12.在如图所示的直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别是，，，，则这个四边形的面积是 ． 【答案】31 【分析】本题主要考查了坐标与图形，过点B作轴，过点C作轴，过点D作轴，然后用大长方形的面积减去四周四个直角三角形的面积，得出答案即可． 【详解】解：过点B作轴，过点C作轴，过点D作轴，如图所示： ∵四边形各个顶点的坐标分别是，，，， ∴，，，， ∴，，， ，，，，，， ∴ ． 故答案为：31． 13.如图，已知在平面直角坐标系中，，且的面积为，点、的坐标分别是、，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，轴于点， 点、的坐标分别是、，，， ∵的面积为，，∴， 点的横坐标为，纵坐标为，点坐标为，故答案为：． 14.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点C在x轴上，点A在第一象限，且，连接，若，则点C的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过点A作，交于点D， 在中，，且，∴.∵点，∴，∴. ∵，∴，∴，即点.故答案为：. 15.如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，点D是x轴上一个动点，当的面积等于的面积时，点D的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的面积，坐标与图形性质，关键是要分两种情况讨论． 求出的面积，当D在x轴正半轴上时，由三角形面积公式得到，因此，当D在x轴负半轴上时，同理求出，于是得到，，即可得到D的坐标． 【详解】解：根据题意可得：的面积， 设交x轴于M， 当D在x轴正半轴上时， ∵的面积的面积的面积的面积， ， ， 当D在x轴负半轴上时， 同理求出， 根据图象可得， ，， ∴的坐标是或， 故答案为：或． 16.在平面直角坐标系中，有点A（2，4），点B（0，2），若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形AOC和三角形AOB面积相等，则点C的坐标为 ． 【答案】（1，0），（﹣1，0），（0，﹣2） 【分析】根据题意点C的位置可分当点C在x轴上时和当点C在y轴上时两种情况进行讨论，从而根据三角形的面积公式列式，进而求得OC，得出点C的坐标． 【详解】解：根据题意可知三角形AOB面积S△AOB=×OB×|xA| =×2×2=2， 当点C在x轴上时， ∵S△AOC=S△AOB， ∴×OC×|yA| =×OC×4=2， 解得OC=1， ∴点C的坐标为（1，0），（-1，0）； 当点C在y轴上时， ∵S△AOC=S△AOB， ∴×OC×|xA|=×OC×2=2， ∴OC=2， 又点C不与点B重合， ∴点C坐标为（0，-2）． 综上所述，点C的坐标为（1，0），（-1，0），（0，-2）． 故答案为：（1，0），（-1，0），（0，-2）． 【点睛】本题考查三角形的面积及坐标与图形性质，解题的关键是根据题意分两种情况进行讨论（当点C在x轴上时和当点C在y轴上时），根据三角形的面积公式求得OC，再得出点C的坐标，也可以适当的画草图进行分析． 3、 解答题 17.在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）若点的纵坐标比横坐标大8，试判断点在第几象限，并说明理由． 【答案】（1）点的坐标为；（2）点在第二象限，见分析 【分析】本题考查了点的坐标，一元一次方程，代数式求值，掌握知识点是解题的关键．； （1）根据y轴上的点的坐标特征，横坐标为0，求得m的值，即可求解； （2）根据题意列出关于m的方程，解方程，即可求解． 解：（1）解：点在轴上， ，解得，则． 点的坐标为（0，5） （2）点在第二象限，理由如下： 点的纵坐标比横坐标大8 ， 解得． ， ， 点，即点在第二象限． 18.已知的三个顶点的坐标分别为，求的面积． 【答案】12.5 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，熟练掌握网格中三角形的面积的求解方法是解题的关键．利用所在的长方形的面积减去四周三个直角三角形的面积列式计算即可得解． 解：的面积 ． 19.已知点，试分别根据下列条件，求出点P的坐标． （1）点P在x轴上； （2）点P的纵坐标比横坐标大5； （3）点P在过点，且与x轴平行的直线上． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了在x轴上的点的坐标特点，平行于x轴的直线上的点的坐标特点，熟知坐标系中点的坐标规律是解题的关键． （1）在x轴上的点的纵坐标为0，据此建立方程求解即可； （2）根据题意可得方程，解方程即可得到答案； （3）平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，据此建立方程求解即可． 解：（1）解：∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （2）解：∵点的纵坐标比横坐标大5， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； （3）解：∵点在过点，且与x轴平行的直线上， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． 20.完成下列各题： (1)写出图中各点的坐标．(2)描出点． (3)顺次连接各点，围成的封闭图形是什么图形，并计算它的面积． 【答案】(1)(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）解：由题意得；（2）解：如图所示； （3）解：如图所示，四边形是正方形，它的面积是． 学科网（北京）股份有限公司 $