专题24.1.1 平面直角坐标系的引入 （4大知识点+9大题型+强化训练） 2025-2026学年沪教版（五四制）八年级寒假班预修提升讲义

2025-2026年八年级寒假班预修提升讲义 专题24.1.1 平面直角坐标系的引入 知识点一、确定平面上一个点的位置 定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．不同顺序的数对(4,5）与(5,4)表示的座位不同， 知识点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念 1. 平面直角坐标系 在平面上画两条互相垂直且有公共原点的数轴，建立一个直角坐标系.这两条数轴称为坐标轴，通常分别记为x轴与y轴.这两条数轴的公共原点称为该坐标系的原点，通常记为O. 坐标系记作平面直角坐标系xOy。 平面上两条互相垂直的数轴确定了平面直角坐标系.习惯上，分别在水平和竖直方向画出这两条坐标轴，如图所示.水平方向的坐标轴称为横轴，记作x轴，正方向向右；竖直方向的坐标轴称为纵轴，记作y轴，正方向向上.如无特别说明，两条坐标轴的单位长度是一致的. 2. 点的坐标 平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2. （1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开． （2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. (3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的． 知识点三、坐标平面 1. 象限 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图． 坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限． 2. 坐标平面的结构 坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. 知识点四、点坐标的特征 1.各个象限内点的坐标符号规律 2.象限的角平分线上点坐标的特征 第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)； 第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)． 题型01：用有序数对表示位置 【名师点拨】在平面上，有序实数对（a,b）都有一个点与之对应，反之，平面内任意一个点也有唯一对应一个有序实数对与之对应. 【例1】根据下列表述，不能确定位置的是（    ） A．东经，北纬 B．杭州市采荷路2号 C．北偏东 D．音乐厅第2排第6座 【答案】C 【分析】本题考查位置确定的必要条件． 选项A、B、D均能唯一确定一个点，而选项C仅表示方向，缺乏参考点，无法确定具体位置． 【详解】解：A．选项的经纬度坐标能唯一确定地球上的一个点； B．选项的具体地址能唯一确定一个建筑位置； C．选项“北偏东”只给出了方向，未指定起始点和距离，因此不能确定具体位置； D．选项的座位号能唯一确定音乐厅内的一个座位； 故选：C． 【跟踪训练】 1．如果将电影票“排号”简记为，那么“排号”可简记为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用有序数对表示位置，根据题意可知有序数对左边的数表示排，右边的数表示号，据此求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵电影票“排号”简记为， ∴“排号”可简记为， 故答案为：． 2．根据下列表述，能确定某地点位置的是（   ） A．万达影院第2排 B．黄河东路 C．北偏东25° D． 【答案】D 【详解】A、仅给出排数，未说明具体座位号，无法确定唯一位置，不符合题意； B、仅给出道路名称，未说明门牌号或交叉路口，无法精确定位，不符合题意； C、仅给出方向，未提供距离，无法确定具体点不符合题意； D、经纬度（东经，北纬）是地理坐标的两个参数，可唯一对应地球上的一个点符合题意；选：D． 3.小李、小王、小张、小谢原位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（　　） A．小王现在位置为第3排第2列 B．小李现在位置为第1排第4列 C．小谢现在位置为第4排第3列 D．小张现在位置为第4排第1列 【答案】B 【详解】解：A． 小王现在位置为第2排第3列，故A选项错误，不符合题意； B． 小李现在位置为第1排第4列，故B选项正确，符合题意； C． 小谢现在位置为第4排第4列，故C选项错误，不符合题意； D． 小张现在位置为第3排第2列，故D选项错误，不符合题意．故选：B． 题型02：写出直角坐标系中点的坐标 【名师点拨】写点的坐标方法：过这个点作坐标轴的垂线，在x轴上表示的数为a，在y轴上表示的数为b,则用（a,b）表示这个点的坐标。 【例2】如图，试写出坐标平面内各点的坐标． 解：A： ； B： ；C： ；D： ；E： ；F： 。 【答案】见解析 【详解】解：由图可知：，，，，，． 【跟踪训练】 1．如图，点A的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系，根据点A在坐标系中的位置即可解答． 【详解】解：根据平面直角坐标系可知，点A的坐标为． 故选：C． 2.在平面直角坐标系中，点A，B，C，D，E的位置如图． （1）分别写出点A，B，C，D，E的坐标． （2）在平面直角坐标系内，描出点． 【答案】（1）．； （2） 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题的关键是正确结合坐标系分析． （1）直接利用平面直角坐标系得出各点坐标即可； （2）根据平面直角坐标系中点的位置的确定方法找出各点的位置，然后描出即可． 解：（1）解： （2）解：如图所示： <> 3.如图，四边形在平面直角坐标系中，根据要求回答下列问题：(1)点A的坐标为________，点B的横坐标为________，纵坐标为________； (2)坐标为的是点________，在第________象限；(3)横、纵坐标互为相反数的是点________． 【答案】(1)，，3；(2)C，三；(3)D． 【详解】（1）由图可知，点A的坐标为，点B的横坐标为，纵坐标为3；故答案：，，3； （2）解：由图可知，坐标为的是点C，在第三象限；故答案为：C，三； （3）解：由图可知，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为， 只有点D的横、纵坐标互为相反数，故答案为：D． 4.如图是某学校在平面直角坐标系中的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是．(1)写出图中食堂、图书馆和宿舍楼的位置； (2)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置． 【答案】(1)食堂、图书馆，宿舍楼 (2)见解析 【详解】（1）解：根据平面直角坐标系得：食堂、图书馆，宿舍楼． （2）解：如图所示． 题型03：坐标系中描点 【名师点拨】描点的方法：若一个点的坐标为（a,b）则过x轴上表示a的点作垂线，过y轴上表示b的点作垂线，其交点就是要描的点 【例3】在平面直角坐标系中描出下列各点：A（2.5,-5）、B（4,3)、C(-3,1）、D（-4,一2)、E(0,4） 解析：如图，在x轴上找出2.5所对应的点M，在√轴上找出一5所对应的点N.过点M作x轴的垂线，过点N作y轴的垂线，这两条垂线的交点就是A. 类似地，请你在图24-1-7中描出点B、C、D、E. 【跟踪训练】 1.在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点： A（5,3）、B（-4,0)、C（-2,4)、D(3.5,-3）、E（-3,-2.5）. 【答案】图略 2.如图，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D、E、F、G均在正方形网格的格点（小正方形的顶点）上，建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为和． (1)在图中画出平面直角坐标系； (2)写出点C、D、E、F、G的坐标． 【答案】(1)作图见解析 (2)、、、、 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查直角坐标系的定义以及图形与坐标，掌握直角坐标系的定义是解题的关键． （1）利用点B和点A的坐标画出直角坐标系； （2）根据点的坐标的意义即可得到点C、D、E、F、G的坐标． 【详解】（1）解：建立直角坐标系如图所示 （2）、、、、 题型04：判断点所在的象限 【名师点拨】平面直角坐标系中象限的坐标符号特征：在平面直角坐标系中，第一象限的点的坐标特征为，第二象限为，第三象限为，第四象限为． 【例4】若实数a，b满足等式，则点一定在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：，又，， ，，，，点在第二象限，故选： 【例5】如果点在第二象限，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，确定出、的符号情况是解题的关键． 根据点在第二象限，确定出、的符号情况，然后再求出点的横坐标与纵坐标的符号情况即可进行判断． 【详解】解：点在第二象限， ， ，； 故点在第三象限； 故选：C 【跟踪训练】 1．在下列所给出坐标的点中，在第二象限的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查坐标系中点的坐标特点，根据平面直角坐标系各象限点的坐标符号特征，第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正即可判断． 【解答】解：∵ 第二象限的点坐标符号为， ∴ 点的横坐标为负，纵坐标2为正，符合第二象限特征， 故选B． 2.在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：点的横坐标大于0，纵坐标小于0， 点在第四象限． 故选：D． 3．已知在第四象限，则在第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了点的坐标，根据在第四象限，得出，再得出，，即可得出答案，熟记各象限内点的坐标的符号是解题的关键． 【详解】解：∵在第四象限， ∴， ∴，， ∴在第二象限， 故答案为：二． 4.若，且点在第二象限，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，平方根，点的坐标， 熟记坐标系中各象限点的坐标符号特征是解题的关键；根据绝对值和平方根的定义分别求出a，b值，再根据第二象限点的坐标特征求解即可． 【详解】解：， ， 点在第二象限， ， ， 故选：B． 题型05：已知点所在的象限求参数 【例6】在平面直角坐标系中，点在第三象限，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握第三象限点的坐标特征是解题的关键．第三象限的点，横坐标和纵坐标均为负数，据此即可解答． 【解答】点在第三象限， 横坐标，纵坐标， ，即， 故选：A． 【跟踪训练】 1.已知点在第二象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵点在第二象限，∴，解得，故答案为：． 2.点在第三象限，且点的横纵坐标均为整数，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为点P在第三象限，所以，解得． 又因为点的横纵坐标均为整数，所以， 则，，所以点的坐标为，故选：B． 题型06：象限角平分线上的点 【名师点拨】平面直角坐标系中象限角平分线上坐标特征：在一三象限角平分线上的点横坐标等于纵坐标相等，在二四象限角平分线上的点横坐标等于纵坐标互为相反数. 【例7】点在第二，四象限角平分线上，则 ． 【答案】 【分析】此题考查象限角平分线上点坐标特点，一、三象限角平分线上点的纵横坐标相等；二，四象限角平分线上点的纵横坐标互为相反数．第二、四象限角平分线上点的坐标互为相反数，据此列出关于a的方程求解． 【详解】解：∵点在第二，四象限角平分线上， ∴， ． 故答案为： 【跟踪训练】 1.在平面直角坐标系中，已知点，若点M在两坐标轴的角平分线上，则m的值为（    ） A． B． C．或 D．2或4 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，分点M在第一、三和第二、四象限的角平分线上两种情况，结合角平分线上点的坐标特征求解即可． 【详解】解：当点在第一、三象限的角平分线上时， ∴， 解得，， 当点在第二、四象限的角平分线上时， ∴， 解得，， 综上，点M在两坐标轴的角平分线上时，m的值为2或4， 故选：D． 【答案】 2.已知点在第二、四象限的角平分线上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意知：，解得：，∴，故选：A． 3.若点在第一、三象限的角平分线上，则点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得：，解得：； 当时，，∴点P的坐标为，故选：A． 4.在平面直角坐标系中，已知点，若点M在x轴上，则点M坐标 ． 【答案】 【详解】解：点在x轴上，，， ，点M坐标为．故答案为：． 题型07：点到坐标轴的距离 【名师点拨】平面内一点到横轴的距离等于纵坐标的绝对值，到纵坐标的距离等于横坐标的绝对值，如图：点到轴的距离为,到的距离为。 【例8】已知点在x轴上方，在y轴左侧，则点A到x轴、y轴的距离分别为（       ） A．2b，3a B．2b， C．，3a D．， 【答案】B 【详解】解：∵ 点在轴上方，在轴左侧，∴ 点在第二象限，∴ ，． ∵ 点到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值， ∴ 点到轴的距离为，到轴的距离为．故选：B． 【例9】在平面直角坐标系中，点到x轴的距离为 ． 【答案】 7 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值． 【详解】解：点到轴的距离为， 故答案为：7． 【例10】平面直角坐标系中有一点，若点到两坐标轴的距离相等，则x的值为 ． 【答案】或0 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，根据点到坐标轴的距离为横纵坐标的绝对值，结合题意，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，， 解得或； 故答案为：或0． 【跟踪训练】 1．在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标性质，解题的关键是注意不要将点到两坐标轴的距离混淆．根据点到轴的距离为横坐标的绝对值，依此求解即可． 【详解】解：∵点的坐标是， ∴点到轴的距离为． 故选：C． 2.在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：点到轴的距离是， 故选：． 3点 ，则点 到 轴的距离为 ． 【答案】 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，解题的关键是：点到轴的距离等于横坐标的绝对值，到轴的距离等于纵坐标的绝对值．点到轴的距离等于横坐标的绝对值． 【详解】解：点到轴的距离， 故答案为：． 题型08：已知点到坐标轴距离求坐标 【名师点拨】若点则：点到轴距离为的绝对值，点到轴距离为的绝对值． 【例11】已知点坐标为且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分点的横坐标与纵坐标相等和互为相反数两种情况讨论求解即可． 【详解】由题意得： 或， 解得：或， 当时，点， 当时，点， 综上所述：或， 故选：． 【点睛】此题考查了点的坐标，解题的关键是分情况讨论点的所处象限． 【例12】在平面直角坐标系中，已知点，试分别根据下列条件，求出点A的坐标． (1)点A的纵坐标比横坐标小2． (2)点A到两坐标轴的距离相等． 【答案】(1)点A的坐标为； (2)A的坐标为或 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】（1）根据点A的纵坐标比横坐标小2，列出方程解方程即可求解； （2）根据点A到两坐标轴的距离相等，横坐标与纵坐标相等或互为相反数，列出方程解方程即可求解． 【详解】（1），解得， ，， ∴点A的坐标为． （2）依题意，得或， 解得或， 将代入A中，点A为， 将代入A中，点A为． 综上，点A的坐标为或 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离，掌握坐标的意义是解题的关键． 【跟踪训练】 1.点P在第二象限，且到x轴、y轴的距离分别是3和5，则点P关于x轴的对称点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查各象限内的点的坐标特征、点到坐标轴的距离、关于轴对称的点的坐标特征，解题关键是熟练掌握各个知识点的具体意义． 由点在第二象限，可得横纵坐标的符号，再由点到轴、轴的距离是 3 和 5 ，可得纵坐标的绝对值为 3 ，横坐标的绝对值为 5 ，可求出点的坐标，再求出点关于轴的对称点坐标即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴ P点的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∵P点到轴、轴的距离是 3 和 5 ， ∴P点的坐标为， ∴P点关于轴的对称点坐标是， 故选：A． 2．在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴、y轴的距离分别为4和3，则点M的坐标为（    ） A．（4，-3） B．（3，-4） C．（-3，4） D．（-4，3） 【答案】B 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】根据点M在第四象限，则有点M的横坐标大于0，纵坐标小于0，进而根据到坐标轴的距离求解即可． 【详解】由点M在第四象限，则有点M的横坐标大于0， 纵坐标小于0，点M到x轴、y轴的距离分别为4、3， 所以点M的坐标为； 故选B． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系点的坐标，熟练掌握各象限的点坐标特点求点的坐标是解题的关键． 3.若点P在第三象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是，则点P的坐标是 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查点的坐标的确定，掌握点到坐标轴的距离有关知识是解题的关键． 根据到轴的距离得到点的纵坐标的绝对值，到轴的距离得到点的横坐标的绝对值，进而根据所在象限判断出具体坐标即可． 【详解】解：点P在第三象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是， ， 故答案为：． 题型09：综合提升 【例13】已知的三个顶点的坐标分别为，求的面积． 【答案】12.5 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，熟练掌握网格中三角形的面积的求解方法是解题的关键．利用所在的长方形的面积减去四周三个直角三角形的面积列式计算即可得解． 解：的面积 ． 【例14】如图是游乐园的一角． (1)如果用表示跳跳床的位置，那么跷跷板用数对___________表示，碰碰车用数对___________表示，摩天轮用数对___________表示． (2)请你在图中标出秋千的位置，秋千在大门以东，再往北处． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了用有序实数对表示位置，数形结合是解题的关键． （1）在数对中前面的数表示列，后面的数表示行； （2）因每个格子表示米，所以秋千的位置是． 【解析】（1）解：如果用表示跳跳床的位置，那么跷跷板用数对表示，碰碰车用数对表示，摩天轮用数对表示； 故答案为：； （2） 【例15】已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． (1)如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； (2)如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）过点作轴于点D，证明，得到，，即可得到的坐标； （2）证明，得到，，根据线段的和差即可得到 【详解】（1）解：过点作轴于点D， 的坐标是，点的坐标是， ，， 轴， ， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ； （2）解：，理由如下： 轴， ，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ． 一、选择题 1．下列情形不能确定物体位置的是（　　） A．802班5排5列 B．华一中路5号 C．北偏东 D．东经，北纬 【答案】C 【分析】本题考查了确定一个物体的位置，要用一个有序数对，即用两个数据； 选项A、B、D均能唯一确定一个点，而选项C只提供方向，缺少距离，无法确定具体位置． 【详解】解：∵ A、802班5排5列表示教室内的具体座位，能确定位置，故此选项不符合题意； ∵ B、华一中路5号表示具体地址，能确定位置，故此选项不符合题意； ∵ C、北偏东仅表示方向，无距离参考，不能确定位置，故此选项符合题意； ∵ D、东经，北纬表示地理坐标，能唯一确定位置，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，下列各点中位于第一象限的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号特征．根据四个象限的符号特点：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，可得答案． 【详解】解：A．点在第二象限，故不符合题意； B．点在第一象限，符合题意； C．点在第三象限，故不符合题意； D．点在第二象限，故不符合题意； 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点到x轴的距离的计算，解题的关键是掌握“点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值”这一基本规律． 【详解】平面直角坐标系中，点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值．点 A 的坐标为，其纵坐标为，绝对值是，因此点A 到 x 轴的距离是 4． 故选：B． 4．若，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了象限坐标特征，解题的关键是掌握该特征． 根据点的坐标符号判断象限，横纵坐标均负则在第三象限． 【详解】解：∵， ∴ 点 的横坐标， 纵坐标，即， ∴ 点在第三象限， 故选：C． 5在平面直角坐标系中，点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题考查点横纵坐标与所在象限的关系，判定点P的横纵坐标的符号即可得解． 【详解】∵，，， ∴点一定在第四象限， 故选：D． 6．下列说法正确的是(   ) A．和表示同一个点 B．点在x轴的正半轴上 C．点在第四象限 D．点到x轴的距离为3 【答案】B 【分析】根据坐标的特点直接判断即可． 【解析】A．和表示两个点，所以A选项错误； B．点在x轴的正半轴上，所以B选项正确； C．点在第二象限，所以C选项错误； D．点到x轴的距离为1，所以D选项错误； 故选：B 【点睛】此题考查平面直角坐标系，解题关键是明确点的表示方式，和坐标轴上的点和象限点的特点，以及点到坐标轴的距离． 二、填空题 7．点在第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了点所在的象限的判断，熟练掌握每个象限点的特征是解题的关键．根据每个象限点的坐标特征直接判断即可． 【详解】解：∵点， ∴点在第二象限． 故答案为：二 ． 8．若点在第二象限，则m的取值范围是__________ 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各象限点的坐标特征，熟记各象限内点的坐标符号，是解题的关键．根据第二象限内点坐标特征列出不等式组，求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是． 9.平面直角坐标系内，点在第二象限，则点在第 　三　象限． 【答案】三． 【考点】点的坐标 【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数求出、的正负情况，再求解即可． 【解答】解：点在第二象限， ，， ，， 点在第三象限． 故答案为：三． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 10．已知点的坐标满足条件，则点在第_________象限 【分析】本题主要考查了非负数的性质，判断点所在的象限，根据非负数的性质得到，则，再根据每个象限内点的坐标特点即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴在第四象限， 11．点在第四象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征． 根据第四象限点的坐标特征，横坐标为正，纵坐标为负，列出不等式组求解 【详解】解：点在第四象限， 则横坐标，纵坐标， 解得：，， 所以a的取值范围为． 故答案为：． 12．点在第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标为_______ 【分析】此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征和点到坐标轴的距离． 点在第二象限，其横坐标为负，纵坐标为正，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值． 【详解】设点的坐标为， 点距离轴个单位长度， ，即， 点距离轴个单位长度， ，即， 又点在第二象限， ，， ，， 点的坐标为． 13．已知点到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，且，则点P的坐标为______ 【分析】由题意得：，，再根据可得，即，写出符合条件的点P的坐标即可． 【解析】由题意得：，，即，， ∵， ∴， ∴， ∴当时，或当时，， ∴点P的坐标是或. 【点睛】本题关键在于由点到坐标轴的距离推出点的横纵坐标． 3、 解答题 14．请同学们自己动手画出平面直角坐标系，并在图中描出下列各点：A（-5，-3），B（4，0），C（4，2），D（0，-3），E（-6，2），F（1，-4）． 【答案】见解析 【分析】根据平面直角坐标系的定义以及点的坐标解答即可． 【详解】解：如图所示： ． 【点睛】本题考查了点的坐标，解题时要注意准确描出点的坐标，由点的坐标确定图形的位置． 15.完成下列各题： (1)写出图中各点的坐标．(2)描出点． (3)顺次连接各点，围成的封闭图形是什么图形，并计算它的面积． 【答案】(1)(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）解：由题意得；（2）解：如图所示； （3）解：如图所示，四边形是正方形，它的面积是． 16．（1）点到x轴的距离是 ，到y轴的距离是 ； （2）设点A到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且点A在坐标平面的右半平面，则A点的坐标为 ； （3）已知P点坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是 ； （4）已知点在第二象限的角平分线上，则a的值是 ． 【答案】 9 6 ， 【分析】（1）点到轴的距离是 到轴的距离是，根据性质直接可得答案； （2）由点A到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，求解 再由点A在坐标平面的右半平面，可得＞ 则 从而可得答案； （3）由点P到两坐标轴的距离相等，可得再解方程可得答案； （4）由第二象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数列方程可得答案. 【解析】解：（1）点到x轴的距离是，到y轴的距离是； （2） 点A到x轴的距离是2，到y轴的距离是3， 点A在坐标平面的右半平面， ＞ 则 A点的坐标为 （3） P点坐标为， 或 解得：或 点P的坐标是或 （4） 点在第二象限的角平分线上， 故答案为：（1）；（2）；（3）或；（4） 【点睛】本题考查的是坐标系内点的坐标特点，点到坐标轴的距离，掌握点到轴的距离是 到轴的距离是是解题的关键. 17．已知当m， n都是实数，且满足2m = 8 + n时，称P(m ，n+2)为“开心点”．例如点A(6，6)为“开心点”． 因为当A(6，6)时，m = 6， n +2= 6， 得m = 6，n=4， 所以2m = 2 × 6 = 12， 8 + n = 8 + 4 = 12， 所以2m = 8+n． 所以A(6，6)是“开心点． （1）判断点B(4，5) (填“是”或“不是”）“开心点”； （2）若点M(a，a-1)是“开心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由． 【答案】（1）不是；（2）点M在第一象限，理由见解析． 【知识点】判断点所在的象限 【分析】（1）根据A、B点坐标，代入(m ，n+2)中，求出m和n的值，然后代入2m=8+n检验等号是否成立即可； （2）直接利用“开心点”的定义得出a的值进而得出答案． 【详解】解：（1）（4，5）不是“开心点”，理由如下， 当B(4，5)时，m=4，n+2＝5， 解得m=4，n=3， 则2m=2×4=8，8+n=8+3=11， 所以2m≠8+n， 所以点B（4，5）不是“开心点”； （2）点M在第一象限，理由如下： ∵点M（a，a-1）是“开心点”， ∴m=a，n+2＝a-1， ∴m=a，n=a-3， 代入2m=8+n有2a=8+a-3， ∴a=5，a-1=4， ∴M（5，4）， 故点M在第一象限． 【点睛】本题主要考查了点的坐标，正确掌握“开心点”的定义是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年八年级寒假班预修提升讲义 专题24.1.1 平面直角坐标系的引入 知识点一、确定平面上一个点的位置 定义：把有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)．不同顺序的数对(4,5）与(5,4)表示的座位不同， 知识点二、平面直角坐标系与点的坐标的概念 1. 平面直角坐标系 在平面上画两条互相垂直且有公共原点的数轴，建立一个直角坐标系.这两条数轴称为坐标轴，通常分别记为x轴与y轴.这两条数轴的公共原点称为该坐标系的原点，通常记为O. 坐标系记作平面直角坐标系xOy。 平面上两条互相垂直的数轴确定了平面直角坐标系.习惯上，分别在水平和竖直方向画出这两条坐标轴，如图所示.水平方向的坐标轴称为横轴，记作x轴，正方向向右；竖直方向的坐标轴称为纵轴，记作y轴，正方向向上.如无特别说明，两条坐标轴的单位长度是一致的. 2. 点的坐标 平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b)，如图2. （1）表示点的坐标时，约定横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用“，”隔开． （2）点P(a，b)中，|a|表示点到y轴的距离；|b|表示点到x轴的距离. (3) 对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序数对是一一对应的． 知识点三、坐标平面 1. 象限 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，如下图． 坐标轴x轴与y轴上的点(包括原点)不属于任何象限． 2. 坐标平面的结构 坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限. 这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点. 知识点四、点坐标的特征 1.各个象限内点的坐标符号规律 2.象限的角平分线上点坐标的特征 第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)； 第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)． 题型01：用有序数对表示位置 【名师点拨】在平面上，有序实数对（a,b）都有一个点与之对应，反之，平面内任意一个点也有唯一对应一个有序实数对与之对应. 【例1】根据下列表述，不能确定位置的是（    ） A．东经，北纬 B．杭州市采荷路2号 C．北偏东 D．音乐厅第2排第6座 【跟踪训练】 1．如果将电影票“排号”简记为，那么“排号”可简记为 ． 2．根据下列表述，能确定某地点位置的是（   ） A．万达影院第2排 B．黄河东路 C．北偏东25° D． 3.小李、小王、小张、小谢原位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（　　） A．小王现在位置为第3排第2列 B．小李现在位置为第1排第4列 C．小谢现在位置为第4排第3列 D．小张现在位置为第4排第1列 题型02：写出直角坐标系中点的坐标 【名师点拨】写点的坐标方法：过这个点作坐标轴的垂线，在x轴上表示的数为a，在y轴上表示的数为b,则用（a,b）表示这个点的坐标。 【例2】如图，试写出坐标平面内各点的坐标． 解：A： ； B： ；C： ；D： ；E： ；F： 。 【跟踪训练】 1．如图，点A的坐标是（   ）    A． B． C． D． 2.在平面直角坐标系中，点A，B，C，D，E的位置如图． （1）分别写出点A，B，C，D，E的坐标． （2）在平面直角坐标系内，描出点． 3.如图，四边形在平面直角坐标系中，根据要求回答下列问题：(1)点A的坐标为________，点B的横坐标为________，纵坐标为________； (2)坐标为的是点________，在第________象限；(3)横、纵坐标互为相反数的是点________． 4.如图是某学校在平面直角坐标系中的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是．(1)写出图中食堂、图书馆和宿舍楼的位置； (2)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置． 题型03：坐标系中描点 【名师点拨】描点的方法：若一个点的坐标为（a,b）则过x轴上表示a的点作垂线，过y轴上表示b的点作垂线，其交点就是要描的点 【例3】在平面直角坐标系中描出下列各点：A（2.5,-5）、B（4,3)、C(-3,1）、D（-4,一2)、E(0,4） 【跟踪训练】 1.在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点： A（5,3）、B（-4,0)、C（-2,4)、D(3.5,-3）、E（-3,-2.5）. 2.如图，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D、E、F、G均在正方形网格的格点（小正方形的顶点）上，建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为和． (1)在图中画出平面直角坐标系； (2)写出点C、D、E、F、G的坐标． 题型04：判断点所在的象限 【名师点拨】平面直角坐标系中象限的坐标符号特征：在平面直角坐标系中，第一象限的点的坐标特征为，第二象限为，第三象限为，第四象限为． 【例4】若实数a，b满足等式，则点一定在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例5】如果点在第二象限，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【跟踪训练】 1．在下列所给出坐标的点中，在第二象限的是（   ） A． B． C． D． 2.在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知在第四象限，则在第 象限． 4.若，且点在第二象限，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型05：已知点所在的象限求参数 【例6】在平面直角坐标系中，点在第三象限，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知点在第二象限，则m的取值范围是 ． 2.点在第三象限，且点的横纵坐标均为整数，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 题型06：象限角平分线上的点 【名师点拨】平面直角坐标系中象限角平分线上坐标特征：在一三象限角平分线上的点横坐标等于纵坐标相等，在二四象限角平分线上的点横坐标等于纵坐标互为相反数. 【例7】点在第二，四象限角平分线上，则 ． 【跟踪训练】 1.在平面直角坐标系中，已知点，若点M在两坐标轴的角平分线上，则m的值为（    ） A． B． C．或 D．2或4 2.已知点在第二、四象限的角平分线上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3.若点在第一、三象限的角平分线上，则点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 4.在平面直角坐标系中，已知点，若点M在x轴上，则点M坐标 ． 题型07：点到坐标轴的距离 【名师点拨】平面内一点到横轴的距离等于纵坐标的绝对值，到纵坐标的距离等于横坐标的绝对值，如图：点到轴的距离为,到的距离为。 【例8】已知点在x轴上方，在y轴左侧，则点A到x轴、y轴的距离分别为（       ） A．2b，3a B．2b， C．，3a D．， 【例9】在平面直角坐标系中，点到x轴的距离为 ． 【例10】平面直角坐标系中有一点，若点到两坐标轴的距离相等，则x的值为 ． 【跟踪训练】 1．在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点到轴的距离为（    ） A． B． C． D． 2.在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（   ） A． B． C． D． 3点 ，则点 到 轴的距离为 ． 题型08：已知点到坐标轴距离求坐标 【名师点拨】若点则：点到轴距离为的绝对值，点到轴距离为的绝对值． 【例11】已知点坐标为且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【例12】在平面直角坐标系中，已知点，试分别根据下列条件，求出点A的坐标． (1)点A的纵坐标比横坐标小2． (2)点A到两坐标轴的距离相等． 【跟踪训练】 1.点P在第二象限，且到x轴、y轴的距离分别是3和5，则点P关于x轴的对称点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴、y轴的距离分别为4和3，则点M的坐标为（    ） A．（4，-3） B．（3，-4） C．（-3，4） D．（-4，3） 3.若点P在第三象限，且到x轴的距离是3，到y轴的距离是，则点P的坐标是 题型09：综合提升 【例13】已知的三个顶点的坐标分别为，求的面积． 【例14】如图是游乐园的一角． (1)如果用表示跳跳床的位置，那么跷跷板用数对___________表示，碰碰车用数对___________表示，摩天轮用数对___________表示． (2)请你在图中标出秋千的位置，秋千在大门以东，再往北处． 【例15】已知，是等腰直角三角形，，A点在x轴负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方． (1)如图1所示，若A的坐标是，点B的坐标是，求点C的坐标； (2)如图2，过点C作轴于D，请直接写出线段之间等量关系． 一、选择题 1．下列情形不能确定物体位置的是（　　） A．802班5排5列 B．华一中路5号 C．北偏东 D．东经，北纬 2．在平面直角坐标系中，下列各点中位于第一象限的是（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 4．若，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5在平面直角坐标系中，点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．下列说法正确的是(   ) A．和表示同一个点 B．点在x轴的正半轴上 C．点在第四象限 D．点到x轴的距离为3 二、填空题 7．点在第 象限． 8．若点在第二象限，则m的取值范围是__________ 9.平面直角坐标系内，点在第二象限，则点在第 　三　象限． 10．已知点的坐标满足条件，则点在第_________象限 11．点在第四象限，则a的取值范围是 ． 12．点在第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标为_______ 13．已知点到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，且，则点P的坐标为______ 3、 解答题 14．请同学们自己动手画出平面直角坐标系，并在图中描出下列各点：A（-5，-3），B（4，0），C（4，2），D（0，-3），E（-6，2），F（1，-4）． 15.完成下列各题： (1)写出图中各点的坐标．(2)描出点． (3)顺次连接各点，围成的封闭图形是什么图形，并计算它的面积． 16．（1）点到x轴的距离是 ，到y轴的距离是 ； （2）设点A到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且点A在坐标平面的右半平面，则A点的坐标为 ； （3）已知P点坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是 ； （4）已知点在第二象限的角平分线上，则a的值是 ． 17．已知当m， n都是实数，且满足2m = 8 + n时，称P(m ，n+2)为“开心点”．例如点A(6，6)为“开心点”． 因为当A(6，6)时，m = 6， n +2= 6， 得m = 6，n=4， 所以2m = 2 × 6 = 12， 8 + n = 8 + 4 = 12， 所以2m = 8+n． 所以A(6，6)是“开心点． （1）判断点B(4，5) (填“是”或“不是”）“开心点”； （2）若点M(a，a-1)是“开心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $