专题03 二次函数中的含参压轴问题（B22或B23）（专项训练）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第三章 函数 专题03 二次函数中的含参压轴问题（B22或B23） 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：二次函数的最值（含参）（中考地位：B22或B23） 类型1：“定轴动区间”型最值 解｜题｜技｜巧 定轴是指二次函数的对称轴固定不变，动区间是指二次函数的自变量的取值范围不固定。 “定轴动区间”型最值处理核心是分情况讨论对称轴和区间（自变量的取值范围）的位置关系来求最值‌。 解题通法（定轴动区间） 1）确定对称轴‌：先写出对称轴方程。 2）分情况讨论‌：根据对称轴与动区间的位置关系分三类： （1）对称轴在区间左侧‌： ①若二次函数开口向上，则函数在区间内单调递增，最小值在左端点，最大值在右端点。 ②若二次函数开口向下，则函数在区间内单调递减，最小值在右端点，最大值在左端点。 （2）对称轴在区间右侧‌： ①若二次函数开口向上，则函数在区间内单调递减，最小值在右端点，最大值在左端点。 ②若二次函数开口向下，则函数在区间内单调递增，最小值在左端点，最大值在右端点。 （3）对称轴在区间内‌： 顶点为最值点（开口向上为最小值，开口向下为最大值），另一最值在离对称轴较远的端点。 1．（2025·成都·模拟预测）已知为二次函数．①若此二次函数图像开口向下，则a值为 ②在①条件下，若时，满足，则m的值为 2．（2025·成都·校考二模）对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为 ． 3．（25-26九年级上·成都·月考）已知抛物线，当，抛物线的最小值为，则的值为 ． 类型2：“动轴定区间”型最值 解｜题｜技｜巧 “定轴动区间”‌是二次函数对称轴固定，但求最值的区间在变化（比如自变量取值范围含参数）。 处理方法与“定轴动区间”型最值一致，都需要分类讨论。具体方法见类型1：“定轴动区间”型最值的处理技巧。 1．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）已知函数（b为常数），时，函数的最大值与最小值之差为25，则b的值为 ． 2．（2025·内蒙古·模拟预测）已知二次函数（为常数），当时，函数有最大值，则的值为（   ） A． B．1或 C．或 D．1或 3．（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式．(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．(3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 类型3：其他含参最值 1．（2025·四川成都·一模）若二次函数 满足∶ 当时，，则称这个二次函数是上的“封闭二次函数”．已知是上的“封闭二次函数”，且图象过点和，则 ；若二次函数是上的“封闭二次函数”，其图象过点和，则a的取值范围是 ． 2．（24-25九年级下·成都·期中）若某抛物线的函数解析式为，已知，为正整数，为整数，，且当 时，有，则抛物线的函数解析式为 ． 3．（25-26九年级上·成都·期中）已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差不大于10，则满足条件的整数a共有 个． 4．（2025·山东枣庄·模拟预测）已知点，是抛物线上不同的两点，当时，y的取值范围是，则m的取值范围是 ． 考点二：二次函数增减性与对称性综合含参问题（中考地位：B22） 类型1：动态函数值比较大小含参 1．（25-26九年级上·山东德州·月考）如果，，都在二次函数的图象上，且．则的取值范围是（　　） A． B．或 C． D．或 2．（2025·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，设抛物线的对称轴为点，是抛物线上两个点，当时，对的每一个值，总存在，使得，，且成立，则的取值范围为 ． 3．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，若二次函数图象上存在，两点，当时，满足，则m的取值范围为 ． 4．（24-25九年级下·成都·月考）已知两点，都在抛物线上． （1）若，，则 ；（用含的代数式表示） （2）若对于实数，（，），都有，则的取值范围是 ． 5．（2025·浙江·二模）关于的函数，当时，．若，则（　　） A． B． C．1 D．1 类型2：二次函数轴对称性或增减性含参问题 1．（2025·安徽蚌埠·一模）抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海·月考）定义：如果两条抛物线均经过线段两个端点，那么称这两条抛物线是“关于线段的相伴抛物线”．已知抛物线与抛物线是“关于线段的相伴抛物线，且点、点的坐标分别为，．若抛物线与抛物线在直线与直线之间的部分均是上升的，那么的取值范围为 ． 3．（2025·四川乐山·二模）有二次函数，且等式恒成立．(1)求的值；(2)当时，该二次函数满足随的增大而减小，求的取值范围；(3)是否存在这样的实数，使得同时满足下列两个条件：①关于的方程（其中）恰好有四个不同的实数解；②函数的图象与轴的两个相异交点都在直线的左侧．若存在，请求出的取值或取值范围；若不存在，请说明理由． 考点三：二次函数的系数与图象的关系（中考地位：A8或B21、B22） 类型1：二次函数的系数与图象的关系（A类） 解｜题｜技｜巧 二次函数与各项系数之间的关系 1）抛物线开口的方向可确定a的符号：抛物线开口向上，a＞0；抛物线开口向下，a＜0 2）对称轴可确定b的符号（需结合a的符号）： 对称轴在x轴负半轴，则＜0 ，即ab＞0；对称轴在x轴正半轴，则＞0 ，即ab＜0 3）与y轴交点可确定c的符号：与y轴交点坐标为（0，c）， 交于y轴负半轴，则c＜0；交于y轴正半轴，则c＞0 4）特殊函数值符号（以x=1的函数值为例）： 若当x=1时，若对应的函数值y在x轴的上方，则a+b+c＞0；若对应的函数值y在x轴上方，则a+b+c=0；若对应的函数值y在x轴的下方，则a+b+c＜0； 5）其他辅助判定条件： 1）顶点坐标；2）若与x轴交点，，则可确定对称轴为：x=； 3）韦达定理： 具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。 1．（2025·四川成都·二模）已知抛物线的图象及对称轴如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·二模）如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，下列说法正确的是（   ）    A． B．对称轴为直线 C．关于的方程有两个不相等的实数根 D． 3．（2025·四川成都·一模）二次函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．对称轴为直线 B．的最小值为 C．对应的函数值为 D．当时，则 4．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A． B．当时，的值随值的增大而减小 C．点的坐标为 D． 5．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．阴影部分的面积为4 类型2：二次函数的系数与图象的关系（B类） 1．（24-25九年级上·成都·校考期末）抛物线（，，是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：①；②；③若，则关于的一元二次方程有实数解；④若点，在抛物线上，，若对于任意的都有使得，则的取值范围为，其中正确的是 （填序号）． 2．（2025·四川成都·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴的交点坐标为，，有下列结论：①；②若点，，均在该二次函数的图象上，则；③若方程的两个实数根为，且，则；④若m为任意实数，则．其中正确的结论有 （填序号）． 3．（2025·成都·校考一模）如图，矩形中，O为平面直角坐标系的原点，，过A、C两点的抛物线与x轴交于点E、F，顶点为点D． 下列结论：①；②的面积为；③关于x的不等式的解集为；④对称轴上存在一点P，当的值最小时，点P坐标为；其中正确的结论有 （填序号）． 4．（2025·四川广元·一模）抛物线与轴交于点，顶点坐标与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②若，是抛物线上两点，则；③关于的方程有两个不相等的实数根；④对于任意实数，总成立；⑤．其中结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2025·成都·模拟预测）已知抛物线（a，b，c是常数）经过，下列四个结论：①若此抛物线顶点在第四象限，则；②若抛物线经过，则对称轴为直线； ③若函数的图象与x轴只有一个公共点，则； ④，点在此抛物线上，且，若恒有，则或．其中正确的结论是 （填序号）． 类型3：二次函数的系数与图象的关系（C类） 1．（2025·成都·模拟预测）已知关于的二次函数的图象经过点，，，且，对于以下结论：①；②；③对于自变量的任意一个取值，都有；④在中存在一个实数，使得，其中结论正确的是 ．（只填写序号） 2．（25-26九年级上·成都·月考）如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与y轴的交点坐标是且有下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，当时，则t的取值范围为或其中正确的结论序号是 ． 3．（25-26九年级上·成都·月考）已知二次函数（m为常数，且）．下列五个结论：①该函数图象经过点；②若，则当时，随的增大而增大；③该函数与轴有两个不同的公共点；④若，则关于的方程有一个根大于且小于0；⑤若，则关于的不等式的解集是．其中正确的是 ．（填写序号） 4．（25-26九年级上·成都·月考）已知抛物线的顶点坐标为，下列说法： ①若，则点一定在抛物线上；②方程一定有两个不相等的实数根； ③若抛物线经过点，则方程的解集为； ④若，且直线与抛物线在范围内只有一个公共点，则； ⑤若抛物线L过点，交轴于另一点，点为线段上一动点，连，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为点，当点运动时，为定值． 其中正确结论的序号为 ． 考点四：二次函数其他含参问题 类型1：函数交点（方程的根） 1．（25-26九年级上·成都·月考）已知二次函数，将该二次函数在轴下方的图像沿轴翻折到轴上方，图像的其余部分不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线与新图像有3个交点时，的值为 ． 2．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）已知某函数图象关于y轴对称，当时，，若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数b的范围是（   ） A． B． C． D．或 3．（23-24九年级上·浙江温州·月考）如图，曲线由抛物线与组成，其中两条抛物线交点的横坐标为3，过点作直线轴，当时，直线与曲线至少存在两个交点，则的最小值（    ） A．9 B．6 C． D． 4．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）函数，其中是常数且，该函数的图像记为．若直线与该函数图像恰好只有两个交点，则的取值为（   ） A． B．或 C．或 D．或 5．（2025·江苏南京·一模）已知二次函数的图象为．(1)用表示图象的顶点坐标；(2)证明：当时，图象与轴有两个交点；(3)记一次函数（是常数，，）的图象为线段，若图象与线段恰有一个公共点，直接写出的取值范围． 类型2：函数整点含参问题 1．（24-25九年级上·成都·期中）我们把纵坐标和横坐标都是整数的点称为整点，函数和所围成的封闭图形（不包含边界）共有4个整点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东淄博·期末）定义：在平面直角坐标系中，若点满足横，纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，如：，都是“整点”．抛物线（是常数，且）与轴交于点，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 类型3：新定义含参问题 1．（24-25九年级下·四川成都·月考）若函数图象上存在点满足（，且为常数），则称点为这个函数的“优和点”．例如：函数图象上存在点，因为，所以我们称点为这个函数的“1优和点”．若二次函数的“优和点”有且仅有一个，则的取值范围为 ． 2．（25-26九年级上·山东济南·期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 3．（2025·成都·模拟预测）对于二次函数，若存在一次函数，满足以下两个条件：①其函数图象经过的图象的顶点和的图象与轴的交点；②若关于的函数的最小值为，则称函数为函数的“融洽函数”．已知二次函数的“融洽函数”存在，则的值为 ． 4．（25-26九年级上·成都·期末）定义：在平面直角坐标系中，点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时的最大值为，函数的“最优纵横值”为10．下列结论：①点的“纵横值”为8；②函数的“最优纵横值”为1；③若二次函数，在时，该二次函数的“最优纵横值”为3，则m的值为3或；④二次函数的“最优纵横值”为，该二次函数的图象与x轴的一个交点为，若，则实数k的取值范围是或．其中正确结论的序号为 ． 类型4：函数与几何图形（过区域）含参 1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点，在抛物线的图象上，连接，．（1） ；（2）若将抛物线向下平移个单位长度，使平移后得到的抛物线顶点落在的内部（不包括的边界），则的取值范围为 ． 2．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中、、，抛物线经过区域（包括边界），则a的取值范围是（   ） A．或a≥2 B．或 C．或 D． 3．（25-26九年级上·成都·期中）如图，矩形中，，，抛物线的顶点M在矩形内部或其边上，则m的取值范围是 ． 类型5：函数与几何图形含参 1．（2025·成都·一模）抛物线：与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），将抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线，抛物线与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），抛物线与抛物线相交于点E，连接．若，则m的值是 ． 2．（2026·福建厦门·一模）抛物线的顶点为A，将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为B，平移前后的两条抛物线相交于点C，若为等边三角形，则m的值为 ． 3．（25-26九年级上·成都·月考）已知抛物线，交x轴于点A、B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，当时，a的值为 ． 4．（25-26九年级上·成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，抛物线与轴交于，两点，其中．当时，的值为 ． 1．（2025·四川南充·一模）已知：点在直线上，抛物线上两点，，点B在C的左侧，令，若，，则w的取值范围是（） A． B． C． D． 2.（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，线段平行于轴，，动点在直线上移动，若的坐标为，线段与抛物线有一个交点，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 3．（25-26九年级上·成都·月考）已知二次函数，其中（为常数）． （1）当时，的取值范围是 ；（2）若恒成立，则的取值范围是 ． 4．（25-26九年级上·成都·期中）已知抛物线（a>0）上有点，两点，对于任意实数m若，，都有，则a的值为 ． 5．（25-26九年级上·成都·期末）如图，函数的图象是由函数的图象x轴上方部分保持不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，若图象与直线有四个交点，则m的取值范围是 ． 6．（2026·成都·校考一模）对于抛物线及其所在坐标平面内的点，当过点垂直于抛物线对称轴的直线与该抛物线有两个交点，且这两个交点位于点的两侧时，我们把点称为抛物线的内点．现有抛物线和，如果点既是抛物线的内点，又是抛物线的内点，那么点的纵坐标的取值范围是 ． 7．（24-25九年级下·成都·期中）定义：若二次函数的图象上有一点的横坐标与纵坐标相等，则称这个点是这个函数的不动点．比如，函数图象上的点，都是的不动点，若函数在的范围内总有两个不同的不动点，则m的取值范围是 1．（2025·成都·二模）已知抛物线． (1)若点在抛物线上，①求此抛物线的解析式及顶点坐标．②已知点，的坐标分别为，，连结，若线段与抛物线只有一个公共点，求的取值范围．(2)已知点，是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围． 2．（2025·成都·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点（在的左侧）． (1)二次函数的顶点坐标为__________； (2)若二次函数由平移所得， ①求线段的长；②当时，二次函数的最大值与最小值的和等于，求的值． 3．（2025·成都·三模）已知抛物线． (1)请用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含b，c的代数式表示）． (2)已知点M，N是该抛物线上的两个不同的点． （i）如果点M的坐标为，点N的坐标为，且，求b的取值范围； （ii）如果点M的坐标为，点N的坐标为，当时，y的最大值为11，最小值为2，请求出的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 专题03 二次函数中的含参压轴问题（B22或B23） 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：二次函数的最值（含参）（中考地位：B22或B23） 类型1：“定轴动区间”型最值 解｜题｜技｜巧 定轴是指二次函数的对称轴固定不变，动区间是指二次函数的自变量的取值范围不固定。 “定轴动区间”型最值处理核心是分情况讨论对称轴和区间（自变量的取值范围）的位置关系来求最值‌。 解题通法（定轴动区间） 1）确定对称轴‌：先写出对称轴方程。 2）分情况讨论‌：根据对称轴与动区间的位置关系分三类： （1）对称轴在区间左侧‌： ①若二次函数开口向上，则函数在区间内单调递增，最小值在左端点，最大值在右端点。 ②若二次函数开口向下，则函数在区间内单调递减，最小值在右端点，最大值在左端点。 （2）对称轴在区间右侧‌： ①若二次函数开口向上，则函数在区间内单调递减，最小值在右端点，最大值在左端点。 ②若二次函数开口向下，则函数在区间内单调递增，最小值在左端点，最大值在右端点。 （3）对称轴在区间内‌： 顶点为最值点（开口向上为最小值，开口向下为最大值），另一最值在离对称轴较远的端点。 1．（2025·成都·模拟预测）已知为二次函数．①若此二次函数图像开口向下，则a值为 ②在①条件下，若时，满足，则m的值为 【答案】 3 【详解】解：∵为二次函数， ∴，∴，解得：或， ①若此二次函数图像开口向下，则，∴．故答案为：． ②根据①知，∴当时，，当时，， ∵当时，满足，∴当时，，∴， 解得：或（舍去），故答案为：3． 2．（2025·成都·校考二模）对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最大值与最小值之差恰好相等，则的值为 ． 【答案】或 【详解】解：当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵，∴，那么最大值与最小值的差为： ． 二次函数（）图象开口向上，对称轴为 ． 情况一：当，即 时 当时，函数值 ； 当时，函数值 ． ∵ ，∴此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，∴ ，∵ ，∴解得 ． 情况二：当 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ． ∵ ，此时，最大值与最小值的差为： ． 令 ，等式两边同时减得到 ，∵ ，解得 ． 情况三：当，即 时, 当时，．当时，函数值 ；当时，函数值 ． 当时，即，∴，∴此时 ∴，解得（舍去）或（舍去）， 当时，即，∴，∴此时 ∴（舍去）或（舍去）综上所述， 或 故答案为：或 3．（25-26九年级上·成都·月考）已知抛物线，当，抛物线的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线，∴对称轴为，开口向上． ∵当时，抛物线的最小值为， 当时，y随x的增大而增大，∴，y取得最小值， ∴，解得，不满足． 当时，，y取得最小值，∴， 解得或，均不满足． 当时，y随x的增大而减小，∴，y取得最小值，∴． 解得，满足．综上，．故答案为：． 类型2：“动轴定区间”型最值 解｜题｜技｜巧 “定轴动区间”‌是二次函数对称轴固定，但求最值的区间在变化（比如自变量取值范围含参数）。 处理方法与“定轴动区间”型最值一致，都需要分类讨论。具体方法见类型1：“定轴动区间”型最值的处理技巧。 1．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）已知函数（b为常数），时，函数的最大值与最小值之差为25，则b的值为 ． 【答案】或 【详解】，∴对称轴为，顶点坐标为． ①当即时，时，，时，， 则，解得，（不合题意，舍去）； ②当即时，时，，时，， 则 ，解得，（不合题意，舍去）； ③当即时，时，，时，， 则，解得（不合题意，舍去）； ④当即时，时，，时，， 则，解得（不合题意，舍去）． 综上，b的值为或，故答案为：或． 2．（2025·内蒙古·模拟预测）已知二次函数（为常数），当时，函数有最大值，则的值为（   ） A． B．1或 C．或 D．1或 【答案】C 【详解】解：，抛物线开口向下，对称轴为直线． 当，即时，时取最大值（如图1所示）， ，解得：，（不合题意，舍去）； 当，即时，时取最大值（如图2所示），，解得：； 当，即时，时取最大值（如图3所示）， ，解得：（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）． 综上所述，的值为或．故选：C． 3．（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式．(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．(3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 【答案】(1)(2)；见解析(3)或 【详解】（1）解：把点代入得： ，解得：，∴二次函数的解析式为； （2）解：，∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为，画出函数图象，如图， （3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当，即时，最大值在，最小值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，∴ 解得故舍去 当，即时，当平移后抛物线的对称轴在y轴和直线左侧时，此时最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴，解得：或（舍去）； 当，即时，此时最小值为，， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，∴，解得：或（舍去）， 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，，即， 最小值在，最大值在 ，差为：当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5，∴解得故舍去 综上所述，n的值为或． 类型3：其他含参最值 1．（2025·四川成都·一模）若二次函数 满足∶ 当时，，则称这个二次函数是上的“封闭二次函数”．已知是上的“封闭二次函数”，且图象过点和，则 ；若二次函数是上的“封闭二次函数”，其图象过点和，则a的取值范围是 ． 【答案】 或 【详解】解：把和代入可得：， 两式相减得，即， ∵，∴； 把和代入得，解得：， ∴，∴抛物线的对称轴是直线， 当时，则， 若时，即，在范围内，y随x的增大而减小， 则当时，取最大值，最大值为； 当时，y取最小值，最小值为；即此时在范围内，，满足“闭函数”的定义； 当，即，最大值为时，y有最大值，最大值大于，不满足“闭函数”的定义； 当时，则， 若时，即，在范围内，y随x的增大而减小， 则当时，取最大值，最大值为；当时，y取最小值，最小值为； 即此时在范围内，，满足“闭函数”的定义； 当，即，最大值为时，y有最大值，最大值大于，不满足“闭函数”的定义； 综上所述，a的取值范围为或． 2．（24-25九年级下·成都·期中）若某抛物线的函数解析式为，已知，为正整数，为整数，，且当 时，有，则抛物线的函数解析式为 ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线的函数解析式为， ，为正整数，， ∴抛物线开口向上．对称轴为，∴对称轴在的左侧， ∴当时，函数值y随x增大而增大． 当时，y取得最小值：，当时，y取得最大值：， ∵当时，有，∴最小值① 最大值② 将②减去①得：，即， ∵b是正整数，且，a为正整数，∴， 若，则，∴，∴， 若，则，但，无法满足，∴a只能为1，b只能为3． 由①：，得．由②：，得．所以． ∴抛物线的函数解析式为，故答案为：． 3．（25-26九年级上·成都·期中）已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差不大于10，则满足条件的整数a共有 个． 【答案】4 【详解】解：二次函数，∴二次函数的对称轴为直线． 当时，∴当时，二次函数的最小值为2， 当时，二次函数的最大值为． ∵函数的最大值与最小值的差不大于10，∴，解得．． 又∵为整数，或2． 当时，∴当时，二次函数的最大值为2， 当时，二次函数的最小值为． ∵函数的最大值与最小值的差不大于10，∴，解得．． 又∵为整数，或．∴满足条件的整数共有4个．故答案为：4． 4．（2025·山东枣庄·模拟预测）已知点，是抛物线上不同的两点，当时，y的取值范围是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵点、在抛物线上且纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为，即，得． ∴抛物线为，其最小值为（当时取得）． 当时，，解得或． ∵当时，的取值范围是， ∴需满足．故答案为：． 考点二：二次函数增减性与对称性综合含参问题（中考地位：B22） 类型1：动态函数值比较大小含参 1．（25-26九年级上·山东德州·月考）如果，，都在二次函数的图象上，且．则的取值范围是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】解：∵点和点纵坐标相同，∴对称轴为直线， ∵二次函数解析式为，∴，且点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， 在中，当时，，即二次函数与轴的交点坐标为， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵，且，∴，解得：， 当点、都在对称轴左边时，由可得，，解得， 当点、在对称轴两侧时，由可得，，解得， 综上所述，由或，结合的条件， 的取值范围是或故选：B． 2．（2025·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线，设抛物线的对称轴为点，是抛物线上两个点，当时，对的每一个值，总存在，使得，，且成立，则的取值范围为 ． 【答案】或 【详解】解：抛物线的对称轴为，， 当时，对于的每一个值，总存在，使得，且成立， ①若，此时， 则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， 当时，，成立， 当时，点关于对称轴直线的对称点为， ，，当时，成立， 当时，不合题意，舍去， ②若，此时，则当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，满足题意，综上所述，t的取值范围是或. 3．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，若二次函数图象上存在，两点，当时，满足，则m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数图象上存在，两点，当时，满足， ∴，∴，， ∵，∴，解得：，故答案为：． 4．（24-25九年级下·成都·月考）已知两点，都在抛物线上． （1）若，，则 ；（用含的代数式表示） （2）若对于实数，（，），都有，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：（1）∵当，，且，是抛物线上任意两点，∴的两个根为 ∴∴， ∵，∴∴故答案为：． （2）对于实数，（，），都有， ∴∴ 当时，即 当时，即 综上所述， 故答案为：． 5．（2025·浙江·二模）关于的函数，当时，．若，则（　　） A． B． C．1 D．1 【答案】C 【详解】解：∵∴抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，把代入，得，∴直线经过定点， ∵当时，．∴抛物线与直线的交点横坐标为m， 设抛物线与直线的交点坐标为， 把代入，得 解得：或（舍去），∴ ∴ 把代入，得∴经过定点， 设抛物线与直线的交点坐标为， 把代入，得 化简得：，解得：或 ∴抛物线与直线的另一交点横坐标为， ∵，∴．故选：C． 类型2：二次函数轴对称性或增减性含参问题 1．（2025·安徽蚌埠·一模）抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， 而抛物线交轴于点，∴点与点关于直线对称， ∵，即点在与之间，点在与之间，，故选：C． 2．（25-26九年级上·上海·月考）定义：如果两条抛物线均经过线段两个端点，那么称这两条抛物线是“关于线段的相伴抛物线”．已知抛物线与抛物线是“关于线段的相伴抛物线，且点、点的坐标分别为，．若抛物线与抛物线在直线与直线之间的部分均是上升的，那么的取值范围为 ． 【答案】且 【详解】解：把点、点的坐标分别代入得： ，解得：，∴， ∵，∴，∴，当时，解得：，则， ∵抛物线与抛物线在直线与直线之间的部分均是上升的， ∴，则，解得：，∴此时； 当时，解得：，则， ∵抛物线与抛物线在直线与直线之间的部分均是上升的， ∴，则，解得：，∴此时； ∵，∴且．故答案为：且． 3．（2025·四川乐山·二模）有二次函数，且等式恒成立．(1)求的值；(2)当时，该二次函数满足随的增大而减小，求的取值范围；(3)是否存在这样的实数，使得同时满足下列两个条件：①关于的方程（其中）恰好有四个不同的实数解；②函数的图象与轴的两个相异交点都在直线的左侧．若存在，请求出的取值或取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)不存在这样的实数，使得同时满足这两个条件，详见解析 【详解】（1）解：由条件知 ，解得  ． （2）由（1）可知，  其对称轴为由题可知  解得的取值范围是 （3）①：关于的方程（）恰好有四个不同实数解 即恰好有四个不同实数解，记， 当时，；当时，，作出如下图象 已知该图象关于轴对称  且当时， 当时，  当时，该方程恰好有四个不同实数解． ②：记函数的图象与轴的两个相异交点分别为和 ， 两个交点均在直线的左侧  ，  ，   即  解得 综合①②得：不存在这样的实数，使得同时满足这两个条件． 考点三：二次函数的系数与图象的关系（中考地位：A8或B21、B22） 类型1：二次函数的系数与图象的关系（A类） 解｜题｜技｜巧 二次函数与各项系数之间的关系 1）抛物线开口的方向可确定a的符号：抛物线开口向上，a＞0；抛物线开口向下，a＜0 2）对称轴可确定b的符号（需结合a的符号）： 对称轴在x轴负半轴，则＜0 ，即ab＞0；对称轴在x轴正半轴，则＞0 ，即ab＜0 3）与y轴交点可确定c的符号：与y轴交点坐标为（0，c）， 交于y轴负半轴，则c＜0；交于y轴正半轴，则c＞0 4）特殊函数值符号（以x=1的函数值为例）： 若当x=1时，若对应的函数值y在x轴的上方，则a+b+c＞0；若对应的函数值y在x轴上方，则a+b+c=0；若对应的函数值y在x轴的下方，则a+b+c＜0； 5）其他辅助判定条件： 1）顶点坐标；2）若与x轴交点，，则可确定对称轴为：x=； 3）韦达定理： 具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。 1．（2025·四川成都·二模）已知抛物线的图象及对称轴如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得，，∵，∴，故A结论正确； ∵抛物线与x轴有两个交点，∴，故B结论正确； ∵，∴，故C结论错误，符合题意； 当时，，当时，，∴ ∴∴，∴故D结论正确；故选：B． 2．（2025·四川成都·二模）如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，下列说法正确的是（   ）    A． B．对称轴为直线 C．关于的方程有两个不相等的实数根 D． 【答案】C 【详解】解：根据图形得：抛物线与y轴交于负半轴，∴，故A选项错误，不符合题意； ∵图象与轴相交于，两点，∴对称轴为直线，故B选项错误，不符题意； ∵抛物线开口向上，且顶点坐标位于y轴的下方，∴抛物线与直线有两个交点，∴关于的方程有两个不相等的实数根，故C选项错误，符合题意； ∵对称轴为直线，∴，即，故D选项错误，不符合题意；故选：C 3．（2025·四川成都·一模）二次函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．对称轴为直线 B．的最小值为 C．对应的函数值为 D．当时，则 【答案】D 【详解】解：二次函数与轴的两个交点为， ∴对称轴直线为，故A选项正确，不符合题意； 根据题意，二次函数经过， ∴，解得，，∴二次函数解析式为， ∴的最小值为，故B选项正确，不符合题意； 当时，，故C选项正确，不符合题意； 当时，，当时，，当时，， ∴当时，则，故D选项错误，符合题意；故选：D ． 4．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A． B．当时，的值随值的增大而减小 C．点的坐标为 D． 【答案】C 【详解】A．二次函数图像开口向上，故，A错误； B．对称轴为，图像开口向上，当​时，随增大而增大，B错误； C．抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，设，则，解得，故，C正确； D．对应时的函数值，由图像可知在对称轴左侧，此时，故，D错误．故选：C． 5．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，已知抛物线与轴交于、两点，顶点的纵坐标为，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．阴影部分的面积为4 【答案】D 【详解】解：A、∵抛物线开口向上，∴， ∵抛物线对称轴，∴，故选项不符合题意； B、抛物线与轴交点在轴的下方，∴，故选项不符合题意； C、从图象可知当时，，∴，故选项不符合题意； D、∵抛物线向右平移了2个单位，∴平行四边形的底是2， ∵函数的最小值是，∴平行四边形的高是2， ∴阴影部分的面积是：，故选项符合题意．故选：D． 类型2：二次函数的系数与图象的关系（B类） 1．（24-25九年级上·成都·校考期末）抛物线（，，是常数，）经过，两点，且．下列四个结论：①；②；③若，则关于的一元二次方程有实数解；④若点，在抛物线上，，若对于任意的都有使得，则的取值范围为，其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【详解】解：∵，且与x轴交点， 则抛物线图象如图，很明显，故①正确，符合题意； 当时，，故②正确，符合题意； 设抛物线顶点为D，过D作轴于点H， ∴，∴，令， 则，∴ ；∵，∴， ∵，∴，∴， ∴顶点纵坐标大于，即二次函数与直线无交点， ∴关于x的一元二次方程无实数解，故③错误，不符合题意； 将代入抛物线可得：， ∵点，在抛物线上，∴，， ∵若对于任意的m都有n使得，∴，整理得：， ∵，∴，即，解得：或， 当时，点当点M和点N重合时，∵，∴； 当时，则，∵，∴，即， ∴，故④正确，符合题意．综上，正确的有①②④．故答案为：①②④． 2．（2025·四川成都·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴的交点坐标为，，有下列结论：①；②若点，，均在该二次函数的图象上，则；③若方程的两个实数根为，且，则；④若m为任意实数，则．其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①②③ 【详解】解：二次函数与轴交点为和， 设表达式为：， ∵，∴，∴，故结论①正确． 对称轴为直线，开口向上，函数值随离对称轴距离增大而增大： 到对称轴距离为3，3到对称轴距离为1，6到对称轴距离为4，∴，结论②正确． 方程的解是对应函数向下平移1个单位后的图象与轴交点的横坐标， 原函数在和处与轴相交，平移后交点必在原交点外侧，即且．结论③正确．二次函数最小值在顶点处取得：， 若m为任意实数，则，即．结论④错误．故答案：①②③． 3．（2025·成都·校考一模）如图，矩形中，O为平面直角坐标系的原点，，过A、C两点的抛物线与x轴交于点E、F，顶点为点D． 下列结论：①；②的面积为；③关于x的不等式的解集为；④对称轴上存在一点P，当的值最小时，点P坐标为；其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①② 【详解】解：∵，∴，∴，， ∴抛物线的对称轴为，代入对称轴公式，得，①正确； ∴抛物线为把代入，得，∴抛物线为， ∴顶点，令，得，解得，∴ ，∴面积为，故②正确； 对于③，不等式，即， 当时，解得，由图像可知，不等式的解集为；故③错误； 对于④，可连接交对称轴于P，则此P点为所求的， 设解析式为，由、， 则解得；，当时，， ，故④错误．综上，正确的有①②共2个，故答案：①②． 4．（2025·四川广元·一模）抛物线与轴交于点，顶点坐标与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②若，是抛物线上两点，则；③关于的方程有两个不相等的实数根；④对于任意实数，总成立；⑤．其中结论正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】∵抛物线与x轴交于点，顶点坐标，∴对称轴，即， 代入A点坐标：，结合，得， ∵与y轴交点在和之间，∴，解得； 结论①：，∵，∴，即，故①正确； 结论②：抛物线开口向下，对称轴， 点距对称轴，点距对称轴，∵，∴，故②正确； 结论③：方程，∵顶点为最大值，， ∴直线与抛物线无交点，方程无实根，故③错误； 结论④：，代入，， 整理得， ∵且，∴不等式恒成立，故④正确； 结论⑤：由解析得，故⑤正确．综上，正确结论有4个．故选：D． 5．（2025·成都·模拟预测）已知抛物线（a，b，c是常数）经过，下列四个结论：①若此抛物线顶点在第四象限，则；②若抛物线经过，则对称轴为直线； ③若函数的图象与x轴只有一个公共点，则； ④，点在此抛物线上，且，若恒有，则或． 其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】①② 【详解】解：①把点代入，得，∴， ∵此抛物线顶点在第四象限，∴，∴，故①正确； ②∵抛物线经过，，∴抛物线对称轴为直线，故②正确； ③时，与x轴只有一个公共点，此时，故③错； ④∵对称轴为直线，∴或或时，恒有， ∴或或．故④错．综上所述，正确的结论是①②．故答案为：①②． 类型3：二次函数的系数与图象的关系（C类） 1．（2025·成都·模拟预测）已知关于的二次函数的图象经过点，，，且，对于以下结论：①；②；③对于自变量的任意一个取值，都有；④在中存在一个实数，使得，其中结论正确的是 ．（只填写序号） 【答案】①③④ 【详解】解：根据题意，可得二次函数图象如图： ①由图象可得，∴，故①正确． ②∵∴，∴， 又∵，∵，∴，∴，∴，故②错误． ③∵函数，且， ∴函数有最小值，∴，故③正确． ④∵的图象经过点，∴，即， 令，则，设它的两个根为，，∵，∴， ∵，∴在中存在一个实数，使得，故④正确．故答案为①③④． 2．（25-26九年级上·成都·月考）如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是，与y轴的交点坐标是且有下列结论：①；②；③；④关于x的一元二次方程必有两个不相等实根；⑤若点在抛物线上，当时，则t的取值范围为或其中正确的结论序号是 ． 【答案】①③④ 【详解】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则，对称轴为直线，则， ，又抛物线与轴的交点坐标是，即， ，即，，故①正确； 抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴为直线， 另一个交点坐标为，当时，，故②错误； ，在抛物线的图象上，， 又，，即， ，即，，即， 当时，取得最大值，最大值为， ，，故③正确； ，，，即， ， 对称轴为直线，当时，的值随的增大而减小， 又，，当时，， 当时，恒成立，即有两个不相等实根，故④正确； 由于抛物线开口向下，点和在抛物线上，要满足，即点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，即， 分类讨论如下：当时：，不等式化为：，解得：，； 当时：，不等式化为：，解得：，； 当时：，不等式化为：，解得：，； 因此，当时，的取值范围是或，故⑤错误；故正确的有①③④， 故答案为：①③④． 3．（25-26九年级上·成都·月考）已知二次函数（m为常数，且）．下列五个结论：①该函数图象经过点；②若，则当时，随的增大而增大；③该函数与轴有两个不同的公共点；④若，则关于的方程有一个根大于且小于0；⑤若，则关于的不等式的解集是．其中正确的是 ．（填写序号） 【答案】①④⑤ 【详解】解：当时，， ∴二次函数经过点，故①正确； 当时，二次函数为，此时函数对称轴为轴， ∵，∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故②错误； ∵，∴当时，二次函数与轴有两个不同的公共点，当时，二次函数与轴有一个公共点，故③错误； 解方程得，∴， ∵，∴，∴关于的方程有一个根大于且小于0，故④正确； 令，则关于的不等式化为， 画二次函数图象： 由题意得函数与轴交于点，与交于点， ∴当时，解集为，即， ∴，故⑤正确．故答案为：①④⑤． 4．（25-26九年级上·成都·月考）已知抛物线的顶点坐标为，下列说法： ①若，则点一定在抛物线上；②方程一定有两个不相等的实数根； ③若抛物线经过点，则方程的解集为； ④若，且直线与抛物线在范围内只有一个公共点，则； ⑤若抛物线L过点，交轴于另一点，点为线段上一动点，连，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为点，当点运动时，为定值． 其中正确结论的序号为 ． 【答案】①②⑤ 【详解】解：已知抛物线()的顶点坐标为，则抛物线解析式为()．∴， ，①若，则，当时，，故点在抛物线上，结论正确． ②，， 因，故，方程有两个不相等的实数根，结论正确． ③抛物线经过点，代入得， 解得，抛物线解析式为． 不等式，代入，，， 得，简化得， 整理得，即，解集为或，与不符，结论③错误． ④若，由得，抛物线为．直线， 当时，方程为， ，符合题意； 直线过定点，如图， 当直线过点时，解得： 当时， 当直线过点时，，解得： ∴当时，或，但说法只给出，漏掉，结论④错误． （5）代入到，得，解得， ∴抛物线的解析式为，令，则，解得，， ∴，∴， ∵， ∴，，如图，连接， 则，∴， ∴，∴，故⑤正确， 综上所述，正确的有①②⑤．故答案为：①②⑤． 考点四：二次函数其他含参问题 类型1：函数交点（方程的根） 1．（25-26九年级上·成都·月考）已知二次函数，将该二次函数在轴下方的图像沿轴翻折到轴上方，图像的其余部分不变，得到一个新的函数图像（如图所示），当直线与新图像有3个交点时，的值为 ． 【答案】3或 【详解】解：设二次函数与轴的两个交点分别为， 当时，则，∴， ∵，∴抛物线的顶点坐标为， ∵将该二次函数在轴下方的图像沿轴翻折到轴上方， ∴开口向下部分的抛物线的顶点坐标为，∴， 当直线与新图像有3个交点时，分种情况， ①当直线恰好经过点时，则：，解得； ②当直线与抛物线只有一个交点时，满足题意， 令，整理，得，则，解得； 综上：或； 故答案为：3或． 2．（25-26九年级上·安徽亳州·期末）已知某函数图象关于y轴对称，当时，，若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数b的范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】解：∵函数图象关于轴对称，当时，， ∴当时，；如图， 联立得解得： 当过原点时，直线与这个函数图象有且仅有三个不同交点 ∴当时符合题意综上所述， 故选：A． 3．（23-24九年级上·浙江温州·月考）如图，曲线由抛物线与组成，其中两条抛物线交点的横坐标为3，过点作直线轴，当时，直线与曲线至少存在两个交点，则的最小值（    ） A．9 B．6 C． D． 【答案】C 【详解】解：两条抛物线交点的横坐标为3， 当时，，，，， ，， 当时，，，，， 当时，直线与曲线至少存在两个交点， 的顶点坐标是， 时存在两个交点，， ，，的最小值是,故选：C 4．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）函数，其中是常数且，该函数的图像记为．若直线与该函数图像恰好只有两个交点，则的取值为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】解：当时，图像大致如图所示，当直线经过顶点时，恰有个交点， 当时，，∴，当时，， ∴（不合，舍去）； 当时，图像大致如图所示，当直线经过顶点时，恰有个交点， 当时，，∴（不合，舍去）， 当时，， ∴；综上，的取值为或，故选：． 5．（2025·江苏南京·一模）已知二次函数的图象为．(1)用表示图象的顶点坐标；(2)证明：当时，图象与轴有两个交点；(3)记一次函数（是常数，，）的图象为线段，若图象与线段恰有一个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)；(2)见解析； (3)，或时，图象与线段恰有一个公共点． 【详解】（1）解：整理， 可得：，图象的顶点坐标为； （2）解：当时，可得：， ，整理得：， 当时，，方程有两个不相等的实数根， 图象与轴有两个交点； （3）解：①当时，设点的坐标为，点的坐标为， 一次函数（是常数，，）的图象为线段， 当时，，当时， 依题意，图象与线段恰有一个公共点，如图， 当时，，解得：或 当时，，解得： ∴ ②当时，解得： 当一次函数与二次函数联立方程，得， 一元二次方程有且只有两个相等实数根时： 整理得， 解得，此时，交点横坐标分别为或（不在x取值范围舍去） 综上所述，，或时，图象与线段恰有一个公共点． 类型2：函数整点含参问题 1．（24-25九年级上·成都·期中）我们把纵坐标和横坐标都是整数的点称为整点，函数和所围成的封闭图形（不包含边界）共有4个整点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为：，∴顶点所在直线为：， ①当时，顶点坐标为：，此时，抛物线对称轴与的交点为：， 联立抛物线与直线得：，解得：或， ∵，∴对称轴左侧没有整点，∵，当时，抛物线函数值为4，直线函数值为5，抛物线和直线间没有整点，∴直线与抛物线围成区域内没有整点； ②当时，顶点坐标为：，此时，抛物线对称轴与的交点为：， ∴对称轴上有一个整点，联立抛物线与直线：，解得：或2，如图： 当时，抛物线的函数值为2，直线的函数值为4， 此时，抛物线与直线围成区域内的整点有：和，共两个， ③当时，顶点坐标为：， 联立抛物线与直线方程：，解得：，如图： 此时，围成区域内的整点有，，，，共四个整点； 结合①②③的情况可知，a越小，围成的区域内整点数越多， ∴要使围成的封闭图形内共有4个整点，需要．故选：B． 2．（25-26九年级上·山东淄博·期末）定义：在平面直角坐标系中，若点满足横，纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，如：，都是“整点”．抛物线（是常数，且）与轴交于点，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵抛物线，∴抛物线的顶点为， ∵，∴可以大致画出图象如图， ∵该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界） ∴点、、、必在区域内． 当抛物线过点时，点关于对称轴为的对应点为，这样区域内有6个整点， 当代入抛物线解析式，得，解得：， 当抛物线过点时，点关于对称轴为的对应点为，这样区域有8个整点， 将代入抛物线解析式，得，解得：， ∴当时，区域恰有6个整点．故选：D． 类型3：新定义含参问题 1．（24-25九年级下·四川成都·月考）若函数图象上存在点满足（，且为常数），则称点为这个函数的“优和点”．例如：函数图象上存在点，因为，所以我们称点为这个函数的“1优和点”．若二次函数的“优和点”有且仅有一个，则的取值范围为 ． 【答案】或 【详解】解：设这个二次函数的“优和点”坐标为，将点代入可得： 整理得：，令， 二次函数的“优和点”有且仅有一个， 与轴只有一个公共点， 第一种情况是与轴只有一个交点，且在轴的正半轴上， ，且，解得且，； 第二种情况是与轴有两个交点，且只有一个交点在轴的正半轴上， 对称轴在轴左侧，且交于轴的负半轴， 且，解得，综上所述，或．故答案为：或． 2．（25-26九年级上·山东济南·期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为， 将代入，得：，将代入，得：，设，如图： 联立，整理得：， 当时，抛物线与直线有两个交点，即，解得：， 当直线和直线与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得：，把代入，得：， ，解得：，，故选：B． 3．（2025·成都·模拟预测）对于二次函数，若存在一次函数，满足以下两个条件：①其函数图象经过的图象的顶点和的图象与轴的交点；②若关于的函数的最小值为，则称函数为函数的“融洽函数”．已知二次函数的“融洽函数”存在，则的值为 ． 【答案】24 【详解】解：将二次函数化为顶点式为， 则二次函数的图像的顶点为，的图像与轴的交点坐标为， 函数的图像经过这两点，∴将，分别代入中， 得，，当时，，则， ∴关于的函数， 当时，取得最小值，最小值为， 对于二次函数，，，解得，， ，．故答案为：24. 4．（25-26九年级上·成都·期末）定义：在平面直角坐标系中，点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：点在函数图象上，点A的“纵横值”为，函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时的最大值为，函数的“最优纵横值”为10．下列结论：①点的“纵横值”为8；②函数的“最优纵横值”为1；③若二次函数，在时，该二次函数的“最优纵横值”为3，则m的值为3或；④二次函数的“最优纵横值”为，该二次函数的图象与x轴的一个交点为，若，则实数k的取值范围是或．其中正确结论的序号为 ． 【答案】①③ 【详解】①点的纵横值为，正确； ②函数的纵横值，在上，随增大而减小，最大值为时，结论错误；③二次函数的纵横值，在上的“最优纵横值”为3， ∵该二次函数的顶点坐标为，开口向下，∴该二次函数的最大值为，∴在或处取得最大值，∴或，解得：或；正确； ④二次函数的纵横值，其最优纵横值为，解得，将代入二次函数可得，与轴交点为满足， 当时，，当时，， 存在需满足，解得或， 但结论为或，其中时不成立，错误；故答案为：①③． 类型4：函数与几何图形（过区域）含参 1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点，在抛物线的图象上，连接，．（1） ；（2）若将抛物线向下平移个单位长度，使平移后得到的抛物线顶点落在的内部（不包括的边界），则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：（1）∵点在抛物线上，∴． ∵点在抛物线上，∴，解得． ∴．故答案为：． （2）抛物线向下平移n个单位后，表达式为． ∴平移后抛物线顶点坐标为．∵的顶点为， 设直线的解析式为，则有，解得：，∴直线的解析式为． 平移后抛物线的顶点坐标在内部（不包括边界），需满足： ①横坐标在和0之间，即，成立； ②纵坐标小于5，即，解得； ③纵坐标大于直线在处的函数值，即，解得． ∴n的取值范围为．故答案为：． 2．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中、、，抛物线经过区域（包括边界），则a的取值范围是（   ） A．或a≥2 B．或 C．或 D． 【答案】B 【详解】解：如图所示： 分两种情况进行讨论： 当时，抛物线经过点时，，抛物线的开口最小，取得最大值， 抛物线经过区域（包括边界），的取值范围是：； 当时，抛物线经过点时，，抛物线的开口最小，取得最小值， 抛物线经过区域（包括边界），的取值范围是：； 综上，抛物线经过区域（包括边界），则a的取值范围是或， 故选：B． 3．（25-26九年级上·成都·期中）如图，矩形中，，，抛物线的顶点M在矩形内部或其边上，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：抛物线的顶点坐标M为， ∵，，∴，∴．故选答案为． 类型5：函数与几何图形含参 1．（2025·成都·一模）抛物线：与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），将抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线，抛物线与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），抛物线与抛物线相交于点E，连接．若，则m的值是 ． 【答案】2或6 【详解】解：当时，，解得， ∴点，则． 如图，当点E在x轴下方时，过点E作轴于点F，由抛物线的对称性可得， ∵，∴是等腰直角三角形，∴点F是的中点，∴． ∵，∴，∴，∴点． ∵点E在抛物线上，∴， 解得（不合题意，舍去）； 如图，当点E在x轴上方时，过点E作轴于点F，同理可得点． ∵点E在抛物线上上，∴， 解得（不合题意，舍去），综上所述，m的值是2或6． 2．（2026·福建厦门·一模）抛物线的顶点为A，将其沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为B，平移前后的两条抛物线相交于点C，若为等边三角形，则m的值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，点A的坐标为， ∵将抛物线沿水平方向向右平移m个单位长度，得到的抛物线的顶点为B， ∴点B的坐标为，∴平移后的抛物线解析式为， 联立，得，∴或， 当时，，不符合题意； 当时，， 在中，当时，，∴； 如图所示，过点C作于D， ∵是等边三角形，∴（向右平移，m是正数）， ∴，∴，， ∴，∴，解得或（舍去），故答案为： 3．（25-26九年级上·成都·月考）已知抛物线，交x轴于点A、B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，当时，a的值为 ． 【答案】 【详解】解：抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． 当时，如图所示， ∵ 在上取一点，使得，则 ∴ 又∵∴∴∴ ∴∴解得：（负值舍去） 当时，同理可得 综上所述， 故答案为： 4．（25-26九年级上·成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，抛物线与轴交于，两点，其中．当时，的值为 ． 【答案】4 【详解】解：，∴抛物线的对称轴为直线， ∵与轴交于，两点，∴关于对称轴对称，∴的中点为， ∵时，为的中点，∴，∵在的图象上，，解得或（舍）．故答案为：4． 1．（2025·四川南充·一模）已知：点在直线上，抛物线上两点，，点B在C的左侧，令，若，，则w的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，点A在直线上，∴，即， 点B、C在抛物线上，∴，即， 设该方程的两根为，且，则，∴， ∵方程有两不等实根，∴，即， 又∵，即，整理得：， ∴，即，解得：或， ∵，∴，即，综上：， ∴当时，；当时，，∴，故选：B． 2.（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，线段平行于轴，，动点在直线上移动，若的坐标为，线段与抛物线有一个交点，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】解：∵的坐标为，线段平行于轴，，故点的坐标为， 若线段的端点在抛物线上， 联立方程组，得，整理得，解得，， 即当、时，线段的端点在抛物线上， 当时，点的坐标为，令，此时， 即当时，线段的端点在抛物线上， 此时线段与抛物线有两个交点，故． 当时，点的坐标为，令，此时， 即当时，线段与抛物线有一个交点． 若线段的端点在抛物线上， 即，整理，得，解得，（舍去）； 即当时，线段与抛物线有一个交点．结合函数图象可得， 当时，线段端点在抛物线上， 当时，线段与抛物线有一个交点， 当时，线段与抛物线有两个交点， 当时，线段与抛物线有一个交点， 当时，线段的端点在抛物线上， 综上，的取值范围为或．故选：D． 3．（25-26九年级上·成都·月考）已知二次函数，其中（为常数）． （1）当时，的取值范围是 ；（2）若恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】（1）解：当时，， ∵函数，∴抛物线开口向上，∴当时，有最小值为， ∵当时，；当时，，∴当时，有最大值为， ∴的取值范围为，故答案为：； （2）令得，∴，，如图，结合函数图象知，时，， ∵当时，恒成立，∴且，∴，故答案为：． 4．（25-26九年级上·成都·期中）已知抛物线（a>0）上有点，两点，对于任意实数m若，，都有，则a的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线表达式为，易得抛物线顶点坐标为， 抛物线对称轴为直线，由于，， 可初步判断点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， 假设点关于对称轴的对称点为，则点坐标为，且， 若满足对于任意的、，，则说明当时，， 将代入，得，解得，故答案为：． 5．（25-26九年级上·成都·期末）如图，函数的图象是由函数的图象x轴上方部分保持不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，若图象与直线有四个交点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：由函数图象可知，的图象经过点，，， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， ∴二次函数关于x对称的函数解析式为， 联立，得， 当直线与抛物线恰好只有一个交点时， 则，∴， 当直线恰好经过点时，则，解得， ∴由函数图象可知，当时，函数的图象与直线有四个交点， 故答案为：． 6．（2026·成都·校考一模）对于抛物线及其所在坐标平面内的点，当过点垂直于抛物线对称轴的直线与该抛物线有两个交点，且这两个交点位于点的两侧时，我们把点称为抛物线的内点．现有抛物线和，如果点既是抛物线的内点，又是抛物线的内点，那么点的纵坐标的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵的∴开口方向向下，对称轴为， 把代入，得，即的最大值为； ∵的∴开口方向向上，对称轴为， 抛物线在对称轴的右边，随着的增大而增大， 依题意，得，∴， ∴，整理得，解得， ∴抛物线和有两个交点，且它们的横坐标分别是， 把代入，得， ∵抛物线的对称轴为，最大值为，抛物线在对称轴的右边，随着的增大而增大，且，点既是抛物线的内点，又是抛物线的内点， ∴，故答案为：． 7．（24-25九年级下·成都·期中）定义：若二次函数的图象上有一点的横坐标与纵坐标相等，则称这个点是这个函数的不动点．比如，函数图象上的点，都是的不动点，若函数在的范围内总有两个不同的不动点，则m的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象性质，函数图象的交点问题，函数与方程的关系，本题恰当地运用转化思想是解题关键．由不动点的定义可令，即求在内函数与函数有两个不同交点，即，整理后即可转化为与在内有两个不同交点的问题，又恒过点，画出两个函数与的图象，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：由不动点的定义可令， 即求在内函数与函数有两个不同交点， ，①， 即可转化为与在内有两个不同交点， 又恒过点， 画出两个函数与的图象如图所示， 当过点时，，可得，此时符合题意， 对①方程整理可得，令△， 即，从而可得，解得：，又此时，故． 当时，无法满足题意，即与在内不能产生两个交点． 故的范围为． 1．（2025·成都·二模）已知抛物线． (1)若点在抛物线上，①求此抛物线的解析式及顶点坐标．②已知点，的坐标分别为，，连结，若线段与抛物线只有一个公共点，求的取值范围．(2)已知点，是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)①，顶点，②或(2)或 【详解】（1）解：①将已知点在抛物线上，将代入可得： ，解得：，所以抛物线解析式为， 将其化为顶点式：，所以顶点坐标为； ②当时，代入得：， 当时，， 因为线段与抛物线只有一个公共点， 当时，线段过顶点，此时只有一个公共点； 当时，线段与抛物线也只有一个公共点，所以或； （2）解：抛物线，对称轴为直线． 当时，．因为对于都有． 当时，抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大． 要满足条件，则，解得：； 当时，抛物线的开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小， 横坐标为3关于对称轴的对称点的横坐标为， 对于，（等号不同时成立），都有，则， 解不等式得：，又∵，∴ 综上所述，的取值范围是或． 2．（2025·成都·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与一次函数的图象交于、两点（在的左侧）． (1)二次函数的顶点坐标为__________； (2)若二次函数由平移所得， ①求线段的长；②当时，二次函数的最大值与最小值的和等于，求的值． 【答案】(1)(2)①②或 【详解】（1）解：∵，∴抛物线的顶点坐标为； （2）①∵二次函数由平移所得，∴， 联立，解得：或， ∵，在的左侧，∴， ∴； ②由（1）知：，∵，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，关于的对称点为， ∵，即：， （i）当，即：时， 则当时，函数取得最小值为：， 当时，函数取得最大值为：， ∴，解得：，不符合题意，舍去； （ii）当，即：时， 当时，函数取得最大值为，当时，函数取得最小值为， 则：，解得：，符合题意； （iii）当，即：时，则：当时，函数取得最大值为， 当时，函数取得最小值为：， 则：，解得：或（舍去）；综上：或． 3．（2025·成都·三模）已知抛物线． (1)请用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标（用含b，c的代数式表示）． (2)已知点M，N是该抛物线上的两个不同的点． （i）如果点M的坐标为，点N的坐标为，且，求b的取值范围； （ii）如果点M的坐标为，点N的坐标为，当时，y的最大值为11，最小值为2，请求出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为，顶点坐标为 (2)（i）；（ii） 【详解】（1）解：， 则抛物线的对称轴为，顶点坐标为； （2）解：（i）由（1）知抛物线对称轴为， ∵抛物线中，，∴抛物线开口向下， ∵点M的坐标为，点N的坐标为，且，∴， 当时，解得：，此时，，解得：，∴； 当时，不等式组无解； 当时，解得：，此时，，解得：，∴不存在此种情况； 当时，解得：，此时，，解得：，∴； 综上，b的取值范围为； （ii）根据题意，∴，∴， 令，则， 由题意得方程的解为， ∴，， ∴，，两式相减：，解得， 则，，∴抛物线解析式为， ∵，∴当时，抛物线有最大值， ∵当时，y的最大值为11，最小值为2，令，则， 解得：或，∴当时，，则； 当时，，则；综上，的取值范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $