8.4乘法公式（第2课时平方差公式）（教学课件）数学新教材苏科版七年级下册

该初中数学课件聚焦平方差公式，通过正方形剪拼活动导入，先计算剩余面积得a² - b²，再拼成长方形得(a+b)(a-b)，建立几何与代数联系，作为学习支架帮助学生理解公式推导。 其亮点是融合几何直观与代数推理，剪拼活动培养抽象能力和几何直观（数学眼光），典例中301×299构造公式、多项式整体代换等发展运算能力（数学思维），口诀“一同一反，平方相减”与小结梳理特征，助学生构建知识结构，教师可借多样题型提升教学效率。

8.4.2 乘方公式 ——平方差公式 第八章 整式乘法 学 习 目 标 1 2 理解平方差公式的几何背景和推导过程 能借助口诀牢记平方差公式，并熟练运用于计算 平方差公式 新知探究 1. 如图，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b ( b < a )的小正方形，计算剩余部分的面积。 活 动 解：剩余部分的面积为：a2 - b2。 a b 新知探究 2. 如图，将剩余部分剪开拼成一个长方形。计算这个长方形的面积。 活 动 解：长方形的面积为： ( a + b ) ( a - b )。 a b b a - b a - b 新知探究 3. 由上述操作，你能得到怎样的等式？ 活 动 解：a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b )。 4. 你还有其他方法计算剩余部分的面积吗？ 新知探究 一般地，对于任意的a，b，由多项式乘多项式法则可以得到 ( a + b ) ( a - b ) = a2 - ab + ba - b2 = a2 - b2 多项式乘多项式法则 新知探究 知识要点 平方差公式： ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2。 口诀：一同一反，平方相减。 如何记忆 相同数 相反数 平方相减 新知探究 平方差公式有什么特点？ 讨 论 解：① 左边是两个二项式相乘，且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ② 右边是相同项的平方 - 相反项的平方。 典例分析 解：( 1 ) ( 5x + y ) ( 5x - y ) = ( 5x )2 - y2 = 25x2 - y2； ( 2 ) ( m + 2n ) ( 2n - m ) = ( 2n + m ) ( 2n - m ) = ( 2n )2 - m2 = 4n2 - m2； 典例3 用平方差公式计算： ( 1 ) ( 5x + y ) ( 5x - y )； ( 2 ) ( m + 2n ) ( 2n - m )； ( 3 ) ( 3y - x ) ( - x - 3y )。 ( 5x + y ) ( 5x - y ) ( a + b ) ( a - b ) 典例分析 ( 3 ) ( 3y - x ) ( - x - 3y ) = ( - x + 3y ) ( - x - 3y ) = ( - x )2 - ( 3y )2 = x2 - 9y2。 典例3 用平方差公式计算： ( 1 ) ( 5x + y ) ( 5x - y )； ( 2 ) ( m + 2n ) ( 2n - m )； ( 3 ) ( 3y - x ) ( - x - 3y )。 ( - x + 3y ) ( - x - 3y ) ( a + b ) ( a - b ) 方法技巧 解题关键： 牢记平方差公式。 新知探究 知识要点 注意： 公式中的a、b可是具体数，也可以是单项式或多项式。 典例分析 解：301 × 299 = ( 300 + 1 ) × ( 300 - 1 ) = 3002 - 12 = 89 999。 典例4 用平方差公式计算：301 × 299。 方法技巧 解题关键： 构造平方差公式简化运算。 新知探究 知识要点 乘法公式： 完全平方公式、平方差公式通常叫作乘法公式。 典例分析 解：( 1 ) ( x - 3 ) ( x +3 ) ( x2 + 9 ) = ( x2 - 9 ) ( x2 + 9 ) = x4 - 81； ( 2 ) ( 2x + 3 )2 ( 2x - 3 )2 = [ ( 2x + 3 ) ( 2x - 3 ) ]2 = ( 4x2 - 9 )2 = 16x4 - 72x + 81。 典例5 计算： ( 1 ) ( x - 3 ) ( x +3 ) ( x2 + 9 )； ( 2 ) ( 2x + 3 )2 ( 2x - 3 )2。 逆用积的乘方运算性质： anbn = ( ab )n 典例分析 解：( 1 ) ( 2a + b ) ( b - 2a ) - ( a - 3b )2 = ( b - 2a ) ( b - 2a ) - ( a - 3b )2 = b2 - 4a2 - ( a2 - 6ab + 9b2 ) = - 5a2 + 6ab - 8b2； 典例6 计算： ( 1 ) ( 2a + b ) ( b - 2a ) - ( a - 3b )2； ( 2 ) ( x + y + 4 ) ( x + y - 4 )。 典例分析 ( 2 ) ( x + y + 4 ) ( x + y - 4 ) = [ ( x + y ) + 4 ] [ ( x + y ) - 4 ] = ( x + y )2 - 42 = x2 + 2xy + y2 - 16。 典例6 计算： ( 1 ) ( 2a + b ) ( b - 2a ) - ( a - 3b )2； ( 2 ) ( x + y + 4 ) ( x + y - 4 )。 把x + y看成整体。 新知探究 如何用平方差公式计算( x + y - 3 ) ( x - y + 3 )？ 探 究 解： ( x + y - 3 ) ( x - y + 3 ) = [ x + ( y - 3 ) ] [ x - ( y - 3 ) ] = x2 - ( y - 3 )2 = x2 - ( y2 - 6y + 9 ) = x2 - y2 + 6y - 9。 题型探究 平方差公式的几何背景 题型一 【例1】如图，将一个边长为a的正方形，剪掉一个边长为b的小正方形后，剩余部分沿对角线分成 I 和 II 两部分，I 和 II 可以拼成一个长方形，此操作过程能验证的公式是（　　） A．( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2 B．( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 C．( a - b )2 = a2 - 2ab + b2 D．( a - b )2 = a2 + 2ab - b2 解：由题意可得：大正方形减去小正方形后的面积为：a2 - b2， 长方形面积为：( a + b ) ( a - b )， ∴( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2。 A 题型探究 【例2-1】下列等式成立的是（　　） A．( - x - 1) ( - x - 1 ) = x2 - 2x + 1 B．( - x + 1 ) ( - x + 1 ) = - x2 - 2x + 1 C．( 1 + x ) ( - x + 1 ) = 1 - x2 D．( - x + 1 ) ( - x - 1 ) = - x2 - 1 利用平方差公式计算 题型二 C 解：A．( - x - 1) ( - x - 1 ) = ( - x - 1 )2 = ( x + 1 )2 = x2 + 2x + 1，✖️； B．( - x + 1 ) ( - x + 1 ) = ( - x + 1 )2 = ( x - 1 )2 = x2 - 2x + 1，✖️； C．相同项：1，相反项：x与-x，( 1 + x ) ( - x + 1 ) = 12 - x2 = 1 - x2，√； D．相同项：-x，相反项：1与-1，( - x + 1 ) ( - x - 1 ) = ( - x )2 - 12 = x2 - 1，✖️。 题型探究 【例2-2】计算： ( 1 ) ( 3a - b ) ( 3a + b ) ( 9a2 + b2 )； ( 2 ) ( a + 3b )2 ( a - 3b )2； ( 3 ) ( 2x + y + 3 ) ( 2x - y + 3 )。 利用平方差公式计算 题型二 解：( 1 ) ( 3a - b ) ( 3a + b ) ( 9a2 + b2 ) = ( 9a2 - b2 ) ( 9a2 + b2 ) = 81a4 - b4； ( 2 ) ( a + 3b )2 ( a - 3b )2 = [ ( a + 3b ) ( a - 3b ) ]2 = ( a2 - 9b2 )2 = a4 - 18a2b2 + 81b4。 题型探究 【例2-2】计算： ( 1 ) ( 3a - b ) ( 3a + b ) ( 9a2 + b2 )； ( 2 ) ( a + 3b )2 ( a - 3b )2； ( 3 ) ( 2x + y + 3 ) ( 2x - y + 3 )。 利用平方差公式计算 题型二 ( 3 ) ( 2x + y + 3 ) ( 2x - y + 3 ) = [ ( 2x + 3 ) + y ] [ ( 2x + 3 ) - y ] = ( 2x + 3 )2 - y2 = 4x2 + 12x + 9 - y2。 题型探究 【例3】计算：997 × 1 003。 利用平方差公式巧算 题型三 解：997 × 1 003 = ( 1 000 - 3 ) × ( 1 000 + 3 ) = 10002 - 32 = 1 000 000 - 9 = 999 991。 题型探究 【例4】若a - b = 6，a2 - b2 = 48，则a + b的值为（　　） A．8 B．-8 C．6 D．-6 根据平方差公式求参 题型四 解：∵a - b = 6，a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b ) = 48， ∴6( a + b ) = 48， ∴a + b = 8。 A 题型探究 【例5】先化简，再求值：( 2a + 3b ) ( -2a + 3b ) + ( a + b )2 + ( a - b )2， 其中a = 1，b = -2。 根据平方差公式化简求值 题型五 解：( 2a + 3b ) ( -2a + 3b ) + ( a + b )2 + ( a - b )2 = ( 3b + 2a ) ( 3b - 2a ) + a2 + 2ab + b2 + ( a2 - 2ab + b2 ) = 9b2 - 4a2 + 2a2+ 2b2 = -2a2 + 11b2， 当a = 1，b = -2时，原式 = -2 × 1 + 11 × 4 = 42。 【小结论】 ( a + b )2 + ( a - b)2 = 2a2+ 2b2。 课堂小结 平方差公式： ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2。 口诀：一同一反，平方相减。 注意：公式中的a、b可是具体数，也可以是单项式或多项式。 乘法公式： 完全平方公式、平方差公式通常叫作乘法公式。 感谢聆听! $