精品解析：山东德州市2025-2026学年高三上学期1月期末数学试题

高三数学试题 2026.1 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1—2页，第Ⅱ卷3—4页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上. 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 若，其中是虚数单位，则的虚部为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】给复数的分子分母同乘分母的共轭复数进行化简，得到标准形式后，直接取作为虚部. 【详解】，则的虚部为. 故选：D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求解绝对值不等式和一元二次不等式，再利用交集定义计算. 【详解】由可得，则； 又由可得或，则或 则. 故选：A. 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式、平面向量模的坐标表示公式，结合充分性和必要性的定义进行运算判断即可. 【详解】当时，， 当时，因为，所以不成立， 当时，因为，所以成立， 因此由不一定能推出. 当时，则有，此时， 所以由能推出， 因此“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用扇形的弧长公式，结合圆锥的结构特征计算即得. 【详解】因圆锥的底面半径为，则其底面周长为， 又圆锥的母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为. 故选：B. 5. 从标有1，2，3，4，5的5个小球中随机摸取3个，则摸到的3个小球上数字之和是3的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出取3个小球的结果总数，再找出之和为3的倍数的情况，然后求其概率. 【详解】从袋中的5个小球中取出3个小球，共有种情况， 取出小球之和为3的倍数情况为：，共4种情况， 所以取出之和为3的倍数的概率： 故选：C 6. 已知，是方程的两个实根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用根与系数的关系求出，利用变角的方法将转化为，利用两角和的正切公式求解即可得解. 【详解】，是方程的两个实根， ， ， ，. 故选：C. 7. 在无线通信（如路由器信号）中，信号强度会随着传播距离增加而衰减，是信号强度值（单位：分贝，dB），为信号传播距离（单位：米），表示工作频率（单位：MHz），某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号衰减公式可近似为：（，为常数），若工作频率不变，距离缩减一半，信号强度值约增加dB；当时，dB，若dB，信号传播距离与工作频率之间的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件列方程组求出，再令解方程即可. 【详解】由题意可知，，得， 则， 解方程，得，即. 故选：A 8. 已知函数，存在，，满足，令，若，则在上的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】结合三角函数的范围可得的范围，从而得到，由，令, 将问题转化为求的最大值，结合导数研究即可求解. 【详解】函数，则，,所以, 若存在，，满足，则， 则,即， 则,即， 所以令， 由， 因为 所以，令, 则, 则, 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以在上的最大值为, 故选：C 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的分部分分，有选错的得0分．） 9. 在长方体中，已知，与平面所成的角为，则（ ） A. B. 四面体的体积为 C. 与平面所成的角为 D. 二面角所成角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用长方体的几何性质，结合勾股定理求出相关边长进而判断选项A；利用四面体体积公式计算体积判断选项B，利用线面角的性质计算判断选项C；利用二面角的性质等分析、计算，判断选项D． 【详解】 ，则，， 在长方体中，平面， 与平面所成的角为， ， ， ， ， 在长方体中，， ，故A错误； ， ，， ，故B正确； 平面，即为与平面所成的角， ， ，故，故C正确； 选项D：连接，则二面角即为平面与平面所成的角，设为， 由长方体的性质可知，即为二面角所成的角，即 ，故D错误． 故选：BC． 10. 已知函数，则（ ） A. 曲线是中心对称图形 B. 当在上单调递增时， C. 当的极小值为时， D. 当时，若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】设函数，根据其奇偶性以及函数图象的平移变换，可判断A；求出函数的导数，根据单调性与导数的关系可判断B；根据极值与导数的关系可判断C；利用作差法判断的大小关系，结合函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，设函数，定义域为R，满足， 即为奇函数，其图象关于原点对称； ，其图象是由的图象向右平移1个单位得到的， 所以的对称中心为，即曲线是中心对称图形，A正确； 对于B，，则， 当在上单调递增时，在R上恒成立， 即在R上恒成立，由于，故，B错误； 对于C，函数的定义域为，导函数， 当时，，函数为增函数，无极值，与条件矛盾， 当时，令可得，或， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数取极小值， 极小值为， 由已知得，即，所以，C正确； 对于D，因为， 又，所以，即， 又因为时，函数在R上单调递增， 所以，D正确； 故选：ACD 11. 已知抛物线，的准线与轴交于点，过焦点的直线与交于、两点，点在第一象限，连接、，则（ ） A. 面积的最小值为 B. 若，则的倾斜角为60° C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意可以判断直线的斜率有两种情况：一种情况不存在斜率；另一种存在斜率且不为零，所以设直线的方程可设为.对于A：根据三角形面积公式，结合一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行运算判断即可；对于B：根据锐角三角函数定义，结合一元二次方程根与系数关系、直线斜率与倾斜角的关系进行运算判断即可.对于C：根据抛物线的定义，结合锐角三角形定义进行运算判断即可；对于D：根据三角形的面积公式，结合直线斜率公式进行运算判断即可. 【详解】对于A：由抛物线的标准方程可得焦点的坐标为，且， 根据题意可设直线的方程为，与抛物线的方程联立，得 ， 显然， 设，因为点在第一象限， 所以， 因此有， ， 显然当时，面积有最小值，所以本选项说法正确； 对于B：分别过作轴，轴，垂足分别为， 因为，， 所以， 因为，所以， 所以由， ， 当时，，所以直线的斜率为， 所以若，则的倾斜角为60°或120°， 因为点在第一象限，所以的倾斜角为60°，本选项说法正确； 对于C： ，当时取等号，所以本选项说法不正确； 对于D：， 因为， 所以. 因为 所以， 由题意可知，所以， 因此， 所以，因此本选项结论正确； 故选：ABD 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知是奇函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先判断函数的定义域，然后由奇函数的性质列方程求解. 【详解】根据指数函数性质，，则， 即奇函数的定义域为， 由，故， 即，即， 则 ，即  对任意  恒成立， 当  时，有 ，即  所以. 故答案为： 13. 在的展开式中，的系数为-10，各项系数之和为-1，则含项的系数为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可根据二项式展开式中的系数以及各项系数之和，列出关于的方程，即可求得答案. 【详解】由题意得，在的展开式中的系数为， 令，得各项系数之和为，则为奇数，且， 即得，所以含项的系数为 故答案为： 14. 已知圆，从圆上任意一点向轴作垂线，为垂足，点满足，此时的轨迹为椭圆，则椭圆的标准方程为________；若椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的面积为________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】设点，点，根据向量的坐标运算，结合，可得，利用点在圆上，代入化简，即可求得第一空答案；设，利用正弦定理可表示出，再结合，即可求出，从而求出，利用三角形面积公式即可求得第二空答案. 【详解】设点，点，因为是P向x轴作垂线的垂足，所以， 已知，， 可得，即， 因为点在圆上，所以将代入圆的方程可得：， 化简得，即椭圆的标准方程为； 由椭圆，可得，则， 所以椭圆的左右焦点，那么， 设，则， 在中，根据三角形内角和为π，可得， 由正弦定理得， 所以， 又，故，即， 而 ， 则，由于， 故，即， 得，结合，解得， 则，故， ， 故， 故的面积为， 故答案为：； 四、解答题（本题共5小题、共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知数列的首项为2，前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）已知，记数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） （2） 由题得，则 因为，则，所以， 易得为递增数列，故，即， 故，得证. 【解析】 【分析】（1）通过退步作差即，再使用累加法即可求的通项公式； （2）根据题意化简后使用裂项相消得到的通项公式，并结合数列的增减性即可求证. 【小问1详解】 由题得，且，则有， 递推后联立，得， 化简得，即，故， 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 略 16. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”在高二某班作了一次调查，若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生追星”，“抽取的学生是女生”，且，，． （1）求； （2）若该班有45名同学，请完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星是否与性别有关？ 追星 不追星 合计 男生 女生 合计 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 公式：，其中． 【答案】（1） （2） 追星 不追星 合计 男生 10 20 30 女生 10 5 15 合计 20 25 45 依据的独立性检验，认为中学生追星和性别有关. 【解析】 【分析】（1）由条件概率公式列方程组，结合即可得解； （2）根据（1）的结果先完成列联表，然后由独立性检验的过程求解. 【小问1详解】 根据条件概率公式， ， ， 由， 则， 则， 代入，解得 【小问2详解】 由，总人数人，则女生有人； 由可知追星人数一共人； 由可知，追星的人中女生占一半，因此追星的男生女生各人， 则不追星的女生是人，不追星的男生是人，表格如下： 追星 不追星 合计 男生 10 20 30 女生 10 5 15 合计 20 25 45 零假设为：中学生追星与性别无关， 又， 故依据的独立性检验，认为中学生追星和性别有关. 17. 已知菱形中，，，为中点，如图一所示，现将沿着折起，使得点到达点，如图二所示． （1）当时，证明：平面平面； （2）当时，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 在菱形中，由，得是正三角形，由为中点，得， 在图二中，，由，得， 又平面，因此平面，由，得平面， 又平面，所以平面平面. （2）． 【解析】 【分析】（1）利用菱形的性质，线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （2）取中点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得平面，取的中点为，连接，由，得为正三角形， 则，作，则平面，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 18. 已知函数，曲线在处的切线斜率为1． （1）求实数的值； （2）当时，总有，求的最小值； （3）已知且，证明：． 【答案】（1）； （2）； （3） ，， 当时，，解得，则在上是单调递增函数， 当时，，解得，则在上是单调递减函数， 则当时，取最小值，且最小值为， ，， 当时，， ，不妨设， 要证，即证， ，， ， ， 在上是单调递增函数， 只需证，即证明， ，， 设， ， ， ，， ， 设，对称轴为， ，在范围内为单调递增函数， ， ，， 在上是单调递减函数， ， ， ，，， ， ， ，， . 【解析】 【分析】（1）求出，，由曲线在处的切线斜率为1，得到， 计算求出的值. （2）由得到，即恒成立，讨论和，当时，转化为恒成立，构造函数，求，构造函数，求出，由得到从而得到，继而得到，故在上是单调递减函数，求出，从而得到，即，故得到的最小值. （3）利用导数法求出的单调性，通过的单调性得到的最小值， 由不妨设，要证，即证，即证明，即证明，设，利用导数法结合二次函数得到在上是单调递减函数，从而得到，由得到，即，得证. 【小问1详解】 ， ， ， 曲线在处的切线斜率为1， ，，，. 【小问2详解】 ，，， ，， 恒成立， 当时，此不等式恒成立，此时； 当时，转化为恒成立， 设， 当时，转化为恒成立， ， ， ， 设， ， ，，，函数在上单调递减， 当时，，即， ，， ， ， 在上是单调递减函数， ， 其中由洛必达法则可得， 故， ，， 当时，转化为恒成立， ，的最小值为. 【小问3详解】 略 19. 已知双曲线的左右顶点为，，且，双曲线的一条渐近线的斜率为，过点的直线交双曲线于，两点（其中在第一象限，且，异于点），为坐标原点． （1）求双曲线的标准方程； （2）过分别作，的垂线，垂足分别为，，记，的面积为，，若，求的最大值； （3）设圆上一点处的切线．若与双曲线左右两支分别交于，，问是否为定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）是，定值为 【解析】 【分析】（1）利用已知条件，求出，进而求出双曲线方程； （2）设直线方程，联立双曲线方程，利用韦达定理结合三角形面积公式求出，再利用基本不等式求最大值； （3）求出切线方程，联立双曲线方程，利用韦达定理计算求解． 【小问1详解】 双曲线左右顶点为，，且， ，解得， 双曲线的一条渐近线的斜率为，即，解得， 双曲线的方程为． 【小问2详解】 设直线，联立双曲线方程得，整理得， 设，则， ，设，则， ， ， 是在上的投影， ， 的方程为， ，故，同理， ，令， ，当且仅当时等号成立， ，即的最大值为． 【小问3详解】 设点，则， 由切线的性质可知，设直线的斜率为， ， ， 直线的方程为：， 整理得，即， 联立双曲线得， 设，由韦达定理得， ，即， ， ， 是定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试题 2026.1 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1—2页，第Ⅱ卷3—4页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上. 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 若，其中是虚数单位，则的虚部为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 2. 已知集合，，则（ ） A. B. 或 C. D. 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为（ ） A. B. C. D. 5. 从标有1，2，3，4，5的5个小球中随机摸取3个，则摸到的3个小球上数字之和是3的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是方程的两个实根，则（ ） A. B. C. D. 7. 在无线通信（如路由器信号）中，信号强度会随着传播距离增加而衰减，是信号强度值（单位：分贝，dB），为信号传播距离（单位：米），表示工作频率（单位：MHz），某路由器信号在自由空间（无遮挡、无干扰）中，信号衰减公式可近似为：（，为常数），若工作频率不变，距离缩减一半，信号强度值约增加dB；当时，dB，若dB，信号传播距离与工作频率之间的关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，存在，，满足，令，若，则在上的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的分部分分，有选错的得0分．） 9. 在长方体中，已知，与平面所成的角为，则（ ） A. B. 四面体的体积为 C. 与平面所成的角为 D. 二面角所成角的余弦值为 10. 已知函数，则（ ） A. 曲线是中心对称图形 B. 当在上单调递增时， C. 当的极小值为时， D. 当时，若，则 11. 已知抛物线，的准线与轴交于点，过焦点的直线与交于、两点，点在第一象限，连接、，则（ ） A. 面积的最小值为 B. 若，则的倾斜角为60° C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知是奇函数，则________． 13. 在的展开式中，的系数为-10，各项系数之和为-1，则含项的系数为________． 14. 已知圆，从圆上任意一点向轴作垂线，为垂足，点满足，此时的轨迹为椭圆，则椭圆的标准方程为________；若椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的面积为________． 四、解答题（本题共5小题、共77分、解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知数列的首项为2，前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）已知，记数列的前项和为，求证：． 16. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”在高二某班作了一次调查，若从该班级中随机抽取1名学生，设“抽取的学生追星”，“抽取的学生是女生”，且，，． （1）求； （2）若该班有45名同学，请完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星是否与性别有关？ 追星 不追星 合计 男生 女生 合计 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 公式：，其中． 17. 已知菱形中，，，为中点，如图一所示，现将沿着折起，使得点到达点，如图二所示． （1）当时，证明：平面平面； （2）当时，求平面与平面所成角的余弦值． 18. 已知函数，曲线在处的切线斜率为1． （1）求实数的值； （2）当时，总有，求的最小值； （3）已知且，证明：． 19. 已知双曲线的左右顶点为，，且，双曲线的一条渐近线的斜率为，过点的直线交双曲线于，两点（其中在第一象限，且，异于点），为坐标原点． （1）求双曲线的标准方程； （2）过分别作，的垂线，垂足分别为，，记，的面积为，，若，求的最大值； （3）设圆上一点处的切线．若与双曲线左右两支分别交于，，问是否为定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $