专题24.3 平移与轴对称 （2大知识点+10大题型+强化训练） 2025-2026学年沪教版（五四制）八年级寒假班预修提升讲义

2025-2026年八年级寒假班预修提升讲义 专题24.3 平移与轴对称 知识点一、用坐标表示平移 (1)点的平移 一般地，如果点 M(x,y)沿着与x轴或y轴平行的方向平移m(m>0)个单位长度，那么 向右平移所对应的点的坐标为(x+m,y); 向左平移所对应的点的坐标为(x-m,y); 向上平移所对应的点的坐标为(x,y+m); 向下平移所对应的点的坐标为(x,y-m). (2)图形的平移 ①在给定的平面直角坐标系中， 如果把一个图形向右(或向左)平移m(m>0)个单位长度，那么这个图形各个点的横坐标都加(或减)m; 如果把一个图形向上(或向下)平移m(m>0)个单位长度，那么这个图形各个点的纵坐标都加(或减)m. ②一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形和原来的图形形状、大小完全相同，且可以通过将原来的图形作一次平移得到. 要点：平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 知识点二、轴对称 1.点坐标的轴对称、原点对称 一般地，在平面直角坐标系中， 点M(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)； 点M(x,y)关y轴对称的点的坐标为(-x,y)； 点M(x,y)关原点对称的点的坐标为(-x,-y)。 2.图形的轴对称 如果两个图形关于x轴对称，那么这两个图形上各组对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；如果点(x,y) 在一个关于x轴对称的图形上，那么以(x,-y) 为坐标的点也在这个图形上. 如果两个图形关于y轴对称，那么这两个图形上各组对应点的纵坐标相 同，横坐标互为相反数；如果点(x,y) 在一个关于y轴对称的图形上，那么以(-x,y) 为坐标的点也在这个图形上. 题型01：求平移后点的坐标 【名师点拨】在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a，y）或（x－a，y）；将点（x，y）向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）或（x，y－b）． 【例1】已知点M的坐标为，将点M先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 2.平面直角坐标系内，将点向右平移1个单位得到点B，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．已知点A的坐标为，将点A向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点的坐标是（     ） A． B． C． D． 4.在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点的坐标是（　　） A． B． C． D． 题型02：求平移前点的坐标 【名师点拨】平移后的点按原来平移方向反向平移，平移单位长度不变。 【例2】在平面直角坐标系中，若将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到的点的坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.将点向左平移个单位长度得到点，且在轴上，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2.在平面直角坐标系中，将点向左平移个4单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是 ． 3.将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣2，5），则A点关于y轴的对称点坐标为 ． 题型03：判断平移方式 【例3】在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到对应点，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【跟踪训练】 1．在平面直角坐标系中，点平移后能与原来的位置关于轴对称，则应把点（ ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向下平移个单位 D．向上平移个单位 2.把点平移到点，则下列平移路线正确的是（   ） A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位 3．在平面直角坐标系内，将点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点，则的值为（   ） A． B．0 C．2 D．6 题型04：求图形的平移后点的坐标 【名师点拨】在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度． 【例4】在平面直角坐标系中的位置如图所示．将向右平移6个单位得到，再将向下平移4个单位得到，请画出和，并写出点的坐标． 【跟踪训练】 1．编队飞行（即平行飞行）的两架飞机A、B在坐标系中的坐标分别为、，当飞机A飞到指定位置的坐标是时，飞机B的坐标是（   ） A． B． C． D． 2.在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，若把线段平移，A的对应点为，坐标为，则的坐标为 ． 3．在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的平行四边形，点的坐标是现将这张胶片平移，使点落在点处，则此平移可以是（ ） A．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 B．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 D．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 4.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移，使得点A平移到点，则平移后点B的坐标为（    ） A． B． C． D．或 5.如图，点A，B分别在x轴和y轴上，，若将线段平移至线段的位置，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 题型05：求图形的平移前点的坐标 【例5】如图，，，，将线段平移，使点平移到点，点为点的对应点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.在平面直角坐标系中，将点向左平移个4单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是 ． 2.如图，，，．将三角形向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到三角形． (1)画出三角形，并写出，，的坐标； (2)已知三角形内部一点的坐标为，若点随三角形一起平移，平移后点的对应点的坐标为，则________，_________； (3)求三角形的面积． 题型06：求关于坐标轴或原点对称的点的坐标 【名师点拨】如果点的坐标为，那么点关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为． 【例6】在平面直角坐标系中，如果P点的坐标为，它关于y轴的对称点为，关于x轴的对称点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例7】在平面直角坐标系中，点关于原点O对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【例8】把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则点关于原点对称的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 3.平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 题型07：确认对称的类型 【例9】平面直角坐标系内的点与点的位置关系是（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．无法确定 【跟踪训练】 1．点和点在坐标平面内的关系是（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．没有对称关系 2．（1）和点关于 对称； （2）如果点在第三象限则点关于原点的对称点在第 象限． 题型08：利用轴对称方式求坐标中的参数 【名师点拨】关于轴对称的两个点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数；反过来,纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于轴对称。 关于轴对称的两个点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数；反过来,纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于轴对称。 关于原点对称的两个点的坐标横纵坐标互为相反数；反过来，横纵坐标互为相反数两个点关于原点对称。 【例10】在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪训练】 1.已知点与点关于轴对称，则 ． 2.在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，则 ． 3.已知点和点关于坐标原点对称，则的值为 ． 4.已知点，． （1）、为何值时，点、关于轴对称？ （2）、为何值时，点、关于轴对称？ （3）、为何值时，点、关于原点对称？ 题型09：作图与计算 【例11】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于轴对称的； (3)把先向右平移个单位，再向下平移个单位得到，写出点的坐标． 【跟踪训练】 1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为． (1)作出关于y轴对称的，并写出两点的坐标； (2)求的面积． 【例12】如图，，，．将三角形向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到三角形． （1）画出三角形，并写出，，的坐标； （2）已知三角形内部一点的坐标为，若点随三角形一起平移，平移后点的对应点的坐标为，则________，_________； （3）求三角形的面积． 题型10：综合提升 【例13】在平面直角坐标系中，． (1)线段 ， ； (2)若点P从点B出发沿着y轴运动（点P不与点O、B点重合） 速度为每秒2个单位长度，连接，当运动的时间t为几秒时，? 并求出此时点P的坐标． 【例14】如图，已知点，满足，将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接． (1)请直接写出点A、B、C和D的坐标；(2)点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿y轴正方向平移运动，设运动时间为t秒，问当t值是多少时，的面积是12平方单位？ 【例15】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．的边在轴上，、、三点的坐标分别为、、，点从出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． （1）当时，_____．（用含的代数式表示）； （2）连接，设的面积为，当时，求值； （3）当在线段上运动时，是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标以及此时对应的值；若不存在，请说明理由． 【例16】定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，我们称点是点的等距平移点，其中为等距平移常量．例如：当时，点的等距平移点为．(1)①当等距平移常量时，点坐标为，则它的等距平移点的坐标为________；②若点坐标为，它的等距平移点的坐标为，则等距平移常量________． (2)若点在轴上，且它的等距平移点的坐标为，其中为等距平移常量，为坐标原点，求的面积；(3)点的等距平移点是，其中为等距平移常量，若，且其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍，求的值． 一、选择题 1.点向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．将点向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，内部有一点，若将先向右平移，再向下平移，平移后点对应点的坐标是．若点的坐标是，则平移后点对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5.已知点和关于x轴对称，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．无法确定 6．如图，正方形中顶点，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2024次变换后，正方形的顶点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7.在平面直角坐标系中有一点，将点先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，则平移后点的坐标为 ． 8．如图，点，点，线段平移后得到线段，若点，点，则的值是 ． 9．填空： （1）若点与点关于轴对称，则点的坐标为 ； （2）若点与点关于轴对称，则 ， ； （3）若点与点关于轴对称，则点的坐标为 ； （4）若点与点关于轴对称，则 ， ． 10．若点与点关于原点中心对称，则 ． 11．已知与点关于x轴对称，则 ． 12．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为，则点的坐标为 ． 13.已知点，则它关于轴的对称点的坐标是 ． 14．如图，第四象限正方形，且，，将正方形平移，使、两点分别落在两条坐标轴上，则平移后点的对应点的坐标是_______    15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C、D在x轴负半轴，将正方形平移得到正方形（点A、B、C、D的对应点分别是点、、、），若，，，则点的坐标为 ． 3、 解答题 16．在平面直角坐标系中，点的坐标为． （1）当时，点在平面直角坐标系的第 象限． （2）将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到点，当点正好在轴上时，求点的坐标． （3）在（2）的条件下，在轴上确定点，使得的面积为，直接写出点的坐标 ． 17.如图，已知． (1)分别画出与关于x轴、y轴对称的图形和； (2)写出和各顶点的坐标；(3)求的面积． 18.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)画出将绕原点顺时针旋转得到的． (2)画出关于原点成中心对称的，并直接写出点的坐标． (3)在直角坐标系坐标轴上是否存在点P，使得以，，P三点为顶点的三角形是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年八年级寒假班预修提升讲义 专题24.3 平移与轴对称 知识点一、用坐标表示平移 (1)点的平移 一般地，如果点 M(x,y)沿着与x轴或y轴平行的方向平移m(m>0)个单位长度，那么 向右平移所对应的点的坐标为(x+m,y); 向左平移所对应的点的坐标为(x-m,y); 向上平移所对应的点的坐标为(x,y+m); 向下平移所对应的点的坐标为(x,y-m). (2)图形的平移 ①在给定的平面直角坐标系中， 如果把一个图形向右(或向左)平移m(m>0)个单位长度，那么这个图形各个点的横坐标都加(或减)m; 如果把一个图形向上(或向下)平移m(m>0)个单位长度，那么这个图形各个点的纵坐标都加(或减)m. ②一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形和原来的图形形状、大小完全相同，且可以通过将原来的图形作一次平移得到. 要点：平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 知识点二、轴对称 1.点坐标的轴对称、原点对称 一般地，在平面直角坐标系中， 点M(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)； 点M(x,y)关y轴对称的点的坐标为(-x,y)； 点M(x,y)关原点对称的点的坐标为(-x,-y)。 2.图形的轴对称 如果两个图形关于x轴对称，那么这两个图形上各组对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；如果点(x,y) 在一个关于x轴对称的图形上，那么以(x,-y) 为坐标的点也在这个图形上. 如果两个图形关于y轴对称，那么这两个图形上各组对应点的纵坐标相 同，横坐标互为相反数；如果点(x,y) 在一个关于y轴对称的图形上，那么以(-x,y) 为坐标的点也在这个图形上. 题型01：求平移后点的坐标 【名师点拨】在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a，y）或（x－a，y）；将点（x，y）向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）或（x，y－b）． 【例1】已知点M的坐标为，将点M先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角坐标系中点的平移点向右平移个单位长度，则横坐标，向下平移个单位长度则纵坐标，即可得答案． 【解析】解：点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后的坐标为，即． 故选：B． 【跟踪训练】 1.点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的平移，掌握相关知识是解题的关键． 根据点的平移规律，左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移，纵坐标上加下减，横坐标不变，即可解答． 【详解】解：点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点． 故选C． 2.平面直角坐标系内，将点向右平移1个单位得到点B，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的平移，根据点的平移规则：左减右加，上加下减，进行求解即可． 【解析】解：将点向右平移1个单位得到点B， ∴； 故选C． 3．已知点A的坐标为，将点A向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标系下点的平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 利用点平移的坐标规律求解即可． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴将点A向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点的坐标是，即． 故选：A． 4.在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的平移规律，掌握点的平移规律：“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”是解题的关键． 根据点的平移规律解答即可． 【详解】将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度， 得到点的坐标是，即． 故选：D． 题型02：求平移前点的坐标 【名师点拨】平移后的点按原来平移方向反向平移，平移单位长度不变。 【例2】在平面直角坐标系中，若将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到的点的坐标为，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵将点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到的点的坐标为， ∴将坐标为的点先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度可得到点， ∴点坐标为，即．故选：A． 【跟踪训练】 1.将点向左平移个单位长度得到点，且在轴上，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将点向左平移个单位长度后点的坐标为 点在轴上，即，则点的坐标为．故选：． 2.在平面直角坐标系中，将点向左平移个4单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：由题知，将点向上平移3个单位长度后，所得点的坐标为， 再将点向右平移4个单位长度后，所得点的坐标为，即点的坐标是．故答案为：． 3.将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣2，5），则A点关于y轴的对称点坐标为 ． 【答案】（4，8） 【思路引导】设A（x，y），根据向下平移纵坐标减，向右平移横坐标加列方程求解，再根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【规范解答】解：设A（x，y）， ∵点A向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（−2，5）， ∴x＋2＝−2，y−3＝5， 解得x＝−4，y＝8， ∴点A的坐标为（−4，8）， ∴A点关于y轴的对称点坐标为（4，8）． 故答案为：（4，8）． 题型03：判断平移方式 【例3】在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到对应点，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加计算即可． 【详解】解：∵点向右平移m个单位长度，向上平移n个单位长度得到点， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 【跟踪训练】 1．在平面直角坐标系中，点平移后能与原来的位置关于轴对称，则应把点（ ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向下平移个单位 D．向上平移个单位 【答案】B 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】关于轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，根据平移前后对应点的坐标进行计算即可. 【详解】∵点平移后能与原来的位置关于轴对称， ∴平移后的坐标为 ∵横坐标增大 ∴点是向右平移得到，平移距离为 故选：B. 【点睛】此题主要考查坐标平移的性质，熟练掌握，即可解题. 2.把点平移到点，则下列平移路线正确的是（   ） A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B．先向下平移2个单位，再向右平移3个单位 C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D．先向上平移2个单位，再向右平移3个单位 【答案】B 【详解】解：点平移到点，表示点A向右平移3个单位，再向下平移2个单位．故选：B． 3．在平面直角坐标系内，将点先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点，则的值为（   ） A． B．0 C．2 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加解答． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故选：A． 题型04：求图形的平移后点的坐标 【名师点拨】在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度． 【例4】在平面直角坐标系中的位置如图所示．将向右平移6个单位得到，再将向下平移4个单位得到，请画出和，并写出点的坐标． 【答案】画图见解析；的坐标 【知识点】平移(作图)、已知图形的平移，求点的坐标 【分析】先根据点的平移规律求出点A、B、C对应点的坐标，再描点，然后顺次连接，则即为所求；同理求出的坐标即可画出． 【详解】解：如图所示：和即为所求； 的坐标． 【点睛】本题主要考查了画平移图形，坐标与图形变化—平移，熟知点坐标的平移规律是解题的关键． 【跟踪训练】 1．编队飞行（即平行飞行）的两架飞机A、B在坐标系中的坐标分别为、，当飞机A飞到指定位置的坐标是时，飞机B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，根据的坐标得到平移规律，再根据平移规律得到的坐标，掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：飞机A从飞到时，向右平移了个单位， ∴飞机从向右平移个单位到达，即， 故选：B． 2.在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，若把线段平移，A的对应点为，坐标为，则的坐标为 ． 【答案】 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标 【分析】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据A点的坐标及对应点的坐标可得线段向左平移1个单位，向上平移了1个单位，然后可得点的坐标． 【详解】解：平移后得到点的坐标为， 向左平移3个单位，向上平移了1个单位， 的对应点坐标为． 故答案为：． 3．在如图所示的平面直角坐标系内，画在透明胶片上的平行四边形，点的坐标是现将这张胶片平移，使点落在点处，则此平移可以是（ ） A．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 B．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 C．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 D．先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 【答案】C 【详解】解：根据的坐标是，点， 横坐标加，纵坐标减得出，故先向右平移个单位，再向下平移个单位，故选：C． 4.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移，使得点A平移到点，则平移后点B的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】解：点A的坐标为，点A平移到点， 故平移的方法为：向右平移2个单位，向上平移4个单位， 故将点向右平移2个单位，向上平移4个单位后，坐标为，故选：B． 5.如图，点A，B分别在x轴和y轴上，，若将线段平移至线段的位置，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵点A，B分别在x轴和y轴上，，∴点， ∵，∴点A向右平移3个单位到达点，点B向下平移1个单位到达点， ∴线段向右平移3个单位，再向下平移1个单位至线段的位置， ∴，∴．故选：B 题型05：求图形的平移前点的坐标 【例5】如图，，，，将线段平移，使点平移到点，点为点的对应点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，确定出平移规律是解题的关键．根据点、的坐标确定出平移规律，然后求解即可． 【详解】解：∵点的对应点是， ∴平移规律是横坐标减2，纵坐标加2， ∴点的对应点的坐标为． 故选：A． 【跟踪训练】 1.在平面直角坐标系中，将点向左平移个4单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，根据所给平移方式，将点进行反向平移即可解决问题． 【详解】解：由题知，将点向上平移3个单位长度后，所得点的坐标为， 再将点向右平移4个单位长度后，所得点的坐标为， 即点的坐标是． 故答案为：． 2.如图，，，．将三角形向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到三角形． (1)画出三角形，并写出，，的坐标； (2)已知三角形内部一点的坐标为，若点随三角形一起平移，平移后点的对应点的坐标为，则________，_________； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)，，，图见解析 (2)，0 (3) 【思路引导】本题考查作图一平移变换，熟练堂握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，即可得出答案； （2）由平移的性质可得，，进而可得答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【规范解答】（1）解：如图，三角形即为所求， 由图可得：，，； （2）∵点的对应点的坐标为， ∴，， ∴，， 故答案为：，0； （3）三角形的面积为 ． 题型06：求关于坐标轴或原点对称的点的坐标 【名师点拨】如果点的坐标为，那么点关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为． 【例6】在平面直角坐标系中，如果P点的坐标为，它关于y轴的对称点为，关于x轴的对称点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，利用点关于坐标轴对称的坐标变化规律：关于y轴对称，横坐标取相反数，纵坐标不变，关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标取相反数即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵关于y轴的对称点的横坐标为2，纵坐标为3， ∴， ∵关于x轴的对称点的横坐标为2，纵坐标为， ∴， 故选：A． 【例7】在平面直角坐标系中，点关于原点O对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，知道关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解决本题的关键． 关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵点关于原点对称， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 故选C． 【例8】把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】中心对称图形的识别、判断两个点是否关于原点对称 【分析】本题考查中心对称与坐标变化，做本题时需注意①关于x轴对称的图形，横坐标不变纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的图形，纵坐标不变横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数，根据把各点的横、纵坐标都乘得到关于原点对称，即可解题． 【详解】解：把各点的横、纵坐标都乘后，即各点关于原点对称， 得到的图形是关于原点对称的图形， 故选：C． 【跟踪训练】 1.在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，根据关于y轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数可以直接得到答案． 【详解】解：点关于y轴的对称点的坐标是：， 故选：C． 2．已知，，则点关于原点对称的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．利用非负数的性质求出和的值，再根据关于原点对称的点的坐标特征求解． 【详解】解：∵， 且，， ∴且， ∴，， ∴点的坐标为． 点关于原点对称的点的坐标为． 故选：B． 3.平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的坐标的特征：两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题的关键． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是． 故选：C． 题型07：确认对称的类型 【例9】平面直角坐标系内的点与点的位置关系是（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．无法确定 【答案】A 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的坐标．根据关于轴对称点的坐标特点：纵坐标互为相反数，横坐标不变可得答案． 【详解】解：平面直角坐标系内的点与点关于轴对称． 故选：A． 跟踪训练】 1．点和点在坐标平面内的关系是（    ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．没有对称关系 【答案】C 【知识点】判断两个点是否关于原点对称 【分析】根据点的横坐标和纵坐标均互为相反数即可做出判断． 【详解】解：∵点和点的横坐标和纵坐标都互为相反数， ∴点和点在坐标平面内的关系是关于原点对称． 故选：C 【点睛】此题考查了关于原点对称的点的特征，熟知关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数是解题的关键． 2．（1）和点关于 对称； （2）如果点在第三象限则点关于原点的对称点在第 象限． 【答案】 原点 二 【分析】（1）根据A、B两点的横纵坐标互为相反数，即可判断它们关于原点对称； （2）先根据A在第三象限即可确定，从而可以确定B所在的象限，再根据与原点对称的点的特点进行求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴A、B两点的横纵坐标互为相反数， ∴A、B两点关于原点对称； （2）∵点在第三象限， ∴， ∴， ∴在第四象限， ∴点B关于原点对称的点在第二象限， 故答案为：原点，二． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数． 题型08：利用轴对称方式求坐标中的参数 【名师点拨】关于轴对称的两个点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数；反过来,纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于轴对称。 关于轴对称的两个点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数；反过来,纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于轴对称。 关于原点对称的两个点的坐标横纵坐标互为相反数；反过来，横纵坐标互为相反数两个点关于原点对称。 【例10】在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】坐标系中的对称 【分析】本题考查的知识点是关于轴对称的点的特征，解题关键是熟练掌握关于轴对称的点的特征． 由“关于轴对称点的坐标，横坐标不变，纵坐标与该点纵坐标互为相反数”即可得解． 【详解】解：关于轴对称点的坐标，横坐标不变，纵坐标与该点纵坐标互为相反数， 若点与点关于轴对称，则，． 故选：． 【跟踪训练】 1.已知点与点关于轴对称，则 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了点坐标与轴对称“在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标相等”，熟练掌握点坐标与轴对称变换规律是解题关键．根据点坐标与轴对称变换规律可得，，求出的值，代入计算即可得． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， 解得， ∴， 故答案为：． 2.在平面直角坐标系中，点和点关于原点对称，则 ． 【答案】 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 直接利用关于原点对称点的性质，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，进而得出答案． 【详解】解：点和点关于原点对称， ， 解得：， ． 故答案为：． 3.已知点和点关于坐标原点对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，代数式求值，由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点求出，的值，然后代入求解即可，解题关键是掌握关于原点对称点的坐标规律． 解：∵点和点关于坐标原点对称， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 4.已知点，． （1）、为何值时，点、关于轴对称？ （2）、为何值时，点、关于轴对称？ （3）、为何值时，点、关于原点对称？ 【答案】（1），；（2），；（3）， 【分析】此题主要考查了关于坐标轴对称和关于原点对称的点的特征，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． （1）直接利用关于y轴对称的点的坐标特点得出关于m，n的等式求出答案； （2）直接利用关于x轴对称的点的坐标特点得出关于m，n的等式求出答案； （3）直接利用关于原点对称的点的坐标特点得出关于m，n的等式求出答案． 解：（1）解：∵点、关于轴对称， ∴，且， ∴，； （2）解：∵点、关于轴对称， ∴，且， ∴，； （3）解：∵点、关于原点对称， ∴，且， ∴，． 题型09：作图与计算 【例11】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点，的坐标分别为，． (1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于轴对称的； (3)把先向右平移个单位，再向下平移个单位得到，写出点的坐标． 【答案】(1)图形见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】平移(作图)、坐标与图形变化——轴对称、坐标系中的对称 【分析】本题考查平面直角坐标系，图形平移的知识，解题的关键是掌握平面直角坐标系中图形平移的性质，进行解答，即可． （1）根据，的坐标，，确定平面直角坐标系的原点，即可． （2）由（1）平面直角坐标系可得点的坐标，根据点关于对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数，得到点，，的坐标，依次连接，即可； （3）根据平移的规律，左减右加，上加下减，即可． 【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示． （2）解：∵点，， ∴关于轴对称的的坐标，，，，依次连接， ∴即为所求． （3）解：∵，，， ∴先向右平移个单位，再向下平移个单位得到， ∴， ∴． 【跟踪训练】 1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为． (1)作出关于y轴对称的，并写出两点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：． 【例12】如图，，，．将三角形向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到三角形． （1）画出三角形，并写出，，的坐标； （2）已知三角形内部一点的坐标为，若点随三角形一起平移，平移后点的对应点的坐标为，则________，_________； （3）求三角形的面积． 【答案】（1），，，图见分析；（2），0；（3） 【分析】本题考查作图一平移变换，熟练堂握平移的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图，即可得出答案； （2）由平移的性质可得，，进而可得答案． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 解：（1）解：如图，三角形即为所求， 由图可得：，，； （2）∵点的对应点的坐标为， ∴，， ∴，， 故答案为：，0； （3）三角形的面积为 ． 题型10：综合提升 【例13】在平面直角坐标系中，． (1)线段 ， ； (2)若点P从点B出发沿着y轴运动（点P不与点O、B点重合） 速度为每秒2个单位长度，连接，当运动的时间t为几秒时，? 并求出此时点P的坐标． 【答案】(1)2，6 (2)t为1秒或3秒；点P的坐标为或 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，两点之间的距离，根据三角形的面积求点的坐标等知识点，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． （1）利用数轴上两点之间的距离公式进行求解即可； （2）根据面积比确定底边的比，得出，分情况进行讨论即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴, 故答案为：2，6； （2）解：根据得，两个三角形同高，面积比等于底边的比， ∴, ∵， ∴当点位于轴正半轴时，或， 此时，或， ∴或； 当点位于轴负半轴时，不符合题意； ∴的值为1或3，点坐标为或． 【例14】如图，已知点，满足，将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接． (1)请直接写出点A、B、C和D的坐标；(2)点M从点O出发，以每秒2个单位的速度沿y轴正方向平移运动，设运动时间为t秒，问当t值是多少时，的面积是12平方单位？ 【答案】(1)，，，(2) 【详解】（1）解：∵，∴， ∴∴∴∴，， ∵线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段， ∴，， （2）即：，；解：由题意得：，， 由（1）得，，∴轴，即，则三角形的面积， ∵的面积是12平方单位，∴，解得， 即当秒时，的面积是12平方单位 【例15】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．的边在轴上，、、三点的坐标分别为、、，点从出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． （1）当时，_____．（用含的代数式表示）； （2）连接，设的面积为，当时，求值； （3）当在线段上运动时，是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点的坐标以及此时对应的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）1或4；（3）存在，或或． 【分析】本题考查等腰三角形的判定，勾股定理，坐标与图形性质，分类讨论思想．解题的关键是根据点的不同位置进行分类讨论． （1）由题意得时，，再由，可得结论； （2）分点在原点左侧和原点右侧两种情况讨论求解； （3）分三种情况，分别求得的长以及的长，即可得出所有点的坐标和的值． 解：（1）解：由题意，，， ∴当时，， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意，， 当点P在原点左侧时，，， ∴的面积， 由得， 当点P在原点右侧时，，， ∴的面积， 由得， 综上，t的值为1或4； （3）解：存在，题意，分三种情况： ①当时，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴，； ②当时，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴，； ③当时，是等腰三角形， 设，则， ∴，解得， ∴， ∴，． 综上，或或． 【例16】定义：在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，我们称点是点的等距平移点，其中为等距平移常量．例如：当时，点的等距平移点为．(1)①当等距平移常量时，点坐标为，则它的等距平移点的坐标为________；②若点坐标为，它的等距平移点的坐标为，则等距平移常量________． (2)若点在轴上，且它的等距平移点的坐标为，其中为等距平移常量，为坐标原点，求的面积；(3)点的等距平移点是，其中为等距平移常量，若，且其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍，求的值． 【答案】(1)①，②(2)(3)或或或3 【详解】（1）解： ①由定义，N的坐标为：， 故N的坐标为；故答案为：， 根据定义：，，解得； 检验：当时，，成立，故答案为：3． （2）设M为，根据定义，N的坐标为：，解得， ，，解得，， ，的坐标为， ，即N为， O为原点，． （3）N的坐标为，， ，；， 验证：，符合题意， 其中一个点到轴的距离等于另一个点到轴的距离的2倍， |或， 因，分情况讨论： 情况一： 即，分四种情况： ①：且（即），方程变为，解得 ，符合题意； ②：且（即） ，此时， 方程为：解得，，符合题意； ③：且（即） 此时， 方程为：，解得， 不合题意，舍去； ④：且（即且），矛盾，无解； 综上，情况一所有可能的a值为． 情况二： 即|，分四种情况： ①：且（即） ，方程变为，解得 ，符合题意； ②：且（即） 此时， 方程为：，解得，不合题意，舍去； ③：且（即） 此时，方程为：，解得， 符合题意； ④：且（矛盾），无解， 综上，情况二解为或．综上所述，的值为或或或3． 一、选择题 1.点向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形的平移变化，根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可． 【详解】解：点向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为 故选：D． 2．将点向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了坐标系中点的平移， 根据点的平移规律，向上平移改变y坐标，向左平移改变x坐标，依次计算即可． 【详解】点向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的点的坐标是． 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中，内部有一点，若将先向右平移，再向下平移，平移后点对应点的坐标是．若点的坐标是，则平移后点对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与平移，根据点和它的对应点的坐标，得到平移规则，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：∵点平移后的对应点的坐标是， ∴先向右平移2个单位，再向下平移4个单位， ∵点的坐标是， ∴平移后点对应的点的坐标是，即； 故选：C． 4．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标系中对称的点的坐标变化规律，理解横纵坐标的变化规律是解题关键．根据关于y轴对称点的坐标特征：横坐标取相反数，纵坐标不变即可求解。 【详解】解：关于轴的对称点的坐标为：， 故选：B． 5.已知点和关于x轴对称，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵点和关于x轴对称， ∴，解得，∴，故选：B． 6．如图，正方形中顶点，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2024次变换后，正方形的顶点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查坐标系上点的翻折，平移后点的坐标，依据要求正确求出变化后点的坐标是解题关键． 依次按要求变化后写出坐标，得出坐标与变化次数n的关系即可． 【详解】解：∵点，轴，且边长为2， ∴点的坐标为， 第1次变换后， 第2次变换后， 第3次变换后， 第4次变换后， …… 从而找到规律：当为奇数时，；当为偶数时，． ∴当时，． 故选B． 二、填空题 7.在平面直角坐标系中有一点，将点先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，则平移后点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查坐标与平移．根据点的平移规则：横坐标左减右，纵坐标上加下减，求解即可． 【详解】解：平面直角坐标系中有一点，将点先向上平移2个单位，再向右平移3个单位， ∴平移后点的坐标为，即：； 故答案为：． 8．如图，点，点，线段平移后得到线段，若点，点，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标系中的平移，根据给定的点的坐标，确定平移方式，进而求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：∵点，点，线段平移后得到线段，点，点， ∴点向右平移个单位，得到，点向下平移1个单位得到， 即将线段先向右平移个单位，再向下平移1个单位得到线段， ∴， ∴； 故答案为：． 9．填空： （1）若点与点关于轴对称，则点的坐标为 ； （2）若点与点关于轴对称，则 ， ； （3）若点与点关于轴对称，则点的坐标为 ； （4）若点与点关于轴对称，则 ， ． 【答案】 5 2 【分析】本题考查坐标与轴对称． （1）根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得出结果； （2）根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得出结果； （3）根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可得出结果； （4）根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可得出结果． 【详解】解：（1）若点与点关于轴对称，则点的坐标为， 故答案为：； （2）若点与点关于轴对称， 则，， ∴， 故答案为：；5； （3）若点与点关于轴对称，则点的坐标为； （4）若点与点关于轴对称，则，， 故答案为：2；． 10．若点与点关于原点中心对称，则 ． 【答案】 【分析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”列方程求出的值，然后代入计算即可得解． 【详解】解：∵点与点关于原点中心对称， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数得出的值是解题的关键． 11．已知与点关于x轴对称，则 ． 【答案】0 【分析】根据关于x轴对称，横不变，纵坐标互为相反数，列式解答即可． 本题考查了x轴对称的特点，求代数式的值，熟练掌握对称是解题的关键． 【详解】解：与点关于x轴对称， 故， 解得， 故， 故答案为：0． 12．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的变化—轴对称，解题的关键是掌握轴对称的性质． 关于轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此即可求解． 【详解】解：∵点关于轴对称的点的坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 13.已知点，则它关于轴的对称点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是． 故答案为：． 14．如图，第四象限正方形，且，，将正方形平移，使、两点分别落在两条坐标轴上，则平移后点的对应点的坐标是______    【分析】根据题意，分两种情况讨论：当平移后点的对应点在轴上，点的对应点在轴上时；当平移后点的对应点在轴上，点的对应点在轴上时；分别根据轴、轴上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论如下： 当平移后点的对应点在轴上，点的对应点在轴上时，则平移后点的纵坐标为0，点的横坐标为0， 在第四象限正方形中，，， ， 由点的纵坐标由到平移后为0，可知向上平移了个单位；由点的横坐标由到平移后为0，可知向左平移了个单位， 平移后点的对应点的纵坐标是， 平移后点的对应点的坐标是； 当平移后点的对应点在轴上，点的对应点在轴上时，则平移后点的横坐标为0，点的纵坐标为0， 在第四象限正方形中，，， ， 由点的横坐标可知向左平移了个单位，由点的纵坐标可知向上平移了个单位， 平移后点的对应点的横坐标是， 平移后点的对应点的坐标是； 综上所示，平移后点的对应点的坐标是或， 【点睛】本题主要考查图形的平移及平移特征，图形的平移与图形上某点的平移规律相同，解题的关键是掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减． 15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C、D在x轴负半轴，将正方形平移得到正方形（点A、B、C、D的对应点分别是点、、、），若，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与平移，根据点，，确定平移规则，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：∵，， ∴正方形先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到正方形， ∵， ∴，即：点的坐标为； 故答案为：． 3、 解答题 16．在平面直角坐标系中，点的坐标为． （1）当时，点在平面直角坐标系的第 象限． （2）将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到点，当点正好在轴上时，求点的坐标． （3）在（2）的条件下，在轴上确定点，使得的面积为，直接写出点的坐标 ． 【答案】（1）二；（2）（，0）；（3）（0，4）或（0，-4） 【知识点】坐标与图形、求点沿x轴、y轴平移后的坐标 【分析】（1）把a=-1，代入求出点M的坐标，即可判断． （2）利用平移的性质求出点N的坐标，再根据点N在x轴上，纵坐标为0，由此构建方程求解即可． （3）设P（0，m），构建方程求解即可． 【详解】解：（1）当a=-1时，M（-1，2）， ∴点M在第二象限， 故答案为：二． （2）∵点M（a，-2a）向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点N（a-2，-2a+1）， 又∵点N正好在x轴上时， ∴-2a+1=0， ∴a=， ∴N（，0）． （3）设P（0，m），由题意，×|m|=3， 解得m=±4， ∴P（0，4）或（0，-4）， 故答案为：（0，4）或（0，-4）． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，平移变换的性质，坐标系中点的特征等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 17.如图，已知． (1)分别画出与关于x轴、y轴对称的图形和； (2)写出和各顶点的坐标；(3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)三个顶点坐标分别为；三个顶点坐标分别为 (3)5 【详解】（1）解：作出的图形如下： （2）解：由图知，三个顶点坐标分别为；三个顶点坐标分别为； （3）解：． 18.如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)画出将绕原点顺时针旋转得到的． (2)画出关于原点成中心对称的，并直接写出点的坐标． (3)在直角坐标系坐标轴上是否存在点P，使得以，，P三点为顶点的三角形是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)或或或或或或 或或． 【详解】（1）解：如图，为所求； （2）解：如图，为所求，的坐标为； （3）解：由（2）图可得，．． 当点在轴上时，设， 若，则，解得，即． 若，则，解得．即或． 若，则， 两边平方得，即，解得或，即或． 当点在轴上时，设： 若，则，解得，即． 若，则，解得或，即或． 若，则，解得．即或． 综上，点P的坐标为或或或或或或 或或． 学科网（北京）股份有限公司 $